Основы теории для расчета составных конструкций для курсовых работ по теоретической механике с элементами УИРС (статика)

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА  

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО 

ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

(МИИТ)» 

 
 

 

Кафедра «Теоретическая механика» 

 
 
 

И.И.Иванченко, С.Н. Шаповалов 

 

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДЛЯ РАСЧЕТА СОСТАВНЫХ 

КОНСТРУКЦИЙ ДЛЯ КУРСОВЫХ РАБОТ ПО 

ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ С ЭЛЕМЕНТАМИ 

УИРС (СТАТИКА) 

 
 
 
 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 

Москва – 2018 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА  

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО 

ОБРАЗОВАНИЯ 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА 

(МИИТ)» 

 
 

 

Кафедра «Теоретическая механика» 

 
 
 

И.И.Иванченко, С.Н. Шаповалов 

 

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДЛЯ РАСЧЕТА СОСТАВНЫХ 

КОНСТРУКЦИЙ ДЛЯ КУРСОВЫХ РАБОТ ПО 

ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ С ЭЛЕМЕНТАМИ 

УИРС (СТАТИКА) 

 

Учебное пособие 

для студентов механических 

и строительных специальностей 

 

Москва – 2018 

УДК 531.2 
И 23 
 
 
 
     Иванченко И.И., Шаповалов С.Н. Основы теории для 
расчета составных конструкций для курсовых работ по 
теоретической механике с элементами УИРС (статика): 
Учебное пособие. - М.: РУТ (МИИТ), 2018. - 55 с. 
      Учебное пособие предназначено студентам механиче-
ских и строительных специальностей для развития навы-
ков решения задач, связанных с равновесием плоских и 
пространственных конструкций, состоящих из стержней, 
отдельных жестких тел или систем жестких тел, связанных 
между собой различными способами. В учебном пособии 
даны основы теории по указанным разделам теоретической 
механики, приведены примеры решения различных задач 
статики твердого тела, соответствующие предлагаемым в 
пособии заданиям для курсовых работ по статике с эле-
ментами учебно-исследовательской работы студентов 
(УИРС). В учебном пособии даны рекомендации по вы-
полнению предлагаемых курсовых заданий. 
   Рецензенты: доктор технических наук, профессор В.Б. 
Сидоров  (Московский архитектурный институт), доктор 
технических наук, профессор  В.Б. Зылев (РУТ (МИИТ). 
 
 
 
 
 
 

                     

 
                                                         © РУТ (МИИТ), 2018 

1 Определение усилий в стержнях пространственной 

конструкции и анализ их значений в зависимости от 
параметров нагрузки 

1.1 Теоретические основы 

1.1.1 Проекция силы на ось 

 
Рассмотрим в пространстве силу P  и ось x . Обозначим 
начало и конец вектора P  буквами A  и B  (рис. 1). 
 

 

 

Рис. 1. 

 

Проведем через точки A  и B  плоскости 
1
  и 
2
 , 

перпендикулярные к оси x  (рис. 1). Обозначим буквами a  
и b  точки пересечения оси x  с плоскостями 
1
  и 
2
 . 

Проведем далее через точку A  прямую параллельно оси 
x . Точку пересечения этой прямой с плоскостью 
2
  обо-

значим буквой B. Заметим, что фигура 
ba
B
A 
 есть пря-

моугольник, следовательно, 
ab
B
A
=

. 

Назовем проекцией силы P  на ось x  (обозначает-

ся 
xP ), взятую со знаком плюс или минус, величину отрез-

ка ab . Знак плюс будем ставить в том случае, если направ-
ление отрезка ab  (перемещение от точки A  к точке B ) 
совпадает с положительным направлением оси x . В про-
тивном случае будем ставить знак минус. 


cos
|
|
=
=
P
ab
Px


 
 
(1) 

где   - наименьший угол, на который следует повернуть 
вектор P  для того, чтобы он стал параллельным оси x . 

 

1.1.2 Разложение силы на составляющие 

Рассмотрим силу P  в системе координат 
XYZ
0
 (рис. 2). 

Введем единичные векторы 
k
j
i
,
,
, соответствующие 

направлениям осей в системе 
XYZ
0
. Опустим перпенди-

куляр из конца вектора P  на плоскость 
XY
0
. Обозначим 

через B точку пересечения этого перпендикуляра с плос-
костью XY
0
. 

 

Рис. 2. 

Разложим силу P  по двум направлениям, используя 

аксиому статики, т.е. обратимость операции сложения век-
торов. В качестве направлений разложения выберем 

направления, определяемые осью z  и прямой, проходящей 
через точки 0  и B. Тогда имеем, в частности, вектор 
xy
P , 

который назовем проекцией силы P  на плоскость 
XY
0
. 

Разложим далее 
xy
P  на направления x  и y . В итоге имеем 

,
=
=
z
y
x
z
xy
P
P
P
P
P
P



 
 
(2) 

где 
z
y
x
P
P
P
,
,
 - составляющие (компоненты) вектора P , по 

осям 
z
y
x
,
,
. 

Каждый из составляющих векторов можно сформиро-

вать, используя единичные векторы, следующим образом 

,
=
k
P
j
P
i
P
P
z
y
x


  
 
(3) 

где 
z
y
x
P
P
P
,
,
 - проекции вектора P  на оси координат. 

Заметим, что проекции вектора P , используя углы, 

обозначенные на рис. 2, можно представить в виде:  

.
sin
=
;
sin
cos
=
;
cos
cos
=





P
P
P
P
P
P
z
y
x
 (4) 

 
1.1.3 Условия равновесия сходящейся системы сил 

Система сил, линии действия которых пересекаются в од-
ной точке, называется сходящейся. 

Для равновесия тела под действием пространственной 

сходящейся системы сил (n-число сил) необходимо и до-
статочное чтобы суммы проекций этих сил на каждую из 
трех координатных осей 
OZ
OY
OX
,
,
 были равны нулю.  

0.
=
0;
=
0;
=

1
=
1
=
1
=

zi

n

i

yi

n

i

xi

n

i

F
F
F



 
 
(5) 

 
 

1.1.4 Общие соображения и порядок решения задачи 

 
Стержневые конструкции, предлагаемые для расчета в 
первой части настоящего домашнего задания представля-
ют собой статически определимые пространственные фер-
мы. Одним из способов расчета таких конструкций являет-
ся метод вырезания узлов, который сводится к последова-
тельному вырезанию узлов фермы и составлению для каж-
дого из узлов трех уравнений равновесии относительно 
неизвестных усилий в стержнях фермы, а затем к решению 
совместно полученных уравнений с использованием ком-
пьютера (ПЭВМ). Однако можно не решать совместно эти 
3n уравнений равновесия, где n число узлов фермы, а по-
следовательно, начиная с узла, где сходятся не более трех 
стержней, рассчитывать конструкцию, составляя уравне-
ния и последовательно определяя неизвестные усилия в 
стержнях. Этот подход и будет продемонстрировано далее. 

 
 

1.2 Пример выполнения первой части задания 

 
Дано: шарнирно-стержневая конструкция (рис. 3); 

Определить: 1) усилия в стержнях 
6
5
4
3
2
1
,
,
,
,
,
S
S
S
S
S
S
; 

2) значения угла  , при которых усилие 
4
S  равно нулю и 

максимально по величине. 

Решение. 
1. Рассмотрим сначала узел A , так как в нем сходятся 

три стержня. Применим метод вырезания узлов. Обозначая 
реакции перерезанных стержней, которые предполагаются 
растянутыми, через 
3
2
1
,
,
S
S
S
, направляем их от узла A  

(рис. 4). Сила P  и реакции 
3
2
1
,
,
S
S
S
 взаимно уравновеши-

ваются. Составим три уравнения равновесия узла A : 

 

Рис. 3. 

 


























.0
cos
cos
sin
0;
=

;0
sin
cos
cos
cos
0;
=

;0
sin
sin
cos
sin
0;
=

3
2

2
1

3
2
1















P
S
S
Z

P
S
S
Y

S
S
S
X

 
(6) 

Вычислим синусы и косинусы углов  ,  ,  : 

;

2
1
=
=
cos
;

2
1
=
=
sin

2
2
2
2
a
a

a

a
a

a






 
 
 

;

3
2
=
=
cos
;

3
1
=
=
sin

2
2
2

2
2

2
2
2
a
a
a

a
a

a
a
a

a











  

;

5
2
=

2
1

=
cos
;

5
1
=

2
1

2
1

=
sin

2

2

2

2










a
a

a

a
a

a



  

Подставив значения синусов и косинусов углов  ,  , 

  и численные значения P  и   в уравнения (6), и решая 
их, найдем, кН: 

19.32,
=
1

S
 
38.66,
=
2
S
 
19.36.
=
3

S
 
 
 

Знак минус в полученных ответах показывает, что со-

ответствующий стержень сжат, а знак плюс - растянут. 

Переходим к рассмотрению системы уравновешивающихся 
сил, приложенных к узлу B : 
6
5
4
1
,
,
,
S
S
S
S
 (рис. 4). 

Предполагая стержни растянутыми, направляем реакции 
перерезанных стержней от узла B . 

Составим три уравнения равновесия сил, сходящихся в 

узле B : 






















.0
sin
0;
=

;0
sin
cos
cos
0;
=

;0
cos
cos
sin
0;
=

5
4

4
1

6
4
1

S
S
Z

S
S
Y

S
S
S
X











 
(7) 

 

Рис. 4. 

 

Вычисляем синусы и косинусы углов   и  : 

;
3
5
=

2
1

2
1

=
cos
;
3
2
=

2
1

=
sin

2

2
2

2

2

2

2
2



















a
a
a

a
a

a
a
a

a



 

;

5
2
=

2
1

=
cos
;

5
1
=

2
1

2
1

=
sin

2

2

2

2










a
a

a

a
a

a



 

 

Подставив значения синусов и косинусов углов  ,  , 

  и 
19.32
=
1

S
 кН в уравнения (7), и решив их, найдем,