Расчёт показателей надёжности тягового подвижного состава. Часть 2. Расчет показателей надёжности сложных систем

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное 

образовательное учреждение

высшего образования

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА» 

Кафедра «Электропоезда и локомотивы»

РАСЧЁТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЁЖНОСТИ ТЯГОВОГО 

ПОДВИЖНОГО СОСТАВА

ЧАСТЬ 2

РАСЧЁТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЁЖНОСТИ СЛОЖНЫХ 

СИСТЕМ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

по дисциплине

«Надёжность подвижного состава»

МОСКВА – 2020

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное 

образовательное учреждение

высшего образования

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА» 

Кафедра «Электропоезда и локомотивы»

РАСЧЁТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЁЖНОСТИ ТЯГОВОГО 

ПОДВИЖНОГО СОСТАВА

ЧАСТЬ 2

РАСЧЁТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЁЖНОСТИ СЛОЖНЫХ 

СИСТЕМ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

для студентов специальности

«Подвижной состав железных дорог»

МОСКВА – 2020

УДК 629.423
Р 24

Расчёт показателей надёжности тягового подвижного 

состава. Часть 2. Расчет показателей надёжности сложных 
систем / Воробьёв А.А., Горский А.В., Скребков А.В., Маяков 
Д.М.: Учебное пособие. – М.: РУТ (МИИТ), 2020. – 88 с.

Настоящее 
учебное 
пособие 
посвящено 
расчёту 

комплексных показателей надёжности и надёжности сложных 
систем. В пособии приведены методы и практические примеры 
расчета 
надёжности 
с 
применением 
теории
марковских 

процессов, 
показателей 
безотказности 
систем 
при 

последовательном, параллельном и смешанном соединении 
элементов. 
Представлена 
методика 
расчёта 
показателей 

безотказности и долговечности оборудования подвижного 
состава 
по 
информации 
о 
контролируемых 
параметрах, 

характеризующих 
техническое 
состояние 
оборудования 

подвижного 
состава. 
Приведены 
примеры 
выполнения 

индивидуальных заданий. Учебное пособие предназначено для 
студентов вузов железнодорожного транспорта, обучающихся 
по направлению «Подвижной состав железных дорог», может 
быть полезно специалистам, деятельность которых связана с 
эксплуатацией, 
анализом 
надёжности, 
техническим 

обслуживанием и ремонтом подвижного состава.

Рецензенты: Попов Ю. И, директор ПКБ ЦТ ОАО «РЖД»,
Шеремет 
Н.
М, 
профессор, 
заведующий 
кафедрой 

«Экономика» РАПС РУТ (МИИТ).

© РУТ (МИИТ), 2020

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Основы теории марковскких процессов .……................. 4

2. Расчёт 
показателей 
безотказностей 
систем 
при 

последовательном, параллельном и смешанном соединении 

элементов..………………………......................................……….11

3. Примеры расчёта надёжности систем с использованием 

теории непрерывных марковских процессов...............................27

4. Определение показателей безотказности оборудования 

подвижного 
состава 
по 
информации о 
контролируемых 

параметрах.......................................................................................48

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ……………………......................72

ПРИЛОЖЕНИЯ…………………...........................................73

1. Основы теории марковских процессов

Марковским называется такой процесс перехода объекта 

или системы из одного состояния в другое, в котором 
вероятности 
перехода 
зависят 
от 
того, 
между 
какими 

состояниями осуществляется переход, и не зависят от того, 
каким образом рассматриваемая система попала в то состояние, 
из которого осуществляется переход. Последнее свойство 
называется 
отсутствием 
последействия, 
или 
отсутствием 

«памяти» у рассматриваемого процесса.

Марковский процесс задаётся в виде матрицы вероятностей 

переходов и (или) в виде графа переходов, что являются 
равносильными, то есть если задана матрица, то по ней легко 
построить граф переходов и наоборот.

Для того, чтобы марковский процесс был полностью 

определен, кроме матрицы вероятностей (графа) переходов, 
необходимо задать начальное условие, то есть указать 
вероятности, с которыми рассматриваемая система находилась в 
каждом из состояний на нулевом шаге процесса, где под шагом 
понимается один переход системы из состояния i в состояние j , 

в том числе и в случае, когда i
j

.

Обычно на нулевом шаге фиксируется одно из состояний, 

то есть его вероятность считается равной 1, а вероятности всех 
остальных состояний равны 0.

Обозначим 
 
i k

– вероятность того, что рассматриваемая 

система находится в состоянии i на k -ом шаге процесса.

Начальные условия задаются в виде вектора-строки, 

компонентами которого являются вероятности 
(0),
1,2,...,
i
i
n


.

Если известна матрица вероятностей или граф переходов и 

задан вектор распределения вероятностей 
 
0
i
(начальные 

условия), то можно рассчитать вероятности, с которыми система 

будет находиться в одном из состояний на любом шаге 
процесса.

В общем виде для системы, имеющей n
различных 

состояний, сумма финальных вероятностей всех состояний 
равна 1:

1

1

n

i

i

 

.
(1.1)

Алгоритм расчета вероятностей состояний системы можно 

представить в виде следующей рекуррентной формулы:

1

(
1)
( )

n

j
i
ij

i

k
k









,
(1.2)

где 
(
1)
j k


–
вероятность того, что система будет 

находиться в j -ом состоянии (
1, 2,..., )
j
n

на (
1)
k 
-ом шаге 

процесса переходов;

( )
i k

– вероятность того, что система находится в i -ом 

состоянии (
1, 2,..., )
i
n

на k -ом шаге;

ij

– вероятность перехода из i -го состояния в 
j -е;

n – число различных состояний системы.
Формула (1.2) носит название уравнения Маркова в честь 

российского ученого А.А. Маркова (1856 – 1922), который 
впервые разработал математический аппарат исследования 
особого вида случайных процессов, которые впоследствии были 
названы марковскими.

Пример. Система имеет три возможных состояния. Задана 

матрица переходов, элементами которой являются вероятности 
перехода системы из каждого рассматриваемого состояния в 
другие состояния.

Исходные данные:

Pij =

0,21
0,69
0,1

0,41
0,2
0,39

0,49
0,24
0,27

Необходимо:
1. Составить граф переходов для заданной матрицы 

переходов.

2. Записать уравнения Маркова для рассматриваемого 

графа переходов.

3. Задаться начальными условиями (произвольно).
4. Рассчитать вероятности нахождения системы в каждом 

состоянии до момента, когда эти вероятности перестанут 
изменяться с увеличением номера шага расчета.

5. Построить 
зависимости 
вероятностей 
нахождения 

системы в каждом из состояний от номера шага расчета.

Решение:
1. Составим граф переходов для заданной матрицы 

переходов (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Граф переходов системы

2. Зададимся начальными условиями:

1

1

n

i

i

 

;

1

(
1)
( )

n

j
i
ij

i

k
k









;

 
1 0
1

 ;

 
2 0
0


;

 
3 0
0


.

3. Запишем уравнения Маркова для рассматриваемого 

графа переходов и рассчитаем вероятности нахождения системы 
в каждом состоянии до момента, когда эти вероятности 
перестанут изменяться с увеличением номера шага расчета:

 
 
 
 
1
1
11
2
21
3
31
1
0
0
0

1 0,21
0,21;


 

 

 



 


 
 
 
 
2
1
12
2
22
3
32
1
0
0
0

1 0,69
0,69;


 

 

 



 


 
 
 
 
3
1
13
2
23
3
33
1
0
0
0

1 0,1
0,1;


 

 

 



 


 
 
 
 
1
1
11
2
21
3
31
2
1
1
1

0,21 0,21
0,69 0,41
0,1 0,49
0,376;


 

 

 











 
 
 
 
2
1
12
2
22
3
32
2
1
1
1

0,21 0,69
0,69 0,2
0,1 0,24
0,3069;


 

 

 











 
 
 
 
3
1
13
2
23
3
33
2
1
1
1

0,21 0,1
0,69 0,39
0,1 0,27
0,3171;


 

 

 











 
 
 
 
1
1
11
2
21
3
31
3
2
2
1

0,376 0,21
0,3069 0,41
0,3171 0,49
0,36;


 

 

 











 
 
 
 
2
1
12
2
22
3
32
3
2
2
2

0,376 0,69
0,3069 0,2
0,3171 0,24
0,4;


 

 

 











 
 
 
 
3
1
13
2
23
3
33
3
2
2
2

0,376 0,1
0,3069 0,39
0,3171 0,27
0,24;


 

 

 











 
 
 
 
1
1
11
2
21
3
31
4
3
3
3

0,36 0,21
0,4 0,41
0,24 0,49
0,3572;


 

 

 











 
 
 
 
2
1
12
2
22
3
32
4
3
3
3

0,36 0,69
0,4 0,2
0,24 0,24
0,386;


 

 

 











 
 
 
 
3
1
13
2
23
3
33
4
3
3
3

0,36 0,1
0,4 0,39
0,24 0,27
0,3568;


 

 

 











 
 
 
 
1
1
11
2
21
3
31
5
4
4
4

0,3572 0,21
0,386 0,41
0,2568 0,49
0,359;


 

 

 











 
 
 
 
2
1
12
2
22
3
32
5
4
4
4

0,3572 0,69
0,386 0,2
0,2568 0,24
0,385;


 

 

 











 
 
 
 
3
1
13
2
23
3
33
5
4
4
4

0,3572 0,1
0,386 0,39
0,2568 0,27
0,256;


 

 

 











 
 
 
 
1
1
11
2
21
3
31
6
5
5
5

0,359 0,21
0,385 0,41
0,256 0,49
0,359;


 

 

 











 
 
 
 
2
1
12
2
22
3
32
6
5
5
5

0,359 0,69
0,385 0,2
0,256 0,24
0,386;


 

 

 











 
 
 
 
3
1
13
2
23
3
33
6
5
5
5

0,359 0,1
0,385 0,39
0,256 0,27
0,255;


 

 

 











 
 
 
 
1
1
11
2
21
3
31
7
6
6
6

0,359 0,21
0,386 0,41
0,255 0,49
0,359;


 

 

 











 
 
 
 
2
1
12
2
22
3
32
7
6
6
6

0,359 0,69
0,386 0,2
0,255 0,24
0,386;


 

 

 











 
 
 
 
3
1
13
2
23
3
33
7
6
6
6

0,359 0,1
0,386 0,39
0,255 0,27
0,255.


 

 

 











4. 
Построим 
зависимости 
вероятностей 
нахождения 

системы в каждом из состояний от номера шага расчета:

Рис. 1.2. Зависимости вероятностей нахождения системы в 

каждом из возможных состояний от номера шага развития 

процесса

На основании полученных результатов можно сделать 

вывод, что по мере увеличения шага k вероятность нахождения 
системы в одном из возможных состояний стремится к 
фиксированной постоянной величине.

Из рис. 1.2 видно, что вероятности каждого из состояний 

после 6-го шага практически перестают изменяться, принимают 
так называемые установившиеся или финальные значения, то 
есть наступает установившийся режим функционирования 
системы.

Установившийся режим существует только у таких систем, 

у которых граф переходов является связным, то есть из любого 
состояния система может перейти в любое другое состояние за 
конечное число шагов.

Граф 
переходов 
рассматриваемой 
системы 
является 

связным, так как все переходы из одного состояния в другое 
осуществляются за один шаг, кроме перехода из первого