Строительная механика. Статически определимые системы: сборник задач

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

С. П. Иванов           О. Г. Иванов         А. С. Иванова 

 
 
 
 

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА 

 

Статически определимые системы 

 
 
 
 

Сборник задач 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Йошкар-Ола 

ПГТУ 
2017 

УДК 624.04 
ББК  39.7 

И 20 

 
 
Рецензенты: 

заведующий 
кафедрой 
прочности 
материалов 
Российского 

университета  дружбы народов, профессор, д-р техн. наук  
С. Н. Кривошапко; 
профессор 
кафедры 
механики 
Казанского 
государственного 

архитектурно-строительного университета, д-р физ.-мат. наук   
Р. А. Каюмов. 

 
 
 
 

Иванов, С. П. 

И 20     Строительная механика. Статически определимые системы: сбор
ник задач / С. П. Иванов, О. Г. Иванов,  А. С. Иванова. – ЙошкарОла: Поволжский государственный технологический университет, 
2017. – 108 с. 
ISBN 978-5-8158-1822-4 

 

Представлено большое число характерных типовых примеров с 

подробными решениями по статически определимым стержневым 
системам. Перед решением задач дано краткое изложение необходимого 
теоретического материала. По каждой теме приведено достаточное число 
задач, которые могут быть использованы для проведения практических 
занятий, контрольных работ и самостоятельной работы студентов. 

Для студентов строительного профиля, а также других технических 

специальностей и направлений подготовки. 

УДК 624.04 

ББК  39.7 

 
ISBN 978-5-8158-1822-4 
© С. П. Иванов, О. Г. Иванов,                    
А. С. Иванова, 2017 
© Поволжский государственный 
технологический университет, 2017 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 
Введение ............................................................................................. 4 
 
1. Кинематический анализ плоских стержневых систем ......... 5 
 
2. Статически определимые балки и рамы .............................. 21 

2.1. Расчет на действие неподвижной нагрузки ....................... 21 
2.2. Построение линий влияния ................................................. 35 

 
3. Трехшарнирные системы ........................................................ 42 

3.1. Расчет трехшарнирных систем на неподвижную  

нагрузку ................................................................................ 42 

3.2. Построение линий влияния  ................................................ 50 

 
4. Расчет ферм ................................................................................ 55 

4.1. Определение усилий в стержнях ферм .............................. 55 
4.2. Построение линий влияния усилий в стержнях ферм ...... 66 

 
5. Расчет комбинированных систем ........................................... 73 
 
6. Определение перемещений ...................................................... 85 

6.1. Определение перемещений от действия нагрузки ............ 85 

6.1.1. Определение перемещений по формуле Мора ......... 85 
6.1.2. Определение перемещений способом Верещагина . 90 

6.2. Определение перемещений от действия температуры ..... 99 
6.3. Определение перемещений от смещения опор ............... 103 

 
Список литературы ........................................................................ 107 

 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Настоящее издание предназначено для изучения первой 

части курса строительной механики – «Статически определимые 
стержневые системы». 

Представленный 
здесь 
материал 
структурирован 
в 

следующие разделы: 

 кинематический анализ плоских стержневых систем; 

 статически определимые балки и рамы; 

 трехшарнирные системы; 

 расчет ферм; 

 расчет комбинированных систем; 

 определение перемещений. 
Сборник содержит достаточно большое число подробно 

разобранных 
примеров, 
что 
должно 
помочь 
студентам 

приобрести навыки самостоятельного решения задач.   

По каждой теме кратко представлены теоретические 

сведения, знание которых обязательно потребуется для решения 
задач. С ними необходимо ознакомится прежде, чем приступить к 
выполнению заданий. 

В конце каждого раздела приведено значительное число 

типовых задач для самостоятельного решения, которые могут 
использоваться 
для 
выполнения 
практических 
занятий, 

контрольных работ, а также для организации самостоятельной 
работы студентов.  

Задачи по каждой теме представлены в порядке возрастания 

сложности. 

 

1

КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКИХ 

СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

 

Геометрически 
неизменяемой 
называется 
система, 

изменение формы которой может происходить только в 

результате деформации составляющих ее элементов. Если 

считать условно все стержни системы абсолютно жесткими 

(недеформируемыми), 
то 
ни 
одна 
точка 
геометрически 

неизменяемой системы не может иметь никаких перемещений. 

Такие системы могут воспринимать нагрузки любого вида и 

направления, если величины нагрузок не превосходят значений, 

допустимых условиями прочности элементов системы. На 

рисунке 1.1 показаны примеры геометрически неизменяемых 

систем. 

 

Рис. 1.1 

 

       Системы, которые могут изменять свою форму и точки 

которых могут получать конечные перемещения без деформации 

элементов, называются геометрически изменяемыми. Такие 

а)
б)

системы могут воспринимать нагрузку только определенного 

вида. Так, система, показанная на рисунке 1.2 а, может 

воспринимать вертикальную нагрузку (рис. 1.2 б), но не может 

воспринимать горизонтальную (рис. 1.2 в). 

 

 

Рис. 1.2 

 

       Системы, которые могут получать бесконечно малые 

перемещения без деформации элементов, называются мгновенно 

изменяемыми. Так, точка А системы, показанной на рис. 1.3, а 

может 
иметь 
малое 
перемещение 
А-А1 
вдоль 
прямой, 

перпендикулярной к осям стержней АВ и АС. Условия 

равновесия таких систем выполняются только для частных видов 

нагрузки. Например, для нагрузки, показанной на рис. 1.3 б, 

условия равновесия выполняются, а для системы, загруженной 

вертикальной силой (рис. 1.3 в), условия равновесия не 

выполняются (сумма проекций на вертикальную ось не равна 

нулю). Такая система может быть рассчитана только по 

деформированной схеме, то есть с учетом деформаций стержней. 

Р

а)
)

б)
в)

Р

Рис. 1.3 

 

Система может быть геометрически неизменяемой и 

неподвижной только в том случае, если она имеет необходимое 

для этого число связей. При недостаточном числе связей система 

является геометрически неизменяемой. Если связей достаточно, 

то система может быть неизменяемой, изменяемой или 

мгновенно изменяемой – в зависимости от расположения связей. 

Любую 
геометрически 
неизменяемую 
часть 
системы 

называют диском. Если рассматривать систему как совокупность 

статически определимых дисков, соединенных между собой 

шарнирами, то степень свободы системы W можно определить по 

формуле 

                             W = 3Д – 2Ш – С0,                                (1.1) 

где Д – число дисков, Ш – число простых шарниров, С0 – число 

опорных стержней. Простым шарниром называется шарнир, 

связывающий два диска. Если шарнир соединяет n дисков, то он 

эквивалентен n-1 простым шарнирам. 

Если 
система 
не 
связана 
с 
землей, 
то 
степень 

неизменяемости V системы может быть найдена по формуле 

                                 V = 3Д – 2Ш – 3.                              (1.2) 

Р

С
А
В

С
А
В

А

С
А
В

а)
б)
в)

Р

Для шарнирно-стержневых систем (ферм) степень свободы 

W и степень изменяемости удобнее определять по формулам 

W = 2У – С – С0 ,                                   (1.3) 

V = 2У – С – 3,                                     (1.4) 

где У – число узлов, С – число стержней. 

При недостающем числе связей (W или V > 0) система 

является геометрически изменяемой (механизмом). Если W ≤ 0 

или V ≤ 0, для выяснения вопроса об изменяемости системы 

необходимо 
произвести 
анализ 
геометрической 
структуры 

системы. 

Рассмотрим систему, образованную соединением трех 

стержней (дисков) тремя шарнирами  (рис. 1.4 а). Если шарниры 

А, В и С не лежат на одной прямой, то такая система 

геометрически неизменяема, так как известно, что по трем 

сторонам можно построить только один треугольник. 

На рис. 1.4 б показана уже рассмотренная нами мгновенно 

неизменяемая система. Будем иметь в виду, что: 1) любой 

стержень может быть принят за диск; 2) при анализе 

геометрической структуры системы земля тоже принимается за 

диск;  3) простой шарнир эквивалентен двум стержням. 

Теперь, обосновываясь на двух рассмотренных системах, 

можно получить все способы образования геометрически 

неизменяемых и мгновенно изменяемых систем (рис. 1.4).  

 

Геометрически неизменяемые 

системы

Мгновенно изменяемые 

системы

Присоединение точки к диску

Соединение двух дисков

Соединение трех дисков

Рис. 1.4 

н)

В

А

С

м)

В

А

С

л) А
В
С
к)

А

В

С

и)

з)

А

В

С

ж)

А

В

С

д)

А

В

С

д)

А

В

С

С
А
В

г)

А

В

С

в)

С
А
В

б)
а)

А

В

С

Образование любой сложной системы можно представить 

как результат последовательного соединения двух или трех 

дисков и присоединения узлов к дискам. 

Здесь рассмотрены аналитические способы кинематического 

анализа систем, с которыми можно познакомиться по учебникам 

[1, 3]. 

ПРИМЕР 1.1.  Произвести кинематический анализ системы, 

показанной на рис. 1.5. 

 

РЕШЕНИЕ.  Рассматриваемая система является шарнирно 

стержневой и соединена с землей. Для определения степени 

свободы используем формулу (1.3). Система образована из 15 

стержней, соединяющих 9 узлов, и присоединена к земле тремя 

опорными стержнями. Определяем число степеней свободы 

                       W = 2×9 – 15 – 3 = 0. 

1
2

4

6

8

7

9

3

5

Рис. 1.5

Количество 
связей 
достаточно 
для 
образования 

геометрически неизменяемой системы. Выделим один из 

треугольников, например треугольник 1-2-3, и к нему как к 

основному диску присоединим последовательно узлы 4, 5, 6, 7, 8 

и 9 каждый двумя стержнями. В результате получаем диск 1-2-8
9, который присоединяется к земле тремя стержнями, не 

пересекающимися в одной точке и не параллельными между 

собой. 
Следовательно, 
система 
является 
геометрически 

неизменяемой. 

 

ПРИМЕР 1.2.  Произвести кинематический анализ системы, 

показанной на рис. 1.6. 

РЕШЕНИЕ. 
Для 
подсчета 
числа 
степеней 
свободы 

используем формулу (1.3). В системе У = 16, С = 29, С0 = 5. 

Степень свободы равна 

W = 2×16 – 29 – 5 = 2. 

Система имеет два «лишних» стержня. Рассматривая 

образование системы путем последовательного присоединения 

узлов к основному треугольнику, можно выделить три диска, 

причем диски Д1 и Д2 имеют по одному «лишнему» стержню 

(рис. 1.6). Принимая диски Д1 и Д2 за стержни, землю за диск Д4, 

видим, что диски Д3 и Д4 соединены тремя «стержнями».