Математические основы проектирования радиоэлектронных систем и комплексов

 

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

Федеральное государственное автономное образовательное 

учреждение высшего образования 

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

Инженерно-технологическая академия 

 
 
 
 
 
 

О. А. УСЕНКО 

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ 

РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ И КОМПЛЕКСОВ 

 
 
 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ростов-на-Дону – Таганрог 

Издательство Южного федерального университета 

2020 
 

УДК 621.396.6.001.2(075.8) 
ББК 32.844я73 
        У745 

Печатается по решению кафедры радиотехнических и 

телекоммуникационных систем Института радиотехнических 

систем и управления Южного федерального университета 

(протокол № 10 от 30 июня 2020 г.) 

 

Рецензенты: 

кандидат технических наук, доцент кафедры информатики 

Таганрогского института имени А. П. Чехова (филиал) «Ростовского  
государственного экономического университета (РИНХ)» С. Г. Буланов 

кандидат технических наук, доцент кафедры радиотехнических и  

телекоммуникационных систем Института радиотехнических систем  

и управления М. В. Потипак 

 

Усенко, О. А. 

У745     Математические основы проектирования радиоэлектронных си-

стем и комплексов : учебное пособие /  О. А. Усенко ; Южный феде-
ральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство 
Южного федерального университета, 2020. – 187 с. 

ISBN 978-5-9275-3636-8 

В учебном пособии представлены приложения основных математических 

методов оптимизации к задачам проектирования радиоэлектронных систем и 
комплексов. Особенности методов показаны на примерах развернутых решений, 
что позволяет использовать пособие как дополнительный материал для самосто-
ятельного изучения дисциплин «Введение в инженерную деятельность», «Проект 
по системам радиосвязи», «Системы автоматизированного проектирования 
РЭС», «Специальные разделы математики». Учебное пособие предназначено для 
бакалавров, специалистов и магистрантов технических вузов. 

 

УДК 621.396.6.001.2(075.8) 

ББК 32.844я73 

ISBN 978-5-9275-3636-8 

© Южный федеральный университет, 2020 
© Усенко О. А., 2020 
© Оформление. Макет. Издательство 

      Южного федерального университета, 2020 

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ ..................................................................................................... 5 

1. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ  
ПОИСКА ГЛОБАЛЬНЫХ ЭКСТРЕМУМОВ ........................................... 7 

1.1. Поиск экстремумов функций одной переменной ..  .............................. 9 
1.2. Поиск экстремумов функций нескольких переменных ..................... 13 
Контрольные вопросы ...................................................  ............................ 18 
Задачи для самостоятельного решения.........................  ............................ 18 

2. МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА  
ДЛЯ ПОИСКА ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ 
ПЕРЕМЕННЫХ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ................................................. 20 

2.1. Конечномерные гладкие задачи с ограничениями в виде равенств .. 21 
2.2. Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами ..... 27 
Контрольные вопросы ...................................................  ............................ 34 
Задачи для самостоятельного решения.........................  ............................ 35 

3. МЕТОДЫ ПАССИВНОГО И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО 
ОДНОМЕРНОГО ПОИСКА....................................................................... 36 

3.1. Метод дихотомии ....................................................  ............................ 36 
3.2. Метод Фибоначчи ...................................................  ............................ 41 
3.3. Метод золотого сечения ..........................................  ............................ 45 
Контрольные вопросы ...................................................  ............................ 49 
Задачи для самостоятельного решения.........................  ............................ 49 

4. МНОГОМЕРНЫЙ ПОИСК. ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ ............... 51 

4.1. Метод релаксации ...................................................  ............................ 51 
4.2. Метод градиента ......................................................  ............................ 54 
4.3. Метод наискорейшего подъема (спуска) ...............  ............................ 58 
4.4. Градиентные методы в задачах с ограничениями  
(метод штрафных функций) ....................................................................... 62 
Контрольные вопросы ...................................................  ............................ 67 
Задачи для самостоятельного решения.........................  ............................ 67 

5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ........ 69 

5.1. Графический метод решения задач линейного программирования .. 69 

Содержание 

4 

5.2. Анализ на чувствительность ..................................  ............................. 76 
5.3. Симплекс-метод. Поиск опорного решения ..........  ............................. 84 
5.4. Искусственное начальное решение (поиск опорного решения) ........ 96 

5.4.1. М-метод (метод больших штрафов) .............................................. 97 
5.4.2. Двухэтапный метод ...................................................................... 101 

5.5. Особые случаи решения задач линейного программирования ........ 104 
Контрольные вопросы ...................................................  ........................... 119 
Задачи для самостоятельного решения ........................  ........................... 120 

6. РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ ........................................... 128 

6.1. Метод северо-западного угла для поиска начального опорного  
плана ........................................................................................................... 133 
6.2. Метод наименьшей стоимости (минимального элемента)  
для поиска начального опорного плана .......................  ........................... 135 
6.3. Приближенный метод Фогеля для поиска начального опорного  
плана ........................................................................................................... 137 
6.4. Метод потенциалов для решения транспортной задачи ................... 139 
Контрольные вопросы ...................................................  ........................... 143 
Задачи для самостоятельного решения ........................  ........................... 143 

7. ВЕНГЕРСКИЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ  
О НАЗНАЧЕНИЯХ ..................................................................................... 146 

Контрольные вопросы ............................................................................... 151 
Задачи для самостоятельного решения .................................................... 152 

8. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ .................................. 155 

Контрольные вопросы ............................................................................... 178 
Задачи для самостоятельного решения .................................................... 178 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ .......................................................................................... 184 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ......................................................................... 185 

 

ВВЕДЕНИЕ 

 

При проектировании радиоэлектронных систем (РЭС) и комплексов 

традиционно основное внимание уделяется техническим вопросам проек-
тирования элементов, блоков, подсистем и системы в целом. Зачастую за 
рамками рассмотрения остается целый спектр вопросов, связанных с выбо-
ром оптимального технического решения, с обеспечением организацион-
ных процедур самого процесса проектирования, влияния параметров внеш-
ней среды и их согласованности с параметрами проектируемой и позже 
эксплуатируемой РЭС, которые все чаще входят в состав сложных, много-
целевых и многофункциональных комплексов. 

Методы оптимизации представляют собой совокупность фундамен-

тальных математических результатов и численных алгоритмов, ориентиро-
ванных на нахождение и идентификацию наилучших вариантов из множе-
ства альтернатив [1, 2, 11]. 

Методы теории оптимизации являются достаточно универсальными и 

используются для определения наилучших в том или ином смысле значе-
ний выходных параметров и характеристик путем целенаправленного из-
менения внутренних параметров устройства (при параметрической оптими-
зации) или структуры устройства (при структурной оптимизации) [14]. 

Среди задач схемотехнического проектирования, которые целесообраз-

но решать с привлечением методов оптимизации, выделяют следующие за-
дачи параметрического синтеза и оптимизации [7]: 

– определение параметров компонентов схемы, обеспечивающих экс-

тремальные характеристики при заданных ограничениях; 

– определение параметров функциональных узлов схем исходя из тре-

бований технического задания на характеристики устройства в целом; 

– адаптация существующих схемных решений с целью подбора пара-

метров, удовлетворяющих новым требованиям к схеме; 

– уточнение значений параметров компонентов схемы, полученных в 

результате ручного инженерного расчета. 

Для схем приемно-усилительной техники оптимизация ведется по от-

ношению к таким выходным параметрам, как [7]: 

– коэффициент усиления и полоса пропускания; 
– форма частотной характеристики; 

Введение 

6 

– устойчивость усилителя или активного фильтра; 
– время запаздывания, длительность фронта импульса. 
Но, как отмечают многие авторы разных поколений [2, 7, 8, 10, 11, 16], 

несмотря на внушительный разработанный математический аппарат и 
формальные процедуры, немаловажное значение всегда будет иметь опыт 
разработчиков и проектировщиков, их умение выделить этапы и задачи, 
которые подлежат оптимизации, корректно сформулировать математическую 
задачу. Многие вопросы по выбору критерия оптимизации, определения 
управляемых и неуправляемых параметров системы и внешней среды, 
влияющей на исследуемую систему, а также задание ограничений, накладываемых 
на варьируемые параметры, требуют особого внимания не только 
в вычислительном, но и понятийном аспекте. Успешное решение отдельной 
или серии оптимизационных задач способствует совершенствованию 
структуры системы и повышает качество функционирования. 

Поскольку задачи оптимизации в приложении к вопросам проектирования 
РЭС и комплексов в учебной литературе еще недостаточно освещены, 
в данном учебном пособии представлены методы решения некоторых задач. 
Это должно повысить доступность излагаемого материала, способствовать 
приобретению практических навыков анализа и синтеза сложных 
систем, продемонстрировать возможности применения методов оптимизации 
к решению инженерных задач, а также предоставить математический 
инструментарий будущим инженерам для решения конкретных прикладных 
задач по оптимизации радиоэлектронных систем и комплексов. 

Для этого была выбрана лаконичная и емкая структура изложения материала, 
состоящая из триады – формализованная постановка задачи – алгоритм 
ее решения – примеры решения. При этом решению задач уделяется 
основное внимание, делаются комментарии по особенностям применения 
алгоритмов. Для закрепления изложенного материала в конце каждой темы 
подобраны задачи для самостоятельного решения и контрольные вопросы. 

 
 

1. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОИСКА 

ГЛОБАЛЬНЫХ ЭКСТРЕМУМОВ 

При проектировании радиоэлектронных систем и комплексов могут 

ставиться различные цели от частичной модернизации уже существующих 
и успешно эксплуатируемых систем до создания принципиально новых 
комплексов. По содержанию решаемых задач процесс проектирования  
радиоэлектронных устройств разбивают на четыре этапа [2]: 1) системо-
техническое 
проектирование; 
2) схемотехническое 
(функциональное)  

проектирование; 
3) техническое 
проектирование 
(конструирование); 

4) технологическая подготовка производства. На каждом из этих этапов 
предусматривается ряд проектных процедур, сводящихся к поиску опти-
мального проектного решения. Если оптимальное решение отыскивается 
по одному критерию, то говорят об однокритериальной оптимизации, если 
одновременно по нескольким – то о многокритериальной оптимизации. 

Например, широко используется оптимизация параметров электронных 

схем с целью наилучшего приближения частотных характеристик к задан-
ным [2]. При этом может потребоваться итерационная, повторяющаяся 
процедура поиска оптимального решения. В зависимости от этапа проекти-
рования, поставленных целей, особенностей реализации радиоэлектронных 
систем и комплексов математическая постановка задачи оптимизации мо-
жет существенно отличаться, как следствие, будут отличаться и методы 
поиска решений. Традиционно задача проектирования оптимальных радио-
электронных систем и комплексов решается классическими методами либо 
численными методами, основанными на использовании ЭВМ и различных 
автоматизированных процедур. Классические методы гарантируют отыс-
кание точных оптимальных решений для математически строго формали-
зованных задач с относительно небольшим количеством параметров, тогда 
как автоматизированным процедурам следует отдавать предпочтение при 
решении задач большой размерности, однако они не всегда гарантируют 
отыскание всех экстремумов или заданную точность. 

Задачи на максимум и минимум изначально формулируются, как пра-

вило, на языке той области, в которой они возникают, а исследуют их сред-
ствами математического анализа. 

Понятие «максимум» произошло от латинского слова «наибольшее», 

«минимум» – от слова «наименьшее». Оба этих понятия объединяются сло-

1. Графоаналитический метод решения задач поиска глобальных экстремумов 

8 

вом «экстремум» (extremum – от лат. «крайнее»). Слово «экстремум», как 
термин, объединяющий понятия «максимум» и «минимум», ввел в упо-
требление Дюбуа Реймон. Ныне раздел анализа, в котором изучают задачи 
на минимум и максимум, называют теорией экстремальных задач. 

Запись задачи в виде 
( )
f x
extr

 означает, что необходимо решить за-

дачу и на минимум, и на максимум. Задачу на максимум всегда можно све-

сти к задаче на минимум, заменив задачу 
( )
max
f x 
 задачей 
( )
f x min, 

где 
( )
( )
f x
f x
 
, и наоборот. С математической точки зрения такой пере-

ход абсолютно правомерен и дает одинаковое решение. Однако следует 
быть осторожным с заменой максимума и минимума решаемой задачи на 
этапе ее формализации. Например, таким математическим приемом можно 
воспользоваться при переходе от задачи максимизации по критерию точно-
сти к минимизации по критерию относительной погрешности, поскольку 
точность измерения – величина, обратная его относительной погрешности 
и высокая точность измерений соответствует малым относительным по-
грешностям. Однако этот прием будет неправомерен при переходе от зада-
чи минимизации затрат к задаче максимизации по критерию прибыли. Эти 
критерии неэквивалентны, так как затраты на проектирование, создание и 
эксплуатацию радиоэлектронных систем и комплексов зависят от одной 
совокупности параметров, а прибыль будет определяться совершенно дру-
гим набором. А если речь идет о военном применении радиоэлектронного 
оборудования, то корректно ли вообще говорить о прибыли от его исполь-
зования? Очевидно, корректность применения тех или иных математиче-
ских процедур будет зависеть от профессиональной компетентности иссле-
дователя, проектировщика, разработчика. 

Для того чтобы можно было в полной мере воспользоваться средствами 

математического анализа, необходимо перевести формулировку задачи на 
язык математического анализа. Такой перевод называется формализацией. 

В общем виде формализованная задача выглядит следующим образом: 

найти экстремум (максимум или минимум) функции f: Х→R, определенном 
на некотором пространстве Х при ограничении x  D (D  X), т.е.  
f(x)  extr, x  D. Для функции одной переменной х = R, для функции не-
скольких переменных X = Rn Х может быть линейным, нормированным или 
топологическим пространством. 

1.1. Поиск экстремумов функций одной переменной  

9 

Пусть f:
n
R
R

 – функция n действительных переменных, обладающая 

некоторой гладкостью. Под гладкостью будем понимать определенную 
дифференцируемость функции. Гладкой конечномерной экстремальной задачей 
без ограничений называется следующая задача: f(x)  extr. При решении 
задачи надо отыскать не только абсолютные (глобальные) экстремумы (
максимумы и минимумы) функции, но и локальные экстремумы. 

Точка xˆ  является точкой локального минимума (максимума) функции f, 

если существует окрестность 


0
U
x x
x





 точки х0 такая, что 

0
( )
(
)
f x
f x

 
 
 


0x
f
x
f

 для любой точки х из этой окрестности. При 

этом будем считать 
0x locextr f. (max f, min f). 

 

1.1. Поиск экстремумов функций одной переменной 

 

Сначала рассмотрим самый простой с математической точки зрения 

случай оптимизационной задачи, когда известна аналитическая запись целевой 
функции, и она представляет собой функцию одной переменной. Такие 
случаи могут возникать при проектировании относительно небольших 
блоков и подсистем, выполняющих, как правило, единственную функцию, 
а также на начальных этапах проектирования, когда рассматривается единственный 
критерий, который принимается зависящим от одного параметра, 
остальные факторы, влияющие на критерий оптимизации, на данном этапе 
проектирования игнорируются и будут учтены впоследствии. 

Достаточно распространёнными критериями качества для радиоэлек-

тронных систем являются, например, точность, помехозащищенность, про-
пускная способность, электромагнитная совместимость, надежность, масса, 
габариты, стоимость [7]. 

Необходимые и достаточные условия экстремума 
Необходимые условия экстремума: если 
0x  locmin (locmax) – точка 

локального минимума (максимума) функции f, то 
( )
0
f x


, 
0
(
)
0
f
x


, 



0
(
)
0
f
x


. 

Достаточные 
условия 
экстремума: 
если 
( )
0
f x


, 
0
(
)
0
f
x


, 



0
(
)
0
f
x


, то 
0x  locmin f (locmax f) – точка локального минимума (мак-

симума) функции f. 

1. Графоаналитический метод решения задач поиска глобальных экстремумов 

10 

Эти необходимые и достаточные условия существования экстремумов 

для функции одной переменной по сути определяют правило решения: 

1) найти первую производную функции f’(x); 
2) приравнять ее к нулю и вычислить корни уравнения 
0
(
)
0
f x

 , кото-

рые будут являться точками экстремума; 

3) определить тип экстремума (максимум это или минимум) можно 

двумя способами: 

а) отметить на числовой оси полученные точки, которые разобьют 

ее на несколько подынтервалов, и определить знак первой производной в 
каждом подынтервале. Если при переходе через точку х0 знак производной 
на подынтервалах меняется с «+» на «–», то х0 является точкой максимума, 
если наоборот – то х0 является точкой минимума; 

б) найти вторую производную f’’(x) и, подставив в нее точку экс-

тремума, определить максимум, если 

0
(
)
0
f
x


, и минимум – если 

0
(
)
0
f
x


. 

Пример 1. Найти точки экстремума функции 

5

4
( )
5
5
x
f x
x


 . 

Решение. Следуя приведенному выше алгоритму, определяют: 

1) первую производную 
/( )
f
x : 

/
5

/
4
4
3
( )
5
4
5
x
f
x
x
x
x













; 

2) находят значения х, в которых первая производная функции равна 0: 

 
4
3
3
4
(
4)
0
f
x
x
x
x x





 , 

откуда определяют, что 1
2
0,
4
x
x


 – точки экстремума. 

3) определяют тип экстремума путем построения подынтервалов на 

числовой оси и знаков первой производной в каждом из них. Вычислим 
значения производной, взяв произвольно точки из соответствующих 
подынтервалов: 

/
3
( 1)
( 1) ( 1 4)
5
0
f

 
 


, 

/
3
(1)
(1) (1 4)
3
0
f


   , 

/
3
(5)
(5) (5
4)
125
0
f



 . 

1.1. Поиск экстремумов функций одной переменной  

11 

Построение подынтервалов и знаки первой производной отображены на 

рис. 1. 

 

х1 = 0
х2 = 4

+
_
+

 

Рис. 1. Определение типа экстремумов для функции из примера 1 

Следовательно, при переходе через точку x1 = 0 знак производной меняется 
с «+» на «–», т.е. точка x1 = 0 – точка максимума. Аналогично можно 
определить, что точка x2 = 4 – точка минимума. 

Решим аналогичную задачу без дополнительных пояснений. 
Пример 2. Исследовать характер точек перегиба функции: 

3
2
( )
2
1
f x
x
x
x



 . 

Решение. 
/
2
( )
3
4
1
0
f
x
x
x


 
, тогда (3х–1)(х–1)=0, т.е. решение 

1
2

1,
1
3
x
x

 . Построение подынтервалов и знаки первой производной 

отображены на рис. 2. 

 

х1 =
х2 = 1

+
_
+

1
3
 

Рис. 2. Определение типа экстремумов для функции из примера 2 

При 
1

1
3
x 
 производная 
/( )
f
x  меняет знак с положительного на отрицательный, 
а при x2 = 1 – с отрицательного на положительный. Следовательно, 
в точке 1

1
3
x 
 достигается максимум, а в точке x2 = 1 – минимум. 

Этот пример может быть решен более простым способом, если вычис-

лить вторую производную: 

//( )
6
4
f
x
x

  и подставив точки экстремума: 

// 1
1
6
4
2
3
3
f
   

 
 
 

 – отрицательна, следовательно, при 
1
3
x 
 дости-

гается максимум, а 
 
// 1
6 1 4
2
f
   
 – положительна, следовательно, при 

х = 1 достигается минимум. 

1. Графоаналитический метод решения задач поиска глобальных экстремумов 

12 

Однако возможен случай, когда вторая производная окажется равной 

нулю: 
//( )
0
f
x 
. Неоднозначность, возникающую при 
//( )
0
f
x 
, можно 

разрешить, увеличив количество членов в формуле разложения в ряд Тей-
лора: 

2
3
4
/
//
///
////

0
0
0
0
0
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
...
2!
3!
4!

h
h
h
f x
h
f x
hf
x
f
x
f
x
f
x







, 

где h – некоторая величина, стремящаяся к нулю h  0. 

При этом можно сформулировать следующее правило: если функция 

f(x) и ее производные непрерывны, то точка х0 является точкой экстремума 
(максимума или минимума) тогда и только тогда, когда n четное, где n – 
порядок первой не обращающейся в ноль в точке х0 производной. Таким 

образом, если n – четное и функция 
0
(
)
0
n
f
x

, то в точке х0 достигается 

максимум, если 
0
(
)
0
n
f
x

, то в точке х0 достигается минимум. 

Пример 3. Найти точку перегиба функции 
6
( )
(
1)
f x
x


. 

Решение. 
/
5
( )
6(
1)
0
f
x
x



 при х = 1. Первой не обращающейся в 

нуль в точке х = 1 производной будет f6(1) = 6! Следовательно, функция f(x) 
имеет минимум в точке х = 1. 

Задача несколько усложняется при появлении ограничений на область 

определения функции в виде интервала [a, b]. Глобальный экстремум 
функции может и не лежать в заданном интервале. Тогда наибольшее или 
наименьшее значение функции достигается на одном из концов интервала. 
Таким образом, помимо определения экстремумов функции необходимо 
проверить, попадают ли они в заданный интервал исследования, и если это 
не так, то вычислить значения функции на концах интервала f(a), f(b) и вы-
брать наибольшее или наименьшее значение. 

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 

4
3
( )
2
2
2

x
f x
x



 на отрезке [–1; 2]. 

Решение. Функция достигает своего наибольшего или наименьшего 

значения на отрезке либо в точке экстремума, либо на концах этого отрез-
ка.

1. Найдем значение функции на концах отрезка [–1; 2]: