Элементарная математика. Часть 5. Тригонометрические уравнения

Г. Г. Ельчанинова, Р. А. Мельников 

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА 

Часть 5 

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ 

УРАВНЕНИЯ 

Учебное пособие 

2-е издание, стереотипное

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2022 

УДК 511.1 
ББК  22.1 
 Е59 

Рецензенты: 

О. Н. Масина, доктор физико-математических наук, профессор  
(ФГБОУ ВО «Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина»), 

А. Е. Томилова, кандидат педагогических наук, доцент  
(ФГАОУ ВО «Северный (Арктический) федеральный университет 
им. М. В. Ломоносова») 

Ельчанинова Г. Г. 
Е59      Элементарная математика. Часть 5. Тригонометрические уравнения: 
учебное пособие / Г. Г. Ельчанинова, Р. А. Мельникова. – 2-е изд., стер. – 
Москва : ФЛИНТА, 2022. – 71 с. – ISBN 978-5-9765-4837-4 (часть 5); 
ISBN 978-5-9765-4111-5 (общий). – Текст : электронный. 

Основная цель учебного пособия – оказать помощь студентам в подготовке к занятиям по дисциплине «Элементарная математика», в написании курсовой и выпускной квалификационной работы.  
Пособие предназначено, в первую очередь, для студентов физикоматематического отделения института математики, естествознания и техники. 
Данное издание может полезно преподавателям вузов, а также использоваться учителями средних школ для разработки элективных курсов. 

УДК 511.1 
ББК  22.1 

ISBN 978-5-9765-4837-4 (часть 5) 
ISBN 978-5-9765-4111-5 (общий) 

© Ельчанинова Г. Г., 
    Мельникова Р. А., 2022
© Издательство «ФЛИНТА», 2022 

Глава I 

[3] 

ГЛАВА I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 

§ 1.1. Простейшие тригонометрические уравнения

Известно, что уравнением называется аналитическая запись задачи 
об отыскании значений аргументов, при которых значения двух данных 
функций равны.  
 Тригонометрическим уравнением называется равенство, содержащее
неизвестную величину только под знаком тригонометрической функции
(одной или нескольких), и справедливое лишь при некоторых значениях
неизвестной.
Все уравнения принято делить на две большие группы: алгебраические уравнения и трансцендентные уравнения. 

Отличие трансцендентных уравнений от алгебраических состоит, 
главным образом, в том, что они не могут быть решены с помощью последовательного выполнения ряда арифметических и алгебраических действий над данными, входящими в их состав. 
В школьном курсе математики к трансцендентным уравнениям кроме тригонометрических уравнений относят ещё показательные и логарифмические уравнения, которые традиционно изучаются после тригонометрических уравнений. 
При решении тригонометрических уравнений часто приходится прибегать к различным соотношениям между тригонометрическими функциями, упрощать их к такому виду, чтобы можно было определить значения 
одной из тригонометрических функций искомого аргумента. После чего 
корни тригонометрического уравнения получают с помощью обратных 
тригонометрических функций.  
Таким образом, решение большинства тригонометрических уравнений сопряжено с преобразованием их к простейшему виду с последующим 
применением известных формул. 

Простейшими тригонометрическими уравнениями называются
уравнения типа sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a , где  a  – некоторое действительное число.
Решать эти уравнения можно разными способами: 
1) с помощью единичной тригонометрической окружности;
2) графически;
3) с помощью формулы.

Глава I 

 

[4] 
 

Наиболее распространённым способом решения простейших уравнений является способ, основанный на использовании формул.  
Получим формулы для решения простейших тригонометрических 
уравнений трёх наиболее важных типов sin x=a, cos x=a, tg x=a . 

 
1.1.1. Уравнение sin x = a 
 
Для 
решения 
уравнения 
sin x=a, 
отметим сначала на тригонометрической 
окружности (Рис. 1) все точки с ординатой a, 
т.е. 
точки 
пересечения 
единичной 
тригонометрической окружности и прямой              
y = a. 
Исходя из Рис. 1, видим, что при  

1
a > окружность и прямая y = a общих точек 
не имеют, а значит, уравнение решений не 
имеет. 
Если же 
1
a = , то прямая y = a касается окружности, т.е. при a=1 и 

a=-1 окружность и прямая имеют одну общую точку.  
Наконец, если 
1
a < , то тригонометрическая окружность и прямая  
y = a всегда имеют две общие точки, симметричные относительно оси 
ординат Oy. 
При 
этом 
надо 
учитывать, 
что 
каждой 
общей 
точке 
тригонометрической окружности с прямой y = a соответствует не одно 
число x, а бесконечное множество чисел вида 
2
x
k
+ π , k ∈ Z. 
Очевидно, что все эти числа и будут решениями рассматриваемого 
уравнения.  
Задача теперь состоит в том, чтобы записать эти решения. Поскольку 
точке Ax соответствует число arcsina , то одна из серий решений 
уравнения sin x=a  записывается в виде 

1
2
x
arcsina
k,
=
+ π
 k ∈ Z. 
Точка A
x
π−  на Рис. 1 соответствует числу 
arcsina
π −
, поэтому 
вторая серия решений этого уравнения может быть записана в виде 

2
2
x
arcsina
k,
= π −
+ π
 k ∈ Z. 
Нередко две полученные серии объединяют в одну, что позволяет 
сократить запись 

(
)1
n
x
arcsina
n,
= −
+ π
 n ∈ Z. 
Отметим, что сокращенная запись удобна лишь для записи ответа, 
для анализа полученного решения предпочтение следует отдавать записи 
решения в виде совокупности двух серий. 

Глава I 

[5] 

Заметим, что при значениях 
2
n
k
=
, k ∈ Z из сокращенной записи 
следует первая серия решений, а при значениях 
2
1
n
k
=
+ , k ∈ Z – вторая 
серия решений. 
Итак, решение уравнения sin x=a  можно представлять следующим 
образом: 
1) в виде совокупности двух серий точек:

1

2

2

2

x
arcsina
k

x
arcsina
k,  k 
 Z;

=
+ π


= π −
+ π
∈


(1.1.1) 

2) в сокращенном виде

(
)1
n
x
arcsina
n,
= −
+ π
n ∈ Z. 
(1.1.2) 
Особо следует сказать об уравнениях sin x=-1, sin x=0 , sin x=1. Это 
так называемые частные случаи простейшего тригонометрического 
уравнения типа sin x=a. Сразу скажем, что формулы (1.1.1) и (1.1.2) для 
этих случаев неприменимы. Для этих уравнений позже мы составим 
специальную таблицу, в которой будут содержаться решения для всех 
частных случаев простейших тригонометрических уравнений, содержащих 
основные тригонометрические функции.  
Заметим, что в случае, когда 
(
)
a
-1;0
∈
 формула (1.1.2) приобретает 
вид 

(
)

1
1
n
x
arcsin a
n,
+
= −
+ π
n ∈ Z. 
(1.1.2*) 
Рассмотрим ещё один подход к поиску решений уравнения sin x=a. 
Допустим, что мы нашли какой-либо корень 
1x  этого уравнения. 
Тогда в силу периодичности функции y=sin x, имеем 

(
)
2
1
1
sin x
k
sin x
a
+ π
=
=
 
и числа вида 
2
1x
k
+ π  также удовлетворяют этому уравнению. 
Заметим ещё, что 

(
)
1
1
sin
x
sin x
a
π −
=
=
, 
тем самым, получается, что 
1x
π −
 также удовлетворяет этому уравнению. 
Учитывая ранее отмеченное, можно утверждать, что и числа вида 

2
1x
k
π −
+ π  также ему удовлетворяют. 
Следовательно, зная одно какое-то значение 
1x , удовлетворяющее 
уравнению sin x=a можно получить две серии значений аргумента, 
удовлетворяющих этому же уравнению: 

1
2
x
k,
+ π
k ∈ Z, 
(1.1.3) 

(
)
1
2
1
k
x ,
+
π −
k ∈ Z. 
(1.1.4) 
Если в качестве 
1x  взять arcsina , то из формул (1.1.3) и (1.1.4) легко 
получается формула (1.1.1). 

Глава I 

 

[6] 
 

1.1.2. Уравнение cos x = a 
 
Для 
решения 
уравнения 
cos x=a, 
отметим 
сначала 
на 
тригонометрической окружности (Рис. 2) все точки с абсциссой a, т.е. 
точки пересечения единичной тригонометрической окружности и прямой  
x = a. 
Исходя из Рис. 2, видим, что при  

1
a > окружность и прямая x = a общих точек 
не имеют, и, следовательно, уравнение 
решений не имеет. 
Если же 
1
a = , то прямая x = a касается 
окружности, 
т.е. 
при 
a=1 
и 
a=-1 
окружность и прямая имеют одну общую 
точку.  
Наконец, 
если 
1
a < , 
то 
тригонометрическая окружность и прямая  
x = a всегда имеют две общие точки, 
симметричные относительно оси абсцисс Ox. 
При этом здесь, как и в случае уравнения sin x=a , надо учитывать, 
что каждой общей точке тригонометрической окружности и прямой x = a 
соответствует не одно число x, а бесконечное множество чисел вида 

2
x
k
+ π , k ∈ Z. 
Эти числа и будут решениями этого уравнения. Остаётся только 
правильно записать сами решения. 
Поскольку точке Ax на Рис. 2 соответствует число arccosa, то одна 
из серий решений уравнения cos x=a  записывается в виде 

1
2
x
arccosa
k,
=
+ π
 k ∈ Z. 
Точка A x
−  на Рис. 2 симметрична точке Ax относительно оси 

абсцисс, поэтому вторая серия решений этого уравнения может быть 
записана в виде 

2
2
x
arccosa
k,
= −
+ π
 k ∈ Z. 
Нередко две полученные серии объединяют в одну, что позволяет 
сократить запись 

2
x
arccosa
n,
= ±
+ π
 n ∈ Z. 
Итак, решение уравнения cos x=a  можно представлять следующим 
образом: 

 
2
x
arccosa
n,
= ±
+ π
n ∈ Z. 
(1.1.5) 

Заметим также, что в случае, когда 
(
)
a
-1;0
∈
 формула (1.1.5) 
приобретает вид 
 
(
)
2
x
arccos a
n,
= ± π −
+ π
n ∈ Z. 
(1.1.5*) 

Глава I 

[7] 

Также особо следует сказать об уравнениях cos x=-1, cos x=0 ,

cos x=1. 
Это 
так 
называемые 
частные 
случаи 
простейшего 
тригонометрического уравнения типа cos x=a. Сразу скажем, что формула 
(1.1.5) для этих случаев неприменима.  

1.1.3. Уравнение tg x = a 

Чтобы решить уравнение tg x=a, отметим 
сначала на тригонометрической окружности 
(Рис. 3) все точки, для которых отношение 
ординаты к абсциссе равно заданному числу a. 
Таких точек, очевидно, будет две. Они 
симметричны относительно центра окружности 
О и лежат на прямой, проходящей через точку 
О и отсекающей на оси тангенсов отрезок длин 
a. 
Каждой точке соответствует бесконечное 
множество точек вида 
2
x
k
+ π , k ∈ Z. 
Все эти числа являются решениями данного уравнения. 
Поскольку точке Ax на Рис. 3 соответствует число arctg a, то одна 
из серий решений уравнения tg x=a  записывается в виде 

1
2
x
arctga
k,
=
+ π
 k ∈ Z. 
Точка A
x
π+  на Рис. 3 соответствует числу arctg a + π, поэтому
вторая серия решений этого уравнения может быть записана в виде 

2
2
x
arctga
k,
= π +
+ π
 k ∈ Z. 
Легко заметить, что точка A
x
π+  и точка Ax расположены на 
развернутом угле, которому соответствует радианная мера π. Это 
позволяет объединить две полученные серии в одну. 
Итак, решение уравнения tg x=a  можно представлять следующим 
образом: 

x
arctga
m,
=
+ π
m ∈ Z. 
(1.1.6) 

Заметим также, что в случае, когда 
(
)
(
)
1
1
a
;
;0
∈ −∞ −
∪ −
 формула 
(1.1.6) приобретает вид 

x
arctg a
m,
= −
+ π
m ∈ Z. 
(1.1.6*) 
Также особо следует сказать об уравнениях tg x=-1, tg x=0 , tg x=1. 
Это так называемые частные случаи простейшего тригонометрического 
уравнения типа tg x=a. Сразу скажем, что для этих случаев формулой 
(1.1.6) пользоваться не рекомендуется.  

Глава I 

 

[8] 
 

Глава I 

[9] 

Рассмотрим примеры решения простейших тригонометрических 
уравнений. 
Пример 1.1.1. Решить уравнение 2
4
1
sin x = − . 

Решение.  
Уравнение легко преобразуется в виду 

По формуле (1.1.2*) имеем: 

=
x
4
(
)

1
1
6

n
n,n
Z.
+ π
−
+ π
∈

Откуда 

Ответ: 
(
)

1
1
24
4

n
n
x
,n
Z
+ π
π
= −
+
∈
.

Пример 1.1.2. Решить уравнение 
2
2
x
tg
=
.

Решение. Применим формулу (1.1.6): 

2
2
x
arctg
n,n
Z
=
+ π
∈
.

Далее получаем 

2
2
2
x
arctg
n,n
Z
=
+ π
∈
. 
Ответ: 
2
2
2
x
arctg
n,n
Z
=
+ π
∈
. 
Особый интерес представляют простейшие тригонометрические 
уравнения, в правой части которых содержится не конкретное число, а 
числовое выражение, содержащее какую-либо тригонометрическую 
функцию. 
Пример 1.1.3. Решите уравнение sin x=cos1. 
Решение. 
Здесь a=cos1. Так как 0<cos1<1, то уравнение имеет решение, 
которое 
можно 
записать 
по 
формуле 
(1.1.2), 
т.е. 

(
)
(
)
1
1
n
x
arcsin cos
n,
= −
+ π n ∈ Z. 
Но так как 

(
)
1
1
1
2
2
arcsin cos
arcsin sin

π

π


=
−
=
−









, то 

(
)1
1
2

n
x
n,
π


= −
−
+ π





 n ∈ Z. 

Глава I 

 

[10] 
 

Пример 1.1.4. Решите уравнение cos x=2cos6 . 
Решение. 
Здесь a=2cos6 . Уравнение будет иметь решение, если 2cos6
1
≤ . 

Очевидно, имеет место двойное неравенства 11 <6<2
6
π
π . На 

интервале 3
2
2 ;
π


π





, которому принадлежат точки 11
6
π  и 6, функция y=cos 

x является монотонно возрастающей, и, следовательно,  

11
3
cos6
cos
=cos
=
6
6
2
π
π
>
. 

Тогда получаем, что 
11
2cos6
2cos
= 3>1
6
π
>
, и поэтому данное уравнение 

не имеет решения. 
 
 
§ 1.2. Решение тригонометрических уравнений  
разложением на множители 

 

Основными 
методами, 
используемыми 
при 
решении 
тригонометрических уравнений (впрочем, как и других типов уравнений), 
являются: 
1) 
разложение на множители; 
2) 
введение новой переменной (переменных). 
В данном параграфе мы рассмотрим только метод разложения на 
множители.  
Если в уравнении, приведенном к виду 
0
=
)
(x
f
, его левая часть 
разлагается на множители, т.е. 
1
2
( ) =
( )
( )
( ),
n
f x
f x
f
x
f
x
⋅
⋅
⋅

 то следует 
каждый из этих множителей приравнять к нулю. Получится несколько 
отдельных уравнений (совокупность уравнений), корни каждого из 
которых будут корнями исходного уравнения, если только они входят в 
ОДЗ каждого из множителей левой части уравнения.  
Рассмотрим пример, когда учет ОДЗ имеет существенное значение 
при решении тригонометрического уравнения. 
Пример 1.2.1. Решите уравнение sin x ctg 2x=0
⋅
. 

Решение. 
Так как в левой части уравнения присутствует множитель, 
содержащий функцию котангенс, которая, как известно, существует не при 
всех значениях x, то обязательной частью решения является либо 
нахождение ОДЗ, либо выполнение проверки найденных серий. Мы будем 
использовать ОДЗ: