Моделирование систем управления

Т. С. Буканова         М. Т. Алиев 

 
 
 
 

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ 

УПРАВЛЕНИЯ 

 

 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Йошкар-Ола 

ПГТУ 
2017 

УДК 681.5.01 
ББК  32.965-04 

Б 90  

 

 

Рецензенты:  

кандидат технических наук, доцент ПГТУ А. В. Зуев;  
кандидат технических наук, доцент ПГТУ Ю. Е. Гарипова. 
 

 
 
 
 

Печатается по решению  

редакционно-издательского совета ПГТУ 

 
 
 
 
 
 

Буканова, Т. С. 

Б 90    Моделирование систем управления: учебное пособие / Т. С. Бу
канова, М. Т. Алиев. – Йошкар-Ола: Поволжский государственный 
технологический университет, 2017. – 144 с. 
ISBN 978-5-8158-1899-6 

 

Изложены основные сведения о моделировании, дана классификация его видов. 

Приведены базовые методы построения моделей технических объектов и систем, 
показано их практическое использование; рассмотрены численные методы и их реализация для построения и анализа систем управления техническими объектами. 
Представлены различные подходы к построению функциональных зависимостей на 
основе экспериментальных данных, прикладные методы и их применение. 

Для студентов направлений подготовки бакалавров 27.03.04 «Управление в 

технических системах» очной и 11.03.03 «Конструирование и технология электронных средств» очно-заочной форм обучения. 

УДК 681.5.01 
ББК 32.965-04 

 
ISBN 978-5-8158-1899-6 
© Буканова Т. С., Алиев М. Т., 2017 
© Поволжский государственный 
технологический университет, 2017 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

Предисловие 
6 

Список сокращений и условных обозначений 
7 

Введение 
8 

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МОДЕЛИРОВАНИИ 

1.1. Основные понятия теории моделирования 
10 

1.2. Классификация видов моделирования 
15 

1.3. Этапы создания математических моделей 
26 

Контрольные вопросы 
29 

2. ОСНОВЫ ФИЗИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 
ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ 

2.1. Размерности величин 
30 

2.2. Методы обработки размерностей 
34 

2.2.1. Метод Букингема 
34 

2.2.2. Метод Релея 
37 

2.3. Подобие явлений. Теоремы подобия 
39 

2.3.1. Условия подобия явлений 
39 

2.3.2. Теоремы подобия 
42 

Контрольные вопросы 
47 

3. МАТЕАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ 

3.1. Характеристика и области применения  

математического моделирования 
49 

3.2. Методы получения математических моделей 
56 

3.2.1. Получение моделей систем на основе 
уравнения Ньютона 
57 

3.2.2. Получение моделей систем на основе 
уравнений Лагранжа 
61 

3.2.3. Получение моделей систем на основе 
уравнений Гамильтона 
68 

3.2.4. Получение моделей систем на основе 
уравнений балансовых соотношений 
73 

3.3. Получение моделей технических объектов  
на микроуровне 
82 

3.3.1. Объекты проектирования на микроуровне 
82 

3.3.2. Основы построения математических моделей 
на микроуровне 
86 

Контрольные вопросы 
93 

4. МЕТОДЫ РАСЧЁТА СТАТИЧЕСКИХ  (РАВНОВЕСНЫХ) 
РЕЖИМОВ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 

4.1. Общие сведения о численных методах 
моделирования 
94 

4.2. Постановка задачи и методы расчёта 
статических режимов 
96 

4.3. Итерационные методы расчета статических режимов 
100 

4.3.1. Метод простой итерации 
103 

4.3.2. Метод Ньютона (касательных) 
107 

4.3.3. Метод итераций для решения системы уравнений 109 

Контрольные вопросы 
111 

5. МЕТОДЫ РАСЧЁТА ДИНАМИЧЕСКИХ 
(ПЕРЕХОДНЫХ) РЕЖИМОВ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 

5.1. Общие сведения о численных методах расчёта 
динамических режимов 
113 

5.2. Численные методы расчёта динамических режимов 
моделей систем с сосредоточенными параметрами 
115 

5.2.1. Постановка задачи расчёта динамических режимов 115 
5.2.2. Метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера 116 
5.2.3. Метод Рунге–Кутта 
119 

Контрольные вопросы 
120 

6. ПОЛУЧЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ  
НА ОСНОВЕ ТАБЛИЧНЫХ ДАННЫХ 

6.1. Краткая характеристика основных направлений 
обработки табличных данных 
122 

6.2. Интерполяция. Постановка задачи 
125 

6.3. Методы построения интерполяционных полиномов 
127 

6.3.1. Метод Лагранжа 
127 

6.3.2. Метод Ньютона 
129 

6.4. Аппроксимация. Постановка задачи 
133 

6.5. Методы построения аппроксимирующих полиномов 
 134 

6.5.1. Метод наименьших квадратов 
134 

6.5.2. Метод равномерного приближения 
138 

Контрольные вопросы 
138 

Заключение 
141 

Библиографический список 
142 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов 

направлений подготовки бакалавров 27.03.04 «Управление в технических системах» очной формы обучения и 11.03.03 «Конструирование и технология электронных средств» очно-заочной формы обучения. 

При создании машин, технических комплексов и других объ
ектов широко используется моделирование. Как средство познания и преобразования материального мира моделирование применяется в экспериментальных и теоретических научных исследованиях. 

Моделирование является мощным средством анализа и синте
за сложных объектов, процессов и явлений. Решение многих 
сложных научных и технических задач значительно упрощается 
при моделировании, т.е. замещении одних объектов другими, 
обеспечивающими отражение наиболее существенных для исследователя свойств и особенностей замещаемых объектов. В настоящее время моделирование находит широкое применение в автоматике, вычислительной и измерительной технике, радиотехнике 
и связи, математике и других областях науки и техники. 

В учебном пособии изложены классификация основных под
ходов к моделированию технических объектов и систем управления, представлены методы их реализации и практическое применение. Исследование и анализ полученных моделей в статических 
и динамических режимах позволяет оценить качественные и/или 
количественные характеристики объекта, научиться правильно 
им управлять.  

Авторы выражают благодарность рецензентам за ряд ценных 

замечаний, способствовавших совершенствованию учебного пособия. 

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ 

И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ  

 

АВМ 
– аналоговая вычислительная машина 

ДУ  
– дифференциальное уравнение, 

И 
 
– источник, 

ММ  
– математическая модель, 

ОДУ  
– обыкновенное дифференциальное уравнение, 

ОУ   
– объект управления, 

П 
 
– приход, 

С 
 
– сток, 

СУ   
– система управления, 

Н 
 
 – накопление, 

У 
 
– уход, 

ФБС 
– формула балансовых соотношений, 

ЭВМ  
– электронно-вычислительная машина. 

 

ВВЕДЕНИЕ 

 
Моделирование состоит в выявлении основных свойств ис
следуемого объекта или процесса, построении моделей и их применении для прогнозирования поведения оригинала.  

Достоинством моделирования является то, что оно позволяет 

существенно сократить и натурный эксперимент, который обычно дорог, сложен и связан с функционированием объекта на границе возможных состояний, а также увеличить достоверность 
математического описания и расчетов. Моделью может быть как 
реальное техническое устройство, так и абстрактное математическое описание, отображающее оригинальный объект. Применение технических средств придает моделированию экспериментальный характер, а модельное математическое описание теоретически раскрывает характер явления. 

В связи с активным внедрением технических средств непо
средственно в реализацию процесса моделирования как инструмента познания именно математическое моделирование стало 
основным направлением в проектировании и исследовании новых систем, анализе свойств существующих систем, выборе и 
обосновании оптимальных условий их функционирования и т.п. в 
различных областях деятельности человека. Широкое  применение математического моделирования в различные областях знаний диктует специалистам в любом направлении необходимость 
владения концепциями и методами математического моделирования, представлением об инструментарии, применяемом при 
моделировании. Построение математических моделей позволяет 
изучить функционирование объекта исследования, научиться эффективно управлять объектом путем апробирования различных 
вариантов управления, прогнозирования состояния объекта под 
действием внешних дестабилизирующих факторов. 

В настоящее время все более высокие требования предъявля
ются к процессам управления в различных областях техники. Однако нельзя обеспечить качественное управление системой, если 
неизвестна с достаточной степенью достоверности и точности ее 
математическая модель. Для построения математической модели 
могут быть использованы как теоретические, так и экспериментальные методы. Практика проектирования систем управления 
свидетельствует невозможности построения математической модели, которая будет максимально соответствовать реальной системе, лишь на основе теоретических исследований физических 
процессов в системе. Поэтому в процессе проектирования систем 
управления одновременно с теоретическими исследованиями 
проводятся многочисленные эксперименты по определению и 
уточнению математической модели системы. 

Таким образом, основная задача моделирования различного 

рода процессов и систем с целью исследования объектов, прогнозирования их поведения или поиска наилучших условий функционирования сводится к расчету анализируемых показателей по 
математической модели при тех или иных значениях входных 
величин.  

 

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МОДЕЛИРОВАНИИ 

 

1.1. Основные понятия теории моделирования 

 
При создании машин, технических комплексов и других объ
ектов широко используется моделирование. Как средство познания и преобразования материального мира моделирование применяется в экспериментальных и теоретических научных исследованиях. 

Моделирование – это процесс замещения изучаемого объекта 

другим с целью получения информации о важнейших свойствах 
объекта-оригинала с помощью объекта-модели и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте, т.е. моделирование может быть еще определено как представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью. 

Модель – это физический или абстрактный образ моделируе
мого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта. Удобство проведения 
исследований может определяться различными факторами: легкостью и доступностью получения информации, сокращением 
сроков и уменьшением материальных затрат на исследование и 
другими. 

В основе моделирования лежит теория подобия, которая 

утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь 
при замене одного объекта другим, точно таким же. При моделировании абсолютное подобие не имеет места, поэтому необходимо стремиться к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта.  

Ниже приводится ряд важных понятий из теории систем и 

теории автоматического управления, которые в дальнейшем будут способствовать лучшему освоению материала. Более подробно с этими и другими понятиями можно ознакомиться, например 
в [1-4]. 

Система – объект либо совокупность взаимодействующих 

объектов различной природы с выраженным «системным» свойством целостности. 

Свойство целостности определяет внутреннее единство си
стемы, её автономность, независимость, т. е. то, что позволяет 
выделить систему из окружающей (внешней) среды. Целостность 
системы проявляется в следующем: 

– свойства системы не являются суммой свойств элементов 

или частей, т. е. целое не сводится к простой сумме частей. 
Например, для контура управления с отрицательной обратной 
связью, состоящего из отдельных устойчивых звеньев, не гарантируется устойчивость процессов всего соединения; 

– свойства системы зависят от свойств элементов или частей, 

т. е. изменение в одной части приводит к изменениям в остальных частях системы. Например, при обрыве стабилизирующей 
обратной связи, которая охватывает объект управления (ОУ), система становится неустойчивой. 

Свойство целостности связано с целью, для выполнения кото
рой предназначена система. 

Элемент системы – простейшая неделимая часть системы. 

Другими словами, это предел расчленения (разбиения) системы с 
позиций решения конкретной задачи. Расчленение системы на 
элементы неоднозначно и зависит от поставленной цели исследования, от аспекта изучения системы. 

Подсистема (субсистема) – часть системы, наделённая свой
ством целостности. Другими словами, предполагается, что систе

ма может быть разделена на элементы не сразу, а в результате 
предварительного расчленения на части более крупные, чем элементы, и в то же время более мелкие, чем система в целом. Возможность деления системы на подсистемы связана с формированием множеств взаимосвязанных элементов, способных выполнять относительно независимые функции, обладающих самостоятельными подцелями, направленными на достижение общей 
цели. Этим подсистема отличается от простой группы (совокупности) элементов, для которой не определена подцель и не выполняются свойства целостности (для такой группы можно использовать термин компоненты системы). 

Надсистема (комплекс систем) – объединение нескольких си
стем, обладающее свойством целостности. 

Внешняя (окружающая) среда – множество элементов, ко
торые не входят в систему, но влияют на неё. Среда представляет 
собой некоторое окружение, с которым система взаимодействует. 

Система характеризуется входами, через которые воздействие 

среды непосредственно передаётся системе, и выходами, через 
которые система воздействует на среду. Любой элемент системы 
имеет, по крайней мере, один вход и один выход. Воздействие 
состоит в передаче вещества, энергии, информации или комбинации этих субстанций. Соответственно можно говорить о вещественном, энергетическом или информационном обмене (своеобразном метаболизме) системы со средой. 

Системы, взаимодействующие со средой, называются откры
тыми. Системы, рассматриваемые без учёта взаимодействия с 
внешней средой, являются закрытыми (изолированными, автономными). Средой для одной из подсистем системы могут служить остальные подсистемы или часть из них, а также «сторонние» системы. Следует отметить, что система может рассматриваться как элемент системы более высокого уровня иерархии, а 

элемент – как система при более углублённом анализе. Отношение к системе определяется не только её содержанием, но и точкой зрения, задачами, стоящими перед исследователем. 

Связь – это существенный в условиях рассматриваемой зада
чи обмен между элементами веществом, энергией и информацией. Для любых систем характерно наличие существенных связей 
между элементами, значительно превосходящими по силе (по 
мощности) связи этих элементов с элементами, не входящими в 
данную систему. Указанное свойство (наличие существенных 
связей) позволяет выделить систему в виде целостного объекта из 
окружающей среды. 

Связи могут характеризоваться направлением и силой (мощ
ностью). Наряду с элементами, связи обеспечивают возникновение и сохранение структуры и целостных свойств системы. Связность характеризует одновременно и строение (статику), и функционирование (динамику) системы. 

Структура – совокупность элементов и связей между ними. 

Структура системы отражает наиболее существенные взаимоотношения между элементами, которые незначительно меняются в 
процессе функционирования системы и обеспечивают её устойчивое состояние. 

Состояние системы – множество существенных свойств, ко
торыми система обладает в данный момент времени. Состояние 
системы характеризуется совокупностью внутренних и внешних  
величин, определяющих изменения, происходящие в системе. 
Множество состояний системы может быть конечным, счётным 
или континуальным. 

Функционирование (поведение) системы заключается в по
следовательных переходах из одних состояний в другие возможные состояния.