Системный анализ и исследование операций

МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ ГРАЖДАНСКОЙ 

ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ И ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ 

СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ 

 

ФГБОУ ВО СИБИРСКАЯ ПОЖАРНО-СПАСАТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ 

ГПС МЧС РОССИИ 

 
 
 
 

 

 
 

С.В. Бабенышев, Е.Н. Матеров 

 

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ 

 

Учебное пособие 

 
 
 

Допущено Министерством Российской Федерации по делам гражданской обороны,  

чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий  

в качестве учебного пособия для курсантов, студентов и слушателей образовательных  

организаций МЧС России 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Железногорск 

2022 
 

УДК 519.87, 519.248 

ББК 22.18 

Б 12 

 
 

 

Авторы:  

Бабенышев Сергей Валерьевич, 

 кандидат физико-математических наук 

Матеров Евгений Николаевич, 

 кандидат физико-математических наук 

 
 

Рецензенты:  

Тараканов Д. В., доктор технических наук 

(ФГБОУ Академия ГПС МЧС России) 

 

Рыженко А. А., кандидат технических наук, доцент 

(ФГБОУ Академия ГПС МЧС России) 

 
 
 
Бабенышев С.В. Системный анализ и исследование операций. [Текст]: 

учебное пособие / С.В. Бабенышев, Е.Н. Матеров. – Железногорск: ФГБОУ 
ВО Сибирская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, 2022. – 
122 с.: ил. 

 
 
В пособии приведены необходимые теоретические сведения и примеры 

решения задач, необходимые для преподавания дисциплины «Системный анализ и исследование операций» по направлению подготовки 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление», профиль «Управление в кризисных ситуациях». В пособии используются примеры, иллюстрирующие применение 
классических методов исследования операций в задачах распределения ресурсов, планирования маршрутов, эффективности вложений и других. Изложение 
материала направлено на понимание основ применяемых методов, что позволит 
адаптировать их к широкому кругу практических задач оптимизации. 
 

 
 
 

 

© ФГБОУ ВО Сибирская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, 2022 
© Бабенышев С.В., Матеров Е.Н., 2022 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................ 5 

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА  И 
ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ ............................................................................. 6 

Основы моделирования .................................................................................. 6 

Модели и моделирование ........................................................................... 6 

Краткая характеристика моделей .............................................................. 7 

Классификация моделей и методов моделирования ................................. 10 

Классификация по природе и типу представления ............................... 10 

Классификация по цели моделирования ................................................ 12 

Классификация по способу исследования .............................................. 13 

Классификация по виду входных данных и результатов ..................... 15 

Системный анализ и моделирование .......................................................... 17 

Анализ, синтез, оптимизация ................................................................... 17 

ГЛАВА 2. ПРИНЦИПЫ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ...... 22 

Динамическое программирование .............................................................. 22 

Постановка задачи динамического программирования ........................ 22 

Принцип поэтапного построения оптимального уравнения ................ 24 

Уравнение Беллмана ................................................................................. 25 

Задачи динамического программирования ................................................ 28 

Алгоритм поиска кратчайшего пути ....................................................... 28 

Задача о загрузке транспортного средства ............................................. 35 

Задача распределения ресурсов ............................................................... 43 

Дискретизация задач оптимального управления ................................................. 45 

ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ......................... 49 

Задачи с линейными целевыми функциям и ограничениями .................. 49 

История линейного программирования .................................................. 49 

Постановка задачи линейного программирования ................................ 50 

Различные постановки задачи линейного программирования ............ 52 

Симплекс-метод ........................................................................................ 60 

Двойственная задача линейного программирования ............................ 65 

Транспортная задача ..................................................................................... 70 

Постановка транспортной задачи ............................................................ 70 

Методы построения первоначального опорного плана ........................ 72 

Метод потенциалов ................................................................................... 75 

ГЛАВА 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР ................................................................ 87 

Основные понятия теории игр ..................................................................... 87 

Классификация игр ................................................................................... 88 

Матричные игры ....................................................................................... 89 

Максиминные и минимаксные стратегии .............................................. 91 

Смешанные расширения матричных игр ............................................... 95 

Графическое решение матричных игр ........................................................ 97 

ГЛАВА 5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ .............. 103 

Системы массового обслуживания ........................................................... 103 

Основные понятия теории массового обслуживания ......................... 103 

Классификация систем массового обслуживания ............................... 105 

Простейшие системы массового обслуживания и их характеристики . 106 

Одноканальная система с отказами ...................................................... 106 

Многоканальная система с отказами .................................................... 107 

Многоканальная система с очередью ................................................... 109 

Вычисление показателей эффективности СМО .................................... 111 

Заключение ............................................................................................................ 120 

Литература ............................................................................................................. 121 

 

 

 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

«Системный анализ и исследование операций» – это учебная дисциплина, 

изучающая общие методы моделирования и получения оптимальных управленческих решений в задачах, возникающих в экономике, логистике, планировании и инженерных приложениях. Оптимальное решение задачи рассматривается относительно некоторого выбранного числового критерия – целевой функции, каким может быть, например, наименьший расход материалов, наименьшая стоимость производства, наименьшая дальность перевозки, наибольшая по 
стоимости загрузка транспортного средства, минимум ошибки и т.п. Содержание дисциплины «Системный анализ и исследование операций» в значительной 
степени связана с рядом родственных разделов и научных дисциплин, таких как 
«Поддержка методов принятия решений», «Методы оптимизации», «Теория оптимального управления» и других. 

Изучаемые в дисциплине методы, применяются в системах поддержки 

логистики и организации сервиса и производства, на транспорте, при программировании и проектировании промышленных и технологических установок и 
бытовых приборов. 

Целью данного пособия является изложение идей и методов дисциплины 

«Системный анализ и исследование операций» на уровне, достаточном для 
усвоения материала обучающимися без специального математического образования. Для иллюстрации теоретического материала широко используются рисунки и подробный пошаговый разбор решения основных примеров. В целях 
сопровождения изучения дисциплины с помощью этого пособия, рекомендуется использовать комплект индивидуальных однотипных задач для каждого 
рассмотренного в пособии вида основных примеров. Примеры подобраны так, 
чтобы при самостоятельном прорешивании были усвоены основные идеи и 
ограничения методов, рассмотренных в теоретической части. 

Структурно пособие разделено на пять тем: «Основные понятия систем
ного анализа и исследования операций», «Принципы динамического программирования», «Задачи линейного программирования», «Элементы теории игр» и 
«Основы теории массового обслуживания». Глава 1 излагает важнейшие понятия системы, абстрагирования и моделирования. Главы 2 и 3 связаны общими 
подходами и подкрепляют усвоение базовых понятий методов оптимизации. 
Главы 4 и 5 рассматривают моделирования в условиях неопределённости, в том 
числе, статистически описываемой неопределённости для Главы 5. Внутри подразделов каждой темы используется отдельная нумерация рисунков, формул и 
примеров. 
 
 

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА 

 И ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ 

Основы моделирования 

Модели и моделирование 

Как практическая, так и познавательная деятельность человека и обще
ства широко опирается на процесс моделирования. Создаваемые для этого модели – это обычно упрощенные образы объектов или процессов, которые, тем 
не менее, должны с приемлемой точностью отражать основные черты исследуемых более сложных систем. Методологически, объекты и процессы могут считаться специфическими подклассами более широкого класса – класса явлений. 

Если полученная модель достаточно адекватна, то её можно использо
вать при исследовании вместо самого объекта. Таким образом, создаваемая при 
моделировании модель должна по возможности удовлетворять двум часто противоречащим требования: 

 быть максимально простой; 
 достаточно точно отражать моделируемой явление. 

Например, лежащая в основе теории Ньютона посылка, что в механиче
ской системе тела можно представить материальными точками с приложенными к ним векторами-силами, заложила основы для моделирования широчайшего спектра механических явлений, от движения планет вокруг звезд, до полета снарядов и динамики механизмов. Теория Ньютона, опирающаяся всего на 
три базовых принципа – законы Ньютона, из-за её простоты и приемлемой 
точности, до сих пор применяется для моделирования механических систем, несмотря на существование её уточнений – квантовой механики и теории относительности. С другой стороны, критически важное с точки зрения сохранения 
жизни и имущества людей, точное моделирование лесных пожаров требует 
учёта направления ветра, рельефа (огонь распространяется быстрее вверх по 
склону), влажности почвы и растительного покрова, учёта высыхания и нагревания воздуха под действием самого пожара. Необходимость учитывать эти 
факторы в большом количестве точек на местности приводит к тому, что временные затраты на точное моделирование приближаются к времени развития 
самого пожара.  

Итак, 

Правильный выбор баланса между простотой и точностью применяемой модели является важнейшей задачей исследователя. 

Понятия «модель» и «моделирование» особенно широко используются в 

сфере науки, образования, инженерном и технологическом проектировании, в 
серийном техническом производстве. В этих областях термин «модель» обычно 
используется для обозначения:  

 устройства, воспроизводящего строение и/или действие какого-либо дру
гого устройства (уменьшенного, увеличенного или в натуральную величину),  

 символического аналога (чертежа, плана, схемы, описания, ...) конкрет
ного явления, объекта или процесса, 

 системы математических уравнений или соотношений, связывающих 

наблюдаемые параметры исследуемой системы. 

Важное место при составлении моделей принадлежит исходным гипоте
зам и наблюдаемым аналогиям: 

 гипотеза – это предположительное суждение о свойствах исследуемого 

явления, основанное на эмпирических данных, наблюдениях или догадках; 

 аналогия – это представление о каком-либо частном сходстве, существен
ном или несущественном, в зависимости от уровня абстрагирования, 
определяемого конечной целью исследования.  

Гипотезы и аналогии, в определенной мере отражающие реальный, объ
ективно существующий мир, должны обладать наглядностью или сводиться к 
удобным для человека логическим схемам. 

Обобщая вышесказанное, приходим к следующим определениям: 

Модель – такой материальный или идеальный (мысленно представляе
мый) объект, который в процессе познания (изучения) замещает оригинал, сохраняя при этом некоторые его типичные черты, важные для данного исследования. 

Моделирование – процесс построения и использования модели.  

Краткая характеристика моделей 

Все модели и методы моделирования с определенной условностью могут 

быть разделены на: 

материальные (реально существующие); 
идеальные (мысленно воображаемые). 

Примерами материальных моделей служат лабораторные установки, 

устройства-демонстраторы, макеты автомашин, строений, городов, а идеальных – описание или представление любых явлений, процессов и предметов с 
помощью графических и математических символов, и слов. 

Среди идеальных моделей иногда еще выделяют когнитивный тип мо
дели, понимая под ним мысленный образ конкретных объектов. 

Наряду со сложностью и адекватностью, важнейшей характеристикой 

модели является ее предсказательная сила, то есть ее пригодность для получения новых знаний об объекте-оригинале, например, предсказания его поведения в новых или запроектных ситуациях. 

Для достижения предсказательной силы, как уже было отмечено, исполь
зуются два основных подхода к моделированию сложных объектов или процессов: моделирование как системы и моделирование как черного ящика. 

При первом подходе, объект или процесс методологически разбивается на 

существенные более простые части – элементы системы, и устанавливаются 
качественные и количественные характеристики взаимосвязей этих элементов, 
то есть устанавливается структура исследуемого явления. При адекватном 
представлении системой, реакцию моделируемого объекта на заданный набор 
входных параметров можно просчитать по системе, исходя из взаимодействия 
её элементов. Системный подход применим к моделированию как физических, 
так и более сложных технологических объектов, организационных структур и 
процессов, но хуже применим к моделированию целостных явлений с трудом 
поддающихся анализу, например, явлений в биологии или социологии, например, в силу свой динамичности (например, в силу изменчивости структуры за 
счет создания/смерти элементов или изменчивости и перераспределения связей), целостности (так называемые, холистические объекты, описание функционирования которых не удается свести к описанию взаимодействия их элементов) или многообразности (то есть объектов, число важных элементов или взаимосвязей которых или их взаимосвязей существенно превышает то, что может 
удержать человеческий разум (≫7), как например, биологические, экономически или социальные системы, из более простых систем – веб-поисковики). 

Второй подход, подход к исследуемого объекту как к черному ящику, не 

берется устанавливать структуру исследуемого объекта. Взамен рассматривается многообразие известных реакций объекта на какой-то класс входных воздействий. Развитие этого подхода для моделирования сложных объектов, стало 
возможно благодаря развитию технологии программных нейронных сетей, 
имитирующих работу биологических систем. При таком подходе описание работы исследуемой системы, например, распознавание изображений водителем 

автомобиля, выбирается из достаточно широкого класса функций, которые могут быть реализованы нейронными сетями, путем процесса, называемого обучением. Одним из недостатков этого безусловно перспективного подхода, однако является плохое понимание функционирования такой модели, например, 
то на какие аспекты исследуемого явления она опирается при моделировании, 
и как результат невозможность надежно предсказать поведение модели за пределами обучающей выборки. 

В целом, системный подход является более распространенным и имеет то 

преимущество, что дает еще и понимание работы исследуемого объекта, например, какой элемент или взаимосвязь является ключевым, где лежат пределы 
применимости модели и так далее. 

Таким образом, мы ознакомились с наиболее существенными признаками 

и свойствами моделей. В частности, установили, что модели и моделирование 
нужны для того, чтобы  

а) понять, как устроен конкретный объект-оригинал; каковы его струк
тура, основные свойства и/или установить закономерности его функционирования и развития, в случае, когда структуру и детали функционирования объекта 
установить трудно или принципиально невозможно;  

б) научиться управлять объектом и процессом его функционирования, в 

том числе определять оптимальные (наилучшие) для него управляющие воздействия при заданных целях и критериях; 

в) прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации конкрет
ных способов и форм воздействия на моделируемый объект. 

 

Контрольные вопросы 

1. Что такое абстрактная модель и чем занимается моделирование? 
2. Каким двум противоречащим требованиям должна удовлетворять модель 

явления?  

3. Для описания каких трех видов подобий исследуемой системы используется 

термин «модель»? 

4. На основе каких двух видов суждений и предположений строится модель 

явления, объекта или процесса? 

5. Чем материальные модели отличаются от идеальных? Приведите примеры 

каждого вида. 

6. Каков основной критерий адекватности построенной модели? 
7. Какие два принципиально различных подхода используются при моделиро
вании? 
 

Классификация моделей и методов моделирования 

Далее рассмотрим классификацию моделей и методов, используемых при 

моделировании. Неоднозначность термина «модель», огромное количество видов моделей и способов их использования, а также их быстрое развитие в настоящее время затрудняют построение единой логически стройной и удовлетворяющей всех классификации. Взамен, мы далее покажем, как модели классифицируются по ряду важных независимых признаков. 

Классификация по природе и типу представления 

Систематизация известных к настоящему времени моделей и методов их 

использования приводит к следующей классификации по природе и типу формализованного представления. 

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ 

 Идеальное 
 
 
 
           Материальное                                      

   Интуитивное 
 
 
 
 
    Аналоговое  

     Мысленный эксперимент   
              Физическое  

     Метод сценариев 
     Операционная игра 

  Семантическое 
     Вербальное 
     Графическое 

  Семиотическое 
     Математическое 
        Аналитическое 
        Алгоритмическое 
         Численное 

Имитационное (симуляционное) 

Рис. 1.1.  Классификация методов моделирования. Отступ перед названием вида 

 моделирования означает, что он является подклассом вышестоящего вида. 

  
Поясним особенности всех основных видов моделирования: 

    
Материальные (реальные, натурные или предметные) модели являются 

вторичными по отношению к идеальным и основаны на использовании свойства подобия между ними и прототипом. 

Физические модели обычно являются геометрически подобными ориги
налам, а аналоговые – напротив, физически. 

Методы физического (натурного, предметного) моделирования нашли 

широкое применение в авиа-, автомобиле-, ракето- и судостроении, а также в 
других отраслях промышленности и транспорта. Дополнительный импульс физическое моделирование получило в связи с развитием аддитивных технологий. 

Аналоговое моделирование использует совпадение (преимущественно – 

качественное) математического описания различных предметов, процессов и 
явлений. 

Пример. Механические и электрические колебания, которые подчинены 

одним и тем же законам, но относятся к качественно различным физическим 
процессам; при некоторых допущениях аналогичными можно считать большинство процессов, протекающих в газе и жидкости, включая обтекание их потоками различных тел, а также явления теплопереноса и диффузии примесей. 

Основное удобство аналоговых моделей заключается в том, что изучение 

одних процессов можно проводить в других, более удобных условиях. Например, изучение тех же механических колебаний можно вести с помощью электрической схемы, а обтекание жидкости заменить обтеканием газом, и наоборот. 

Под интуитивным (иногда называемым «ненаучным») обычно подразу
мевают моделирование, использующее не обоснованное с позиций формальной 
логики представление объекта исследования, которое к тому же не поддается 
формализации или не нуждается в ней.  

Такое моделирование осуществляется в сознании человека, в форме мыс
ленных экспериментов, сценариев и игровых ситуаций с целью его подготовки 
к предстоящим практическим действиям за счет заблаговременной преднастройки к ним. 

Семантическое (смысловое) моделирование логически обосновано с по
мощью некоторого числа исходных предположений. Сами эти предположения 
нередко принимают форму гипотез, создаваемых на основе наблюдения за объектом моделирования или какими-либо его аналогами. 

Главное отличие этого вида моделирования от интуитивного заключается 

не только в умении выполнять и воспроизводить для других его действия, но и 
в знании внутренних механизмов, которые используются при этом. 

В группу семантических методов входит вербальное (словесное) и гра
фическое моделирование. При этом первый тип моделей образуется с помощью 
слов, из которых составляются высказывания, суждения и умозаключения относительно моделируемого объекта.  

Графическое моделирование использует материальные носители инфор
мации – бумага, классная доска или монитор компьютера, на которых размещаются различные рисунки, чертежи, структурно-функциональные схемы или 
диаграммы причинно-следственных связей.  

Семиотическое, или знаковое, моделирование является наиболее форма
лизованным, поскольку использует не только общеизвестные слова или довольно наглядные изображения (как в семантических моделях), но и специализированные знаки, ассоциированные с исследуемым явлением или понятиями – 
буквы, иероглифы, нотные знаки, цифры. Более того, в последующем все они 
объединяются с помощью специфических правил, по которым принято оперировать как отдельными элементами, так и создаваемыми из них знаковыми образованиями (формулы).  

Основным и наиболее представительным подвидом данного моделирова
ния считается математическое моделирование.  

Математическим моделированием будем называть 

идеальное знаковое формальное моделирование, при котором 
описание объекта-оригинала осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием 
тех или иных математических методов.  

 

Классификация по цели моделирования 

        По признаку цели моделирования математические модели делятся на: 

 дескриптивные (описательные); 
 нормативные (оптимизационные);  
 ситуационные (управленческие).  

Дескриптивные модели являются описаниями признаков моделируемых 

объектов и объясняют законы изменения их параметров с помощью слов, рисунков или формул. 

Нормативные или оптимизационные модели имеют целью не столько 

отражение действительности, сколько определение желательного способа поведения системы. 

Ситуационные или управленческие модели предназначены для выявле
ния наиболее существенных для моделируемого объекта факторов и априорной 
оценки его основных количественных характеристик. 

Следующие области применения предпочтительны для использования 

моделей каждого из трех классов: