Математика в профессиональном образовании: основы методики обучения инженерной математике

МАТЕМАТИКА 

В ПРОФЕССИОНАЛЬНОМ 

ОБРАЗОВАНИИ 

ОСНОВЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ 

ИНЖЕНЕРНОЙ МАТЕМАТИКЕ

В.М. ФЕДОСЕЕВ
М.А. РОДИОНОВ
Г.И. ШАБАНОВ

Москва
ИНФРА-М

2022

МОНОГРАФИЯ

УДК 51-74:378(075.4)
ББК 22.1+74.48
 
Ф33

Федосеев В.М.

Ф33  
Математика в профессиональном образовании: основы методи-

ки обучения инженерной математике : монография / В.М. Федосеев, 
М.А. Родионов, Г.И. Шабанов. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 173 с. — 
(Научная мысль). — DOI 10.12737/1859606.

ISBN 978-5-16-017511-9 (print)
ISBN 978-5-16-110031-8 (online)
В монографии рассматриваются вопросы методики математического 

образования будущего инженера. За основу принята интеграционная мо-
дель учебного процесса. В соответствии с данной моделью курс математи-
ки должен быть интегрирован в систему инженерного образования. При 
этом и содержание, и методика обучения приобретают специфические чер-
ты, позволяющие рассматривать учебный предмет как особую инженерную 
математику. Авторами осуществляется методологический анализ понятия 
«инженерная математика», вводятся главные интегрирующие структуры 
и на этой основе разрабатываются технологии обучения, отвечающие спе-
цифике инженерного мировоззрения и методологии технических наук.

Адресована научным работникам, специалистам в области теории и ме-

тодики профессионального образования, а также преподавателям, аспи-
рантам и студентам технических вузов.

УДК 51-74:378(075.4) 
ББК 22.1+74.48

ISBN 978-5-16-017511-9 (print)
ISBN 978-5-16-110031-8 (online)

© Федосеев В.М., Родионов М.А.,  
Шабанов Г.И., 2022

Р е ц е н з е н т ы:
Пасин А.В., доктор технических наук, профессор кафедры эксплуа-
тации машинно-тракторного парка, декан инженерного факультета 
Нижегородской сельскохозяйственной академии, почетный работник 
высшего профессионального образования, высшего образования Рос-
сийской Федерации;
Пучков Н.П., доктор педагогических наук, профессор кафедры выс-
шей математики Тамбовского государственного технического универ-
ситета

От авторов

В 2018 году в издательстве «ИНФРА-М» авторами была опу-
бликована монография «Основы инженерной математики» [201], 
посвященная изложению основ теории и методики интегрирован-
ного обучения студентов технических и технологических направ-
лений. Публикация имела отклик и поэтому возникла потребность 
в переиздании названной монографии. За прошедшее время были 
получены новые результаты, вышла большая статья [153] по проек-
тированию технологического компонента интегрированной методи-
ческой системы математической подготовки будущих инженеров, 
ряд других работ [37, 202, 203], продолжающих и развивающих тему 
преподавания математики инженерам. Развернутая критика ка-
чества современного инженерного образования [84], выполненное 
моделирование зависимости показателей знаний инженерных дис-
циплин от математических дисциплин [35], новые труды по инже-
нерной педагогике [168] еще более утвердили авторов в их пред-
ставлениях о принципах методики обучения будущих инженеров. 
И, хотя отношение к излагаемым вопросам в целом не изменилось, 
после расширения и дополнения содержательного тезауруса авторы 
сочли возможным развить принятые педагогические установки 
в данном издании, по нашему мнению более точно отражающим 
тематику и содержание выполненного исследования.

Смысл понятия «инженерная математика» соотносится с соб-

ственно математикой примерно так же, как инженерная педагогика 
соотносится с педагогикой. В первом случае прежде всего имеются 
в виду особенности методики обучения, учитывающие специфику 
инженерной деятельности и методологию технических наук. На-
ряду с этим понятием, для обозначения математического курса, 
преподаваемого инженерам, весьма часто встречается более общий 
термин «прикладная математика», который также используется 
в монографии.

Основным мотивом для предпринятого монографического ис-
следования послужили критика современного состояния матема-
тического образования будущих инженеров, а также сложившееся 
в современном научно-педагогическом сообществе не вполне удов-
летворительное отношение к инженерной математике. В настоящее 
время достаточно большое число ученых и педагогов считают, что 
преподавание математики инженерам не должно иметь принци-
пиальных отличий от преподавания математических дисциплин 
в классических университетах и педагогических вузах. Методики 
обучения «и здесь, и там» в целом могут быть одними и теми же; 
при этом курс математики для инженеров не требует специального 

методического переосмысления и может быть переделан сокраще-
нием объема учебного материала с незначительным дополнением 
в виде специальных примеров и задач. Авторы же предлагаемой 
монографии не разделяют подобных взглядов. Математика в тех-
ническом вузе — это часть целостной системы инженерного образо-
вания, и, соответственно, должна детерминироваться в первую оче-
редь общими, надпредметными целями инженерного образования. 
Соответственно, ко всем вопросам обучения математике в техни-
ческих вузах следует подходить не только и не столько с позиции 
чистого математика, но и в большей степени — с позиции инже-
нера-практика. И здесь может быть уместно напомнить мнение за-
мечательного французского математика XIX века, профессора По-
литехнической школы и Парижского университета Шарля Эрмита: 
«В математике мы больше слуги, чем господа».
Авторы выражают признательность профессорам Пензенского 

государственного технологического университета В.Б. Моисееву, 
С.В. Сергеевой, В.В. Волкову, общение и совместная научно-ме-
тодическая работа с которыми в значительной степени способ-
ствовали созреванию замысла и написанию этой книги. Авторы 
также благодарны рецензентам, сделавшим ряд ценных замечаний, 
позволивших улучшить содержание книги.

Предисловие

В инженерном образовании математику традиционно относят 

к группе фундаментальных дисциплин, составляющих теоретическую 
базу подготовки будущего инженера. Для таких представлений 
есть веские основания. Инженерная практика уже в XIX веке 
настолько осложнилась, что имеющийся фактический материал 
нуждался в теоретическом осмыслении и упорядочивании, а для 
этого нужна математика. В отечественном энциклопедическом 
справочнике «Машиностроение», изданном в середине ХХ столетия, 
роли и значению математики в технике дается следующее 
обоснование: «Математика является одним из краеугольных 
камней, на котором базируются все инженерные науки. Технические 
расчеты в современном машиностроении, исследования 
и измерения, постановка экспериментов и обработка результатов 
требуют широкого использования математических методов» [223, 
с. VI]. Такая оценка дается в издании, имеющем профессионально-
практическую направленность, и показательно, что математике 
для инженеров-машиностроителей в нем отводят место большее, 
чем любой другой науке. Среди его авторов мы находим громкие 
имена: М.В. Келдыша, известного математика, будущего президента 
АН СССР; академиков, специалистов по прикладной математике 
и механике А.Ю. Ишлинского и Ю.Н. Работнова; профессоров, 
авторов классических учебников по математике С.В. Бахвалова 
и Л.П. Смирнова.

Следует напомнить, что тогда и математическое, и инженерное 

образование в нашей стране считались одними из лучших в мире. 
Крупнейшие математики страны участвовали в решении инженерно-
технических проблем, инженеры привлекались для преподавания 
математики в вузах и писали математические учебники, 
примером чему служит известный задачник по математическому 
анализу инженера Г.Н. Бермана. Наши достижения тех лет в образовании, 
науке и технике хорошо известны. Ныне в профессиональном 
образовании вновь обращаются к научно-методическому 
опыту тех лет, и в современных методологических работах отмечается, 
что «классическая концепция инженерного образования с его 
целостным характером знания, сложившаяся в XIX — начале XX в., 
сегодня вновь становится актуальной» [159, c. 136].

По давно утвердившемуся и вполне очевидному мнению математика 
является весьма важным инструментом в инженерном 
деле. Академик Н.Н. Моисеев писал о том, что в технике математика — 
это часть конструкторского ремесла, часть технологии 
[117, c. 144]. В соответствии со сказанным, в последней версии 

образовательных стандартов математика расценивается как «неотъемлемая 
и очень важная составляющая компетентности инженера» [
129, c. 15]. На основании построенных моделей [35] 
зависимости показателей уровня знаний инженерных дисциплин 
от математической подготовки студентов отмечается, что качественное 
освоение общеинженерных и специальных инженерных 
дисциплин должно опираться на знание математического аппарата, 
на котором базируются эти дисциплины. «Низкий уровень 
математических дисциплин в школе и вузе не может обеспечить 
формирование инженера-творца, а может подготовить только ремесленника, 
не способного решать сложные инновационные задачи» [
35, c. 89].

Инженер, безусловно, нуждается в обширных математических 

знаниях. Но значение математических учебных дисциплин в инженерном 
образовании не исчерпывается только «знаниевой» его стороной. 
Не меньшую, а может быть и большую ценность имеет воспитательное 
значение математики, ее потенциальные возможности 
для формирования тех личностных качеств студента, которые вообще 
составляют культуру инженерного мышления.

Логико-методологический анализ состава и структуры инженерного 
мышления убедительно свидетельствует о том, какое значение 
имеет математический метод в выработке стратегии инженерного 
подхода к проблеме. В данном контексте математика выступает 
как часть общей методологии и методики решения инженерных 
задач, соединяющей теорию с практикой и задающей формы и способы 
мыслительных операций. При этом вполне естественно, что 
«трудные технические задачи требуют настоящего математического 
творчества» [117, c. 6].

Математике в инженерном образовании по праву отводится 

важное место. Однако инженер смотрит на соответствующую науку 
иначе, чем профессиональный математик или преподаватель с дипломом 
классического университета. Вполне очевидно, что для 
будущего инженера важнее, чтобы в обучении математические понятия 
излагались в большей мере с точки зрения их приложений, 
чем с точки зрения их логического развития. В математике инженера 
привлекает не формальная, а содержательная сторона. Поэтому для 
того, чтобы математика могла эффективно выполнять свои обязан-
ности, и содержание курса, и методика его преподавания должны 
удовлетворять определенным требованиям, соответствующим от-
ношению инженера к этой науке. Современная же математика и на-
ходящаяся под ее влиянием методика обучения данному предмету, 
как показывают многочисленные опросы, зачастую представляется 
инженеру слишком абстрактной, далекой от приложений и потому 
бесполезной для инженерной науки и практики.

Сложившуюся в ХХ веке ситуацию в математическом образо-

вании Г. Фройденталь, имея в виду потребности прикладников, об-
рисовал следующими словами: «Совершенно нетерпимо, когда ма-
тематик преподает математику без ее применений, а физик приме-
няет математические методы, не излагавшиеся математиком. <…> 
Эта шизофрения имеет глубокие корни. Разрыв возник в конце 
прошлого столетия (имеется в виду XIX век) и продолжает рас-
ширяться вследствие современного развития, особенно вследствие 
проникновения теоретико-множественной терминологии и новых 
формулировок в математику. Если мы, математики, будем все более 
методично и неэвристично преподавать математику, то люди, ко-
торые ее применяют, станут сами давать своим ученикам ту мате-
матику, которую они считают нужной» [206, c. 106].

По многим публикациям и собственному педагогическому 

опыту можем судить о том, что математика представляется зна-
чительной части будущих инженеров далекой по декларируемым 
целям и задействованному инструментарию от реалий их будущей 
профессиональной деятельности. Малая заинтересованность сту-
дентов в обучении математике и, как следствие, плохая успевае-
мость по предмету не могут удовлетворять ни преподавателей мате-
матики, ни тем более потребителей математических знаний. Такое 
положение требует коррекции системы математической подготовки 
на инженерных факультетах вузов. Такая коррекция должна опи-
раться прежде всего на профессиональное мнение инженеров-пра-
ктиков о той математике, какой бы они хотели научиться.

Как известно, стиль мышления инженера — конкретный, пред-

метно-наглядный и образный. В науке его интересует прежде всего 
смысловое содержание. Инженер плохо понимает те утверждения, 
которые ему не ясны и в которых он не видит практического 
смысла. Отсюда и его отношение к математике прежде всего как 
к опытной, индуктивной науке, принципиально не отличающейся 
от прикладных дисциплин, представленных в составе инженерной 
подготовки.

Описываемую позицию инженера в отношении математики 

и методики ее преподавания достаточно точно передает следующая 
цитата из О. Хевисайда, известного английского математика, фи-
зика и инженера: «Это возмутительно, что молодые люди должны 
забивать себе голову сплошными логическими тонкостями, пы-
таясь понять доказательство очевидного факта с помощью чего-
то, столь же очевидного, или, может быть, не столь очевидного, 
и приобретая глубокую неприязнь к математике, в то время как из-
учение геометрии, важнейшего фундаментального предмета, может 
быть сделано очень интересным и поучительным. Я придержи-
ваюсь мнения, что это, по существу, экспериментальная наука, как 

и всякая другая, и ее надо преподавать в первую очередь с помощью 
наблюдения, описания и эксперимента. Обучение должно быть ес-
тественным продолжением того знакомства с геометрией, которое 
получает каждый, соприкасаясь с окружающим миром, но, конечно, 
обучение должно быть более определенным и целенаправленным» 
[25, c. 13].
Такое понимание математики может показаться несколько арха-

ичным и несовременным. Но и в наше время известный математик, 
академик В.И. Арнольд отношение к математике как к опытной 
науке в вопросах преподавания считал наиболее продуктивным 
и распространял его на все математическое образование в целом 
[6–11]. И именно в таком подходе инженерное образование заинте-
ресовано более всего, и такой взгляд на математику для инженера, 
по мнению указанного ученого, является наиболее естественным 
и целесообразным.

В математике инженер видит главным образом определенную 
методологию решения практических задач, так сказать, школу 
мышления, развивающую изобретательские и творческие способ-
ности. И в математике это есть более, чем в других науках. «Ма-
тематика в некоторых отношениях является наиболее подходящим 
экспериментальным материалом для изучения индуктивных рассу-
ждений», — писал известный специалист по методологии и мето-
дике математического образования Д. Пойа [135, c. 18].

Таким образом, математика в инженерной реальности является 

частью научного метода, важным инструментальным средством 
для осуществления технических исследований и разработок. Как 
учебная дисциплина она обладает значительным педагогическим 
потенциалом, необходимым для формирования инженерной куль-
туры студента вуза. Главная же задача обучения математике в тех-
ническом вузе состоит в том, чтобы этот потенциал был реализован 
в достаточной мере. В данном контексте математика должна пре-
подаваться не как замкнутая в себе логическая дисциплина, а как 
составная часть общей системы профессиональных знаний; для ин-
женеров представляющая собой особый «раздел» технических наук 
и естествознания. Методы обучения математике должны быть мак-
симально приближены к мировоззрению инженера. Вместе с тем, 
как указывает Г. Штейнгауз, пока «симбиоз математики с техникой 
не дал тех результатов, которые ожидались, возможно, потому, что 
обе стороны имели свои традиции, а также из-за психологических 
различий при оценке и понимании роль математики в технических 
приложениях» [220, c. 270].
Сказанное обуславливает целесообразность разработки спе-
циальной методической системы инженерной математики, опи-
рающейся на вузовский учебный курс математики, естественным 

образом интегрированный в систему инженерного образования. 
В предлагаемой монографии авторы поставили перед собой цель — 
раскрыть содержание понятия «инженерная математика» и выде-
лить основные направления ее реализации в рамках инженерной 
вузовской подготовки с учетом требований образовательных стан-
дартов технических и технологических направлений профессио-
нальной подготовки, современных педагогических инноваций. 
Представляется, что именно при таком подходе возможно дости-
жение полноценного понимания прикладного, культурного зна-
чения математики для инженерного образования, которое, в свою 
очередь, обеспечит усиление мотивационного, прикладного и миро-
воззренческого потенциала данного курса и ослабит существующие 
методологические и психологические противоречия между сугубо 
научной и прикладной позициями в понимании сущности матема-
тического образования будущих инженеров.

Глава 1 
МАТЕМАТИКА В ИНЖЕНЕРНОМ 
ОБРАЗОВАНИИ КАК ПРЕДМЕТ 
МЕТОДИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. ИННОВАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В СОВРЕМЕННОМ 
ИНЖЕНЕРНОМ ОБРАЗОВАНИИ

В настоящей монографии инженерная математика выступает 

в качестве одноименной программы по исследованию математического 
образования инженера, имеющего целью приведение последнего 
к уровню профессиональных требований и в итоге интеграцию 
математической и инженерной подготовки бакалавров 
в образовательном процессе технического вуза. В первой главе 
будут рассмотрены факторы, повлиявшие на актуализацию в современных 
условиях данного методического направления в профессиональном 
образовании.

Многие аналитики инженерного образования (М. Ауер, Н.Г. Багдасарьян, 
М. Барбер, Н.В. Карлов, Э. Кроули, В.М. Приходько, 
В.П. Рыжов, Д.Л. Сапрыкин, Н.И. Сидняев и др.) отмечают, что 
в XXI веке произошло изменение важнейших мегатрендов в этой 
области профессионального образования [12, 15, 74, 140, 157, 159, 
161, 231, 239]. В предыдущий период, относящийся ко второй половине 
ХХ века, профессия инженера получила узкую специализацию 
и была массовой. Следствием этого явилось то, что долгосрочная 
тенденция к специализации принесла разрушение системной целостности 
инженерного образования (Д.Л. Сапрыкин и др.). Той 
целостности, которая была свойственна его классическим формам, 
сложившимся на протяжении XIX и достигшим пика своего развития 
в начале ХХ века.

Впоследствии процессы дифференциации в инженерном деле 

получают преобладающее развитие. Однако в XXI веке положение 
в этой области вновь меняется, на первое место в инженерии выходит 
инновационная деятельность. Соответственно, претерпевает 
качественные изменения и инженерное образование. Например, 
в Федеральном государственном образовательном стандарте 
высшего образования (ФГОС 3+) в п. 4.3 о профессиональной деятельности 
бакалавра по направлению подготовки 15.03.05 «Конструкторско-
технологическое обеспечение машиностроительных 
производств» перечислены следующие его виды: