Решение задач по разделу «Начала математического анализа»

И. В. Николаева 

 
 
 
 
 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО РАЗДЕЛУ 

«НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА» 

 
 
 
 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Йошкар-Ола 

ПГТУ 
2016 
 

УДК 517 
ББК  22.161 

Н 63 

 
 
 

Рецензенты: 

канд. пед. наук, заместитель директора по УМР  

Йошкар-Олинского аграрного колледжа ФГБОУ ВПО «ПГТУ» 

Г. В. Лямина 

преподаватель первой квалификационной категории  

ГБОУ СПО РМЭ «Марийский радиомеханический техникум» 

Т. Е. Рыжова 

 

Печатается по решению  

редакционно-издательского совета ПГТУ 

 
 

Николаева, И. В. 
Решение задач по разделу «Начала математического анализа»: 

учебное пособие / И. В. Николаева. – Йошкар-Ола: Поволжский государственный технологический университет, 2016. – 116 с. 

ISBN 978-5-8158-1668-8 
 
Представлены необходимые теоретические сведения и формулы, даны 

решения типовых заданий и задач, в том числе профессионально ориентированного характера с ответами по разделу «Начала математического анализа». 

Для студентов по специальностям 21.02.04 Землеустройство, 15.02.01 

Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования, 
23.02.05 Эксплуатация транспортного электрооборудования и автоматики 
(по видам транспорта, за исключение водного), 35.02.07 Механизация 
сельского хозяйства, 35.02.08 Электрификация и автоматизация сельского 
хозяйства, 23.02.03 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного 
транспорта.  

 

УДК 517 

ББК  22.161 

 

ISBN 978-5-8158-1668-8  
 
 
© Николаева И. В., 2016 
© Поволжский государственный 
технологический университет, 2016 

Н 63

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

Введение ...................................................................................................... 5 
 
1. Последовательности ............................................................................... 7 

Задачи для самостоятельного решения .................................................. 12 
 
2. Производная. Приложения производной ........................................... 15 

 

2.1. Определение производной. Правила дифференцирования 
элементарных и сложных функций .................................................... 15 

Задачи для самостоятельного решения .............................................. 24 

2.2. Геометрический смысл производной .......................................... 33 

Задачи для самостоятельного решения .............................................. 36 

2.3. Физический смысл производной ................................................. 38 

Задачи для самостоятельного решения .............................................. 39 

2.4. Вторая производная и её физический смысл .............................. 41 

Задачи для самостоятельного решения .............................................. 44 

2.5. Дифференциал ............................................................................... 46 

 
Задачи для самостоятельного решения .............................................. 49 

2.6. Физические приложения производной ........................................ 51 
Задачи для самостоятельного решения .............................................. 54 

2.7. Применение производной для исследования функций .............. 56 

2.7.1. Промежутки возрастания и убывания функции ................. 56 

2.7.2. Экстремумы функции ............................................................ 59 

2.7.3. Наибольшее и наименьшее значение функции...................... 62 

2.7.4. Промежутки выпуклости и вогнутости ............................. 63 

2.7.5. Точки перегиба ........................................................................ 65 

Задачи для самостоятельного решения .................................................. 67 

3. Первообразная и интеграл. Приложения интеграла ......................... 70 

 
3.1. Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства ....... 70 

 
Задачи для самостоятельного решения .............................................. 77 

 
3.2. Метод подстановки ....................................................................... 82 

 
Задачи для самостоятельного решения .............................................. 85 

 
3.3. Метод интегрирования по частям ................................................ 86 

 
Задачи для самостоятельного решения .............................................. 88 

 
3.4. Определённый интеграл и его свойства ...................................... 90 

Задачи для самостоятельного решения ............................................ 100 

 
3.5. Физическое приложение определённого интеграла ................. 104 

 
Задачи для самостоятельного решения ................................................ 107 
 
Заключение ............................................................................................. 111 
 
Список литературы ................................................................................ 112 

 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Математика является фундаментальной общеобразовательной дис
циплиной со сложившимся устойчивым содержанием и общими требованиями к подготовке обучающихся.  

Внедрение ФГОС СПО позволило отразить профилизацию целей 

математического образования, что отражается на выборе приоритетов в 
организации учебной деятельности обучающихся. Для технического 
профиля выбор целей смещается в прагматическом направлении, предусматривающем усиление и расширение прикладного характера изучения 
математики; преимущественной ориентации на алгоритмический стиль 
познавательной деятельности.  

Профильная составляющая отражается в требованиях к подготовке 

обучающихся в части:  

– общей системы знаний: содержательные примеры использования 

математических идей и методов в профессиональной деятельности; 

– умений: различие в уровне требований к сложности применяемых 

алгоритмов; 

– практического использования приобретенных знаний и умений: 

индивидуального учебного опыта в построении математических моделей, выполнении исследовательских и проектных работ. 

Начала математического анализа отражают теоретико-функциональ
ную линию математического образования в системе СПО. Она позволяет систематизировать и расширить сведения о функциях, совершенствовать графические умения; знакомит с основными идеями и методами 
математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и 
другие прикладные задачи. Это, в свою очередь, даёт основную базу для 
успешного изучения обучающимися дисциплин профессионального 
цикла. 

Учебное пособие разработано в соответствии с примерной програм
мой по учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для специальностей среднего профессионального образования и на основе рабочей программы по учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия». В пособии приведены необходимые теоретические сведения и 
формулы, даны решения типовых заданий и задач, в конце параграфов 
книги помещены задачи для самостоятельного решения с указанием 

ответов. В качестве примеров приводятся задачи, содержащие профессиональную направленность. 

Пособие предназначено для студентов I курса СПО технического 

профиля, студентов-заочников, самостоятельно осваивающих основы 
математического анализа, а также для преподавателей математики, желающих алгоритмизировать самостоятельную аудиторную и внеаудиторную работу студентов. 

Пособие может использоваться при подготовке к аудиторным заня
тиям, при выполнении внеаудиторной самостоятельной работы, при 
подготовке к экзамену по разделу «Начала математического анализа». 

В литературе, список которой приведён в конце книги, можно найти 

дополнительные и углублённые сведения по разным вопросам математического анализа. 

 
 

1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 

 
1.1. Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие 

действительное число, обозначенное хn, т.е. х1 имеет номер 1, х2 имеет 
номер 2 и т.д. В этом случае говорят, что задана последовательность 
чисел, или числовая последовательность: 

 

х1,  х2,  х3, …, хn, … или  {хn} , n=1,2,3,…               (1.1) 

 
Числа, составляющие последовательность, называются её членами, а 

хn – общим или n-м членом последовательности. 

Приведём основные способы задания числовых последовательно
стей. 

1. Последовательность может быть задана с помощью формулы, ука
зывающей, как по номеру n-го члена, вычислить его значение хn. Такой 
способ задания последовательности называется аналитическим. Напри
мер, 
2

)1
(
1
n

n
x



, 
,...
3,2,1

n
 Используя данную формулу, можно вы
числить любой член последовательности. Полагая 
1

n
, получаем: 

0
2

)1
(
1
1

1




x
, 
аналогично 
при 
n=2: 
1
2

)1
(
1
2

2




x
, 
n=3: 

2

)1
(
1
3

3




x
, n=4: 
1
2

)1
(
1
4

4




x
 и т.д. Следовательно, числовая 

последовательность имеет вид: 0,1,0,1,… 

2. Последовательность может быть задана с помощью некоторого 

правила, позволяющего вычислить её общий член через предыдущие, и 
при этом задаётся несколько начальных членов. Такой способ задания 
числовой последовательности называется рекуррентным.  
Например, 
2
1
2

 

n
n
n
x
x
x
, 
1
1 
x
, 
0
2 
x
.  

Находим 
1
1
0
2
2
1
2
3







x
x
x
, 
2
0
)1
(
2
2
2
3
4








x
x
x
 и 

т.д. Тогда последовательность будет иметь вид: 1,0,-1,-2,…. 

Последовательность {хn}, n=1,2,3,…  называется постоянной, если 

все её члены совпадают. Значение члена числовой последовательности 
{хn}, n=1,2,3… зависит от n, т.е. является функцией от n. 

Последовательность {хn}, n=1,2,3,…  называется убывающей (строго 

убывающей), если каждый предыдущий член не меньше (больше) по
следующего, т.е.
...
...
1
3
2
1







n
n
x
x
x
x
x
(
...
...
1
3
2
1







n
n
x
x
x
x
x
). 

Последовательность {хn}, n=1,2,3,…  называется возрастающей 

(строго возрастающей), если каждый последующий член не меньше 
(больше) предыдущего, т.е. 

...
...
1
3
2
1







n
n
x
x
x
x
x
(
...
...
1
3
2
1







n
n
x
x
x
x
x
). 

Убывающие и возрастающие последовательности называются мо
нотонными последовательностями. 

Последовательность {хn}, n=1,2,3,… называется ограниченной, если 

существуют числа М и m такие, что для любого n имеет место неравенство 
M
x
m
n 

. В противном случае она называется неограниченной. 

Если последовательность такова, что для неё существует число m и 

не существует числа М, то она является ограниченной снизу и неограниченной сверху. Если последовательность такова, что для неё существует 
число М и не существует числа m, то она является ограниченной сверху 
и неограниченной снизу. 

1.2. Число а называется пределом числовой последовательности 

(1.1), если для любого сколь угодно малого положительного числа 𝜀 
можно указать такое натуральное число N, что для всех членов последовательности с номерами n>N выполняется неравенство: 

 



 a
xn
.                                         (1.2) 

 
Если последовательность имеет своим пределом число а, то её обо
значают следующим образом:  

 

a
xn
n




lim
 (или 
a
xn 
, при 


n
).               (1.3) 

 
Последовательность может иметь только один предел. Последова
тельность, имеющую своим пределом число а, называют последовательностью, сходящейся к а, а последовательность, не имеющую предела, – расходящейся. 

 
Заметим, что для установления существования предела последо
вательности широко используется Теорема Вейерштрасса: любая 
монотонная ограниченная последовательность имеет предел. 

 
1.3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия – это после
довательность с общим членом 
1
1


n
n
q
x
x
, где х1 – первый член, хn – n
ый член, q – знаменатель, q < 1. 

Сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии

...
2

1
1
1



q
x
q
x
x
,  при 


n
 сходится к числу 
q

x

1

1
, поэтому фор
мула для её вычисления имеет вид: 

 

q

x
S

 1

1
, 
1

q
.                                   (1.4) 

 
1.4. Функция f(х) называется непрерывной в точке х0, если её предел 

существует и равен значению функции в этой точке, т.е.: 

 

)
(
)
(
lim
0

0

x
f
x
f

x
x



.                                   (1.5) 

 
Если в некоторой точке х0 данное условие не выполняется, то гово
рят, что функция терпит разрыв, а х0 называется точкой разрыва. 

 
Задача 1. Запишите первые пять членов последовательности, если её 

общий член имеет вид: 
1

3


 n

n
xn
. 

 
Решение.  
Подставляя n=1 в формулу общего члена последовательности, полу
чаем: 
2
1

1
1
13

1



x
, 
аналогично 
при 
2

n
:
3
8

1
2
23

2



x
, 
n=3: 

4
27

1
3
33

3



x
, n=4: 
5
64

1
4
43

4



x
, n=5: 
6

125

1
5
53

5



x
. 

 
Задача 2. Последовательность задана рекуррентным соотношением 

1
3
1 


n
n
x
x
 и 
2
1 
x
. Найдите четыре последовательных члена после
довательности, начиная со второго. 

 
Решение.  
Полагая 
в 
рекуррентном 
соотношении 
n=2, 
получаем: 

7
2
3
1
3
1
3
1
1
2
2








x
x
x
, аналогично 

при 
3

n
: 
,
22
1
7
3
1
3
1
3
2
1
3
3









x
x
x
 

4

n
:
67
1
22
3
1
3
1
3
3
1
4
4









x
x
x
, 

5

n
: 
202
1
67
3
1
3
1
3
4
1
5
5









x
x
x
. 

В результате получаем последовательность 2, 7, 22, 67, 202,…  
 
Задача 3. Напишите общий член последовательности натуральных 

чисел, каждое из которых при делении на 3 даёт остаток, равный 1. 

 
Решение.  
Чтобы натуральное число при делении на 3 давало остаток 1, оно 

должно иметь вид 
1
3 
n
. Следовательно, общий член последовательно
сти:  
1
3 
 n
xn
. 

 
Задача 4. Докажите, что последовательность с общим членом 

1

1

2 
 n
xn
 строго убывает. 

 
Решение.  
Для строго убывающей последовательности выполняется неравен
ство 
1


n
n
x
x
 или 
1
1 


n

n
x
x
.  

Запишем (n+1)-й член последовательности  

n
n
n
n
n

xn
2

1

1
1
2

1

1
)1
(

1

2
2
2
1















. 

Тогда 
1

2

1

1

1

2

1

2

2

2

2
1













n
n

n

n

n
n

x
x

n

n
, так как 
n
n
n
2
1
2
2



 при лю
бом натуральном n. Следовательно, данная последовательность является строго убывающей. 

Задача 5. Докажите, что последовательность 
n

n
xn

1


 ограничена 

сверху и снизу. 

 
Решение.  

Очевидно, что 
1
1 


n

n
xn
, т.е. последовательность ограничена сни
зу. С другой стороны, имеем 
n
n

n
1
1
1



, где 

n

1  – правильная дробь, и,  

следовательно, 
2
1
1

 n
, т.е. последовательность ограничена сверху. 

Задача 6. Докажите, что последовательность 
1

5

 n

n
xn
 сходится к 

числу 5. 

 
Решение.  
По определению число 5 является пределом последовательности {хn}, 

n=1,2,3… , если для любого 
0


 можно указать такое число N, что для 

всех членов последовательности с номерами n>N  будет выполняется 

неравенство (1.2). Используя соотношение (1.2), получаем 




5
1

5
n

n
. 

Пусть задано произвольное положительное число 𝜀, тогда из последнего 

неравенства получаем







1

5
5
5

n

n
n
, или


1
5

n
. Решив это неравен
ство относительно n,  находим 
1
5 




n
. Если в качестве N взять любое 

натуральное число, не меньшее 
1
5 

, то при всех n>N для любого 
0


 

будет выполнено неравенство 




5
1

5
n

n
. Тогда в силу (1.3) следует, 

что 
5
1

5
lim



 n

n

n
. 

Пусть, например, ε =0,01; тогда 
499
1
01
,0
5
1
5






. Возьмём лю
бой член последовательности  {хn}, n=1,2,3…  с номером n> 499, 

например, n=500. Тогда 
501
2500

1
500

500
5

500





x
. Находим величину 

01
,0
501
5

501
5
5
501
2500
5
500







x
, т.е.
01
,0
5
500




x
. Таким 

образом, все члены последовательности, начиная с 
500
x
, находятся в 

окрестности числа 5, т.е. в интервале (4,99;5,01). Аналогично для любого заданного числа 
0


 можно найти номер N, начиная с которого все 

члены последовательности попадут в окрестность числа 5.