Течения жидкостей и газов. Теоретические основы и эксперимент

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное 
учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А. А. Бондарчук

ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ. 
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 
И ЭКСПЕРИМЕНТ 

Учебное пособие

Ростов-на-Дону – Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2021

УДК 531+532(075.8)
ББК 22.2+22.253.3 я73
 
Б81

Печатается по решению кафедры теоретической и компьютерной 
гидроаэродинамики Института математики, механики 
и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального 
университета (протокол № 5 от 23 января 2020 г.)

Рецензенты:
профессор кафедры дифференциальных и интегральных уравнений 
ИММиКН им. И. И. Воровича ЮФУ,
доктор физико-математических наук Н. В. Боев;
ведущий научный сотрудник ЮНЦ РАН,
кандидат физико-математических наук Д. Н. Шейдаков

Бондарчук, А. А.
Течения жидкостей и газов. Теоретические основы и эксперимент : 
учебное пособие / А. А. Бондарчук ; Южный федеральный 
университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство 
Южного федерального университета, 2021. – 132 с.
ISBN 978-5-9275-3632-0

В учебном пособии излагаются базовые сведения по выводу и использованию основных 
моделей жидких и газообразных сред для выполнения аналитических, численных и 
экспериментальных исследований. Последовательно рассматриваются следующие темы: 
молекулярно-кинетическая теория газов, использование законов сохранения для вывода 
дифференциальных уравнений движения жидких и газовых сред, особенности работы с 
моделями несжимаемых жидкостей, основы газовой динамики. Изложение основ молекулярно-
кинетической теории демонстрирует прямую связь между принципами классической 
механики и гидроаэродинамики. Пособие содержит контрольные задания.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям образовательных программ 
бакалавриата 01.03.03 «Механика и математическое моделирование» (дисциплина «
Экспериментальные методы в гидроаэродинамике») и 01.03.02 «Прикладная математика 
и информатика» (дисциплина «Механика жидкости и газа: теория и компьютерный 
эксперимент»).

Б81

ISBN 978-5-9275-3632-0

УДК 531+532(075.8)
ББК 22.2+22.253.3 я73
© Южный федеральный университет, 2021
© Бондарчук А. А., 2021
©  Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ..............................................................................................5

Глава 1. Молекулярно-кинетическая теория ...........................6
1.1.  Основные понятия ................................................................6
1.2. Столкновения между частицами......................................10
1.3. Распределение скоростей у частиц разной массы ..........13
1.4. Взаимодействие газа с неподвижной 
твердой стенкой ..................................................................15
1.5. Взаимодействие газа 
с движущейся твердой стенкой .........................................17
1.6. Численное моделирование ................................................18
Контрольные задания к главе 1 ...............................................20

Глава 2. Вывод уравнений основных моделей .......................23
2.1. Общая схема вывода ..........................................................24
2.2. Выбор малого объема .........................................................24
2.3. Закон сохранения массы 
в дифференциальной форме .............................................25
2.4. Закон изменения количества движения 
в дифференциальной форме .............................................28
2.5. Закон изменения энергии 
в дифференциальной форме .............................................38
2.6. Итоговый вид уравнений 
четырех основных моделей ...............................................44
Контрольные задания к главе 2 ...............................................46

Глава 3. Течения несжимаемой жидкости ..............................49
3.1. Гидростатика ......................................................................49
3.2. Уравнение вихрей ..............................................................51
3.3. Безвихревые течения жидкости .......................................53

Оглавление

4

3.4. Плоские течения жидкости ...............................................55
3.5. Плоские безвихревые течения жидкости ........................56
3.6. Примеры комплексных потенциалов 
для плоских течений ..........................................................58
3.7. Беcциркуляционное обтекание цилиндра ......................67
3.8. Циркуляционное обтекание цилиндра ...........................72
3.9. Прочие формы применения теории потенциалов ..........74
3.10. Вязкая жидкость ................................................................76
3.11. Течение Пуазейля ..............................................................79
3.12. Безразмерная запись уравнений движения ...................83
Контрольные задания к главе 3 ...............................................86

Глава 4. Течения сжимаемого газа ............................................90
4.1. Идеальный газ ....................................................................90
4.2. Скорость звука ....................................................................96
4.3. Вязкий газ ...........................................................................99
4.4. Аэродинамическое подобие .............................................103
4.5. Численные методы в газовой динамике ........................106
Контрольные задания к главе 4 .............................................114

Литература ......................................................................................116

Приложения ...................................................................................118
Приложение 1. Описание лабораторных работ ....................118
Приложение 2. Работа с ANSYS CFX .....................................123

ВВЕДЕНИЕ

В учебном пособии излагаются основные сведения о теоретиче-
ских и экспериментальных методах исследования и моделирова-
ния течения жидких и газообразных сред.
В первой главе даются базовые знания молекулярно-кинетиче-
ской теории. Хотя данная теория не используется напрямую для 
расчетов, знание ее основ позволяет выстроить непрерывную связь 
между законами теоретической механики и течениями жидких и 
газообразных сред, что улучшает понимание физического смысла 
рассматриваемых величин, используемых формул и происходя-
щих процессов в целом.
Во второй главе демонстрируется вывод уравнений основных 
моделей из законов сохранения. Умение получить систему урав-
нений из базовых принципов дает возможность модифицировать 
эти уравнения при необходимости учета каких-либо специфических 
факторов и процессов, а также выводить уравнения для произвольных 
областей конечной величины, что востребовано при использовании 
метода конечных объемов.
В третьей главе излагаются особенности работы с моделями 
несжимаемой жидкости. Основное внимание уделяется модели с 
самым развитым теоретическим аппаратом – модели идеальной 
жидкости и, в частности, методу комплексного потенциала. Также 
рассматриваются особенности моделирования вязкой жидкости и 
приведение системы уравнений к безразмерному виду.
Четвертая глава посвящена свойствам течений сжимаемого 
газа и особенностям их численного моделирования. Рассматривается 
также теория подобия в приложении к экспериментальному 
моделированию.
Каждая глава содержит контрольные задания. В приложениях 
также приведено более подробное описание заданий, выполняемых 
с использованием лабораторного оборудования, и краткие сведения 
о работе с пакетом для численного моделирования течений 
жидкостей и газов ANSYS CFX.

ГЛАВА 1. 

МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

Течения жидкостей и газов моделируются с помощью системы 
дифференциальных уравнений в частных производных, в которую 
входят уравнения движения (в формулировке Эйлера или Навье – 
Стокса), уравнение неразрывности и, в зависимости от использу-
емой модели, уравнения состояния и баланса энергии. При выво-
де этих уравнений в учебной литературе, как правило, применяют 
один из следующих подходов: а) рассмотрение кинематики жид-
кой частицы с дальнейшим переходом к напряжениям; б) рассмо-
трение действия законов сохранения для малого объема; в) рас-
смотрение простейших форм уравнений, таких как уравнения 
гидростатики, с дальнейшим переходом к последовательно услож-
няющимся вариантам. Все перечисленные подходы обладают од-
ним общим недостатком: несмотря на то, что механика жидкостей 
и газов является естественным продолжением и следует из теоре-
тической механики, две ключевые гидродинамические функции – 
давление и температура, – вводятся максимально абстрактно, без 
связи с уже известными в классической механике терминами (в от-
личие от функций скорости и плотности жидкости, которые явля-
ются обобщением понятий скорости и массы материальной точки). 
Ввиду этого, мы начнем с изложения некоторых элементов моле-
кулярно-кинетической теории, что позволит заполнить этот про-
бел (более подробно с этой теорией можно ознакомиться, напри-
мер, в [17]).

1.1. Основные понятия

В основе молекулярно-кинетической теории лежит упрощен-
ное представление о газе как совокупности хаотически перемеща-
ющихся и сталкивающихся между собой малых частиц, подчиня-
ющихся законам классической механики, без учета их внутренней 

1.1. Основные понятия

7

структуры и состояния, а также статистическим законам, в силу 
большого количества частиц. Рассмотрение статистической компо-
ненты выходит за пределы тематики данного пособия, а вот при-
менение основных законов механики в такой постановке позволяет 
вывести многие принципы газовой динамики (к механике жидко-
сти эта теория малоприменима). Разберем, как понятия классиче-
ской механики транслируются в понятия механики газов.
Как известно, базовыми понятиями в классической механике 
являются масса и скорость, через которые определяются также 
импульс, момент импульса и кинетическая энергия. Для этих ве-
личин существуют законы сохранения, которые определяют, как 
меняются (если вообще меняются) эти величины под действием 
внешних факторов. Выполняются эти законы и для газообразных 
сред, однако, в несколько другом проявлении.

Понятие плотности
В классической механике масса частиц/тел, как правило, 
остается неизменной (исключением являются, например, задачи 
реактивного движения с учетом расхода топлива). В молекулярно-
кинетической теории массы частиц также неизменны и, более того, 
всегда одинаковы для молекул одного газа (химические реакции в 
рамках этой теории мы не рассматриваем). Они могут быть просто 
просуммированы для нахождения массы газа в заданном объеме. 
Распределение же частиц в пространстве может существенно раз-
личаться, для описания чего вводится понятие «плотность», харак-
теризующая концентрацию массы в единице объема (для практи-
ческих задач удобнее работать с распределением массы газа, чем 
с распределением количества частиц) и измеряющаяся в <кг/м3>. 
В случаях, когда газ является смесью двух или более различных 
веществ, может вводиться несколько плотностей/концентраций, 
которые рассматриваются отдельно. В отличие от массы, плотность 
может меняться в процессе сжатия или расширения, а также при 
перемещении и перемешивании объемов газа.
Для перехода от масс отдельных частиц (массу молекул обыч-
но измеряют в атомных единицах массы как сумму атомных весов, 
входящих в молекулу атомов) к измеряемой в привычных едини-
цах плотности используют понятие «моль» – количество вещества, 

Глава 1. Молекулярно-кинетическая теория

8

масса которого в граммах численно равна молекулярной массе. 
В одном моле вещества содержится 6,0221407·1023 молекул (так на-
зываемое число Авогадро). При нормальных условиях один моль 
любого газа будет занимать объем приближенно в 22,414 литров; 
это, в частности, означает, что при равных условиях отношение 
плотностей двух газов будет равно отношению их молекулярных 
весов (усредненных, если газ является смесью). Так, средний моле-
кулярный вес воздуха равен примерно 29 (воздух на три четверти 
состоит из азота N2 с молекулярным весом 28 и на четверть из кис-
лорода O2 с молекулярным весом 32, с незначительными примеся-
ми других газов), а молекулярный вес водяного пара H2O – 18, что 
более чем в полтора раза меньше. В полном соответствии с этими 
числами, водяной пар в полтора раза легче воздуха и в атмосфере 
поднимается вверх до тех пор, пока не начинается его конденса-
ция из-за снижения температуры.

Понятие скорости
Со скоростью ситуация в газах более сложная, и это понятие 
имеет несколько другое значение по сравнению с классической ме-
ханикой. Дело в том, что из-за того, что движущихся частиц огром-
ное количество и направления движения у них различные, боль-
шая часть их импульсов при суммировании взаимно сокращается. 
Оставшийся после сокращения импульс (если он не равен нулю) 
определяет движение воздушных масс как целого, но ничего не го-
ворит нам о скоростях отдельных частиц (что, впрочем, и не требу-
ется, если мы рассматриваем только кинетику газа). Отметим, что 
средняя скорость движения отдельных частиц в газе обычно на-
много выше, чем скорость движения массы газа как целого. Так, 
в воздухе скорость движения молекул составляет сотни метров в 
секунду, примерно в полтора раза больше скорости звука, что на 
один-два порядка превышает скорость ветра.

Понятие температуры
В классической механике у частиц/тел имеется кинетическая 
энергия, которая прямо определяется массой и скоростью движе-
ния (а также вращательной скоростью). Из предыдущего пункта, 
однако, следует, что скорости отдельных частиц газа для нас на-

1.1. Основные понятия

9

прямую ненаблюдаемы, это означает, что мы не можем вывести 
кинетическую энергию из других величин. В то же время среднее 
количество кинетической энергии у частиц газа оказывает самое 
непосредственное влияние на его свойства. Мерой этой усреднен-
ной кинетической энергии является понятие «температура». Тем-
пература измеряется в градусах (для расчетов, как правило, ис-
пользуются градусы Кельвина или градусы Цельсия, равные по 
величине, но имеющие разные точки отсчета), из нее можно полу-
чить количество внутренней энергии газа.

Понятия вязкости, теплопроводности и диффузии
Из-за постоянного хаотичного движения молекул происходит 
постоянное перемешивание вещества, приводящее к выравни-
ванию распределений плотности, импульса и удельной энергии, 
даже при отсутствии заметных потоков газа. Для описания этого 
процесса вводятся три термина: «вязкость» (в применении к дис-
сипации импульса), «теплопроводность» (в применении к диссипа-
ции энергии) и «диффузия» (в применении к диссипации вещества, 
когда рассматривается некоторая неоднородная смесь). Эти терми-
ны близко связаны с понятием трения из классической механи-
ки [3], так, можно сказать, что импульс передается между слоями 
газа за счет трения между ними. Скорость протекания этого про-
цесса подчиняется статистическим законам и описывается эмпи-
рическими формулами. Интенсивность процесса растет с увеличе-
нием скорости движения частиц (то есть температуры), хотя этим 
эффектом зачастую пренебрегают, когда изучаемое течение газа 
происходит в условиях достаточно узкого диапазона возможных 
температур. Интересно, что на интенсивность процесса не влияет 
плотность – дело в том, что хотя с увеличением плотности растет 
число частиц, переносящих с собой вещество, импульс и энергию 
в соседние области пространства, но одновременно уменьшается 
длина свободного пробега молекул, то есть переносимые вещество, 
импульс и энергия попадают в более близкие слои газа. Следует, 
однако, понимать, что этот принцип перестает работать при слиш-
ком малой плотности, когда частицы уже могут перемещаться на 
очень большое расстояние без столкновений, поэтому на границе с 
вакуумом никакого трения быть не может.

Глава 1. Молекулярно-кинетическая теория

10

Понятие давления
Причины возникновения или изменения движения тоже отли-
чаются от тех, что были в классической механике. Если в класси-
ческих задачах причиной движения являются приложенные к ча-
стице/телу силы (которые в том числе могут порождаться другими 
телами, например сила натяжения пружины, реакция опоры или 
сопротивление воздуха), то в молекулярно-кинетической теории из 
постоянно действующих на частицы сил можно выделить только 
дальнодействующие, такие как гравитация и электромагнетизм, 
так как, очевидно, что в ситуации, когда частицы ничем не соеди-
нены и свободно перемещаются в пустоте, больше на них действо-
вать нечему. Если мы не рассматриваем ионизированный газ, то 
и электромагнитные силы отметаются, оставляя только силу тя-
жести. Но и сила тяжести не является определяющим фактором, 
управляющим движением частиц в газе (ее можно вовсе не учитывать, 
если не рассматривается слой воздуха высотой в километры). 
Таким фактором являются многочисленные столкновения между 
частицами, при которых они обмениваются импульсами между 
собой и с окружающими телами. Совокупность таких столкновений 
создает «давление», которое является определяющим фактором 
динамики газов. Давление измеряется в <Па> (паскали, или 
<Н/м2>). Рассмотрим, как происходят столкновения между частицами 
и как они формируют давление и определяют связи между 
различными характеристиками газа.

1.2. Столкновения между частицами

Мы не будем вычислять вероятность столкновения между частицами 
газа, которая зависит от их размеров и скорости, просто 
примем вместо этого, что такие столкновения происходят и часто. 
Также мы будет считать, что процесс удара – абсолютно упругий, 
то есть никак не влияет на внутреннее состояние частиц и меняет 
только их скорость и направление движения. В этом случае состояние 
частиц после удара определяется законом сохранения импульса, 
законом сохранения момента импульса и законом сохранения 
движения. Для простоты рассмотрим лобовой удар, то есть будем 
считать, что частицы перед ударом двигаются по одной прямой на-

1.2. Столкновения между частицами

11

встречу друг другу и по той же прямой друг от друга – после удара 
(столкновения между реальными молекулами, разумеется, это более 
сложный процесс, подробнее об этом можно узнать, например, 
в [12]). Ограничение рассмотрения лобовым ударом позволит нам 
не применять закон о сохранении момента импульса (так как при 
выборе отсчетной точки на той же прямой все моменты будут равны 
нулю как до, так и после удара).
Итак, пусть две материальные частицы массами m1 и m2 двигаются 
навстречу друг другу со скоростями v10i и v20i (v20 – отрицательно), 
где i – единичный вектор направляющей прямой, вдоль 
которой происходит движение. Между ними происходит столкновение, 
после которого их скорости становятся равными v11i и v21i 
(массы частиц не меняются). Согласно закону сохранения количества 
движения должно выполняться
 
1 10
2
20
1 11
2 21
m v
m v
m v
m v



,

откуда можно выразить

 


1 10
2
20
1 11
1
21
20
10
11
2
2

m v
m v
m v
m
v
v
v
v
m
m






.

Далее, по закону сохранения энергии (в данном случае – только 
кинетической) имеем

 

2
2
2
2
10
20
11
21
1
2
1
2
2
2
2
2
v
v
v
v
m
m
m
m



,

или, с учетом полученного выражения для v21,

 





2
2
2
2
2
2
1
1
1 10
2 20
1 11
2
20
20
10
11
10
11
2
2
2
2m
m
m v
m v
m v
m
v
v
v
v
v
v
m
m














,

что можно привести к виду

 








2
2
1
1
1
20
10
11
10
11
10
11
10
11
2
2
2
2
2
0
m
m
m
v
v
v
v
v
v
v
v
v
m
m
m







.

Все слагаемые этого уравнения содержат множитель (v10 – v11), 
что неудивительно, так как формально сохранение исходного состояния (
v10 = v11 и v20 = v21) удовлетворяет законам сохранения. 
Если бы частицы могли просто пройти насквозь друг друга без взаимодействия, 
то такой вариант мог бы реализовываться, но в рам-

Глава 1. Молекулярно-кинетическая теория

12

ках классической механики это невозможно, поэтому мы можем отбросить 
это решение. В этом случае после упрощения уравнения 
останется

 




1
20
10
11
10
11
2
2
0
m
v
v
v
v
v
m





,

откуда получаем

 





1
10
20
10
1
2
2 20
2
11
1
2
1

2

1
2
2

1

m
v
v
v
m
m
m v
m
v
m
m
m
m






















,

или, окончательно для v11 и v21 находим

 
2
1
2
11
20
10
1
2
1
2

2m
m
m
v
v
v
m
m
m
m





, 
(1.1)

 
1
1
2
21
10
20
1
2
1
2

2m
m
m
v
v
v
m
m
m
m





.

Если массы частиц близки между собой, то множители при первых 
слагаемых стремятся к единице, а при вторых – к нулю, что 
соответствует обмену скоростями между частицами без изменения 
их величины (v11 = v20, v21 = v10).
Отметим, что полученные соотношения выводились для случая 
лобового удара, то есть такого столкновения, при котором скоро-
сти направлены вдоль линии, проходящей через центры частиц и 
точку касания. Если удар не является чисто лобовым (это возмож-
но только когда размеры частиц конечны, но в ином случае стол-
кновения вообще не происходили бы, так как координаты точек 
никогда не совпадут с абсолютной точностью), то можно показать, 
что выведенные формулы справедливы для проекций скоростей на 
линию, соединяющую центры частиц (и точку касания), в то вре-
мя как остальные проекции скорости остаются неизменными по-
сле удара. После многократных повторений столкновений между 
частицами, распределение их скоростей приходит в соответствие 
с законами статистики, независимо от начального состояния. При 
этом существует некоторая усредненная величина скорости, и чем