Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. Курс лекций и сборник задач

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное 
учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

                                                                                                                   

А. И. Ефимов

Числовые и функциональные ряды. 
Тригонометрические ряды Фурье. 
Курс лекций и сборник задач.

Учебное пособие

                                             
Ростов-на-Дону – Таганрог
Издательство Южного федерального университета
2020

УДК 517.521+517.518.45(075.8)
ББК 22.162я73
    Е91

Печатается по решению кафедры прикладной информатики и инноватики
Института высоких технологий и пьезотехники  
Южного федерального университета (протокол № 7 от 08 февраля 2020 г.)

 

Рецензенты:
к.т.н., преподаватель Политехнического института(филиал) ДГТУ 
в г. Таганроге Л. И . Замкова;
к.ф.-м.н., доцент кафедры дифференциальных и интегральных уравнений 
института математики, механики и компьютерных наук 
им. И. И. Воровича ЮФУ, В. М. Каплицкий

 
    Ефимов, А. И.
Е91          Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. 
Курс лекций и сборник задач : учебное пособие / А. И. Ефимов ;
Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство 
Южного федерального университета, 2020. – 232 с.
ISBN 978-5-9275-3680-1 

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов бакалавриата,
обучающихся по направлениям 09.03.03 - прикладная информатика и 27.03.05
- инноватика. Пособие содержит теоретический и практический материал по
следующим разделам высшей математики: числовые ряды, функциональные
последовательности и ряды, тригонометрические ряды Фурье. Материал разбит 
на четыре главы, первая из которых содержит необходимый теоретический 
материал по теории пределов, а три остальные соответствуют вышеуказанным 
разделам высшей математики и содержат теорию, подбор задач с подробно 
разобранными решениями и большой выбор задач, предлагаемых для
решения студентам. Основным отличием данного учебного пособия от аналогичных 
изданий является     полнота подачи материала, которая позволяет студенту 
самостоятельно изучить соответствующие разделы высшей математики
полностью или восполнить пробелы в знаниях. Пособие отражает опыт преподавания 
автором курса высшей математики в институте высоких технологий и
пьезотехники ЮФУ.
Публикуется в авторской редакции.

УДК 517.521+517.518.45(075.8)
ББК 22.162я73

ISBN 978-5-9275-3680-1  
© Южный федеральный университет, 2020
© Ефимов А. И., 2020

Оглавление

1
Основные сведения из теории пределов.
5

1.1
Предел функции.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

1.1.1
Основные определения
. . . . . . . . . . . . . .
5

1.1.2
Предел последовательности
. . . . . . . . . . .
6

2
Числовые ряды.
10

2.1
Определение ряда и его сходимость . . . . . . . . . . .
10

2.2
Свойства числовых рядов. . . . . . . . . . . . . . . . .
11

2.3
Положительные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

2.4
Ряды произвольных знаков.
. . . . . . . . . . . . . . .
20

2.5
Свойства сходящихся рядов
. . . . . . . . . . . . . . .
24

2.6
Положительные ряды. Практические задачи.
. . . . .
27

2.7
Ряды с произвольными членами. Практические задачи. 57

3
Функциональные последовательности и ряды.
87

3.1
Определение сходимости функциональных последовательностей 
и рядов.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

3.2
Равномерная сходимость. . . . . . . . . . . . . . . . . .
88

3.3
Функциональные свойства суммы ряда. . . . . . . . . .
92

3

Оглавление

3.4
Степенные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

3.5
Свойства степенных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.6
Функциональные последовательности. Практические задачи. . . . . . . . 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.7
Функциональные ряды. Практические задачи. . . . . . 133

3.8
Степенные ряды. Практические задачи.
. . . . . . . . 166

4
Ряды Фурье.
192

4.1
Тригонометрические ряды Фурье. . . . . . . . . . . . . 192

4.2
Почленное дифференцирование и интегрирование рядов 
Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

4.3
Тригонометрические ряды Фурье в случае произвольного 
интервала. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4.4
Комплексная запись рядов Фурье. . . . . . . . . . . . . 201

4.5
Разложение функций в ряд Фурье. Практические задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
202

5
Приложения.
210

5.1
Приложение А. Соотношения эквивалентности. . . . . 210

5.2
Приложение Б. Таблица производных.
. . . . . . . . . 211

5.3
Приложение В. Таблица интегралов.
. . . . . . . . . . 212

6
Ответы.
221

4

Основные сведения из

теории пределов.

1.1
Предел функции.

1.1.1
Основные определения

Определение 1.1 (см. [2]) Окрестностью точки a на числовой

прямой будем называть любой интервал, центром которого является 
точка a.

Будем обозначать окрестность точки a: Ua.

Определение 1.2 Пусть задано два множества числовой прямой

X, Y. Будем говорить, что задана функция f, действующая из множества 
X в множество Y, если каждой точке x множества X,

ставится в соответствие точка y множества Y. И будем обозначать 
f : X −→ Y.

Замечание 1.1 Согласно определению функция однозначно определяется 
множеством X, являющимся областью определения функ-

5

Основные сведения из теории пределов.

ции f, множеством Y, являющимся областью допустимых значений 
функции f, и законом, по которому каждой точки x из X

ставится в соответствие точка y из Y.

Определение 1.3 Пусть задана функция f, действующая из множества 
натуральных чисел в множество действительных чисел

f : N −→ R, тогда f(n)− будем называть числовой последовательностью 
и обозначать xn.

1.1.2
Предел последовательности

Определение 1.4 (см. [2]) Будем говорить, что последовательность 
xn имеет предел при n −→ ∞, равный a (стремится к a),

если для любой окрестности точки a Ua (∀ Ua) существует номер 
m (∃ m) такой, что для всех n > m (∀ n > m) выполняется

xn ∈ Ua. И будем обозначать:

lim
n−→∞ xn = a
или же
xn−→a
n→∞

Замечание 1.2 Пусть длина интервала Ua равна 2ε, тогда условие 
x ∈ Ua равносильно неравенству |x − a| < ε (окрестность при

этом удобно обозначать Ua(ε)). Тогда определение предела последовательности 
можно сформулировать следующим образом: Будем

говорить, что последовательность xn имеет предел при n −→ ∞,

равный a, если

∀ε > 0 ∃m > 0 : ∀n > m |xn − a| < ε.

6

1.1 Предел функции.

Свойства пределов числовых последовательностей.

Свойство 1.1 Пусть все элементы числовой последовательности

xn равны a, тогда lim
n−→∞ xn = a.

Свойство 1.2 Пусть lim xn = a и lim yn = b, тогда

lim(xn + yn) = a + b.

Свойство 1.3 Пусть lim xn = a и lim yn = b, тогда

lim(xn · yn) = a · b.

Свойство 1.4 Пусть lim xn = a и lim yn = b ̸= 0, тогда

lim xn

yn
= a

b.

Определение 1.5 Последовательность {xn}∞
n=1 будем называть бес-

конечно малой, если ∃ lim
n→∞ xn = 0.

Определение 1.6 Последовательность {xn}∞
n=1 будем называть бес-

конечно большой, если

∀C > 0 ∃m : ∀n > m |xn| > C.

При этом будем говорить, что последовательность {xn}∞
n=1 расхо-

дится к бесконечности и будем писать

lim
n→∞ xn = ∞

Определение 1.7 Если для последовательности {xn}∞
n=1 выполня-

ется следующее ∀C ∃m : ∀n > m xn > C, то будем писать

lim
n→∞ xn = +∞

7

Основные сведения из теории пределов.

Определение 1.8 Если для последовательности {xn}∞
n=1 выполня-

ется следующее ∀C ∃m : ∀n > m xn < C, то будем писать

lim
n→∞ xn = −∞

Определение 1.9 Последовательность {xn}∞
n=1 будем называть огра-

ниченной, если ∃M1, M2 : ∀n M1 < xn < M2. При этом число M1

будем называть нижней границей последовательности, а число M2

верхней границей последовательности.

Замечание 1.3 Если положить M = max {|M1| , |M2|} , то полу-

чим равносильную определению формулировку

∃M > 0 ∀n |xn| < M.

Определение 1.10 Последовательность {xn}∞
n=1 будем называть

ограниченной сверху, если ∃M : ∀n xn < M. Соответственно M

является верхней границей последовательности.

Определение 1.11 Последовательность {xn}∞
n=1 будем называть

ограниченной снизу, если ∃M :
∀n M < xn. Соответственно M

является нижней границей последовательности.

Свойство 1.5 Пусть lim
n→∞ xn = a и a < p (a > q), тогда

∃m : ∀n > m xn < p (xn > q).

Свойство 1.6 Пусть lim
n→∞ xn = a и xn ⩽ p (xn ⩾ q), тогда

a ⩽ p (a ⩾ q).

8

1.1 Предел функции.

Лемма 1.1 (Первая лемма о предельном переходе в неравенстве.)

Пусть lim xn = a
lim yn = b
и ∃m :
∀n > m xn ⩽ yn, тогда a ⩽ b.

Лемма 1.2 (Вторая лемма о предельном переходе в неравенстве.)

Пусть ∃m :
∀n > m xn ⩽ yn ⩽ zn и lim
n→∞ xn = a,
lim
n→∞ zn = a, то-

гда lim
n→∞ yn = a

Определение 1.12 Последовательность {xn}∞
n=1 будем называть

монотонно возрастающей (убывающей), если

∀n xn < xn+1 (∀n xn > xn+1).

Определение 1.13 Последовательность {xn}∞
n=1 будем называть

монотонно неубывающей (невозрастающей), если

∀n xn ⩽ xn+1 (∀n xn ⩾ xn+1).

Лемма 1.3 (Лемма о монотонной последовательности.) Монотонно неубывающая 
ограниченная сверху последовательность имеет конечный

предел.

9

Числовые ряды.

2.1
Определение ряда и его

сходимость

Определение 2.1 (см. [1, 3]) Пусть задана последовательность

действительных чисел {an}∞
n=1 сумма следующего вида

a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · ,

называется числовым рядом (или просто рядом) и обозначается

∞
n=1
an,
(2.1)

а число an – его n-м членом n = 1, 2, 3, . . .

Определение 2.2 (см. [1, 3]) Сумма чисел

Sn =

n
k=1
ak,
(2.2)

называется n-й частичной суммой ряда 2.1.

10

2.2 Свойства числовых рядов.

Определение 2.3 (см. [1, 3]) Сумма чисел

rn =

∞
k=n+1
ak,
(2.3)

называется n-м остатком ряда 2.1.

Замечание 2.1 Очевидно остаток ряда rn, тоже является рядом

члены которого равны a′
k = an+k, k = 1, 2, 3, . . . .

Определение 2.4 (см. [1, 3]) Ряд 2.1 называется сходящимся, если 
последовательность его частичных сумм {Sn} сходится. В противном 
случае говорят, что ряд расходится. Если ряд сходится,

то предел

S = lim
n→∞ Sn

называют его суммой и пишут

S =

∞
n=1
an

2.2
Свойства числовых рядов.

Свойство 2.1 Остаток ряда rn сходится тогда и только тогда,

когда сходится сам ряд
∞
n=1
an.

Доказательство.

Пусть rn сходится, это означает сходимость частичных сумм S′
m =
n+m
k=n+1
ak к некоторому числу S′. Тогда частичные суммы Sm = Sn+S′
m

11

Числовые ряды.

сходятся при m → ∞ к Sn + S′, согласно свойству 1.2 на странице 7.

Обратно, пусть ряд сходится, представим частичные суммы S′
m как

разность Sm − Sn и устремив m в бесконечность получим необходимое.


Свойство 2.2 Если числовой ряд сходится, то lim
n→∞ rn = 0

Доказательство.

Согласно предыдущему свойству, ряд rn сходится и выполняется

равенство rn = S − Sn. Тогда lim
n→∞ rn = S − lim
n→∞ Sn = S − S = 0.

Свойство 2.3 Если ряд
∞
n=1
an сходится, то сходится и ряд
∞
n=1
can

и его сумма равна cS, где S сумма исходного ряда.

Доказательство.

Частичные суммы ряда
∞
n=1
can есть не что иное как cSn, а предел

данных частичных сумм равен cS.

Свойство 2.4 Пусть ряды
∞
n=1
an и
∞
n=1
bn сходятся, тогда сходится 
и ряд
∞
n=1
(an + bn) и его сумма равна сумме исходных рядов.

Доказательство.

Пусть суммы рядов
∞
n=1
an и
∞
n=1
bn соответственно равны S и S′,

а их частичные суммы Sn и S′
n. Очевидно, что частичная сумма
nk=1
(ak + bk) равна Sn + S′
n. Переходя к пределу при n стремящем-

ся к бесконечности и используя свойство 1.2, получим сходимость

ряда
∞
n=1
(an + bn) и его сумма равна S + S′.

12