Основы теории обработки непрерывных контуров изображений

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБРАБОТКИ 

НЕПРЕРЫВНЫХ КОНТУРОВ 

ИЗОБРАЖЕНИЙ 

 
 

Монография  

 
 

Под общей редакцией профессора Р. Г. Хафизова 

 
 
 
 
 

Йошкар-Ола 

ПГТУ 
2015 
 

УДК 621.396 
ББК  32.84 

О 75 

 

Рецензенты: 

д-р техн. наук, профессор кафедры радиотехники и радиосистем 

ФГБОУ ВПО «Владимирский государственный университет  

имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича  

Столетовых» А. П. Галкин 

д-р техн. наук, доцент кафедры динамики электронных систем  

ФГБОУ ВПО «Ярославский государственный университет  

им. П. Г. Демидова» А. Л. Приоров 

д-р техн. наук, профессор кафедры радиоэлектронных средств  

ФГБОУ ВО «Вятский государственный университет» Е. В. Медведева 
 

 
 
 

Основы теории обработки непрерывных контуров изоб
ражений: монография / Р. Г. Хафизов, А. А. Роженцов, Д. Г. Хафизов, С. А. Охотников; под общ. ред. проф. Р. Г. Хафизова. – 
Йошкар-Ола: Поволжский государственный технологический 
университет, 2015. – 172 с. 
ISBN 978-5-8158-1606-0 

 
Рассмотрены актуальные вопросы представления, обработки и рас
познавания непрерывных и случайных контуров изображений и оценки 
их параметров. Приведены различные подходы и реализации алгоритмов обработки непрерывных и случайных контуров изображений. 

Для научных работников и инженеров, специализирующихся в об
ласти обработки изображений, а также аспирантов и магистрантов соответствующего профиля. 

УДК 621.396 

ББК 32.84  

 
 
ISBN 978-5-8158-1606-0 
© Р. Г. Хафизов, А. А. Роженцов,  
Д. Г. Хафизов, С. А. Охотников, 2015 
© Поволжский государственный 
 технологический университет, 2015 

О 75

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
5 

ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ 
7 

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 
8 

ВВЕДЕНИЕ 
9 

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА 
НЕПРЕРЫВНЫХ КОНТУРОВ ИЗОБРАЖЕНИЙ 
12 

1.1. Математическая модель непрерывного контура 
12 

1.2. Спектральный анализ непрерывных контуров 
16 

1.2.1. Ортогональный базис 
16 

1.2.2. Разложение произвольного непрерывного  
контура 
19 

1.2.3. Свойства спектра непрерывного контура 
27 

1.3. Корреляционный анализ непрерывных контуров 
34 

1.4. Дискретизация непрерывных контуров 
39 

Выводы по главе 1 
42 

2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕПРЕРЫВНОГО 
КОНТУРА ИЗОБРАЖЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ФОРМЫ 
44 

2.1. Модель контура 
44 

2.2. Корреляционный и спектральный анализ  
случайных контуров 
55 

2.3. Обобщенная модель случайного контура 
61 

2.4. Закон распределения случайного контура 
62 

Выводы по главе 2 
66 

3. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ 
КОНТУРОВ ИЗОБРАЖЕНИЙ 
67 

3.1. Основные соотношения при линейной фильтрации 
непрерывных контуров 
67 

3.2. Простейшие фильтры непрерывных контуров 
69 

3.3. Согласованная фильтрация непрерывных контуров 
изображений 
72 

3.3.1. Основные аналитические соотношения 
72 

3.3.2. Свойства согласованного фильтра 
76 

3.3.3. Согласованная фильтрация зашумленного 
непрерывного контура 
79 

3.4. Оценка параметров линейных преобразований 
непрерывных контуров 
85 

Выводы по главе 3 
89 

4. РАСПОЗНАВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КОНТУРОВ 
С ЗАДАННОЙ И СЛУЧАЙНОЙ ФОРМОЙ 
91 

4.1. Вводные замечания 
91 

4.2. Распознавание изображений заданной формы 
93 

4.3. Распознавание случайного контура 
98 

4.4. Применение стереографической проекции  
для решения задач распознавания контуров изображений 102 
4.5. Параметризация контуров изображений 
107 

Выводы по главе 4 
112 

5. РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ ОБРАБОТКИ 
НЕПРЕРЫВНЫХ КОНТУРОВ ИЗОБРАЖЕНИЙ 
114 

5.1. Структура устройства обработки 
114 

5.2. Моделирование работы устройства обработки 
116 

5.3. Обработка непрерывных контуров на ЭВМ 
120 

Выводы по главе 5 
127 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 
130 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
132 

ПРИЛОЖЕНИЯ 
1. Реализация случайных контуров 
142 

2. Состояние вопроса в области обработки контуров  
изображений 
152 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 

Предлагаемая вниманию читателей монография подготовле
на на кафедре радиотехнических и медико-биологических систем Поволжского государственного технологического университета.  

Настоящее издание посвящено вопросу обработки непрерыв
ных и случайных контуров изображений. Данное исследование 
служит развитием теории контурного анализа, обобщением и 
анализом полученных ранее результатов. Непрерывные контуры 
изображений здесь предлагается рассматривать в виде комплекснозначных сигналов, заданных на комплексной плоскости, 
что в дальнейшем позволяет использовать классические подходы при обработке сигналов с учетом следующих особенностей 
контурного анализа: а) контуры изображений содержат концентрированную информацию о форме объекта, его масштабе и угловом положении; б) контуры изображений полностью характеризуют их форму и позволяют создать простые аналитические 
описания, инвариантные к переносу, повороту и масштабированию изображений. 

Актуальность работы обсуловлена тем, что для современного 

этапа развития радиотехнических систем характерно стремительное возрастание объема видеоинформации, а это предъявляет повышенные требования к скорости обработки изображений, 
их компактному представлению для передачи по каналам связи 
и хранению, к качеству восстановления изображений и т.д. 
Примером могут служить системы цифрового телевидения, медицинские диагностические и охранные системы, системы мониторинга и др. Необходимость выполнения этих требований 
стимулирует появление новых и совершенствование известных 
методов обработки изображений. 

В первой главе рассмотрено представление контуров изоб
ражений в виде функции комплексного переменного. Задано 
линейное пространство, получены основные аналитические соотношения. Рассмотрены вопросы спектрального и корреляционного анализа непрерывных контуров. 

Во второй главе предложена модель случайного непрерывно
го контура, представляющая собой комплексную случайную 
функцию. Данная функция рассматривается как совокупность ее 
возможных реализаций. Введены понятия математического 
ожидания и дисперсии случайного контура, корреляционная 
функция и спектр случайного контура. Представлена обобщенная модель случайного контура. 

В третьей главе рассмотрены вопросы линейной (в том числе 

согласованной) фильтрации непрерывных контуров изображений. Представлено решение задачи оценки параметров линейных преобразований изображений. 

В четвертой главе представлены структуры распознающих 

устройств и характеристики распознавания непрерывных контуров с заданной и случайной формой. Предложен подход к 
распознаванию контуров с применением стереографической 
проекции. 

В пятой главе рассмотрена структура устройства обработки и 

представлен результат моделирования его работы. Исследованы 
также особенности обработки непрерывных контуров на ЭВМ. 

Авторы благодарят коллектив кафедры радиотехнических и 

медико-биологических систем Поволжского государственного 
технологического университета и особенно д-ра техн. наук, 
профессора Я. А. Фурмана за плодотворное и конструктивное 
обсуждение основных идей, помощь и поддержку, а также выражают признательность докторам технических наук А. П. Галкину, А. Л. Приорову, Е. В. Медведевой за рецензирование рукописи. 

ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ 

 
АК – аналоговый коммутатор 
АКФ – автокорреляционная функция 
АЦП – аналогово-цифровой преобразователь 
ВКФ – взаимнокорреляционная функция 
ДПФ – дискретное преобразование Фурье 
ИХ – импульсная характеристика 
КСФ – контурный согласованный фильтр 
НЭК – непрерывный элементарный контур 
СП – скалярное произведение 
УЩМ – устройство определения максимума 
ФМ – формирователь модуля 
ФО – Фурье-описание (контура) 
ЧКП – частотный коэффициент передачи 

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 

 

 

 L
l
,0


X
, 
 

 L
l
,0


Y
 – непрерывные контуры; 

L  – длина непрерывного контура; 
X  – норма непрерывного контура; 

2
R  – расстояние между контурами; 


 L
l
,0
)
(


K
 – зашумленный непрерывный контур; 


 L
l
,0
)
(


Z
 – шумовой непрерывный контур; 

m
X
 - непрерывный элементарный контур; 






,
)
(m

P
 – спектр непрерывного контура; 

 

 L
r
,0


T
 – корреляционная функция непрерывного кон
тура; 

)
X l(
 – случайный контур; 

 L
l
,0
)
(


H
 – непрерывный контур на выходе фильтра; 


 L
l
,0
)
(


Λ
 – импульсная характеристика фильтра; 


 L
l
,0
)
(


Ω
 – частотный коэффициент передачи фильтра; 

)
(l
m
 – математическое ожидание случайного контура; 

)
(l
D
 – дисперсия случайного контура; 

)
,
(
2
1 l
l


 – корреляционная функция случайного контура; 

)
,
(
2
1 l
l


 – нормированная корреляционная функция слу
чайного контура; 

)
,
(
2
1 l
l
R


 – взаимная корреляционная функция случайных 

контуров 
)
(l

 и 
)
(
Y l ; 

пр
P
 – вероятность правильного распознавания; 

q  – отношение сигнал/шум. 

ВВЕДЕНИЕ 

 
В большинстве случаев изображение можно рассматривать 

как часть плоскости, разделенную на области с постоянными 
или меняющимися по некоторому закону параметрами, например, оптической плотностью, цветом, текстурой. При этом контуры изображений объектов часто можно считать наиболее информативной частью их представления [1-3, 5, 6].  

В работе [13] отмечается: «Понятие непрерывной кривой на 

плоскости (в пространстве) является одним из понятий, интуитивно кажущихся простыми, но фактически очень сложно определяемых. В разные периоды развития математики крупнейшие 
представители этой области человеческих знаний по-разному 
определяли непрерывную кривую. Каждое новое определение 
исходило из потребностей практической деятельности человека, 
а также уровня знаний соответствующей эпохи». Потребности 
настоящего времени тесно связаны с необходимостью создания 
и массового использования средств обработки визуальной информации. Традиционно используемые непрерывные формы 
представления фигур позволяют выполнять над ними различные 
преобразования: сжатие, растяжение, вращение и т.д. Однако в 
настоящее время во многих приложениях возникает необходимость осуществления более широкого класса преобразований 
фигур (например, уменьшение или увеличение ширины отдельных фрагментов либо фигуры в целом, вытягивание или изгиб 
фрагментов и т.п.). 

Основные вопросы контурного анализа изображений были 

рассмотрены в монографии «Введение в контурный анализ и его 
приложения к обработке изображений и сигналов», вышедшей в 
издательстве «ФИЗМАТЛИТ» в 2002 году под редакцией профессора Я. А. Фурмана. В работе [3] рассмотрены подходы к 
обработке изображений, основанные на анализе контуров изоб

ражений, которые содержат информацию о форме объекта, его 
масштабе и угловом положении. Контуры изображений полностью характеризуют их форму и позволяют создать простые 
аналитические описания, инвариантные к переносу, повороту и 
масштабированию изображений. Рассмотрение контуров изображений как комплекснозначных сигналов и представление их в 
линейном комплекснозначном пространстве позволяет получить 
меру близости двух контуров в виде их скалярного произведения, инвариантную к преобразованиям переноса, поворота и 
масштабирования. 

Существенное влияние на возможность применения методов 

контурного анализа оказывает количество пикселов в составе 
изображения объекта. С уменьшением числа пикселов из-за искажения формы шумами дискретизации падает отношение сигнал/шум. Маскирующее влияние шумов дискретизации приводит к потере отдельных, в первую очередь, мелких деталей 
изображений, т.е. к потере информативных признаков формы в 
их  контурах [3]. Необходимое количество пикселов связано с 
шириной спектра контура и должно выбираться исходя из теоремы Котельникова. Однако в целом ряде случаев количество 
пикселов определяется возможностями программируемого процессора изображений и применяемых датчиков изображений. 

Шум пространственной дискретизации является мультипли
кативной помехой, среднеквадратичное значение которой прямо 
пропорционально значению сигнала. Из этого следует, что отношение сигнала к среднеквадратичному значению шума пространственной дискретизации не зависит от величины сигнала, а 
значит, и от яркости изображения объекта. Вместе с тем качество изображения и, в частности, вероятности правильного обнаружения и распознавания изображения объекта определяются 
суммарным уровнем шума, который кроме шума пространственной дискретизации включает в себя другие составляющие. 

Таким образом, чем больше шум пространственной дискретизации, тем меньше может быть допущен шум от других источников для того, чтобы общий уровень шума не превысил допустимое значение [14]. 

Как подчеркивается в работе [3], особый интерес вызывает 

вопрос применения в качестве базы теории комплексной переменной для обработки и анализа контуров изображений. Теория 
аналитических функций комплексного переменного представляет множество полезных математических моделей. Многие математические модели упрощаются, если рассматривать действительные переменные как частный случай комплексных переменных. Вопросам анализа и обработки непрерывных детерминированных и случайных контуров изображений и посвящена 
эта монография. 

 
 

 
 

1
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 

И МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕПРЕРЫВНЫХ 

КОНТУРОВ ИЗОБРАЖЕНИЙ

 

1.1. Математическая модель непрерывного контура 

Если для любого натурального числа l  указано комплексное 

число 
)
(
Im
)
(
Re
)
(
l
i
l
l





, то в этом случае мы имеем дело с 

комплексной непрерывной переменной, заданной на плоскости 
С  комплексного непрерывного переменного  . Представление 

контуров изображений в виде функций комплексной переменных позволяет привлечь для их анализа и обработки теорию 
функции комплексной переменной.  

Контур 
L
l
,0
)}
(
{

X
 как непрерывную замкнутую кривую, 

заданную на комплексной плоскости, представим в виде [7] 

)}
(
exp{
)
(
)
(
Im
)
(
Re
)
(
l
i
l
l
i
l
l








, 
(1.1.1) 

где l  – любое в диапазоне от 0 до L ; L  – длина контура; 

)
(
Re
l

 и 
)
(
Im
l

 – действительная и мнимая компоненты 

функции 
)
(l

; 
2
2
))
(
(Im
))
(
(Re
)
(
l
l
l





 и 
)
(
arg
)
(
l
l



 – 

амплитудное и фазовое представление функции 
)
(l

. На 

рис. 1.1 приведены примеры непрерывных контуров. 

При многократном обходе вдоль замкнутой линии контур X  

можно 
представить 
в 
виде 
периодической 
функции 
с 

периодом L , т.е. 

)
(
)
(
L
l
l





, 
,...
2
,1,0


 . 
 
(1.1.2) 

Контуры изображений будем рассматривать как векторы в 

линейном комплексном пространстве. Текущей компонентой 
контура будет 
)
(l

, l  – любое в диапазоне от 0 до L .