Аналитические решения параболических и гиперболических уравнений тепломассопереноса

Москва
ИНФРА-М
2021

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Под редакцией заслуженного деятеля науки РФ,
д-ра физ.-мат. наук, профессора Э.М. Карташова

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ 
И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ 
ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

И.В. КУДИНОВ
В.А. КУДИНОВ

Рекомендовано
Научно-методическим советом по теплотехнике Министерства образования 
и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных 
заведений, обучающихся по направлению подготовки бакалавров и магистров 
в области технических наук и по направлениям подготовки дипломированных специалистов 
в области техники и технологии

УДК 536.2(075)46(075.8)
ББК 31.31я73
 
К88

Кудинов И.В.
Аналитические решения параболических и гиперболических 
уравнений тепломассопереноса : учебное пособие / И.В. Кудинов, В.А. Кудинов ; под ред. Э.М. Карташова. — Москва : 
ИНФРА-М, 2021. — 391 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

 ISBN 978-5-16-006724-7

Излагаются инженерные методы построения решений задач нестационарной 
теплопроводности, позволяющие получать эффективные точные и приближенные аналитические решения. При определении собственных чисел вводятся 
дополнительные граничные условия, получаемые из основного дифференциального уравнения путем его дифференцирования в граничных точках. С помощью интегрального метода теплового баланса на основе введения фронта 
температурного возмущения и при использовании дополнительных граничных 
условий получены аналитические решения задач теплопроводности с переменными начальными условиями, с переменными во времени граничными 
условиями и внутренними источниками теплоты, нелинейных задач теплопроводности, а также задач теплообмена в жидкостях, включая динамический 
и тепловой пограничные слои.
Представлены результаты получения и анализа точных аналитических решений гиперболических уравнений, описывающих распространение тепловой 
и гидравлической волны с конечной скоростью.
Книга может быть полезной для научно-технических работников, специализирующихся в области математики, теплофизики, а также как учебное пособие для преподавателей и студентов технических вузов.

УДК 536.2(075)46(075.8)
ББК 31.31я73

К88

© Кудинов И.В., Кудинов В.А., 2013
ISBN 978-5-16-006724-7

Р е ц е н з е н т ы :
В.П. Радченко, д-р физ.-мат. наук, проф. (кафедра «Прикладная 
математика и информатика» Самарского гос. техн. университета);
А.И. Довгялло, д-р техн. наук, проф. (кафедра «Теплотехника 
и тепловые двигатели» Самарского гос. аэрокосмического 
университета)

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ВВЕДЕНИЕ 

Известно, что точные аналитические решения в настоящее время 

получены лишь для задач в упрощенной математической постановке, 
когда не учитываются многие важные характеристики процессов (нелинейность, переменность свойств и граничных условий и прочее). Все 
это приводит к существенному отклонению математических моделей 
от реальных физических процессов, протекающих в конкретных энергетических установках. К тому же точные решения выражаются сложными бесконечными функциональными рядами, которые в окрестностях граничных точек и при малых значениях временной координаты 
являются медленно сходящимися. Такие решения малопригодны для 
инженерных приложений и, особенно в случаях, когда решение температурной задачи является промежуточным этапом решения каких-либо 
других задач (задач термоупругости, обратных задач, задач управления 
и др.). В связи с чем, большой интерес представляют методы, позволяющие получать решения, хотя и приближенные, но в аналитической 
форме, с точностью, во многих случаях достаточной для инженерных 
приложений. Эти методы значительно расширяют круг задач, для которых могут быть получены аналитические решения, по сравнению с 
классическими методами. Отметим, что в ряде случаев с их помощью 
можно получать и точные аналитические решения, представляемые в 
форме бесконечн ых рядов [21, 25, 37]. 

Классическим точным аналитическим методом применительно к 

решению краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса является метод разделения переменных (Фурье), который лежит в основе 
всей аналитической теории краевых задач переноса. Однако при его 
использовании возникает необходимость нахождения функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям краевой задачи, полученным после разделения переменных в исходном уравнении. Такие 
функции известны лишь для классических дифференциальных уравнений (Бесселя, Лежандра и др.). Собственные числа находятся из граничных условий краевой задачи путём решения трансцендентных 
уравнений. При сложных дифференциальных уравнениях, когда неизвестны функции, удовлетворяющие им, трудности метода Фурье настолько возрастают, что во многих случаях он оказывается практически неприменимым. 

В настоящей книге для решения краевых задач совместно с мето
дом Фурье используются методы взвешенных невязок (ортогональный 
метод Бубнова – Галеркина). Важной особенностью является введение 
дополнительных граничных условий, необходимость которых объясняется появлением дополнительного неизвестного параметра μ после 
разделения переменных в исходном дифференциальном уравнении. 
Дополнительные граничные условия выводятся из основного диффе

ренциального уравнения путём его дифференцирования в граничных 
точках. Использование метода Бубнова – Галеркина позволяет находить высокой точности приближённые аналитические решения для 
всех тех краевых задач, уравнения которых допускают разделение переменных. Такой подход значительно расширяет круг задач, решаемых 
с использованием метода Фурье, что связано с универсальностью метода Бубнова – Галеркина, при использовании которого на вид дифференциальных операторов не накладывается практически никаких условий. Это могут быть задачи с несимметричными и неоднородными 
граничными условиями первого, второго и третьего рода, с переменным начальным условием и физическими свойствами среды, задачи 
теплопроводности для многослойных конструкций и другие задачи. 

Особое место среди приближенных аналитических методов, позво
ляющих получать аналитические решения на начальном участке 
временóй (параболической) координаты, занимают методы, в которых 
используется понятие фронта температурного возмущения. Согласно 
этим методам весь процесс нагрева или охлаждения тел формально 
разделяется на две стадии. Первая из них характеризуется постепенным распространением фронта температурного возмущения от поверхности тела к его центру, а вторая – изменением температуры по 
всему объему тела вплоть до наступления стационарного состояния. 
Такое разделение теплового процесса по времени на две стадии позволяет осуществлять поэтапное решение задач нестационарной теплопроводности и для каждой из стадий в отдельности, как правило, уже в 
первом приближении находить удовлетворительные по точности достаточно простые и удобные в инженерных приложениях расчетные 
формулы. В то же время эти методы обладают и существенным недостатком, заключающимся в необходимости априорного выбора координатной зависимости искомой температурной функции. Обычно принимается квадратичная или кубическая парабола. Эта неоднозначность 
решения порождает проблему точности, так как, принимая заранее тот 
или иной профиль температурного поля, всякий раз будем получать 
различные конечные результаты. 

Среди методов, в которых используется идея конечной скорости 

перемещения фронта температурного возмущения, наибольшее распространение получил интегральный метод теплового баланса 
[1,4, 5, 17 – 25, 34, 35 – 38]. С его помощью уравнение в частных производных удается свести к обыкновенному дифференциальному уравнению с заданными начальными условиями, решение которого довольно часто можно получить в замкнутом аналитическом виде. Интегральный метод, например, можно использовать для приближенного 
решения задач, когда теплофизические свойства не являются постоянными, а определяются сложной функциональной зависимостью, и задач, в которых совместно с теплопроводностью приходится также учи

тывать и конвекцию. В то же время интегральному методу присущ отмеченный выше недостаток – априорный выбор температурного профиля, что порождает проблему однозначности решения и приводит к 
низкой его точности. 

Многочисленные примеры применения интегрального метода к ре
шению задач теплопроводности приведены в работе Т. Гудмена [4]. В 
этой работе наряду с иллюстрацией больших его возможностей показана и его ограниченность. Так, несмотря на то что многие задачи успешно решаются интегральным методом, существует целый класс задач, для которых этот метод практически не применим. Это, например, 
задачи с импульсным изменением входных функций. Причина обусловлена тем, что температурный профиль в виде квадратичной или 
кубической параболы не соответствует истинному профилю температур для таких задач. Поэтому, если истинное распределение температуры в исследуемом теле принимает вид немонотонной функции, то 
получить удовлетворительное решение, согласующееся с физическим 
смыслом задачи, ни при каких условиях не удается. 

Очевидный путь повышения точности интегрального метода – ис
пользование полиномиальных температурных функций более высокого 
порядка. В этом случае основные граничные условия и условия плавности на фронте температурного возмущения не являются достаточными для определения коэффициентов таких полиномов. В связи с 
чем, возникает необходимость поиска недостающих граничных условий, которые совместно с заданными позволили бы определять коэффициенты оптимального температурного профиля более высокого порядка, учитывающего все физические особенности исследуемой задачи. Такие дополнительные граничные условия могут быть получены из 
основных граничных условий и исходного дифференциального уравнения путем их дифференцирования в граничных точках по пространственной координате и по времени [17 – 25,  35 – 38]. 

При исследовании различных задач теплообмена предполагают, что 

теплофизические свойства не зависят от температуры, а в качестве 
граничных принимают линейные условия. Однако, если температура 
тела изменяется в широких пределах, то ввиду зависимости теплофизических свойств от температуры уравнение теплопроводности становится нелинейным. Его решение значительно усложняется, и известные точные аналитические методы оказываются неэффективными. Интегральный метод теплового баланса позволяет преодолеть многие 
трудности, связанные с нелинейностью краевых задач как в основном 
уравнении, так и в граничных условиях. Этот метод эффективен применительно к решению краевых задач с переменными по пространственной координате физическими свойствами среды, с переменным начальным условием, с переменными во времени граничными условиями 
и источниками  теплоты, задач гидродинамики и теплообмена для 

жидкостей, включая динамический и тепловой пограничные слои и 
других задач. Результаты исследований, связанные с получением аналитических решений практически всех перечисленных выше задач, 
представлены в настоящей книге. 

 

Глава 1 

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ  ГРАНИЧНЫЕ  УСЛОВИЯ  

В НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 

Краевая задача нестационарной теплопроводности содержит такое 

количество начальных и граничных условий, которое необходимо для 
нахождения неопределенных констант, появляющихся в результате 
интегрирования дифференциального уравнения краевой задачи. И, в 
частности, для одномерного уравнения нестационарной теплопроводности необходимо иметь одно начальное (ввиду наличия в уравнении 
первой производной от искомой функции по времени) и два граничных 
(ввиду наличия второй производной по пространственной переменной) 
условия. Нахождение точного аналитического решения заключается в 
определении такой аналитической зависимости искомой функции от 
пространственной переменной и времени, которая будет точно удовлетворять основному дифференциальному уравнению и краевым условиям задачи (начальному и граничным). В этом случае применительно к 
классическому параболическому уравнению нестационарной теплопроводности доказано, что решение существует, оно единственно и 
удовлетворяет принципу максимального значения (значение искомой 
функции не выходит за пределы начального и граничных условий). 

Для тел конечных размеров точное аналитическое решение должно 

представлять бесконечный ряд, что связано со следующими обстоятельствами. В начальный момент времени (τ = 0) необходимо практически в одной и той же точке пространственной переменной x = 0, одновременно выполнение начального и граничного условий, представляющие собой максимальное и минимальное значение искомой функции в данной задаче. Точное выполнение этих условий физически не 
представляется возможным. Однако к их выполнению можно приблизиться  при  →0 и x → 0. Для обеспечения сходимости бесконечного 
ряда решения с уменьшением   и x следует увеличивать число его 
членов, что связано с необходимостью выполнению начального условия (уравнение и граничные условия в данном случае выполняются 
точно при любом числе членов ряда) во всем диапазоне изменения 
пространственной переменной. И, чем меньше  , тем для меньших x 

необходимо обеспечивать выполнение начального условия. Ввиду физической невозможности выполнения начального условия непосредственно в точке x = 0 при τ = 0, то приближение к его  выполнению при x 
→ 0 и  →0 возможно лишь при использовании  бесконечно большого 
числа членов ряда решения. С уменьшением x и   для обеспечения 
сходимости ряда (с целью выполнению начального условия) число его 
членов будет неограниченно возрастать. При этом ряд будет открытым, то есть не имеющим конечного числа его членов ввиду математической и физической невозможности согласования начального и граничного условий при x = 0 и τ = 0. К выполнению этих условий можно 
лишь приблизиться при x → 0 и  →0 через использование бесконечно 
большого числа членов ряда решения. Применение каких – либо дополнительных граничных условий в данном случае не требуется. 

В случаях, когда не удается непосредственно проинтегрировать ос
новное дифференциальное уравнение  краевой задачи, применяются 
различные приближенные методы исследования − совместное использование методов Фурье и Бубнова – Галеркина, Фурье и Л. В. Канторовича, интегральных преобразований Лапласа и вариационных методов 
и др. Во всех этих методах по неограниченной области определения 
параболической (временнóй) переменной применяется точный метод 
(Фурье, интегральных преобразований и др.), а по ограниченной области изменения эллиптических (пространственных) координат – приближенный метод (вариационный, взвешенных невязок, коллокаций и 
др.). После разделения переменных ( или применения интегральных 
преобразований по временнóй координате) краевая задача относительно эллиптических координат решается одним из приближенных методов (Ритца, Бубнова – Галеркина и др.). Решение в данном случае разыскивается в виде конечного ряда, содержащего некоторые неизвестные коэффициенты и так называемые координатные функции, которые 
выбираются таким образом, чтобы при любых значениях неизвестных 
коэффициентов граничные условия краевой задачи выполнялись точно. 
Неизвестные коэффициенты решения находятся из выполнения обыкновенного дифференциального уравнения по пространственной переменной, полученного в результате разделения переменных (или применения интегрального преобразования) в основном дифференциальном уравнении краевой задачи. Для этого составляется невязка обыкновенного дифференциального уравнения и требуется ортогональность 
невязки ко всем координатным функциям (решение краевой задачи 
Штурма-Лиувилля). В итоге относительно неизвестных коэффициентов получается система алгебраических линейных уравнений, матрица 
которой, являясь заполненной квадратной матрицей с большим разбросом её членов по абсолютной величине, как правило, плохо обусловлена. Алгебраические полиномы, получаемые из такого вида матриц, 
приводят к неточным значениям собственных чисел. Причём точность 

их нахождения с увеличением числа приближений может не улучшаться, а ухудшаться. 

Таким образом, плохая обусловленность матриц систем алгебраи
ческих линейных уравнений, к решению которых приводят перечисленные выше приближённые аналитические методы, является главной 
причиной их недостаточной эффективности, связанной в основном с 
трудностями получения высокоточных решений ввиду принципиального ограничения по числу приближений. 

Для преодоления указанных трудностей в работах [17 – 25,  35 – 38] 

предложены методы построения дополнительных граничных условий, 
являющихся эффективным средством решения проблемы плохой обусловленности матриц систем алгебраических линейных уравнений, что 
объясняется следующими обстоятельствами. При отсутствии дополнительных граничных условий принимаемое решение в виде алгебраического (или тригонометрического) полинома заранее точно удовлетворяет лишь граничным условиям задачи. Выполнение уравнения и начального условия осуществляется через решение соответствующих 
систем алгебраических линейных уравнений, имеющих плохо обусловленные матрицы. Основное отличие применения дополнительных 
граничных условий в том, что при их использовании искомое решение 
с самого начала точно удовлетворяет основным граничным условиям, а 
также дифференциальному уравнению и производным от него различного порядка, представляющим дополнительные граничные условия, в 
граничных точках и на фронте температурного возмущения (для задач, 
в которых такой фронт вводится). Выполнение основных и дополнительных граничных условий также осуществляется через решение систем алгебраических линейных уравнений, однако в данном случае эта 
система является сильно разреженной (с большим количеством нулевых членов). Более того, ввиду применения дополнительных граничных условий, представляющих производные высокого порядка от искомой функции по пространственной переменной, система уравнений 
имеет цепочный вид. В связи с чем, неизвестные в большей части 
уравнений разделяются, и они легко могут быть найдены для достаточно большого числа приближений на точном аналитическом уровне. 
Поэтому проблема плохой обусловленности матриц в данном случае 
практически не возникает. 

Отметим, что дополнительные граничные условия не входят в ис
комой математическую постановку и поэтому они её никоим образом 
не изменяют. Они являются лишь вспомогательным средством, применяемым на определенном этапе процесса получения решения задачи. 
Их физический смысл в том, что их выполнение искомым решением 
является выполнением исходного дифференциального уравнения и 
производных от него различного порядка в граничных точках (и на 
фронте температурного возмущения). И чем большее количество таких 

условий будет использовано, тем лучше будет выполняться исходное 
уравнение не только на границах, но и внутри рассматриваемой области в течение всего времени протекания процесса теплопроводности. 

 
 

1.1. ОБОСНОВАНИЕ НЕОБХОДИМОСТИ ВВЕДЕНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ 
ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ (АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КООРДИНАТНЫЕ ФУНКЦИИ) 

 
Рассмотрим методику определения собственных чисел, основанную 

на совместном использовании метода Фурье и методов взвешенных 
невязок. При таком подходе на первоначально принимаемое решение в 
виде простого алгебраического или тригонометрического полинома не 
накладывается никаких предварительных условий. Неизвестные коэффициенты решения определяются из выполнения основных и дополнительных граничных условий. Собственные числа находятся путём интегрирования невязки дифференциального уравнения либо из условия 
ортогональности невязки к собственной функции. 

В качестве конкретного примера рассмотрим задачу теплопровод
ности для бесконечно-протяжённой пластины при граничных условиях 
первого рода 

2

2
)
Fo
,
(

Fo

)
Fo
,
(












;      (
0
Fo 
; 
1
0



)                   (1.1) 

1
)
0,
(



;   (1.2)     
0
)
Fo
,0
(





;     (1.3)     
0
)
Fo
,1(


,      (1.4) 

где 

 

ст
0
ст
)
Fo
,
(
T
T
T
T





 – относительная избыточная темпера
тура; 
ст
T  – температура пластины при 
1


; 



x
 – безразмерная 

координата;   – половина толщины пластины; 
0T  – начальная темпе
ратура; 

2
Fo


 a
 – число Фурье; a  – коэффициент температуропро
водности;   – время. 

Следуя методу Фурье, решение задачи (1.1) – (1.4) принимается в 

виде 

)
(
)
Fo
(
)
Fo
,
(






.                                (1.5) 

Подставляя (1.5) в (1.1), находим 

2

)
(

)
(

)
Fo
(

)
Fo
(











II
I

. 

Отсюда получаем следующие два обыкновенные дифференциаль
ные уравнения 

0
)
Fo
(
Fo
)
Fo
(
2





d
d
;   (1.6)  
0
)
(
Ψ
)
(
2
2
2







d
d
, (1.7) 

где 
2  – некоторая постоянная. 

Решение уравнения (1.6), как известно, имеет вид 

)
Fo
exp(
)
Fo
(
2




A
,                             (1.8) 

где A  – неизвестный коэффициент. 

Уравнение (1.7) представим следующим образом 

0
)
(
)
(






II
,                             (1.9) 

где 
.
2



 

Граничные условия для уравнения (1.9) согласно (1.3), (1.4) будут 

0
)
0
(

 I
;       (1.10)             
0
)1(


.               (1.11) 

Решение задачи (1.9) – (1.11) разыскивается в виде следующего ря
да 










n

i

i
iN
C

0
)
(
)
,
(
,                             (1.12) 

где 
i
C  (
n
i
,0

) – неизвестные постоянные, определяемые из гранич
ных условий задачи; 
i

i
N


)
(
 – координатные функции (алгебраиче
ский или тригонометрический полином). 

Если ограничиться, например, пятью членами ряда (1.12) (
4

n
), то 

будем иметь только два граничных условия (1.10), (1.11), а неизвестных коэффициентов пять


4
,0

i
Сi
. В связи с чем, необходимо доба
вить ещё три дополнительных граничных условия, которые находятся 
из условия (1.10) и из уравнения (1.9) путём выполнения этого уравнения, а также соотношений, полученных после взятия производных от 
него различного порядка в граничных точках 
0


 и 
1


. Такие до
полнительные граничные условия будут иметь вид 

1
const
)
0
(



;   (1.13)   
0
)1(

 II
;   (1.14)    
0
)
0
(

 III
.  (1.15) 

Необходимость введения дополнительных граничных условий объ
ясняется тем, что в уравнениях (1.6), (1.7) появляется новый неизвестный параметр   , который находится из характеристического уравнения, получаемого в результате подстановки (1.12) в дифференциальное 
уравнение (1.9). В зависимости от числа членов ряда (1.12) вводится 
соответствующее число дополнительных граничных условий и в итоге 
получается соответствующее количество собственных чисел. 

Подставляя (1.12) в (1.10), (1.11), (1.13) – (1.15), получаем пять ал
гебраических линейных уравнений относительно пяти неизвестных 
i
C . 

При этом каждое из неизвестных 
0
C , 
1
C , 
2
C  входит лишь в одно 

уравнение, из которого они легко определяются. Все эти уравнения 
получаются из граничных условий при 
0


 (условия (1.10), (1.13), 

(1.15)). Относительно неизвестных 
3
C , 
4
C  необходимо решить два 

взаимосвязанных алгебраических линейных уравнения. В итоге для