Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Проектирование комбинационных схем

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 786982.01.99
В учебно-методическом пособии приводятся основные сведения из теории проектирования однотактных (комбинационных) логических схем: составление логической функции, ее минимизация, реализация на уровне функциональной схемы. Курсовая работа ориентирована на проектирование комбинационной схемы в базисе И, ИЛИ, НЕ. Рассмотрен пример выполнения работы и ее оформления.
Ермолин, Ю. А. Проектирование комбинационных схем : учебно-методическое пособие к курсовой работе по дисциплине «Математические основы теории систем» / Ю. А. Ермолин. - Москва : РУТ (МИИТ), 2018. - 20 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1895072 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
 

 

Министерство транспорта Российской Федерации  

Федеральное государственное бюджетное образовательное 

учреждение высшего образования 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

 

Кафедра «Управление и защита информации» 

 

 

 

 

 

 

Ю. А. ЕРМОЛИН 

 

 

ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОМБИНАЦИОННЫХ СХЕМ 

 

 

 

Учебно-методическое пособие 

к курсовой работе по дисциплине 

«Математические основы теории систем» 

 

 

 

 

 

 

 

МОСКВА – 2018 

 

 

Министерство транспорта Российской Федерации 

Федеральное государственное бюджетное образовательное 

учреждение высшего образования 

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» 

Кафедра «Управление и защита информации» 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ю. А. ЕРМОЛИН 

 

ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОМБИНАЦИОННЫХ СХЕМ 

 

 

 

 

Учебно-методическое пособие 

для бакалавров очной и очно-заочной форм обучения 

по направлению 27.03.04 «Управление в технических системах»  

 

 

 

 

 

 

Москва – 2018 

 

 

УДК 004 

Е - 74 

 

 
Ермолин Ю. А. Проектирование комбинационных схем: Учебно-методическое 

пособие к курсовой работе по дисциплине «Математические основы теории систем». – М.: 
РУТ (МИИТ), 2018. - 20 с. 

 

 
В учебно-методическом пособии приводятся основные сведения из теории 

проектирования 
однотактных 
(комбинационных) 
логических 
схем: 
составление 

логической функции, ее минимизация, реализация на уровне функциональной схемы. 
Курсовая работа ориентирована на проектирование комбинационной схемы в базисе И, 
ИЛИ, НЕ. Рассмотрен пример выполнения работы и ее оформления. 

Рецензент: к.т.н., доцент кафедры «Автоматика, телемеханика и связь на 
                   железнодорожном транспорте» РУТ (МИИТ) Зенкович Ю.И.  

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

© РУТ (МИИТ), 2018 

1.ЦЕЛЬ КУРСОВОЙ РАБОТЫ 

      Целью курсовой работы является закрепление теоретических знаний, полученных 

студентами при изучении дисциплины «Математические основы теории систем». 

 
При выполнении курсовой работы студенты должны продемонстрировать знание 

основных 
законов 
булевой 
алгебры, 
умение 
составлять 
логические 
функции, 

описывающие работу проектируемого устройства, и проводить их минимизацию, 
составлять по полученным минимальным формам логических функций функциональные 
схемы, их реализующие. 

2. ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ 

 

Исходные данные 

 

 
Задачей курсовой работы является синтез комбинационной схемы, служащей либо 

для 
преобразования 
одного 
кода 
в 
другой; 
либо 
являющейся 
устройством, 

обеспечивающим защиту заданного кода по какому-либо признаку, например, защиту по 
весу (в зависимости от варианта). В качестве задаваемых кодов в курсовой работе 
используются следующие двоичные комплектные коды: 

1) трехразрядный код на все сочетания; 

2) трехразрядный код Грея; 

3) двоично-десятичный код 2-4-2-1; 

4) двоично-десятичный код 8-4-2-1; 

5) код Джонсона; 

6) семиэлементный десятичный код; 

7) код с постоянным весом 
m
n
С ; 

8)n–разрядный код с проверкой на четность; 

9)n – разрядный код с проверкой на нечетность; 

10)распределительный 8-ми разрядный код. 

 
Задание на проектирование комбинационной схемы для каждого студента 

определяется в соответствии с номером варианта по Табл. 1. 

 
В Табл. 1 в графе «Задание» (кроме вариантов 9-15, 33,40) слева от стрелки указан 

номер кода (см. перечисленные выше коды), служащего входным по отношению к 
проектируемой схеме, справа – номер выходного кода. Например, запись 21 (вариант 5) 
означает, что необходимо разработать устройство, преобразующее трехразрядный код 
Грея в трехразрядный код на все сочетания. Варианты 9-11, 33, 40 задают код с 
постоянным весом, для которого необходимо осуществить защиту по весу. В вариантах 
12-15 требуется разработать схему защиты по четности, либо по нечетности. 

 

 

Содержание курсовой работы 

 

 
В процессе выполнения курсовой работы необходимо: 

1) определить структуру входного и выходного сигналов проектируемой схемы; 

2) составить таблицу состояний; 

3) записать функции алгебры логики для каждой выходной переменной; 

4) провести минимизацию полученных функций; 

5) составить функциональную схему проектируемого устройства. 

 
   3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 

Сведения о кодах, используемых в работе 

 

 
Как указывалось выше, любой из кодов, используемых в курсовой работе, является 

комплектным. Это означает, что все комбинации данного кода содержат одинаковое 
количество двоичных разрядов. Кодовые комбинации конкретного кода будут отличаться 
друг от друга как числом единиц, так и местом (позицией) их расположения. 

 
Основные сведения о кодах, используемых в работе, и правила построения их 

кодовых комбинаций приводятся ниже. 

1.Трехразрядный код на все сочетания. 

 
Это обычный двоичный код, каждая кодовая комбинация которого содержит 3 

разряда. Общее количество различных  кодовых комбинаций (емкость кода) при этом 
равно 2 3 = 8. Этот код является примером арифметических кодов, т.е. кодов, в основе 
построения которых лежат известные системы счисления. 

2. Код Грея. 

 
Этот код относится к классу специальных кодов, носящих название отраженных 

или рефлексных. Отличительной особенностью этих кодов является то, что соседние 
кодовые комбинации различаются между собой только в одном разряде. Это 
обстоятельство используется, в частности, при применении кода Грея в устройствах, 
преобразующих значение перемещения или угла поворота вала в двоичный цифровой 
эквивалент. Различие соседних кодовых комбинаций лишь в одном разряде позволяет при 
этом уменьшить ошибку неоднозначности считывание цифровой информации. 

 
Любая кодовая комбинация кода Грея может быть получена из соответствующей 

кодовой комбинации кода на все сочетания, если выполнить следующие операции: 

 
а) под комбинацией кода на все сочетания записать такую же комбинацию, но 

сдвинутую на один разряд вправо (при этом младший разряд сдвигаемой комбинации 
отбрасывается); 

 
б) произвести поразрядное сложение сдвинутой и несдвинутой кодовых 

комбинаций по модулю два. 

 
Правила сложения по модулю два следующие: 

 
0 0 = 0;  1 0 = 1;   0 1 = 1;   1 1 = 0. 

 
В качестве примера преобразуем кодовую комбинацию кода на все сочетания 101 в 

код Грея. Для этого выполним указанные выше действия: 
 
 1 0 1        - исходная комбинация; 
 
  

 
 1 0 1   - сдвинутая на разряд вправо исходная комбинация; 

 
    ______ 

 
     1 1 1        - комбинация кода Грея. 

 

Производя подобные операции над всеми комбинациями кода на все сочетания 

(при заданной разрядности), получим комбинации кода Грея. 

3.Двоично-десятичный код 2-4-2-1. 
 
 

 
Этот код (иначе он называется кодом Айкена) широко используется в ЭВМ и 

служит для преобразования десятичного числа в двоичный эквивалент. При этом каждому 
разряду десятичного числа ставится в соответствие четыре разряда (тетрада) двоично-
десятичного кода , веса которых, начиная со старшего, соответственно равны 2,4,2,1. 
Каждый разряд десятичного кода преобразуется в соответствующую тетраду независимо 
друг от друга. Например, десятичному числу 27 соответствует комбинация 0010 1101 в 
двоично-десятичном коде. Таким образом, любая кодовая комбинация двоично-
десятичного кода имеет количество двоичных разрядов, кратное четырем, и определяемое 
разрядностью преобразуемого десятичного числа. 

При образовании комбинации кода 2-4-2-1 следует учитывать его свойство 

самодополняемости, которое состоит в том, что первые десятичные цифры (0,1,2,3,4) 
записываются как в обычном двоичном коде, но 5 – это 1011; двоично-десятичный код 
большей цифры находится как инверсия двоичного изображения десятичного числа, 
являющегося дополнением до 9, для которого ищется дополнение. 
 
Поясним это примером.  Необходимо  определить  кодовую  комбинацию  в  коде 

2-4-2-1, соответствующую цифре 6.Известно, что цифре 3 соответствует комбинация 0011. 
Поскольку 6 является дополнением тройки до 9, то кодовая комбинация, соответствующая  
6, находится как  инверсия всех разрядов кодовой комбинации (в коде 2-4-2-1) тройки, т.е. 
1100. 
 
4.Двоично-десятичный код 8-4-2-1. 
 
 
Принципиально этот код не отличается от кода 2-4-2-1. Разница состоит лишь в 

том, что веса разрядов, стоящие в каждой тетраде, равны соответственно 8,4,2,1 (а не 
2,4,2,1, как в коде 2-4-2-1). Это означает, по-существу, что каждая тетрада в коде 8-4-2-1 
формируется по правилу двоичного четырехразрядного кода на все сочетания. Например, 
десятичному числу 38 соответствует комбинация двоично десятичного кода 0011 1000. 

5.Код Джонсона. 

 
Этот код также относится к классу двоично-десятичных. Здесь каждому разряду 

десятичного числа соответствует комбинация из пяти двоичных разрядов, в которой число 
единиц, начиная с младшего разряда, для чисел от 0 до 5 возрастает на единицу с 
увеличением цифры десятичного числа, а для чисел, больших 5, - уменьшается на 
единицу. Так, цифре 3 соответствует комбинация 00111, а цифре 7 – 11100. 

 
Цифра каждого десятичного разряда преобразуется независимо. 

6.Семиэлементный десятичный код. 

 
Этот код служит для «высвечивания» десятичной цифры на цифровом индикаторе, 

состоящем из семи отдельных элементов (сегментов). Эти сегменты пронумерованы (см. 
рис.1). 

 

Рис. 1 

 
При подаче напряжения на какой-либо сегмент он «поджигается». Таким образом, 

для 
воспроизведения 
десятичной 
цифры 
необходимо 
подать 
напряжение 
на 

соответствующие сегменты, из которых и высвечивается стилизованное изображение 
цифры. Например, для высвечивания цифры 2 необходимо подать напряжение на 
сегменты 1,3,4,5 и 7. 

 

 

7.Код с постоянным весом 
m
n
C . 

 
Этот код является примером кода с обнаружением ошибок. Каждое кодовое слово 

длины n(содержащее nдвоичных разрядов) содержит mединиц, остальные – нули. 

 
Общее число разрешенных кодовых комбинаций в двоичном коде с постоянным 

весом равно 

 
)!
(!

!

m
n
m

n
C
N
m
n



. 

 
Нетрудно видеть, что вообще возможно образовать 2 n  различные n-разрядные 

двоичные кодовые комбинации. Из них только Nбудут содержать mединиц, остальные 

)
2
(
N
n 
 имеют число единиц, отличное от m, считаются запрещенными, и не 

используются. 

 
Проектируемая в данной работе комбинационная схема должна фиксировать 

отклонение числа единиц во входной кодовой комбинации от m. 

8.n-разрядный код с проверкой на четность. 

 
В таком коде из 2 n  возможных кодовых комбинаций разрешенными считаются 

только те, которые содержат четное число единиц. Таким образом, число разрешенных 
комбинаций равно 
1
2 
n . 

 
Проектируемая в работе схема защиты должна фиксировать нечетное количество 

единиц во входной кодовой комбинации. 

9.n-разрядный код с проверкой на нечетность. 

Этот код принципиально не отличается от кода с проверкой на четность. Разрешенными 
здесь считаются комбинации, содержащие нечетное число единиц. 

10.Распределительный 8_разрядный код. 

Этот код является разновидностью кода с постоянным весом 
m
n
C , равным единице, т.е. 

при m = 1. В любой разрешенной кодовой комбинации длиной n(в данном случае n = 8) 
содержится только одна единица. Число таких кодовых комбинаций равно 
n
C
N
n 

1
. 

Разрешенные кодовые комбинации отличаются друг от друга местом расположения 
единицы. 

 

Составление таблицы состояний 

и аналитическая запись функций алгебры логики 

 

 
Аналитической записи функций алгебры логики для каждого разряда выходного 

кода предшествует составление таблицы состояний. 

 
Таблица состояний – это один из способов описания работы комбинационной 

схемы. 

Выпишем слева в таблице все возможные комбинации входного кода, а справа – 

соответствующие им комбинации выходного кода. При этом заметим, что для некоторых 
сочетаний входного и выходного кодов, указанных в Задании, это соответствие 
однозначно, для других же – произвольно. Так, конкретной кодовой комбинации кода на 
все сочетания соответствует строго определенная комбинация в коде Грея, но той же 
комбинации может быть поставлена в соответствие любая из разрешенных комбинаций 
кода 
m
n
C . 

 
Введем обозначения для разрядов входной комбинации 
,...
,
,
c
b
a
 и выходной 

m
z
z
z
,...
,
2
1
. Отметим, что в случае, когда речь идет о разработке схемы защиты кода, 

выходная комбинация состоит всего из одного разряда. 

 
Тогда таблица состояний будет иметь вид, типичный фрагмент которой для 

входного трехразрядного кода представлен в Табл. 2. 

Таблица 2. Фрагмент таблицы состояний 

 

По таблице состоянийлогическая функция для каждого разряда выходной комбинации 
может быть записана в аналитическом виде в одной из совершенных нормальных форм, 
например, в СДНФ – совершенной дизъюнктивной нормальной форме. СДНФ находится с 
использованием таблицы состояний по правилу записи функции «по единицам». Для 
этого необходимо выписать ряд произведений всех аргументов и соединить их знаками 
дизъюнкции. Количество таких произведений должно равняться числу комбинаций 
входных переменных, при которых искомая функция обращается в единицу. После этого в 
каждом из конъюнктивных членов над аргументами, равными нулю в данной входной 
комбинации, проставляются знаки отрицания (инверсии). Таким образом получается 
СДНФ для каждой выходной переменной 
m
z
z
z
,...
,
2
1
. Для фрагмента Табл. 2, например, в 

соответствии с указанной процедурой получим 

 
...
1







c
b
a
c
b
a
z
и т.д. по всем строкам, где 
1z  равно единице; 

 
...
2




c
b
a
z
 и т.д. по всем строкам, где 
2z  равно единице; 

 
… 

 
...




c
b
a
zm
 и т.д. по всем строкам, где 
m
z  равно единице. 

 
Аналогичная процедура при записи функции алгебры логики «по нулям» таблицы 

состояний приводит к совершенной конъюнктивной нормальной форме – СКНФ. 

 
Выбор формы записи определяется соображениями удобства (в зависимости от 

количества единиц и нулей для искомой функции в таблице состояний) и возможностями 
ее последующей реализации в виде принципиальной электрической схемы с учетом 
заданной элементной базы в виде серии микросхем. 

Поскольку с методической точки зрения принципиальной разницы между СДНФ и 

СКНФ нет, в дальнейшем будем полагать, что мы получили аналитическую запись 
функции алгебры логики по таблице состояний в СДНФ. 

 
Совершенная 
дизъюнктивная 
нормальная 
форма 
(СДНФ) 
не 
является 

рациональной с точки зрения технической реализации соответствующей комбинационной 
схемы. Поэтому очередной задачей синтеза логических схем является упрощение 
выражения для логических функций, а именно – в нахождении минимальных 
дизъюнктивных нормальных форм (МДНФ). 

 

Методы получения МДНФ 

 

 
Заметим, что возможность представления любой логической функции в СДНФ 

(либо СКНФ) основывается на том, что набор трех элементарных логических функций – 
дизъюнкции, конъюнкции, отрицания – является функционально полным, или, иначе 
говоря, 
составляет 
базис. 
Заданный 
базис 
определяет 
алгоритмы 
нахождения 

минимальных форм представления логических функций в этом базисе. Здесь 
рассматриваются способы получения МДНФ, т.е. функций, записанных в базисе 
{И,ИЛИ,НЕ}. 

 
К числу наиболее часто применяемых методов минимизации относятся такие, 

которые используют следующие формулы, отражающие основные законы алгебры 
логикив отношении: 

дизъюнкции: 
;
...
a
a
a
a




;1

 a
a
;a
b
b
a



);
(
)
(
c
b
a
c
b
a
c
b
a








 

конъюнкции: 
;a
a
aa


;0

a
a
;
ba
ab 
);
(
)
(
)
(
ac
b
bc
a
c
ab
abc



 

инверсии: 
;a
a 
;1
0 
.0
1 
 

 
Операция развертывания: 

 
;
b
a
ab
a


);
)(
(
b
a
b
a
a



;c
ab
abc
ab


).
)(
(
c
b
a
c
b
a
b
a






 

 
Операция склеивания: 

 
;a
b
a
ab


.
)
)(
(
a
b
a
b
a



 

 
Операция неполного склеивания: 

 
;
b
a
ab
a
b
a
ab




).
)(
(
)
)(
(
b
a
b
a
a
b
a
b
a





 

 
Операция поглощения: 

 
;a
ab
a


.
)
(
a
b
a
a


 

 
Законы инверсии (формулы де Моргана): 

 
𝑎 + 𝑏 = 𝑎𝑏; 𝑎𝑏 = 𝑎 + 𝑏.