Воздействие ионизирующего излучения на биологические ткани

В.П. КРАЙНОВ

ВОЗДЕЙСТВИЕ  
ИОНИЗИРУЮЩЕГО ИЗЛУЧЕНИЯ  
НА БИОЛОГИЧЕСКИЕ ТКАНИ

Â.Ï. Êðàéíîâ
Âîçäåéñòâèå èîíèçèðóþùåãî èçëó÷åíèÿ íà áèîëîãè÷åñêèå
òêàíè: Ó÷åáíîå ïîñîáèå / Â.Ï. Êðàéíîâ – Äîëãîïðóäíûé:
Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2022. – 96 ñ.

ISBN 978-5-91559-302-1

 Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïîñâÿùåíî èçëîæåíèþ ðàçëè÷íûõ àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ òåîðèè ïîëÿ, êâàíòîâîé ìåõàíèêè è ìàêðîñêîïè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ â ñîâðåìåííîé ìåäèöèíå äëÿ îïèñàíèÿ âîçäåéñòâèÿ èíòåíñèâíûõ ïîòîêîâ ðàçëè÷íûõ ÷àñòèö: ïðîòîíîâ, àëüôà-÷àñòèö, ìíîãîçàðÿäíûõ èîíîâ, ðåëÿòèâèñòñêèõ ýëåêòðîíîâ è ãàììà-èçëó÷åíèÿ - íà
áèîëîãè÷åñêèå òêàíè.  Ïðèâîäÿòñÿ ïðîñòûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ
ïðîáåãîâ óêàçàííûõ ÷àñòèö â ðàçëè÷íûõ ñðåäàõ, ïîòåðü èõ ýíåðãèè, òîðìîçíîãî èçëó÷åíèÿ ôîòîíîâ. Äàþòñÿ âûâîäû îñíîâîïîëàãàþùèõ çàêîíîâ, îïèñûâàþùèõ ýòè âçàèìîäåéñòâèÿ.  ðÿäå
ñëó÷àåâ, ãäå íåò òàêèõ âûâîäîâ ôîðìóë, êàê ïðàâèëî, äàþòñÿ
ññûëêè íà ñîîòâåòñòâóþùèå ïàðàãðàôû êëàññè÷åñêîãî äåñÿòèòîìíîãî ó÷åáíèêà Ë.Ä. Ëàíäàó è Å.Ì. Ëèôøèöà ïî òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå.
Ýíåðãèÿ ýòèõ èîíèçèðóþùèõ èçëó÷åíèé âñåãäà ïðåâûøàåò
ýíåðãèþ ìåæìîëåêóëÿðíûõ è âíóòðèìîëåêóëÿðíûõ ñâÿçåé â
áèîëîãè÷åñêîé òêàíè.  äàííîì ïîñîáèè ðàññìàòðèâàþòñÿ ëó÷åâûå ðåàêöèè áèîëîãè÷åñêèõ îáúåêòîâ âñåõ óðîâíåé îðãàíèçàöèè: ìàêðîìîëåêóë, êëåòîê, òêàíåé è îðãàíîâ ÷åëîâåêà. Îñíîâíàÿ çàäà÷à ïîñîáèÿ – ýòî ðàñêðûòèå îáùèõ çàêîíîìåðíîñòåé
áèîëîãè÷åñêîãî îòâåòà íà èîíèçèðóþùåå âîçäåéñòâèå. Îñíîâíîé îñîáåííîñòüþ äåéñòâèÿ èîíèçèðóþùèõ èçëó÷åíèé íà æèâûå îáúåêòû ÿâëÿåòñÿ ðåçêîå íåñîîòâåòñòâèå ìåæäó ìàëîé âåëè÷èíîé ýíåðãèè, ïîãëîùåííîé áèîëîãè÷åñêèì îáúåêòîì, è
áîëüøèì áèîëîãè÷åñêèì ýôôåêòîì.
Ïîñîáèå ìîæåò áûòü ïîëåçíî ñòóäåíòàì ôèçè÷åñêèõ è èíæåíåðíî-ôèçè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèìñÿ ïî ìåäèöèíñêîé ôèçèêå, àñïèðàíòàì, äîêòîðàíòàì è ñïåöèàëèñòàì, èñïîëüçóþùèì óñêîðèòåëüíóþ òåõíèêó â ðàäèîáèîëîãèè è ìåäèöèíå, ðàäèîõèìèè è äðóãèõ ñìåæíûõ îáëàñòÿõ.

© 2022, Â.Ï. Êðàéíîâ
© 2022, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-302-1

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Л е к ц и я 1. Формула Бете–Блоха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1. Ионизация заряженными частицами . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2. Электрическое поле движущегося заряда . . . . . . . . . . . . .
8
1.3. Диэлектрическая проницаемость вещества. . . . . . . . . . . . .
11

Л е к ц и я 2. Ионизационные потери заряженных частиц . . . .
14
2.1. Ионизационные потери энергии в различных средах . . . . . .
14
2.2. Ионизационные потери быстрых электронов в веществе . . .
16
2.3. Сравнение радиационных и ионизационных потерь . . . . . . .
17

Л е к ц и я 3. Пик Брэгга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

Л е к ц и я 4. Протонная терапия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.1. Распределение потерь энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.2. Отклонение протона от первоначального направления . . . . .
26
4.3. Диффузионное отклонение протона . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

Л е к ц и я 5. Облучение нейтронами . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5.1. Ядерные реакции с участием нейтронов . . . . . . . . . . . . . .
29
5.2. Закон σ ∝ 1/v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.3. Формула Брейта–Вигнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.4. Неупругое рассеяние нейтронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33

Л е к ц и я 6. Нейтрон-захватная терапия . . . . . . . . . . . . . . . .
36
6.1. Радиационный захват нейтрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
6.2. Замедление нейтронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
6.3. Реакция 14N(n, p) 14C в биологической ткани . . . . . . . . . . .
39

Оглавление

6.4. Биологическое действие тепловых нейтронов . . . . . . . . . . .
40
6.5. Терапия на тепловых нейтронах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

Л е к ц и я 7. Роль деления атомных ядер нейтронами . . . . . . .
46
7.1. Деление атомных ядер нейтронами . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
7.2. Бета-распад атомных ядер. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
7.3. Запаздывающие нейтроны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

Л е к ц и я 8. Рассеяние электромагнитных волн . . . . . . . . . . .
50
8.1. Рассеяние электромагнитных волн на свободных зарядах.
Формула Томсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
8.2. Рассеяние электромагнитных волн связанными электронами
атомов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
8.3. Эффект Комптона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55

Л е к ц и я 9. Гамма-терапия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
9.1. Фотоэффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
9.2. Фотоядерные реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
9.3. Резонансное поглощение фотонов в веществе . . . . . . . . . . .
64
9.4. Поглощение фотонов в веществе . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65

Л е к ц и я 10. Прохождение быстрых электронов через вещество
69
10.1. Упругое рассеяние электронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
10.2. Борновское приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
10.3. Многократное рассеяние электронов в плотной среде . . . . .
72
10.4. Неупругое рассеяние электронов на атомах . . . . . . . . . . . .
74
10.5. Сечение ионизации атомов быстрыми электронами . . . . . . .
76
10.6. Позитронные фарм-препараты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78

Л е к ц и я 11. Радиационные потери быстрых электронов . . . .
80
11.1. Классическая теория тормозного излучения . . . . . . . . . . . .
81
11.2. Квантовая теория тормозного излучения . . . . . . . . . . . . . .
82
11.3. Потери энергии на тормозное излучение . . . . . . . . . . . . . .
83
11.4. Радиационная единица длины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
11.5. Влияние среды на тормозное излучение. . . . . . . . . . . . . . .
87
11.6. Тормозное излучение в толстых мишенях . . . . . . . . . . . . .
89

Л е к ц и я 12. Роль излучения Вавилова–Черенкова
и переходного излучения при облучении . . . . . . . . . . . .
90
12.1. Излучение Вавилова–Черенкова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
12.2. Переходное излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95

ПРЕДИСЛОВИЕ

Семестровый курс из 12 лекций для студентов старших курсов
физических вузов, специализирующихся по медицинской физике,
содержит материал теоретической физики, который используется в
современной медицине при облучении человека. Рассмотрены основные особенности взаимодействия потоков различных микроскопических частиц — протонов, нейтронов, альфа-частиц, многозарядных ионов, быстрых электронов, гамма-излучения, — с биологической тканью в целях лечения опухолей. Эти особенности характеризуются многочисленными относительно простыми теоретическими формулами. Основная задача данного курса состоит в выводе, либо ссылке на соответствующие параграфы классических
учебников, либо объяснении этих соотношений и условий их применимости на основе фундаментальных уравнений классической
механики, теории поля, квантовой механики и статистической физики, которые предполагаются известными студентам из общей физики и основ теоретической физики, изучаемых ими ранее. Этот
курс лекций был прочитан в медицинском центре «Мединвестгрупп»,
Москва, в 2021 г.

Л Е К Ц И Я
1

ФОРМУЛА БЕТЕ–БЛОХА

1.1.
ИОНИЗАЦИЯ ЗАРЯЖЕННЫМИ ЧАСТИЦАМИ

Протоны и альфа-частицы, проходя через биологическую ткань человека (диэлектрик), ионизуют молекулы ткани и
тем самым теряют энергию. В меньшей степени их энергия те-
ряется из-за отдачи молекул и, как мы увидим, из-за излучения
фотонов. Во взаимодействие с пролетающей частицей может быть
вовлечено одновременно много молекул. Влияние этого обстоятельства на потерю энергии частицей является результатом диэлектрической поляризации ткани зарядом протона или альфа-частицы.
Ханс Бете решил задачу о классических потерях энергии для нерелятивистских скоростей тяжелых частиц в 1930 г. и для релятивистских скоростей в 1932 г. в первом порядке квантовой теории
возмущений (в так называемом борновском приближении, см. ниже). Феликс Блох учел поправки следующего порядка. Затем формула была обобщена и для быстрых электронов.
Так как эта формула является основополагающей для медицинских
применений при облучении биологической ткани, мы дадим ее полный вывод в рамках классической теории поля, рассмотрев задачу
сначала для нерелятивистских скоростей тяжелой частицы [1, §113].
Если заряженная частица движется со скоростью V, то в спектральное разложение ее электромагнитного поля на расстоянии r
от частицы до молекулы входят главным образом частоты порядка обратного времени столкновения. На языке фотонов электромагнитного поля (хотя задача является классической) можно сказать, что ионизацию молекулы могут производить только фотоны
с энергиями ℏω > I, где I — средний потенциал ионизации молекулы. Частица будет ионизовать одновременно многие молекулы,

1.2. Электрическое поле движущегося заряда
7

если длина пройденного ею пути V/ω ∝ ℏV/I велика по сравнению
с межатомными расстояниями, которые в плотной биологической
ткани человека порядка размеров самих молекул, т. е. порядка боровского радиуса aB = ℏ2/(me2) = 0,53 · 10−8 см. Таким образом,
мы приходим к условию V ≫ IaB/ℏ. Это означает, что скорость
ионизующей частицы должна быть велика по сравнению со скоростями атомных электронов.

Рис. 1. Ханс Бете, немецкий и американский физик (1906–2005) лауреат
Нобелевской премии по физике 1967 г., демонстрирует на доске
формулу Бете–Блоха

Для энергии налетающей частицы E это условие приобретает
вид, не содержащий постоянной Планка:

E = MV 2

2
≫ MV2
e ∝ M

m I,

где M — масса тяжелой налетающей частицы, а m — масса электрона. Мы говорим об ионизационных потерях, но в них включаются
и потери на возбуждение дискретных атомных уровней молекулы
(или атома), хотя их роль относительно мала, так как возбуждение
дискретных уровней, в отличие от ионизации, носит резонансный
характер.

1.2.
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА

В нерелятивистском случае достаточно рассмотреть
только электрическое поле заряда движущейся частицы, которое
определяется скалярным потенциалом ϕ. Векторный потенциал учи

Лекция 1. Формула Бете–Блоха

тывать не надо. Скалярный потенциал удовлетворяет уравнению
Пуассона
ε∆ϕ = −4πeδ(r − Vt).
(1)

Здесь ε — диэлектрическая проницаемость вещества. Для решения
уравнения Пуассона (1) разложим потенциал в интеграл Фурье:

ϕ(r) =

∞−∞
ϕk exp(ikr) dk

(2π)3 .
(2)

Взяв компоненту Фурье от обеих частей уравнения Пуассона (1),
находим компоненту Фурье потенциала (в линейных уравнениях
электродинамики удобно оперировать с комплексными величинами, имея в виду далее взять вещественные части результирующих
выражений):

ϕk = 4πe

k2ε exp(−ikVt).
(3)

Из (2) и (3) далее находим компоненту Фурье напряженности электрического поля

E = −∇ϕ;
Ek = −ikϕk = −4πiek

k2ε exp(−ikVt).
(4)

Мы считаем движение тяжелой частицы прямолинейным, так как
она практически не отклоняется при рассеянии, если выполняется
условие E ≫ (M/m)I на ее энергию, приведенное выше (т. е. скорость тяжелой частицы велика по сравнению с характерной скоростью атомных электронов e2/ℏ, о чем уже говорилось выше).
Обратным преобразованием Фурье находим напряженность электрического поля как функцию координаты и времени:

E(r, t) =

∞−∞
Ek exp(ikr) dk

(2π)3 .
(5)

Потери энергии — это не что иное, как работа, производимая
обратной силой торможения eE, действующей на частицу со стороны создаваемого ею электрического поля на пройденном частицей
пути. Работа на единице длины пути — это сила. Значение силы
берется в точке r = Vt, где находится частица в данный момент
времени. Экспоненциальный фактор exp(ikr) при этом сокращается с таким же экспоненциальным фактором в компоненте Фурье
напряженности электрического поля.

1.2. Электрическое поле движущегося заряда
9

Получаем из (5) следующее выражение для силы торможения

F = −4πiz2e2

∞−∞

k
k2ε
dk

(2π)3 .
(6)

Мы добавили в эту формулу величину z — заряд частицы (выше он
полагался равным единице). Например, для альфа-частицы z = 2.
Эта сила направлена, очевидно, против скорости частицы.
Выберем направление скорости частицы за ось Z. Обозначим
поперечный импульс через q =
√

k2
x + k2
y. Тогда dkxdky = 2πq dq.
Обозначим kzV = ω. Получим для дифференциала dk следующее
выражение:

dk = 2π

V q dq dω;
k2 = q2 + ω2

V 2 .
(7)

Подставляя (7) в (6), находим следующее выражение для силы
торможения:

F = −iz2e2

π

∞−∞
dω

q00

dq
qω

ε(ω)
`
ω2 + q2V 2´.
(8)

Верхний предел интегрирования по поперечному импульсу q0 будет
рассмотрен ниже.
Из указанной силы нужно вычесть такое же выражение для
силы в пустоте, когда диэлектрическая проницаемость ε = 1. Эта
сила не имеет отношения к торможению частицы в веществе. Такое
вычитание дает замену в выражении для силы: 1/ε → 1/ε − 1, так
что

F = −iz2e2

π

∞−∞
dω

q00

dq
qω
`
ω2 + q2V 2´
1

ε(ω) − 1
.

Тогда интеграл по частоте не будет расходиться логарифмически
на верхнем и нижнем пределах, так как

ε(ω → ±∞) = 1.
(9)

Фактически тем самым производится регуляризация расходящегося интеграла (8).

Лекция 1. Формула Бете–Блоха

1.3.
ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
ВЕЩЕСТВА

Диэлектрическая проницаемость вещества состоит из
вещественной и мнимой части ε(ω) = ε′ + iε′′. Из принципа причинности следует, что электрическая индукция D определяется
напряженностью электрического поля E в предыдущие моменты
времени, т. е.

D(t) = E(t) +

∞0
f(τ)E(t − τ) dτ.
(10)

Функция f зависит от диэлектрических свойств вещества. При переходе к компонентам Фурье определим диэлектрическую проницаемость из соотношения D(ω) = ε(ω)E(ω). Тогда получаем

ε(ω) = 1 +

∞0
f(τ) exp(iωτ) dτ.
(11)

Отсюда следует, что вещественная часть диэлектрической поляризуемости является четной функцией частоты, а мнимая часть, ответственная за поглощение энергии, является нечетной функцией частоты.
Далее запишем:
1

ε′ + iε′′ = ε′ − iε′′

|ε|2
.
(12)

Вещественная часть частоты приводит в выражении для силы торможения к интегралу от нечетной функции и, очевидно, равна нулю. Тогда для силы торможения (9) с учетом (12) получаем вещественное выражение

F = z2e2

π

∞−∞
dω

q00

dq
qωε′′(ω)

|ε(ω)|2`
ω2 + q2V 2´.
(13)

Потеря энергии частицей на единице длины пути есть работа сил
торможения на этом пути, т. е. как раз совпадает с величиной силы
торможения.
Интегрируя (13) по поперечному импульсу, получим для силы:

F = z2e2

πV 2

∞−∞
dω ωε′′(ω)

|ε(ω)|2 ln q0V

ω .
(14)

1.3. Диэлектрическая проницаемость вещества
11

При столкновении частица передает атомному электрону импульс ℏq.
Ему соответствует прицельное расстояние порядка 1/q.
Логарифм — медленная функция аргумента. Поэтому в нем можно еще заменить частоту движения атомных электронов ω на среднюю частоту ωc, имеющую порядок величины частоты вращения
электронов в молекуле, и вынести логарифм из-под знака интеграла. Получаем из (14):

F = z2e2

πV 2 ln q0V

ωc

∞−∞
dω ωε′′(ω)

|ε(ω)|2 .
(15)

Перейдем к вычислению интеграла по частоте в этом выражении. В нем можно формально добавить вещественную часть проницаемости (четную) с мнимой единицей, интеграл от которой равен
нулю. Получаем интеграл вида

I = −i

∞−∞
dω ω

ε(ω).
(16)

Контур интегрирования в (16) можно заменить интегрированием
по большому полукругу C в верхней полуплоскости комплексной
переменной частоты, так как в верхней полуплоскости нет полюсов
подынтегрального выражения. При больших частотах диэлектрическая проницаемость имеет известный из общей физики вид

ε(ω) ≃ 1 − 4πNe2

mω2 ,
(17)

где N — число электронов в единице объема вещества. Тогда из (16)
получаем

I = −i
C

„
1 − 4πNe2

ω2

«
ω dω = i4πNe2

m

C

dω
ω ;

C

dω
ω =

0π

r deiϕ

reiϕ = −iπ;
I = 4π2Ne2

m
.

(18)

Для потери энергии на единицу длины из (15), подставляя (18), получаем формулу Бете–Блоха

dE
dx = −F = −4πz2Ne4

mV 2
ln q0V

ωc .
(19)

Лекция 1. Формула Бете–Блоха

При столкновении протона или альфа-частицы с электроном даже максимально передаваемый импульс, очевидно, мал по сравнению с импульсом частицы. Изменение энергии тяжелой частицы при столкновении равно ℏq · V. Согласно закону сохранения
энергии оно равно энергии, приобретаемой электроном: (ℏq)2/(2m).
Следовательно, максимальный передаваемый импульс (при лобовом соударении) равен ℏq0 = 2mV. При этом максимальная приобретаемая энергия электрона 2mV 2 велика по сравнению со средним
потенциалом ионизации атома I = ℏωc. Действительно, в соответствии со сказанным выше скорость быстрого протона велика по
сравнению со скоростью атомного электрона, и электрон ионизуется из атома мишени, вылетая с большой скоростью. Подставляя в
аргумент логарифма эти величины, получаем формулу Бете–Блоха
в окончательной форме:

dE
dx = −F = −4πz2NZe4

mV 2
ln 2mV 2

I
.
(20)

Здесь Z — число электронов в атоме (или молекуле) вещества,
N — число атомов в единице объема вещества, m — масса электрона. Средний потенциал ионизации определяется через потенциалы
ионизации отдельных электронов в атоме:

I =
Z

Z
X

k=1

1
Ik

.
(21)

Предполагается, что энергии протонов или альфа-частиц меньше
ГэВ, так как полученная формула (20) справедлива для нерелятивистских частиц.