Применение энтропии при моделировании процессов принятия решений в экономике

ПРИМЕНЕНИЕ ЭНТРОПИИ 

ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ 

ПРОЦЕССОВ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 

В ЭКОНОМИКЕ

О.Л. КОРОЛЕВ 
М.Ю. КУССЫЙ 
А.В. СИГАЛ

Москва
ИНФРА-М
2022

МОНОГРАФИЯ

Под редакцией профессора А.В. Сигала

Р е ц е н з е н т ы:

Лившиц В.Н., доктор экономических наук, профессор, заслуженный деятель 

науки и техники РСФСР, заведующий лабораторией «Системный анализ эффективности 
естественных монополий» Института системного анализа Федерального 
исследовательского центра «Информатика и управление» Российской 
академии наук (г. Москва);

Соложенцев Е.Д., доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель 
науки и техники Российской Федерации, заведующий лабораторией «Интегральные 
системы автоматизированного проектирования» Института проблем 
машиноведения Российской академии наук (г. Санкт-Петербург)

УДК 330.46(075.4)
ББК 65в6
 
К68

ISBN 978-5-16-017653-6 (print)
ISBN 978-5-16-110270-1 (online)

© Королев О.Л., Куссый М.Ю., 

Сигал А.В., 2022

Королев О.Л.

К68  
Применение энтропии при моделировании процессов принятия 

решений в экономике : монография / О.Л. Королев, М.Ю. Куссый, 
А.В. Сигал ; под ред. проф. А.В. Сигала. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 
202 с. — (Научная мысль). — DOI 10.12737/1865188.

ISBN 978-5-16-017653-6 (print)
ISBN 978-5-16-110270-1 (online)
Монография посвящена изучению энтропии, истории этой общенаучной 

категории, развития ее теории, различных аспектов применения энтропии. 
Энтропия — мера хаоса — является одним из базовых понятий современного 
естествознания. Возникнув в термодинамике еще в первой половине XIX века, 
понятие энтропии нашло многочисленные применения во многих отраслях знаний, 
в том числе в других разделах физики, технике, информатике, биологии, 
экономике, социальных науках. Особое внимание уделено вопросам эволюции 
взглядов на понятие энтропии, разнообразным аспектам применения энтропии 
для моделирования процессов на финансовых рынках, методологии рекуррентного 
анализа временных рядов в экономике, а также разнообразным аспектам 
применения энтропии для теоретико-игрового моделирования процессов распределения 
ресурсов.

Будет полезна специалистам по математическому моделированию, ученым 

и практикам, специализирующимся на принятии управленческих решений, 
преподавателям, аспирантам, студентам.

УДК 330.46(075.4)

ББК 65в6

Основные сокращения и обозначения

АИ — антагонистическая игра;
ДСВ — дискретная случайная величина;
ИС — информационная ситуация;
КАИ — классическая антагонистическая игра;
ЛПР — лицо, принимающее решения;
НАИ — неоклассическая антагонистическая игра;
СВ — случайная величина;
СКО — среднеквадратичное отклонение;
ЭР — экономический риск;
FAN — Fixed Amount of Nearest Neighbors (фиксированные 
числа ближайших точек);
RP — Recurrent Plots (рекуррентные графики);
||•|| — норма (метрика);
AVM — среднее арифметическое показателя текущей волатиль-
ности;
Close — цена закрытия;
(
)
(
)
2
X
X
= σ
D
 — дисперсия (вариация) СВ X;

DKL (X, Y) = 

1
ln
n
i
i
i
i

p
p
q
=
⋅
∑
 — расстояния Кульбака — Лейблера;

E — значение энтропии Грассбергера — Прокаччиа;

H (p) = — 
2
1
log
n

i
i
i
p
p
=
⋅
∑
 — (бинарная) энтропия Шеннона;

H (q) = — 
1
ln
n

j
j

j

q
p
=
⋅
∑
 — (натуральная) энтропия Шеннона;

Hα = 

1

1
ln
1

n

i
i
pα

=

⎛
⎞
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
−α
∑
 — энтропия Реньи порядка α;

Higt — максимальная цена;
I = {1;…; i;…; k} — множество чистых стратегий первого игрока;
Jn = (1;…; 1;…; 1) — n-мерный вектор, все компоненты которого 
равны 1;
J = {1;…; j;…; n} — множество чистых стратегий второго игрока;
Low — минимальная цена;
L1 — L1-норма;
L2 — L2-норма (Евклидова норма);
L∞ — L∞-норма (максимальная норма);
m = M (X) — математическое ожидание СВ X;
Open — цена открытия;

p = (p1;…; pi;…; pk) — стратегия первого игрока;
p* = (
)
1;...;
;...;
i
k
p
p
p
∗
∗
∗  — оптимальная стратегия первого игрока;
(p*; q*) — ситуация равновесия в АИ;
pi, qj — вероятность применения игроками чистых стратегий;
q = (q1;…; qj;…; qn) — стратегия второго игрока;
q* = (
)
1;...;
;...;
j
n
q
q
q
∗
∗
∗  — оптимальная стратегия второго игрока;
R = Rk 
·
 n = (ri j) — платежная матрица;
ri j — выигрыш первого игрока в ситуации (i; j);
Ri — СВ, характеризующая норму прибыли актива i;
Rx — СВ, характеризующая норму прибыли портфеля x;
R∗x — СВ, характеризующая норму прибыли портфеля x*;
supp p ={
}
0
i
i p >
 — спектр стратегии p первого игрока;

supp q ={
}
0
j
j q >
 — спектр стратегии q второго игрока;
VM — показатель текущей волатильности;
V (p; q) = p · R · qT — платежная функция АИ;

VI j =
1

k

i j
i
i
r
p
=
⋅
∑
 — ожидаемые выигрыши первого игрока;

VI I i =
1

n

i j
j

j

r
q
=
⋅
∑
 — ожидаемые проигрыши второго игрока;

V ∗R = V (p*; q*) — значение (цена) игры;
x = (x1;…; xi;…; xk) — портфель инвестора;
x* = (
)
1;...;
;...;
i
k
x
x
x
∗
∗
∗  — портфель, обладающий наименьшим 
уровнем риска;
xi — доля актива i-го вида в портфеле инвестора;
α = maxmin i j
j
i
r  — нижняя чистая цена игры (максимин) АИ 

R
R
,
, J
I
=
Γ
;
β = minmax i j
j
i
r  — верхняя чистая цена игры (минимакс) АИ 

R
R
,
, J
I
=
Γ
;
ΓR = 〈I, J, R〉 — антагонистическая игра (АИ);
(
)
(
)
X
X
σ
=
D
 — СКО СВ X;
θ (•) — ступенчатая функция Хевисайда.

Предисловие

Моделирование процессов принятия решений в экономике тре-
бует учета ряда специфических условий. В первую очередь, сле-
дует учитывать, что экономика представляет собой динамическую, 
слабоструктурированную сложную систему, состоящую из многих 
элемен тов, в том числе из большого количества хозяйствующих 
единиц, находящихся в довольно тесном, непрерывном взаимо-
действии. Кроме того, экономика имеет ярко выраженную иерар-
хическую, многоуровневую структуру, при этом каждый уровень 
иерархии интегрирует по определенным правилам (алгоритмам) 
информационные сигналы (потоки) другим уровням иерархии 
и оперирует информационными агрегатами. Наконец, следует учи-
тывать, что социально-экономическая система характеризуется, 
в частности, способностью саморазвития. «Топливом», обеспечи-
вающим развитие этой системы, является информация. Характер-
ными особенностями, присущими практически любой информации 
в социально-экономических системах, являются такие элемен ты, 
как хаотичность, непредсказуемость и случайность, т.е. неопределенность.

Неопределенность — это фундаментальная характеристика 
обеспеченности процесса принятия управленческих решений необходимой 
информацией или, в более общей трактовке, знаниями 
о проблемной ситуации. Неопределенность влияет на эффективность 
экономической деятельности. Фундаментальная неопределенность 
экономической деятельности — это неопределенность 
ее результатов. Несомненно, неопределенность имеет место 
в экономической деятельности тогда, когда к этой деятельности 
лишь приступают. Кроме того, неопределенность может скрываться 
во внешне малозначимых деталях, являющихся ключевыми 
для успеха, нюансы которого невозможно знать заранее. Даже 
по вопросу, когда будет найдено решение поставленной задачи 
и будет ли оно вообще найдено, существует известная неопределенность.

Важно подчеркнуть, что в философском аспекте неопределенность 
в социально-экономической системе вызвана не столько субъективной 
ограниченностью наших знаний об объекте исследования 
и управления в данный момент времени, сколько объективной не-
возможностью его исчерпывающего описания адекватным языком. 
Следовательно, спонтанный характер процессов, которые проис-

ходят в сложной системе, внутренне присущ ей и является одним 
из существенных, системообразующих ее свойств. Понимание этого 
положения (принцип неопределенности) нашло отражение в есте-
ственных науках (например, в физике, биологии) [50].
Еще раз отметим, неопределенность — фундаментальная харак-
теристика недостаточной обеспеченности процесса принятия управ-
ленческих решений знаниями об определенной проблемной си-
туации. Неполное, недостоверное, неточное знание разнообразных 
параметров порождается разными причинами. Прежде всего, не-
полной и недостоверной информацией об условиях реализации ре-
шения, о связанных с этим решением выгодах и затратах, наличием 
множественности целей и многокритериальности их оценки.
Причины неопределенности в экономике разнообразны. В част-
ности, к неопределенности приводят такие особенности процессов 
принятия решений в экономике, как неполнота информации, на-
личие динамических изменений внутренних и внешних условий 
развития экономических объектов, случайность многих процессов, 
протекающих в социально-экономических системах, наличие 
ошибок в прогнозировании и погрешностей при анализе сложных 
систем, вероятностный и/или нечеткий характер экономических 
параметров (например, уровня инфляции, уровня запасов по-
лезных ископаемых, урожайности сельскохозяйственных культур, 
погодных условий).
Помимо неопределенности любой экономической деятельности 
внутренне присуща конфликтность. В экономической деятель-
ности и предпринимательстве нередко возникают недоразумения, 
разногласия, напряженные отношения, конфликты интересов, как 
внутри трудовых коллективов, так и между партнерами, контр-
агентами, конкурентами (организациями, учреждениями и инсти-
туциями). Множественность целей и многокритериальность также 
влекут и неопределенность, и конфликтность.
Таким образом, в экономике приходится осуществлять выбор 
наилучших альтернатив и принимать управленческие решения 
в условиях хаотичности, неопределенности, конфликтности и обу-
словленного ими риска. В научной и практической литературе 
термин «экономический риск» имеет огромное множество раз-
личных определений, интерпретаций и смыслов. Целесообразно 
различать понятие «экономического риска в узком смысле» как 
возможности наступления нежелательных событий, и понятие 
«экономического риска в широком смысле» как экономической ка-
тегории.

Согласно определению В.В. Витлинского [18, с. 10], экономи-
ческий риск — это экономическая категория, отображающая харак-
терные особенности восприятия лицом, принимающим решения, 
объективно существующих неопределенности и конфликтности, 
внутренне присущих процессам определения целей, управлению, 
оцениванию альтернативных вариантов действий и принятию ре-
шений. Все эти процессы отягощены возможными опасностями 
и неиспользованными возможностями. Экономический риск имеет 
диалектическую объективно-субъективную структуру. Количе-
ственная оценка уровня экономического риска — это многомерная 
величина, характеризующая возможность отклонения от целей, 
от желательного (ожидаемого) результата, возможность неудачи 
(убытков). При этом важно учитывать влияния контролируемых 
(управляемых) и неконтролируемых (неуправляемых) факторов, 
прямых и обратных связей.
Экономический риск является характерным феноменом рыночной 
экономики, а приведенное его определение (в широком 
смысле) основывается на системном подходе к этой экономической 
категории. Это определение указывает на необходимость тщательного 
анализа влияния на экономические объекты множества внутренних 
и внешних факторов, а также на необходимость учета отношения 
к риску лица, принимающего решения.
При анализе и моделировании экономического риска, количественной 
оценке его уровня, принятии управленческих решений 
в экономике, учитывающих неопределенность и риск, применяют 
различные методы и модели. В частности, применяют такие направления 
науки, как теория вероятностей и математическая 
статистика, теория случайных процессов, теория нечетких множеств, 
математическое программирование, в том числе теория игр 
и теория принятия статистических решений, и т.д. Перечисленные 
области знаний с системных позиций объединили классические 
вероятностные методы с методами и моделями исследования операций, 
теорией управления сложных систем.
Применение энтропийного подхода существенно обогащает инструментарий 
и аппарат анализа и моделирования экономического 
риска, количественной оценки его уровня, принятия управленческих 
решений в экономике, как с теоретической, так и с практической 
точки зрения. Несомненно, энтропийный подход дает 
возможность учесть хаотичность и неопределенность, существенно 
понизить уровень экономического риска. Это, в свою очередь, позволяет 
повысить качество и эффективность принимаемых управ-

ленческих решений и, в частности, избежать ошибок в процессе 
принятия управленческих решений в экономике.
Термин «энтропия» происходит от древнегреческого слова 
«εντροπια», которое в переводе означает «поворот», «превращение». 
В качестве научной категории «энтропия» возникла в естественных 
науках, прежде всего в физике, а точнее — в термодинамике, 
в качестве меры необратимого рассеяния энергии. Коротко 
говоря, энтропия — это фундаментальное свойство произвольной, 
состоящей из многих элемен тов системы, для которой характерна 
неоднозначность и/или случайность поведения. При этом энтропия 
представляет собой меру хаоса, т.е. степень беспорядка системы и ее 
поведения. Чем меньшим значением обладает энтропия системы, 
тем большей стабильностью характеризуется деятельность этой 
системы. И наоборот, чем большим значением обладает энтропия 
системы, тем более хаотичным является функционирование такой 
системы. Образно говоря, энтропия представляет собой количе-
ственную меру упорядоченности элемен тов системы любой при-
роды (и технической, и химической, и биологической, и экономи-
ческой, и социальной, и экологической).
Термодинамика возникла благодаря желанию людей подчи-
нить себе движущую силу пара. Поэтому сначала термодинамика 
занималась исследованием тепла. Однако со временем термодина-
мика существенно расширила сферу, так сказать, своих интересов 
и стала теорией о превращениях всех форм энергии. В таком виде 
термодинамика существует и по сей день.
Термодинамика основана на небольшом числе постулатов (ак-
сиом), которые в сжатой форме вобрали в себя накопленный опыт 
по изучению энергии. Эти утверждения носят название начал, 
или законов, термодинамики. Всего насчитывается четыре начала 
(закона) термодинамики. В основе утверждений этих законов тер-
модинамики лежит обобщение данных, полученных в результате 
наблюдений и проведенных испытаний.
Нулевое начало термодинамики было сформулировано чуть 
более ста лет назад. Оно утверждает следующее: независимо 
от начального состояния изолированной (замкнутой) системы, 
в конце концов в ней установится термодинамическое равновесие. 
При этом термодинамическое равновесие подчиняется свойству 
транзитивности, т.е. если система A находится в термодинамиче-
ском равновесии с системой B, а та, в свою очередь, с системой C, 
то система A находится в равновесии с системой C. A, B и C можно 
считать как отдельными системами, так и частями одной равнове-
сной системы.

Первое начало термодинамики было сформулировано в сере-
дине XIX века. Согласно этому закону система может совершать 
работу только за счет своей внутренней энергии или каких-либо 
внешних источников энергии. Первое начало термодинамики часто 
формулируют как невозможность существования вечного двига-
теля первого рода, который совершал бы работу, не черпая энергию 
из какого-либо источника.
Второе начало термодинамики гласит, что невозможен само-
произвольный переход тепла от тела, менее нагретого, к телу, более 
нагретому. Одна из формулировок второго начала термодинамики 
основывается на понятии энтропии: энтропия изолированной 
системы не может уменьшаться (закон неубывания энтропии). 
Второе начало термодинамики часто формулируют как невозмож-
ность существования вечного двигателя второго рода, который 
имеет коэффициент полезного действия, равный единице, т.е. дви-
гателя, который превращает в работу все сто процентов теплоты.
В своей Гиффордовской лекции «Природа физического мира» 
известный английский астрофизик Артур Стэнли Эддингтон 
(1882–1944) утверждал, что закон возрастания энтропии занимает 
высшее положение среди других законов природы. По его мнению, 
если обнаружится, что какая-нибудь теория вселенной противо-
речит второму началу термодинамики, то такой теории «не оста-
ется ничего другого, как погибнуть в глубочайшем смирении».
Третье начало термодинамики гласит, что приращение эн-
тропии при абсолютном нуле температуры стремится к конечному 
пределу, не зависящему от того, в каком равновесном состоянии на-
ходится система. Из третьего начала термодинамики следует, что 
невозможно достичь абсолютного нуля температуры ни в каком 
конечном процессе, связанном с изменением энтропии. К абсо-
лютному нулю температуры можно лишь приблизиться. Поэтому 
третье начало термодинамики иногда формулируют как принцип 
недостижимости абсолютного нуля температуры.
Очевидно, энтропия играет особую роль в термодинамике. 
Однако энтропия нашла широкое применение не только в термо-
динамике, но и во многих отраслях знания. При этом смысл тер-
мина «энтропия» существенно различается в различных научных 
областях. Так, если в статистической физике энтропия — это мера 
возможности осуществления какого-либо макроскопического со-
стояния, то в теории информации энтропия — это мера неполноты 
информации (знаний), а, например, в исторической науке энтропия 
служит мерой феномена альтернативности (вариативности) исто-
рического процесса.

Подобно синергетике, изучающей общие закономерности яв-
лений и процессов, протекающих в сложных неравновесных сис-
темах, на основах присущих им принципов самоорганизации, 
энтропийный подход следует признать междисциплинарным на-
правлением науки. Действительно, принципы поведения систем, 
состоящих из многих элемен тов, мало зависят от природы этих 
систем, по это му для моделирования поведения таких систем может 
быть пригоден общий математический аппарат.
Применение энтропийного подхода позволяет получить ин-
тересные результаты при анализе временных рядов, в частности 
при моделировании поведения различных инструмен тов на фи-
нансовых рынках, а также при моделировании процессов принятия 
управленческих решений в экономике.
Подчеркнем, что энтропийный подход является довольно 
сложной областью науки. В случае обращения к нему, в том числе 
и в случае обращения к нему в экономических исследованиях, не-
обходимо применять системный анализ, знать границы использо-
вания энтропийного подхода. Весьма упрощенные методики при-
менения энтропийного подхода в экономике могут вызвать угрозу 
ошибки, принятие неверного управленческого решения.
В монографии особое внимание уделено изучению разнооб-
разных аспектов применения энтропийного подхода в экономико-
математическом моделировании, что объясняется сферой научных 
интересов авторов. Применение энтропийного подхода, именно бла-
годаря его универсальности, возможно при моделировании самых 
различных экономических систем (точнее, их поведения), явлений 
и процессов. В частности, различные виды энтропии могут быть ис-
пользованы для анализа характеристик инструмен тов финансовых 
рынков, для анализа временных рядов, а также для теоретико-игро-
вого моделирования процессов принятия решений.
Монография состоит из четырех разделов (глав): «Эволюция 
взглядов на понятие энтропии» (М.Ю. Куссый, А.В. Сигал), «При-
менение энтропии для моделирования процессов на финансовых 
рынках» (М.Ю. Куссый), «Энтропия и рекуррентный анализ вре-
менных рядов в экономике» (О.Л. Королев), «Применение эн-
тропии для игрового моделирования распределения ресурсов» 
(А.В. Сигал).
Авторы надеются, что монография будет полезна ученым, спе-
циалистам-практикам, преподавателям вузов, аспирантам, сту-
дентам, а также всем, кто интересуется вопросами моделирования 
процессов принятия управленческих решений.