Элементарная математика. Часть 6. Тригонометрические неравенства. Системы тригонометрических уравнений

Г.Г. Ельчанинова, Р.А. Мельников 

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА 

Часть 6 

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА. 
СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ  
УРАВНЕНИЙ  

Учебное пособие 

2-е издание, стереотипное

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2022 

УДК 511.1 
ББК  22.1 
 Е59 

Рецензенты: 

О.Н. Масина, доктор физико-математических наук, профессор  
(ФГБОУ ВО «Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина»), 

В.И. Снегурова, доктор педагогических наук, доцент 
(Российский государственный педагогический университет 
им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург) 

Е59   

Ельчанинова Г.Г.
      Элементарная математика. Часть 6. Тригонометрические неравенства. 
Системы 
тригонометрических 
уравнений: 
учебное 
пособие 
/ 
Г.Г. Ельчанинова, Р.А. Мельников. – 2-е изд., стер. – Москва : ФЛИНТА, 
2022. – 64 с. – ISBN 978-5-9765-4833-6 (часть 6) ; ISBN 978-5-9765-4111-5 
(общий). – Текст : электронный. 

Основная цель учебного пособия – оказать помощь студентам в 
подготовке к занятиям по дисциплине «Элементарная математика», в 
написании курсового проекта и выпускной квалификационной работы.  
Пособие предназначено, в первую очередь, для студентов физикоматематического отделения института математики, естествознания и 
техники, а во вторую очередь, оно может полезно преподавателям вузов. 
Рекомендуется 
для 
использования 
учителями 
средних 
школ 
для 
разработки элективных курсов. 

УДК 511.1 
ББК  22.1 

ISBN 978-5-9765-4833-6 (часть 6) 
ISBN 978-5-9765-4111-5 (общий) 

© Ельчанинова Г.Г., 
    Мельников Р.А., 2022 
© Издательство «ФЛИНТА», 2022 

Глава I 

[3] 

ГЛАВА I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 

§ 1.1. Простейшие тригонометрические неравенства

 Неравенство (т.е. соотношение, в записи которого используется один из
знаков ,
,
,
,
> < ≥ ≤ ≠) называется тригонометрическим, если неизвестная
величина находится под знаком одной (или нескольких) тригонометрических функций.
Все тригонометрические неравенства можно разделить на две группы: 
1) простейшие тригонометрические неравенства;
2) неравенства, сводящиеся к простейшим.
При решении простейших тригонометрических неравенств обычно
используют следующие приемы: 
1) с помощью тригонометрической окружности;
2) с помощью графиков тригонометрических функций.

1.1.1. Простейшие тригонометрические неравенства,
содержащие синус 

Рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства, содержа-
щие функцию синус, т.е. неравенства вида: 

sin
, sin
, sin
, sin
, sin
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
>
<
≥
≤
≠
. 
Представим далее алгоритм решения лишь одного из неравенств 
этой группы. 
При решении неравенств вида 

sin x
a
≥
, 
(1.1.1) 

например, с помощью единичной окружности поступают следующим образом: 
Сразу используют тот факт, что синус – это ордината точки тригонометрической окружности.  
Далее рисуется декартова система координат и тригонометрическая 
окружность в ней. На оси ординат откладывается число, равное a (берётся 
из условия sin x
a
>
). Через полученную точку строится прямая, параллельная оси абсцисс. По отношению к имеющейся тригонометрической 
окружности эта прямая может занять одно из следующих трёх положений: 
А) иметь с ней две общие точки (т.е. пересекать её в двух точках, 
расположенных симметрично относительно оси ординат). Заметим, что в 
этом случае число a  будет удовлетворять условию 
(
)
1;1
a∈ −
. 

Глава I 

 

[4] 
 

 

Рис. 1 

 

Рис. 2 

Б) иметь только одну общую точку с ней (т.е. прямая касается тригонометрической окружности). В таком случае число a может быть равно 1 
или –1. 
В) не иметь общих точек с окружностью. Здесь либо 
(
)
; 1
a∈ −∞ −
, либо 
(
)
1;
a∈
+∞ . 
В зависимости от того с каким случаем будем иметь дело, мы получим различные варианты ответа. 
Если 
1
a >
 (случай В), то неравенство (1.1.1) не имеет решений.  
Если 
1
a ≤ −  (сюда входят две ситуации: 
(
)
; 1
a∈ −∞ −
(случай В) и 

1
a = −  (Случай Б)), то неравенству (1.1.1) удовлетворяет любое значение x.  
Если 
(0;1)
a∈
 (случай А), то прямая 
АВ (см. Рис. 1) разрежет окружность на две 
дуги.  
Кроме того из Рис. 1 видно, что данному неравенству будут удовлетворять 
лишь те точки, которые расположены на 
дуге АВ, проходимой в положительном 
направлении (т.к. ординаты точек, расположенных на ней больше или равны a). Для 
удобства восприятия информации дугу АВ 
выделяют либо штриховкой по внутреннему контуру окружности, либо линией 
большей толщины.  
Известно,  что в таком случае точке А 
на 
тригонометрической 
окружности 
соответствуют 
числа 

1
arcsin
2
,
x
a
n n
π
=
+
∈Z , 
в 
свою 
очередь 
точке 
В 
– 
числа 

2
arcsin
2
,
x
a
n n
π
π
=
−
+
∈Z . 
Окончательное решение можно записать следующим образом:  

(
)
2
arcsin ; 2
1
sin
,
x
n
a
n
arc
a
n
π
π
∈
+
+
−
∈




Z . 

Если 
1
a = (случай В), то, как известно, прямая будет иметь только одну общую точку с тригонометрической окружностью. Ордината этой точки будет равна 
1, поэтому решением неравенства (1.1.1) 

будет 
2
,
2
x
n
n
π
π


∈
+
∈




Z . 

Если 
( 1;0)
a∈ −
(случай А), то прямая, параллельная оси абсцисс, разделит 
окружность на две дуги (см. Рис. 2). 
 
 

Глава I 

 

[5] 
 

 

Рис. 3 

В таком случае решением неравенства будет:  

(
)
2
arcsin ; 2
1
sin
,
x
n
a
n
arc
a
n
π
π
∈
−
+
+
∈




Z . 

Пример 1.1.1.1.  Решить неравенство sin
0,5
x ≥
. 

Решение. На тригонометрической окружности отмечаем точки, служащие концами радиус-векторов, ординаты которых равны 0,5 (см. Рис. 3). 
Таких радиус-векторов окажется два. Один из них образует с положительным направлением оси абсцисс угол, равный 

6
π , а другой, соответственно, 5
6
π  (их синусы 

равны 0,5). Принимая во внимание периодичность синуса (его наименьший положительный 
период равен 2π ), имеем: 

 
5
2
2
,
6
6
n
x
n
n
π
π
π
π
+
≤
≤
+
∈Z . 

Ответ: 
5
2
;
2
,
6
6
n
n
n
π
π
π
π


+
+
∈




Z . 

 

Завершая рассмотрение этого вопроса, 
представляем сводную таблицу различных случаев простейших тригонометрических неравенств, содержащих синус, и предлагаем самостоятельно 
вписать варианты ответов к ним.  
 

 
 
Ещё одним эффективным способом решения простейших тригонометрических неравенств является использование графического метода. 
Рассмотрим на примере, как он работает. 

Пример 1.1.1.2.  Решить неравенство 
1
sin
2
x > −
. 

Решение. Строим график функции 
sin
y
x
=
. В той же системе коор
динат проводим прямую  
1
2
y = −
. Так как данное неравенство является 

строгим, то точки пересечения двух построенных графиков отметим проколами (см. Рис. 4). 

Глава I 

 

[6] 
 

 
Далее выделим фрагменты графика функции 
sin
y
x
=
, которые ока
зались выше прямой 
1
2
y = −
. Заметим, что выделенные участки периоди
чески повторяются. Возьмём участок 
3
;
2
2
π
π


−





 оси Ох. Видим, что на нём 

располагается один из выделенных нами фрагментов. Определим концевые 

точки этого фрагмента. Очевидно, ими будут 
6
x
π
= −
 и 
7
6
x
π
=
, так как в 

этих точках 
1
sin
2
x = −
. Учитывая периодичность функции 
sin
y
x
=
, мо
жем записать решение исходного неравенства 

7
2
2
,
6
6
n
x
n n
π
π
π
π
−
+
<
<
+
∈Z . 

Ответ: 
7
2
;
2
,
6
6
x
n
n
n
π
π
π
π


∈ −
+
+
∈




Z . 

 
1.1.2. Простейшие тригонометрические неравенства, 
содержащие косинус 

 

Рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства, содержащие функцию косинус, т.е. неравенства вида: 

cos
, cos
, cos
, cos
, cos
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
>
<
≥
≤
≠
. 
Представим далее алгоритм решения лишь одного из неравенств 
этой группы. 
Рассмотрим, как решается неравенство вида  

cos x
a
<
. 
(1.1.2) 

 

Рис. 4 

Глава I 

 

[7] 
 

 

Рис. 5 

Исходим из того, что косинус – это абсцисса точки тригонометрической окружности.  
Далее изображается декартова система координат, в которую помещаем тригонометрическую окружность с центром в начале координат. На 
оси абсцисс отмечаем число, равное a (берётся из условия cos x
a
<
). Через 
полученную точку строим прямую, параллельную оси ординат. По отношению к имеющейся тригонометрической окружности эта прямая может 
занять одно из следующих трёх положений: 
1) иметь с ней две общие точки (т.е. пересекать её в двух точках, 
расположенных симметрично относительно оси ординат). Заметим, что в 
этом случае число a будет удовлетворять условию 
(
)
1;1
a∈ −
. 
2) иметь только одну общую точку с 
ней (т.е. прямая касается тригонометрической окружности). В таком случае число a 
может быть равно 1 или –1. 
3) не иметь общих точек с окружностью. 
Здесь 
либо 
(
)
; 1
a∈ −∞ −
, 
либо 

(
)
1;
a∈
+∞ . 
Если 
(
; 1]
a∈ −∞ −
, 
то 
неравенство 
(1.1.2) не имеет решений.  
Если 
( 1;0)
a∈ −
, то прямая, параллельная оси ординат, разделит тригонометрическую окружность на две дуги (только на одной из этих дуг содержится множество точек, абсцисса которых меньше a). 
Выбираем дугу АВ, которая идет по ходу от А к В в положительном 
направлении (см. Рис. 5) и выделяем её более толстой линией.  
Точке А соответствуют углы 
cos |
| 2
,
arc
a
n n
π
π
−
+
∈Z , а точке В, 
в свою очередь – углы 
cos |
| 2
,
arc
a
n n
π
π
+
+
∈Z . 
Таким образом, окончательное решение для этого случая можно записать в виде:  

(
)
(
)
(
)
2
1
arccos |
|; 2
1
arccos |
| ,
x
n
a
n
a
n
π
π
∈
+
−
+
+
∈Z . 

Если 
(0;1)
a∈
, то в таком случае, прямая, параллельная оси ординат, 
будет находиться правее начала координат. Этот случай весьма близок к 
предыдущему, но окончательное решение будет выглядеть несколько иначе:   

(
)
(
)
2
arccos a; 2
1
arccos
,
x
n
n
a
n
π
π
∈
+
+
−
∈Z . 

Если 
1
a = , то в этом случае прямая коснётся тригонометрической 
окружности. В этом случае неравенству (1.1.2) будут удовлетворять все 
значения переменной x, кроме 2 n
π
. Т.е. решение неравенства может быть 
записано в виде {
}
|
2
,
x x
n
n
π
≠
∈Z . 

Глава I 

 

[8] 
 

 

Рис. 6 

Если 
(
)
1;
a∈
+∞ , то в качестве решения неравенства (1.1.2) может выступать любой x. 

Пример 1.1.2.1.  Решить неравен
ство 
3
cos
2
x < −
. 

Решение. 
На 
тригонометрической 
окружности откладываем точки, служащие 
концами радиус-векторов, абсциссы кото
рых равны 
3
2
−
 (см. Рис. 6). Таких радиус
векторов окажется два. Одной из получен
ных точек соответствует угол, равный 5
6
π , а 

другой, соответственно, 7
6
π . Принимая во внимание периодичность коси
нуса (его наименьший положительный период равен 2π ), получаем: 

 
5
7
2
2
,
6
6
n
x
n
n
π
π
π
π
+
<
<
+
∈Z . 

Ответ: 5
7
2
;
2
,
6
6
n
n
n
π
π
π
π


+
+
∈




Z . 

Пример 1.1.2.2.  Решить неравенство 
1
cos
2
x >
. 

Решение. Отметим, что данное неравенство не совсем уместно относить к простейшим тригонометрическим неравенствам, но для иллюстрации графического метода наличие модуля не является серьёзным отягоще
нием. Построим графики функций 
cos
y
x
=
 и 
1
2
y =
 (см. Рис. 7). 

 
Функция 
cos
y
x
=
 является непрерывной и периодической функцией, с наименьшим положительным периодом, равным π . Поэтому достаточно взять промежуток, длина которого будет равна π , например,  

 

Рис. 7 

Глава I 

 

[9] 
 

;
2 2


−




π π
, затем отобрать множество точек на графике функции 
cos
y
x
=
, 

ординаты которых будут строго больше числа 1
2 , спроецировать это мно
жество на выбранный промежуток и с учетом периода записать окончательный ответ. Из Рис. 7 видим, что нас устраивает множество точек, рас
положенных между точками М1 и М2, выше прямой 
1
2
y =
. Проекция этого 

множества на промежуток 
;
2 2


−




π π
 даст интервал 
;
3 3


−





π π
. Тогда с уче
том периодичности функции 
cos
y
x
=
 получаем:  

,
3
3
n
x
n n
−
+
<
<
+
∈
π
π
π
π
Z . 

Ответ: 
;
,
3
3
x
n
n
n


∈ −
+
+
∈





π
π
π
π
Z . 

Далее снова предлагаем заполнить сводную таблицу различных случаев простейших тригонометрических неравенств, только теперь содержащих косинус.  

 
1.1.3. Простейшие тригонометрические неравенства, 
содержащие тангенс 

 

Рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства, содержащие функцию тангенс, т.е. неравенства вида: 

,
,
,
,
tg x
a tg x
a tg x
a tg x
a tg x
a
>
<
≥
≤
≠
. 
Представим далее алгоритм решения только одного из неравенств 
этой группы. 
Рассмотрим, как решается неравенство вида  

tg x
a
<
. 
(1.1.3) 

Глава I 

 

[10] 
 

 

Рис. 8 

Известно, что выражения, содержащие tg x , имеют смысл лишь при 

условии, что 
,
2
x
k k
π
π
≠
+
∈Z . Поэтому для 

соответствующих точек тригонометрической 
окружности сразу нужно сделать проколы. 
Проведем к правой полуокружности касательную (ось тангенсов) в точке А (1; 0), на которой отметим точку (1;а). Построим радиусвектор, соединив точку А с центром окружности. Отрезок [ОА] пересечёт единичную 
окружность в точке М. Значение угла x0,  соответствующего этой точке, будет равно 

0x
arctg a
=
. Любое действительное значение 

х, кроме  
,
2
x
k k
π
π
=
+
∈Z, будет удовлетво
рять неравенству (1.1.3) при условии, что принадлежит лучу (
)
;a
−∞
, кото
рому соответствует дуга 
;arctg
2
a
π


−




. Учитывая периодичность тангенса 

(наименьший положительный период равен π ), окончательно получаем: 

; arctg
,
2
x
n
a
n
n
π
π
π


∈ −
+
+
∈




Z . 

Графическое решение неравенства (1.1.3) происходит следующим 
образом. Строится график функции y
tg x
=
и прямая y
a
=
, где a – любое 

действительное число (см. Рис. 9). На промежутке 
;
2 2
π π


−





, на котором 

функция y
tg x
=
возрастает, находится точка пересечения графиков этих 
двух функций 
0x
arctg a
=
.  

 

 

Рис. 9