Волновые процессы в замагниченной плазме анизотропного полуметалла

О.В. Кондаков, Е.В. Кондакова

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ  
В ЗАМАГНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЕ  
АНИЗОТРОПНОГО ПОЛУМЕТАЛЛА

Учебное пособие 

2-е издание, стереотипное

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2022 

УДК 538.971+538.956+538.958 
ББК  22.37 
 К64 

Рецензенты:

К.Г. Иванов, доктор физико-математических наук, профессор 
(Санкт-Петербургский государственный университет  
промышленных технологий и дизайна);  

Д.В. Кузнецов, кандидат физико-математических наук, доцент 
(Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина) 

К64 

Кондаков О.В.
    Волновые процессы в замагниченной плазме анизотропного полуметалла: учебное пособие / О.В. Кондаков, Е.В. Кондакова. – 2-е изд., 
стер. – Москва : ФЛИНТА, 2022. – 84 с. – ISBN 978-5-9765-4861-9. – 
Текст : электронный. 

Учебное пособие содержит систематическое изложение курса «Волновые процессы в замагниченной плазме анизотропного полуметалла». 
Изучаемый материал представлен таким образом, чтобы ввести читателя в основные идеи, связанные с распространением электромагнитных 
волн в анизотропном монокристалле, находящемся в магнитном поле. 
Книга написана в соответствии с требованием государственного 
стандарта и адресована студентам физических и инженерно-физических 
направлений подготовки, связанным с современной электроникой.  

УДК 538.971+538.956+538.958 
ББК 22.37 

ISBN 978-5-9765-4861-9             
© Кондаков О.В., Кондакова Е.В., 2022   
© Издательство «ФЛИНТА», 2022 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Электромагнитные волны являются наиболее часто используемым ин
струментом для «сканирования» объектов неизвестной структуры. В нашем 
случае – это инфракрасное излучение, распространяющееся в планарном волноводе, помещённом в магнитное поле. Стенки планарного волновода состоят 
из анизотропного материала. Планарный волновод в силу своей геометрии, 
когда между двумя трансляционно-симметричными монокристаллами имеется узкий зазор, с одной стороны обеспечивает идеальные условия для взаимодействия электромагнитной волны с материалом его стенок, а с другой отсекает излучение, которое не участвует во взаимодействии с кристаллом. Ширина зазора должна быть не менее половины длины волны электромагнитного 
излучения, распространяющегося в нём, и не слишком велика, чтобы исключить часть излучения, которая не участвует во взаимодействии с кристаллом. 
Таким образом повышается отношения сигнал/шум при регистрации излучения, прошедшего через рассматриваемую систему. Магнитное поле необходимо, чтобы повысить информативность результатов эксперимента. Введение 
новой степени свободы резко повышает количество информации, полученной 
в результате регистрации сигнала. Таким образом, мы имеем возможность 
получить уникальную информацию, как о материале стенок волновода, так и 
о особенностях взаимодействия электромагнитных волн с веществом. 

Однако, анализ полученных в результате эксперимента магнитооптиче
ских спектров требует глубоких знаний в области физики твёрдого тела, электродинамики и кристаллооптики. Более того, сложность полученных уравнений часто не позволяет провести аналитическое исследование результатов 
эксперимента. Необходимы численные расчёты в сочетании с теоретическим 
анализом. Данное пособие как раз реализует этот синтетический подход к 
решению поставленной проблемы. 

В пособии рассмотрены общие вопросы, связанные с распространением 

электромагнитных волн в веществе. Особое внимание уделено условиям, которые возникают при наложении магнитного поля. Отклик вещества на 
внешнее воздействие описывается функцией диэлектрической проницаемости 
для диэлектриков и проводимостью для металлов. При наложении магнитного поля эти две функции становятся взаимозависимыми и связанными друг с 
другом. Магнитное поле создаёт осевую симметрию в изотропном веществе. 
Таким образом, диэлектрическая проницаемость, как и проводимость, становятся тензорными величинами. Если же само вещество анизотропно, то это 
приводит к ещё большим осложнениям. Рассмотрение распространения электромагнитных волн в таких условиях изобилуют целым рядом разных и неочевидных условий и становится чрезвычайно сложным. Именно такому случаю и посвящено данное учебное пособие. 

 
 

ГЛАВА 1. ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА УЗКОЗОННЫХ  
ПОЛУПРОВОДНИКОВ И ПОЛУМЕТАЛЛОВ 
 
§ 1.1. Электромагнитные волны. Общие сведения 
 
При наличии электрических зарядов в пространстве устанавливается 
возбужденное состояние, которое называется электромагнитным полем. Его 
представляют двумя векторами Е и В, именуемыми соответственно электрическим вектором и магнитной индукцией. Для того чтобы описать влияние 
поля на материальные объекты, необходимо ввести вторую группу векторов, 
а именно плотность электрического тока j, электрическое смещение D и магнитный вектор H. Пространственные и временные производные пяти указанных векторов связаны уравнениями Максвелла [1]: 

j
c
D
c
rot



π
4
1
=
−
Η
, 
(
j
t
D
H




+
∂
∂
=
×
∇
),                             (1.1.1) 

0
1
=
+
Ε
B
c
rot



, 
 
 (
t
B
E
∂
∂
−
=
×
∇




),                                 (1.1.2) 

πρ
4
=
D
div


, 
 
 (
ρ
=
∇D



),                                         (1.1.3) 

0
=
B
div


,  
 
 (
0
=
∇B



),                                          (1.1.4) 
где 
H
D
B
E




,
,
,
 – зависящие от времени векторы напряжённости и индукции 

электрического и магнитного полей, 
z
k
y
j
x
i
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇




 – оператор градиен
та, j


- плотность тока.  
Так в теоретической физике система единиц «сгс» является предпочтительной, то система уравнений Максвелла приведена именно в этой системе, 
а в скобках приведены те же уравнения в системе СИ. Это сделано для удобства читателей, которым физика преподавалась в системе СИ.  
Для того чтобы при заданном распределении зарядов и токов уравнения 
допускали единственное решение для векторов поля, к этим уравнениям 
необходимо добавить соотношения, описывающие поведение вещества под 
влиянием поля. Такие соотношения называются материальными уравнениями. В общем случае они довольно сложны, но для тел, находящихся в покое 
друг относительно друга (или в состоянии очень медленного движения) и состоящих из изотропных веществ (т.е. веществ, физические свойства которых 
в каждой точке не зависят от направления), эти уравнения принимают относительно простую форму [1]: 

E
D


ε
=
, 
(
E
D



0
εε
=
),                                      (1.1.5) 

H
B


µ
=
, 
 (
H
B



0
µµ
=
),                                  (1.1.6) 

E
J


σ
=
, 
  (
E
j


⋅
= σ
).                                   (1.1.7) 

Величина σ называется удельной проводимостью, ε – диэлектрической 
проницаемостью, а μ – магнитной проницаемостью. 
Существование электромагнитных волн было теоретически предсказано 
Максвеллом (1862-1864) как прямое следствие из уравнений электромагнитного поля. Скорость электромагнитных волн в вакууме оказалось равной величине 
0
0
1
µ
ε
=
c
 (в системе СИ), называемой в то время электродинамической постоянной. Ее числовое значение (
с
м
8
10
1,3 ⋅
) было получено несколько 
раньше (1856) из электромагнитных измерений В.Е. Вебера (1804-1891) и     
Р.Г. Кольрауша (1809-1858). Оно почти совпадало со скоростью света в вакууме, равной, по измерениям И.Л. Физо (1819-1896) в 1849 г., 
с
м
с
8
10
15
,3
⋅
=
. 
Впоследствии 
0
ε  и 
0
µ  получили названия – соответственно электрическая и 
магнитная постоянные. 
 
§ 1.2. Диэлектрическая постоянная 
 
 
Диэлектрическая постоянная или диэлектрическая проницаемость         
ε - безразмерная величина, показывающая во сколько раз сила взаимодействия зарядов в данной среде уменьшена по сравнению с вакуумом. Формула 
Клаузиуса – Мосотти связывает ε с поляризуемостью атомов, молекул или 
ионов, т.е. с химическими свойствами вещества: 

∑
=
+
−

i
i
N α
π
ε
ε
3
4
2
1

,                                      (1.2.1), 

где 
i
N - число атомов, молекул или ионов типа i  в объеме вещества; 
i
α - их 
поляризованность. 
Значения 
i
α  периодически изменяются в зависимости от положения 
элемента в периодической системе. В отличие от поляризующего действия 
ионов, их поляризуемости 
i
α  растут с увеличением главного квантового числа и уменьшаются с ростом заряда. В твердых телах из-за сложности взаимодействий ε обычно не удается вычислить из поляризуемостей отдельных 
ионов. Поляризуемость в твердом веществе состоит в основном из двух частей: электронной 
эл
α
, обусловленной смещением электронов относительно 
ядра, и ионной 
ионн
α
, связанной со смещением ионов по отношению к других 
ионам. В молекулярных кристаллах к этому добавляются ориентационная поляризуемость, а в сегнетоэлектриках – спонтанная поляризуемость целых областей кристалла. 
Электронная поляризуемость определяется в основном объемом частицы и сохраняет свое значение в полях высоких частот. Соответствующую высоким частотам диэлектрическую проницаемость ε∞ можно определить, измерив показатель преломления n: 

2
n
=
∞
ε
, а величину 
эл
α
 – из формулы (1.2.1), 

заменив ε на n2. Для большинства ионных кристаллов значение ε∞  изменяется 
в пределах от 2 до 4 [2]. 
Ионная поляризуемость определяется эффективным зарядом e*, массой 
ионов m* и собственной частотой оптических колебаний ω0. Ионная часть диэлектрической проницаемости изменяется в более широких пределах от 5 до 
30 и больше. Ориентационная поляризуемость в ионных кристаллах составляет небольшую величину. Отсюда видно, что основной вклад (50-80%) в диэлектрическую проницаемость ионных кристаллов дает ионная поляризуемость полупроводников. В кристаллах с ковалентными связями величины ε 
довольно близки к n2. Теоретическое вычисление ε для ионных кристаллов 
затруднено из-за незнания ряда констант. Поэтому при изучении закономерностей изменения различных свойств твердого тела их сравнивают обычно с 
экспериментальными значениями 

2
n
=
∞
ε
 и 
ε
ε =
0
, т.е. высокочастотной и 
статической диэлектрическими проницаемостями (
0
ε – здесь диэлектрическая 
проницаемость, когда частота электромагнитного поля равна нулю, не путать 
с электрической постоянной). 
 Значения ε0 обычно приведены в таблицах. Расхождения в литературных данных по ε иногда очень велики и вызваны разными причинами. 
Например, величина ε может зависеть от кристаллографического направления. Так, значение ε  для рутила TiO2 в направлении, перпендикулярном оптической оси кристалла, равно 86, а в параллельном направлении – 170. Иногда очень малые количества примесей соединений металлов иной валентности могут изменять ε ионных кристаллов во много раз. Например, 0,03% U3O8 
в TiO2 увеличивает значение ε  от 100 до 10000; 0,1% Nb2O5 и Ta2O5 в TiO2 – 
до 40000; примесь (1-5%) Bi2O3 в ZnO увеличивает ε  от 10-20 до 1000. Объясняется это высоким значением электронной поляризуемости водородоподобной орбиты атома примеси из-за большого радиуса его орбиты. 
Рассмотрим влияние диэлектрической проницаемости на каталитическую активность. В конечном счете это определяется тем, что взаимодействие 
между зарядами (например, ионами, электронами, диполями) происходит в 
среде, уменьшающей это взаимодействие в ε  раз. На поверхности твердого 
тела для оценки взаимодействия между зарядами часто рассматривают среднеарифметическое значение ε между εкрист и εгаз. В действительности такой 
расчет является очень грубым приближением. Точно также и поляризацию 
адсорбированного слоя нельзя рассчитывать по правилу аддитивности из поляризаций адсорбата и адсорбента. Кроме того, в микротрещинах, щелях и в 
присутствии постоянной примеси значение ε  может быть повышено по срав
нению с этим средним значением 








+

2

газ
крист
ε
ε
. 

 
 

§ 1.3. Комплексная диэлектрическая проницаемость. 
Тензор диэлектрической проницаемости 
 
 
В однородной проводящей среде проводимость 
0
≠
σ
 и поэтому уравнения Максвелла (1.1.2)-(1.1.4) остаются без изменений, а уравнения (1.1.1) и 
(1.1.2) можно записать в виде: 

E
c
t
E
c
H



⋅
=
∂
∂
−
×
∇
σ
π
ε
4
, (
t∂
Ε
∂
+
Ε
=
Β
×
∇



ε
µε
µ
µσ
µ
0
0
0
),              (1.3.1) 

0
=
∂
∂
+
×
∇
t
H
c
E


µ
.                                                                            (1.3.2) 

 Сравнивая уравнения (1.3.1) в системах сгс и СИ становится понятно, 
что более удобно пользоваться сгс системой. 
 Падающее на вещество электромагнитное излучение можно представить как монохроматическую плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в направлении вектора k
 с частотой ω: 
(
)
(
)
r
k
ωt
i
exp
E
E




−
=
0
,  
    
 
 
(1.3.3) 

(
)
(
)
r
k
ωt
i
exp
B
B




−
=
0
.  
    
 
 
(1.3.4) 

 Тогда, проведя дифференцирование, уравнения (1.3.1) и (1.3.2) можно 
представить в виде:  

E
c
c
i
H
ki



⋅





+
=
×
−
σ
π
ωε
4
, 
 
 
 
 
(1.3.5) 

H
c
i
E
ki



µω
−
=
×
−
⇔  
E
k
c
H



×
= µω
.                             (1.3.6) 

Подставляя выражение (1.3.6) в уравнение (1.3.5), получим: 

E
c
c
i
E
k
k
ic




⋅





+
=
×
×
−
σ
π
ωε
µω
4

,  
 
 
(1.3.7) 

E
c
i
c
E
k
k




⋅











−






=
×
×
−
µσ
πω
µε
ω

2

2
4
. 
 
 
(1.3.8) 

 Рассмотрим магнитно неактивную среду, где 
1
=
µ
. Это справедливо для 
большинства материалов. В результате получаем: 

E
c
i
c
E
k
k




















−




=
×
×
−
σ
πω
ε
ω

2

2
4

. 
 
 
(1.3.9) 

 Рассмотрим только одну конфигурацию 
E
k


⊥
. Тогда дисперсионное 
уравнение приобретает следующий вид: 

E
c
E
i
c
E
k



⋅




=
⋅



−




=
−
∗
ε
ω
σ
ω
π
ε
ω
2
2
2
4
,  
 
(1.3.10) 

где 
 
 
 
σ
ω
π
ε
ε
4
i
−
=
∗
  
 
 
            
    (1.3.11) 

комплексная диэлектрическая проницаемость. 
 Дисперсионным уравнением называется зависимость 
)
(ω
k
. 

Переобозначим для удобства 
ε
ε ⇒
∗
, а 
0
ε
ε ⇒
. Таким образом выражение (1.3.11) преобразуется к виду: 
 

σ
ω
π
ε
ε
4

0
i
−
=
,  
 
 
 
 
(1.3.12) 

где 
0
ε  – часто называется решёточной частью диэлектрической проницаемости. 
 Все формулы для распространения света в диэлектрике превращаются в 
формулы для распространения света в проводящих средах, если в них диэлектрическую проницаемость ε заменить на комплексную диэлектрическую 
проницаемость (1.3.12).  
 В диэлектрической среде между волновым числом k , частотой ω  и диэлектрической проницаемостью ε  существует соотношение, которое можно 
записать в виде: 

εµ
ω 2
2 =
k
,                                                    (1.3.13), 

где 
,
1
2
v
=
εµ
 ν – скорость света в веществе. Для проводящей среды ε  заменяется на 
)
(ω
ε
 (1.3.12), k  на 
)
(ω
k
, определяемые в соответствии с (1.3.13) из 
равенства: 

µ
ω
ε
ω
ω
)
(
)
(
2
2 =
k
.                                         (1.3.14) 
 Рассмотрим анизотропное вещество, электрическое возбуждение которого зависит от направления электрического поля. Тогда вектор D не будет 
параллелен вектору Е. Напишем соотношение между D и Е, позволяющим 
учесть анизотропию, а именно соотношение, в котором каждая компонента 
вектора D связана линейно с компонентами Е, то есть [3]:  

.

,

,

z
zz
y
zy
x
zx
x

z
yz
y
yy
x
yx
x

z
xz
y
xy
x
xx
x

D

D

D

Ε
+
Ε
+
Ε
=

Ε
+
Ε
+
Ε
=

Ε
+
Ε
+
Ε
=

ε
ε
ε

ε
ε
ε

ε
ε
ε

                                (1.3.15) 

Девять величин 
zz
xy
xx
ε
ε
ε
,...,
,
 являются постоянными среды и составляют тен
зор диэлектрической проницаемости, следовательно вектор D равен произведению этого тензора на вектор Е. 
 Перепишем уравнение (1.3.5) в более компактной форме: 

∑
Ε
=

l
l
kl
k
D
ε
,                                       (1.3.16), 

где k – один из трех индексов x, y, или z, а индекс l, по которому ведется суммирование, принимает по очереди значения x, y или z.  
  

Уравнение (1.3.16) в символической форме записывается как  

E
D


εˆ
=
, 
(
E
D




0
ˆε
ε
=
),                                   (1.3.17) 

где 
 
 
 
   

















=

zz
zy
zx

yz
yy
yx

xz
xy
xx

ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
εˆ
 
 
 
 
       (1.3.18) 

тензор комплексной диэлектрической проницаемости. 
 Для плотностей электрической 
e
w  и магнитной 
m
w  энергии, имеем: 

∑
=
⋅
=

kl
l
kl
k
e
E
E
D
E
w
ε
π
π
8
1
8
1


,              
            (1.3.19) 

2
8
1
8
1
H
H
B
wm
µ
π
π
=
⋅
=


.                   
           (1.3.20) 

Вектор Пойтинга или «лучевой вектор» равен: 

H
E
c
s



×
= π
4
. 
                                        (1.3.21) 

 После преобразований из первого и второго уравнения Максвелла получаем: 

(
)
∑
∂
∂
+
=
×
−
=
⋅
+
⋅

kl
kl
k
H
t
E
E
H
E
cdiv
H
B
D
E
l
2
2
1
)
(
µ
ε








.     
    (1.3.22) 

Если разделить обе части равенства на 4π, то второй член в правой части будет представлять скорость изменения магнитной энергии в единице объема, а 
первый его член – скорость изменения плотности электрической энергии 
лишь при условии: 

(
)
0
8
1
4
1
=
+
=
=
∑
∑
kl
k
l
l
k
kl
e

kl
l
kl
k
E
E
E
E
dt
dw
E
E



ε
π
ε
π
.               (1.3.23) 

 
 Здесь различие индексов k и l фиктивно, т.к. они оба принимают одни и 
те же значения (x, y, z). Следовательно, выражение не изменится, если переставить k и l во втором члене, что дает: 

(
)
0
=
−
∑
kl
l
k
lk
kl
E
E 
ε
ε
. 
 
 
 
(1.3.24) 

Поскольку такое условие выполняется при любом значении поля, отсюда следует, что  

lk
kl
ε
ε
=
.                                                 (1.3.25) 
Это означает, что тензор диэлектрической проницаемости должен быть 
симметричным. Из девяти его компонент только шесть независимы. Обратно, 
условие (1.3.25) достаточно, чтобы обеспечить справедливость уравнения 
(1.3.23), и получаем теорему, выражающую закон сохранения энергии в дифференциальной форме («гидродинамическое уравнение непрерывности»), то есть: 





=
−
+
=
dt
dw
s
div
w
w
w
m
e

. 

Симметричность тензора диэлектрической проницаемости ε позволяет 
привести выражение для электрической энергии we к такой форме, при которой сохраняются лишь квадраты компонент поля и отсутствуют их произведения. 
 Рассмотрим в пространстве {x, y, z} поверхность второго порядка [4]: 

const
yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
zz
yy
xx
=
+
+
+
+
+
ε
ε
ε
ε
ε
ε
2
2
2
2
2
2
.       (1.3.26) 

 Левая часть уравнения (1.3.26) должна иметь положительную квадратичную форму, потому что при замене x, y и z на компоненты вектора Е она 
становится равной 8πwe, а энергия we должна быть положительной для любого значения вектора поля. Поэтому уравнение (1.3.26) описывает эллипсоид, и 
его всегда можно привести к главным осям эллипсоида; таким образом, существует система координат, связанная с кристаллом, в которой уравнение эллипсоида имеет вид (рис 1.1): 

const
z
y
x
z
y
x
=
+
+
2
2
2
ε
ε
ε
.                                 (1.3.27) 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 1.3.1. Тензор диэлектрической проницаемости в собственных осях 
 
 
В этой системе главных диэлектрических осей материальные уравнения 
и выражения для электрической энергии принимают простую форму, а именно: 

,
,
,

z
z
z

y
y
y

x
x
x

E
D
E
D
E
D

ε
ε
ε

=
=
=

                                              (1.3.28) 

(
)








+
+
=
+
+
=

z

z

y

y

x

x
z
z
y
y
x
x
e
D
D
D
E
E
E
w
ε
ε
ε
π
ε
ε
ε
π

2
2
2
2
2
2
8
1
8
1
.           (1.3.29) 

При этом тензор диэлектрической проницаемости является диагональным: 
















=

z

y

x

kl
ε
ε
ε
ε
0

0

. 

 Величины 
z
y
x
ε
ε
ε
,
,
 называются главными диэлектрическими проница
емостями. Из приведенных выше формул непосредственно следует, что D и Е