Физика магнитных явлений

УДК 537.63:53.04(075.8)
ББК 22.334я73
        Г97

Печатается по решению кафедры алгебры и дискретной математики 
Института математики, механики и компьютерных наук  
им. И. И. Воровича Южного федерального университета  
(протокол № 7 от 13 февраля 2017 г.)

Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор кафедры физики 
Донского государственного технического университета Снежков В. И.
кандидат физико-математических наук, профессор кафедры  
общей физики Южного федерального университета Монастырский Л. М.

Гуфан, А. Ю. 
Физика магнитных явлений: учебник / А. Ю. Гуфан, 
Ю. М. Гуфан ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-
Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 
2020. – 372 с. 
ISBN 978-5-9275-3552-1
В учебнике большое внимание уделено обоснованию гипотез, лежащих в основе 
теории магнитных явлений. В этом плане предлагаемый учебник будет интересен 
физикам-экспериментаторам, сталкивающимся с отклонениями свойств реальных 
систем от предсказаний, основанных на изучении слишком упрощенных моделей.
Предназначен для студентов старших курсов (бакалавриата), магистрантов и 
аспирантов физических факультетов университетов, специализирующихся в области 
физики конденсированного состояния (специальность 01.04.07) и магнетизма 
(специальность 01.04.11).
УДК 537.63:53.04(075.8)
ББК 22.334я73
ISBN 978-5-9275-3552-1

© Южный федеральный университет, 2020
© Гуфан А. Ю., Гуфан Ю. М., 2020
© Оформление. Макет. Издательство 
Южного федерального университета, 2020

Г97

Оглавление

Модуль 1.  ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАГНИТНЫХ СВОЙСТВ АТОМОВ ........................... 7
1.1.  Атом водорода: от Максвелла до Резерфорда ............................................... 8
1.2.  Квазиклассическая квантовая механика Бора............................................. 10
1.3.  Дискретность энергетических уровней при финитном движении ............. 12
1.4.  Один электрон в сферическом поле ядра.  
Спин и собственный магнитный момент электрона ................................... 19
1.5.  Атом № 2: He ................................................................................................... 23
1.6.  Корреляция электронов в атоме. Таблица Менделеева.  
Правило Хунда для переходных элементов ................................................. 26
1.7.  Возможная природа квантования заряда электрона ................................. 32
Тесты и задачи рубежного контроля к модулю 1 .................................................. 34

Модуль 2.  СВОЙСТВА АНСАМБЛЯ НЕВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ  
МАГНИТНЫХ ДИПОЛЕЙ ............................................................................... 36
2.1.  Поведение элементарного магнетика  
во внешнем магнитном поле ........................................................................ 37
2.2.  Кривая намагниченности идеального газа парамагнитных молекул ........ 40
2.3.  Ядерный парамагнетизм и ядерный магнитный резонанс ........................ 45
2.4.  Парамагнитный резонанс .............................................................................. 48
2.5.  Диамагнетизм атомов и молекул ................................................................. 53
Тесты и задачи рубежного контроля к модулю 2 .................................................. 56

Модуль 3.  МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ЭЛЕКТРОНОВ ............... 57
3.1.  Вырождение электронов в металле ............................................................. 58
3.2.  Парамагнетизм электронов проводимости ................................................. 65
3.3.  Движение электрона в магнитном поле ...................................................... 68
Тесты и задачи рубежного контроля к модулю 3 .................................................. 74

Модуль 4.  МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНЫХ ДИАМАГНЕТИКОВ ................. 75
4.1.  Сверхпроводимость. Кривая намагничивания сверхпроводников ........... 76
4.2.  Микроскопическая картина сверхпроводимости. Квантование потока .... 83
4.3.  Намагничивание сверхпроводящих сплавов ............................................... 89
Тесты и задачи рубежного контроля к модулю 4 .................................................. 95

Модуль 5.  МОДЕЛИ МЕЖАТОМНЫХ СИЛ ................................................................... 96
5.1.  Диполь-дипольное взаимодействие ............................................................ 97
5.2.  Взаимодействие движущихся диполей и зарядов.  
Спин-орбитальное взаимодействие ........................................................... 102
5.3.  Обменное взаимодействие ......................................................................... 108
Тесты и задачи рубежного контроля к модулю 5 ................................................ 114

Модуль 6.  СПОНТАННОЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ МАГНИТНЫХ МОМЕНТОВ  
АТОМОВ В ДИЭЛЕКТРИКАХ ..................................................................... 115
6.1.  Взаимодействие спинов и упорядочение .................................................. 116
6.2.  Ферромагнетизм .......................................................................................... 118
6.3.  Виды взаимодействий в ферромагнетике ................................................. 122
6.4.  Полная энергия ферромагнетика ................................................................ 131
6.5.  Другие типы магнитного упорядочения ..................................................... 135
6.6.  Фазовый переход из парамагнитного  
в ферромагнитное состояние  ..................................................................... 141
6.7.  Фазовые переходы в антиферромагнетиках .............................................. 153
6.8.  Фазовые переходы в ферритах ................................................................... 155
Тесты и задачи рубежного контроля к модулю 6 ................................................ 155

Модуль 7.  ТЕОРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ПОЛЯ.  
ПОЛЯ ОКТАЭДРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИИ ................................................ 157
7.1.  Формализм теории ...................................................................................... 158
7.2.  Симметрия октаэдрического поля .............................................................. 162
7.3.  Состояния и энергетический спектр одного d-электрона  
в кубическом поле октаэдрической симметрии ........................................ 166
7.4.  Приближение слабого кристаллического поля .......................................... 175
7.5.  Приближение сильного кристаллического поля ........................................ 183
7.6.  Поля промежуточной силы ......................................................................... 192

7.7.  Расчетные приемы. Основы метода эквивалентных операторов ............ 198
7.8.  Расчетные приемы. Основы метода понижения симметрии ................... 202
Литература для самостоятельного изучения ...................................................... 206
Тесты и задачи рубежного контроля к модулю 7 ................................................ 206

Модуль 8.  СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ СПЕКТРОВ  
ТЯЖЕЛЫХ АТОМОВ .................................................................................... 207
8.1.  Современное состояние теории спектров тяжелых атомов.  
Уран и другие актиниды  ............................................................................. 208
8.2.  Фактор спектроскопического расщепления  
и магнитные характеристики изолированных атомов  
(квазиклассические представления) .......................................................... 227
Тесты и задачи рубежного контроля к модулю 8 ................................................ 234

Модуль 9.  ЭЛЕКТРОННЫЕ СОСТОЯНИЯ В ИНТЕРМЕТАЛЛИДАХ .......................... 236
9.1.  Состояния электрона в монокристалле металла ....................................... 237
9.2.  Зоны Бриллюэна и поверхности Ферми в приближении  
свободных электронов для простейших решеток.  
Идеи Юм-Розери ........................................................................................... 250
9.3.  Определение интерметаллидов.  
Интерметаллиды урана и их свойства ........................................................ 260
9.4.  Геометрические принципы и признаки,  
определяющие наиболее вероятные структуры интерметаллидов ........ 267
Тесты и задачи рубежного контроля к модулю 9 ................................................ 271

Модуль 10.  МАГНИТНЫЕ СТРУКТУРЫ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ ......... 273
10.1. Магнитные свойства локализованных электронов ................................... 274
10.2. Приближение самосогласованного поля. Теория магнитной 
восприимчивости и структуры упорядоченных фаз ................................. 302
Тесты и задачи рубежного контроля к модулю 10 .............................................. 312

Модуль 11.  МЕТАЛЛИЧЕСКИЙ УРАН И ЕГО СВОЙСТВА  ........................................... 313
11.1. Свойства и полиморфизм металла ............................................................. 314
11.2. Зонная структура α-фазы ............................................................................ 340
Тесты и задачи рубежного контроля к модулю 11 .............................................. 350

Модуль 12. ОБЩИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ФАЗОВЫХ ДИАГРАММ  
БИНАРНЫХ СПЛАВОВ УРАНА .................................................................. 352
12.1. Двойные соединения урана и элементов с s-валентной оболочкой ........ 352
12.2. Двойные соединения урана и элементов с p-валентной оболочкой ....... 353
12.3. Двойные соединения урана и элементов с d-валентной оболочкой ....... 357
Тесты и задачи рубежного контроля к модулю 12 .............................................. 360

Вопросы, рекомендуемые для теста входного контроля .................................... 361
Дополнительные вопросы (на «отлично») .......................................................... 362

Тест итогового контроля для магистрантов первого года обучения .......................363

Тесты и вопросы итогового контроля для студентов четвертого курса 
(бакалавриат) физических факультетов университетов ...................................... 366
1. Вопросы по лекционной части курса «Физика магнитных явлений» ............ 366
2. Вопросы, рекомендуемые для зачета по практическим знаниям ................ 367

Заключение ...................................................................................................................... 369

Литература  ....................................................................................................................... 371

Модуль 1.  ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ  
МАГНИТНЫХ СВОЙСТВ АТОМОВ

Оглавление модуля

1.1. Атом водорода: от Максвелла до Резерфорда
1.2. Квазиклассическая квантовая механика Бора
1.3. Дискретность энергетических уровней при финитном движении
1.4. Один электрон в сферическом поле ядра. Спин и собственный магнитный 
момент электрона.
1.5. Атом № 2: He
1.6. Корреляция электронов в атоме. Таблица Менделеева. Правило Хунда 
для переходных элементов
1.7. Возможная природа квантования заряда электрона

Комплексная цель модуля

Восстановить, объединить и пересмотреть в генерализованном 
варианте те знания о природе магнитных свойств элементов таблицы 
Менделеева, которые изучались без связи с магнитными свойствами в 
курсах «Атомной физики» и «Оптики» в четвертом семестре и в курсе «
Квантовой механики» в пятом и шестом семестрах согласно программе 
обучения на физических факультетах университетов. 
Разобраться на качественном уровне и конкретизировать представления 
о сущности квантово-механического подхода к описанию 
магнитных свойств вещества на атомарном уровне.

Обоснование необходимости включения модуля в учебник

Модуль 1 по своей сути носит общеобразовательный характер. 
Его содержание фрагментарно присутствует в различных разделах 
«Общего курса физики» и первой части «Курса теоретической физики», 
читаемых согласно программе обучения на физических факуль-

Модуль 1. Элементы теории магнитных свойств атомов

тетах университетов. Необходимость этого модуля обусловлена тео-
ремой Бора – Ван Лёвен, согласно которой система микроскопических 
объектов, находящихся в тепловом равновесии, не может обладать 
магнитным моментом, если составляющие ее заряженные частицы 
подчиняются законам классической механики. Следовательно, магне-
тизм твердых тел, находящихся в равновесии, является результатом 
квантово-механической природы уравнений, определяющих дина-
мику составляющих их элементарных частиц. Кроме этого, электрон, 
движущийся в атоме согласно законам классической электродинами-
ки, т. е. излучая электромагнитные волны, должен был бы упасть на 
ядро через 10–7 с после начала движения. Таким образом, описание на 
уровне качественных оценок величин квантово-механических харак-
теристик магнитных свойств атомов является необходимым модулем 
образовательного процесса изучения «Теории магнетизма». Кроме ма-
териала, необходимого для обновления и генерализации знаний, по-
лученных в процессе обучения на младших курсах, в модуль 1 вклю-
чен «нестандартный» параграф, содержащий общие представления о 
магнитном монополе – элементарной частице, поиск которой начат в 
20-х гг. XX в. и еще не завершен. 

Содержание модуля

1.1.  Атом водорода: от Максвелла до Резерфорда

Магнитные явления не могут быть поняты в рамках классической 
механики Ньютона. Их природа обусловлена и квантовыми, и реляти-
вистскими закономерностями. Поэтому прежде всего остановимся на 
квантовых закономерностях, которые управляют движением микро-
частиц.
Законы квантовой механики были сформулированы в связи с ис-
следованием структуры атомов. Тогда было установлено, что атомы 
представляют собой системы заряженных частиц. Простейшим ато-
мом является атом водорода. Эта система, как известно, состоит из 
двух заряженных частиц: тяжелой частицы с положительным зарядом 
(протона) и легкой частицы с таким же по абсолютной величине, но 
отрицательным зарядом (электрона). В то же время считалось, что 

1.1. Атом водорода: от Максвелла до Резерфорда

движение заряженных тел в электрических и магнитных полях, а так-
же закономерности изменения в пространстве и времени самих элек-
тромагнитных полей могут быть описаны на основании уравнения 
Максвелла для электромагнитных полей и уравнений движения тел 
механики Ньютона. Этот раздел физики, изучающий как движение 
заряженных тел, так и изменения электрического и магнитного по-
лей, получил название классической электродинамики. Классическая 
электродинамика блестяще описывает работу линий электропередач, 
действие радио- и телевизионных устройств, движение заряженных 
частиц в ускорителях и много других весьма сложных явлений.
Одним из выводов классической электродинамики является вы-
вод о том, что электрический заряд, движущийся с ускорением, из-
лучает электромагнитные волны. Экспериментально этот вывод был 
проверен Генрихом Герцем в 1889 г. и использован нашим соотече-
ственником А. С. Поповым для создания радиопередатчика (1895 г.).
При излучении электромагнитных волн зарядом его энергия 
уменьшается. Как мы увидим далее, это обстоятельство послужило 
причиной отказа от классической электродинамики при описании 
свойств атомов.
Напомним некоторые факты, относящиеся к свойствам атомов. 
На основании серии экспериментов по рассеянию положительно за-
ряженных α-частиц атомами Э. Резерфорд выяснил структуру строе-
ния атомов и показал, что атомы состоят из тяжелого положительно 
заряженного ядра и вращающихся вокруг него электронов. По дан-
ным Резерфорда, размеры ядра в сотни тысяч раз меньше размеров 
атома. В 1911 г. он предложил планетарную модель атома, отличаю-
щуюся большой наглядностью. Согласно этой модели, электроны вра-
щаются вокруг положительного ядра аналогично тому, как планеты 
вращаются вокруг Солнца, причем размеры электронов и ядра зна-
чительно меньше размеров орбит электронов. Такое представление, 
однако, несовместимо с фактом существования атомов, если описы-
вать свойства атомов на основе классической электродинамики. Дей-
ствительно, электрон, совершающий в атоме по планетарной модели 
периодическое движение, т. е. движущийся с ускорением, должен по 
законам классической электродинамики излучать электромагнитные 
волны. Энергия электрона при этом уменьшается, и он в конце концов 

Модуль 1. Элементы теории магнитных свойств атомов

упадет на ядро. Можно оценить это время. Оно по порядку величины 
равно 10–7 с. Сложилась драматическая ситуация. С одной стороны, 
классическая электродинамика хорошо описывала рассеяние заря-
женных частиц (α-частиц) атомами в рамках планетарной модели, а 
с другой – в соответствии с законами классической электродинамики 
планетарная модель не могла быть стабильной. Опыт же говорил о 
весьма высокой стабильности атомных систем.

1.2.  Квазиклассическая квантовая механика Бора

На отмеченное выше противоречие, относящееся к свойствам 
атомных систем, обращали внимание многие физики. Проблему ре-
шил в 1913 г. Нильс Бор – один из создателей современной физики. 
Он сыграл выдающуюся роль в построении квантовой механики.
В процессе развития квантовая механика претерпела значитель-
ные изменения и сейчас выглядит далеко не так, как была сформули-
рована в первых работах Бора. Для понимания квантовой механики, 
оценки всей ее глубины и красоты требуются серьезные математиче-
ские знания. Однако ряд важных идей этой области науки можно из-
ложить, не используя в полной мере язык высшей математики.
Представления о дискретности материи (вещество состоит из ато-
мов) были хорошо известны до Бора. Что же касается изменения состо-
яния материальных тел, то прежде считалось, что эти изменения происходят 
непрерывно. Напомним, что состояние тела в механике Ньютона 
задано, если заданы координаты и скорость (импульс) тела. Другими 
словами, до Бора считалось, что изменение таких важных характеристик 
движения, как скорость и энергия, происходит непрерывно.
Бор предложил отказаться от этих представлений и сформулировал 
постулат о дискретности состояний. Идеи атомистики получили 
новое развитие.
Для формулировки постулата о дискретности изменения состояний 
рассмотрим движение частиц между двумя стенками (одномер-
ное движение в потенциальной яме). Это движение происходит следующим 
образом: частица долетает до стенки, упруго отражается от нее 
и летит к противоположной стенке. У этой стенки снова происходит 
отражение и т. д. В процессе каждого отражения импульс частицы ме-

1.2. Квазиклассическая квантовая механика Бора

няет направление на противоположное, а его величина в силу закона 
сохранения энергии остается неизменной. Это движение изображено 
на рис. 1.1. Плоскость, где на одной из осей откладываются координаты, 
а на второй – импульсы, называется фазовой плоскостью, а о картине, 
отображающей движение частицы на этой плоскости, говорят 
как о фазовом портрете движения частиц.

а 

а 

Рис. 1.1. Движение частицы в потенциальной яме (вверху)  
и фазовый портрет этого движения (внизу)

Постулат Бора о дискретности изменения движения формулируется 
так: площадь фазового портрета S равна постоянной Планка ħ, 
умноженной на целое число. Таким образом, постоянная Планка – это 
тот элементарный «кирпичик», из которого составляется площадь фазового 
портрета. Площадь фазового портрета называется действием 
S. Поэтому постоянная Планка ħ имеет смысл «атома», или кванта 
действия:

 
S = nħ,  
(1.1)

где n – целое число, называемое квантовым числом. Значение постоянной 
Планка ħ = 6,626 ∙ 10–27 эрг ∙ с. Как видно из рис. 1.1, 

 
S = 2ра. 

Модуль 1. Элементы теории магнитных свойств атомов

Так как элемент действия ΔS = 2ΔpΔa не может быть меньше постоянной 
Планка, то можно записать

 
ΔpΔa ≥ ħ/2.  
(1.2)

Соотношение (1.2) отражает то обстоятельство, что при квантовом 
описании движения бессмысленно говорить об одновременном 
точном задании координаты и импульса частицы. Действительно, 
если точно задана координата, т. е. Δa → 0, то разброс импульсов Δp 
стремится к бесконечности. Если Δp → 0, то Δа → ∞.
Соотношение (1.2) называется соотношением неопределенности. 
Оно было установлено В. Гейзенбергом в 1927 г.

1.3.  Дискретность энергетических уровней  
при финитном движении

Рассмотрим несколько простейших примеров, на которых продемонстрируем, 
к чему приводит постулат Бора о дискретности (квантовании) 
действия.
Начнем с уже упоминавшегося движения частицы между стенками. 
Приравняв площадь фазового портрета S = 2pa к величине nħ, 
найдем, что импульс частицы принимает дискретные значения:

 

.
2
n
n
p
a
=    
(1.3)

Дискретное же значение имеет как скорость частицы, так и ее 
энергия:

 

,
2
n
n
v
ma
=

 

2
2
2
2
.
2
8

n
n
mv
m
n
a
ε =
=

  
(1.4)

Напомним, что в механике Ньютона скорость и энергия частиц 
изменяются непрерывно!
При переходе из одного состояния в другое (Δn = 1) скорость изменяется 
на величину Δvn = ħ/2ma. Если это изменение мало по сравнению 
с самой скоростью, Δvn << vn, то приближенно можно говорить 
о непрерывности изменения скорости. Условие Δvn << vn эквивалентно 
условию n >> 1. Итак, при больших квантовых числах п движение 
можно рассматривать как классическое, изменение состояния – как 

1.3. Дискретность энергетических уровней при финитном движении

непрерывное. При малых значениях квантового числа изменение состояния 
существенно дискретное.
Давайте рассмотрим проявление квантовых свойств при различных 
масштабах эксперимента. Пусть упругий шар массы т движется в 
рассмотренной выше прямоугольной потенциальной яме.
Пусть движение макроскопическое, т. е. такое, к какому мы привыкли 
в окружающем нас мире. В качестве примера рассмотрим движение 
упругого шара на столе для игры в бильярд. Характерная масса 
биллиардного шара порядка 100 г, размер стола порядка метра. Считая 
m = 100 г, а = 1 м, получаем

 
Δvn ≈ 10–31 см/с.

Характерные скорости движения шара – порядка 1 см/с. Таким 
образом, движению биллиардного шара отвечают квантовое число 
n ≈ 1031 и отношение (Δvn/Δv) ≈ 10–31. В этом случае можно пренебречь 
квантовыми эффектами и говорить о непрерывном изменении 
скорости.
Пусть масштабы задачи отвечают атомным. Из экспериментов известно, 
что размер атома – порядка 10–8 см, масса электрона – порядка 
10–27 г. Используя соотношение неопределенности (1.2) для Δv, получаем:

 

8
10 см/с.
2
v
ma
 



Таким образом, квантовая неопределенность скорости электро-
нов в атомах весьма велика. Квантовые эффекты можно не учитывать, 
только если v >> 108 см/с. В реальных атомах скорость электронов по-
рядка 108 см/с, т. е. электрон в атоме представляет собой существенно 
квантовый объект, и для его описания классическая механика не при-
менима. Заметим, что масса α-частицы примерно в 10 раз больше мас-
сы электрона, а их скорость в опытах Резерфорда – порядка 109 см/с. 
Оценив Δа, т. е. неопределенность координаты α-частицы, получим 
Δа = ħ/2mv ≈ 10–18 см, что в 100 тыс. раз меньше размера атома. Сле-
довательно, движение α-частицы в опыте Резерфорда можно считать 
классическим.
В качестве второго примера рассмотрим движение частицы под 
действием упругой силы. Из школьного курса физики известно, что 

Модуль 1. Элементы теории магнитных свойств атомов

частица при этом совершает колебания. Чтобы нарисовать ее фазо-
вый портрет, напомним, что при таких колебаниях сохраняется пол-
ная энергия частицы:

 

2
2
2
2
1
1
2
2
2
2

mv
p
E
kx
kx
m
=
+
=
+
,  
(1.5)

где т – масса частицы; k – упругая постоянная. 
Перепишем это соотношение в виде

 
X2 + Y2 = R2,  
(1.6)

где введены обозначения X
kmx
=
, Y = p и 
2
R
mE
=
.
Соотношение (1.6) представляет со-
бой уравнение окружности на плоскости 
(X, Y). Площадь окружности, как извест-
но, πR2 = π(2mE). Фазовая плоскость (x, p) 
отличается от плоскости (X, Y) только 
выбором масштаба по оси координат. По-
этому фазовым портретом движения ча-
стицы под действием упругих сил будет 
окружность, деформированная в направ-
лении оси x в 
km  раз. При этом получа-
ется эллипс (рис. 1.2).
Площадь получившейся фигуры бу-
дет отличаться от площади окружности 
также в 
km  раз, т. е.

 
(
)
2
/
2
k
S
mE
km
E
m
= π
= π
.  
(1.7)

Приравняв эту площадь к nħ, получим

 
0 ,
E
n
= ω

 
(1.8)

где 
0
k m
ω =
 – циклическая частота колебаний, 
/2
h
=
π

. Формула 
(1.8) показывает, что энергия частицы, совершающей гармонические 
колебания (осциллятора), изменяется дискретно. Минимальной пор-
цией (квантом) изменения энергии является величина

 
0
ε = ω

.  
(1.9)

Рис. 1.2. Фазовый портрет  
колебаний гармонического  
осциллятора

1.3. Дискретность энергетических уровней при финитном движении

Формулы (1.8) и (1.9) были предложены Максом Планком еще до 
работ Бора и являются первыми формулами квантовой механики.
Приведенный пример важен тем, что, как показывает подроб-
ный анализ, формула (1.8) справедлива для энергии любого перио-
дического движения, например для волнового движения. В частно-
сти, энергия любой волны с частотой ω (электромагнитной волны 
света, упругой или звуковой волны в среде и т. д.) определяется фор-
мулой (1.8).
Любое волновое движение какой-то величины u можно записать 
в виде

 
0 cos(
).
u
u
kr
t
=
− ω
  
(1.10) 

Величина k называется волновым вектором. Модуль волнового 
вектора k определяет длину волны λ, λ = 2π/k, а направление k совпа-
дает с направлением распространения волны. Частота волны и ее вол-
новой вектор связаны соотношением, называемым законом дисперсии:

 
k = k(ω) или ω = ω(k).  
(1.11)

Квантование любой волны можно выразить следующим прави-
лом: волна с частотой ω и волновым вектором k может передавать 
любому телу или получать от тела энергию ε и импульс p только пор-
циями, причем

 
( )
k
∆ε = ω

 и Δp = ħk  
(1.12)

соответственно. О передаче или получении телом такой порции го-
ворят как о поглощении или испускании кванта волны. Таким об-
разом, квант волны с волновым вектором k имеет энергию ħω(k) и 
импульс ħk.
В качестве третьего примера рассмотрим движение электрона в 
поле ядра атома водорода, следуя работе Н. Бора «О строении атомов 
и молекул» (1913 г.). При вращении электрона вокруг ядра центро-
стремительная сила, т. е. кулоновская сила притяжения электрона к 
ядру 
2
2
F
e
r
=
, создает центростремительное ускорение 
2
öa
v
r
=
. Та-
ким образом,

 

2
2

2
.
e
mv
r
r =
  
(1.13)