Математический анализ. Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля. Сборник индивидуальных заданий

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 

Утверждено Редакционно-издательским советом университета 

в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2019

УДК 517(075.8)

М 34

Рецензенты:

Н.С. Аркашов, канд. физ.-мат. наук, доцент 

С.Н. Веричев, канд. техн. наук, доцент

М 34
Математический анализ. Криволинейные и поверхностные 

интегралы. Элементы теории поля. Сборник индивидуальных 
заданий: 
учебное 
пособие/
Под 
ред. 
Г. В. Недогибченко, 

О.В. Шеремет. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2019. – 71 с.

ISBN 978-5-7782-3996-8

Сборник представляет собой шестую часть общего банка индивидуальных 

заданий из 5 000 задач, сгруппированных в 200 разделов по 25 вариантов в 
каждом в соответствии с основным содержанием курса математического 
анализа для студентов 1 курса технических специальностей НГТУ. В эту часть 
включены задачи из 18 разделов по теме «Криволинейные и поверхностные 
интегралы. Элементы теории поля».

Сборник предназначен для студентов I курса технических специальностей и 

преподавателей, может быть использован на практических занятиях в течение 
семестра в виде тестов в бумажном или компьютерном вариантах наряду с 
обычным методом проведения практических занятий, а также для организации 
самостоятельной работы студентов.

Задания шестой части составили: Г. В. Недогибченко, О. В. Шеремет, 

Г. А. Кузин, В. И. Икрянников, Б. Г. Писляков.

УДК 517(075.8)

ISBN 978-5-7782-3996-8
© Коллектив авторов, 2019
© Новосибирский государственный

технический университет, 2019

СТУДЕНТАМ

Решая задачу, доводите решение до конца: часто предложенные 

варианты ответов провоцируют на выбор неправильного.

Анализируя предложенные варианты ответов, просмотрите их все: 

верных ответов может быть несколько.

ОГЛАВЛЕНИЕ

6. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ ...........................................................................5

6.1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ФОРМУЛА 
ГРИНА......................................................................................................................5 

6.1.1. Длина кривой, заданной явно.........................................................5 

6.1.2. Длина кривой, заданной параметрически .....................................8 

6.1.3. Масса кривой (полярные координаты)........................................12 

6.1.4. Работа переменной силы ..............................................................18 

6.1.5. Площадь поверхности...................................................................21 

6.1.6. Формула Грина 1 (условия применимости) ................................25 

6.1.7. Формула Грина 2 (преобразование интеграла)...........................30 

6.1.8. Выбор интегралов, не зависящих от пути...................................36 

6.1.9. Признак полного дифференциала 1 (две переменных)..............40 

6.1.10. Выбор первообразной 1 (две переменных) ...............................43 

6.1.11. Признак полного дифференциала 2 (три переменных)............46 

6.1.12. Выбор первообразной 2 (три переменных)...............................49 

6.2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.......................................................................52 

6.2.1. Ротор векторного поля..................................................................52 

6.2.2. Дивергенция векторного поля......................................................55 

6.2.3. Потенциальные поля.....................................................................58 

6.2.4. Потенциал векторного поля .........................................................61 

6.2.5. Соленоидальные поля...................................................................65 

6.2.6. Работа в потенциальном поле ......................................................68 

6.1. Криволинейные и поверхностные 
интегралы 

6.1.1. Длина кривой, заданной явно

5

6. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
6.1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ФОРМУЛА 
ГРИНА

6.1.1. Длина кривой, заданной явно
Составитель: Б. Г. Писляков
Вычислите длину дуги кривой
№
Условие задачи и варианты ответов

1

3/2
1
8
2
, 3
9
y
x
x
=



1) 26

19
2) 38

27
3) 46

35
4) 79

51

2

2
8
1
arccos , 0
9
y
x
x
x
=
−
+



1) 2 6

3
2) 4 2

3
3) 2 6

6
4) 4 2

9

3

lnsin , 3
2
y
x
x


=



1) ln3

2
2) ln2

5
3) ln2

3
4) ln3

5

4

2
ln(
1),
10
17
y
x
x
x
=
+
−



1) 1 
2) 7

5
3) 16

5
4) 4

5

2
0,5
,
1
1
y
x
x
=
− 


1) 2 2
1

2

−
2) 2(2 2
1)

3

−
3) 
2
ln(1
2)
+
+
4)
(
)
2
ln 1
2

3

+
+

6

2
15
arcsin
1
, 0
16
y
x
x
x
=
−
−



1) 
2
2
2) 3 2

2
3) 3 2
1

2

−
4) 3( 2
1)

2

−

7

(
)
3
2
1
, 0
5
y
x
x
=
+



1) 100 ( 10
1)
27
−
2) 10 (100
10)
27
−
3) 10 (10
10)
33
−
4) 100( 10
1)

33

−

6.1. Криволинейные и поверхностные 
интегралы 

6.1.1. Длина кривой, заданной явно

6

Вычислите длину дуги кривой
№
Условие задачи и варианты ответов

8

2
(
1) , 0
1
2

x
y
x
−
=



1) 
2
ln( 2
1)

2

−
−
2) 
2
ln( 2
1)

3

−
−
3) 2 2
1

2

−
4) 2(2 2
1)

3

−

9

2
3
2
1
,
2
2
y
x
x
= −
−



1) 6


2) 9


3) 12


4) 18



10

2
1
arcsin
,
1
4
y
x
x
x
x
=
+
−



1) 1 
2) 2
3) 6


4) 3



11

/2
/2, 0
2
x
x
y
e
e
x
−
=
+



1) 
2
2(
1)
e −
2) 2
3) 

2
1
e

e
−
4) 

2
1

2

e −

12

ln cos ,
0
6
y
x
x

=



1) 
3
2
2) 
3
6
3) ln3

6
4) ln3

2

13

2
ln
, 1
2
4
2

x
x
y
x
=
−



1) 3
ln 2

4
2
+
2) 1
ln 2
4

+
3) 3
ln 2

4
2
−
4) 1 ln 2

4

−

14

2
ln(1
),
0
1/ 2
y
x
x
=
−



1) 1
ln 2
2 +
2) 
1
ln3
2
−
3) 3
ln 3
−
4) ln3
ln 2

2
−

15

3/2
1 (
1)
, 1
6
3
y
x
x
=
−



1) 19

3
2) 23

4
3) 33

4
4) 29

3

16

2/3 3/2
(9
)
,
0
27
y
x
x
=
−



1) 103

4
2) 81

4
3) 103

2
4) 81

2

6.1. Криволинейные и поверхностные 
интегралы 

6.1.1. Длина кривой, заданной явно

7

Вычислите длину дуги кривой
№
Условие задачи и варианты ответов

17

12
, 0
1

6

x
y
x
x
−
=



1) 19

3
2) 13

6
3) 17

3
4) 23

6

18

2
7
arccos
1
, 0
16
y
x
x
x
=
+
−



1) 
3
2
2) 
3
6
3) 
2
2
4) 
2
6

19

3
,
0
3
3

x
y
x
x
−
=



1) 
3
2
2) 2 3
3) 
6
2
4) 2 6

20

2
3
lnsin
, 1
2
2

x
y
x

=




1) 2
3
ln tg 8




2) 4 ln tg 8




3) 2
3
lncos 8




4) 4 ln cos 8





21

2
1
lncos
,
0
2
3

x
y
x

=




1) ln3

2
2) ln3 1

2
−
3) ln3


4) ln3 1
−


22

arcsin
1
(
1)(2
), 1
2
y
x
x
x
x
=
− +
−
−



1) 1 
2) 7

2
3) 11

2
4) 2 

23

2/3 3/2
(1
)
,
0
1
y
x
x
=
−



1) 9

4
2) 11

4
3) 11

2
4) 3

2

24
(
)

/3
/3
3
,
0
6
2

x
x
y
e
e
x
−
=
+



1) 
2
2
2(
)
e
e−
−
2) 
2
2
3 (
)
4 e
e−
+
3) 
2
2
1 (
)
2
e
e
e

−
−
4) 
2
2
3 (
)
2 e
e−
−

25

2/3 3/2
(4
)
,
0
8
y
x
x
=
−



1) 12 
2) 7

2
3) 11

2
4) 2 

6.1. Криволинейные и поверхностные 
интегралы 

6.1.2. Длина кривой, заданной 

параметрически

8

6.1.2. Длина кривой, заданной параметрически
Составители: Г.В. Недогибченко, Б.С. Резников

Вычислите длину дуги кривой 
№
Условие задачи
Варианты ответов

1

2

3

2

4
3

2
,
1;2 2

4
3
,

x
t

y
t
t

z
t

 =
−



=
+




 =
+


1) 7
2) 17

3) 27
4) 37

2

3/2

3sin ,

3cos ,
[2; 6]

4
1,

x
t

y
t
t

z
t

 =

= −


 =
−


1) 21
2) 31

3) 49
4) 98

3

2

3

2

3 ,

6
2 ,
2;
7

12
3 ,

x
t

y
t
t

z
t

 =



=
−




 =
−


1) 8
2) 18

3) 28
4) 38

4

2

sin3 ,

cos3 ,
[0,2]

7,

x
t

y
t
t

z
t

 = −

=


 =
+


1) 
7
4
ln5
4
+
2) 
7
4
ln5
4
−

3) 
9
5
ln3
4
+
4) 
9
5
ln3
4
−

5

2

3

2

2
,

,
[0; 1]

3
3 ,

x
t

y
t
t

z
t

 =
−

=


 =
+


1) 41

18
2) 41

27

3) 61

18
4) 61

27

6
3/2

1 3cos ,

2(cos )
,
0; 2

5
7 cos ,

x
t

y
t
t

z
t

= −





=






 =
+


1) 102

27
2) 122

27

3) 102

49
4) 122

49

7

3/2

2

2
,

1
3,
[0; 2]
4
9(
3),

x
t

y
t
t

z
t

 =

=
−



 =
+


1) 22 
2) 31

3) 19 
4) 28 

6.1. Криволинейные и поверхностные 
интегралы 

6.1.2. Длина кривой, заданной 

параметрически

9

Вычислите длину дуги кривой 
№
Условие задачи
Варианты ответов

8
3/2

sin
2 ,
2

2
,
[2; 10]
3

cos
2 ,

2

t
x

y
t
t

t
z

 =



=





=



1) 213

8
2) 243

8

3) 224

9
4) 254

9

9

2

3

2

1
2
,

3
,
[0,1]

2
2
,

x
t

y
t
t

z
t

 = +

=
−


 =
+


1) 41

18
2) 61

18

3) 61

27
4) 41

27

10
2
2cos2 ,

,
0;
5

2sin 2 ,

x
t

y
t
t

z
t

= −




=




 =


1) 
3
5
2 5
3ln
2
−
+
2) 
3
5
2 5
3ln
3
−
+

3) 
3
5
3 5
4ln
2
+
+
4) 
2
5
3 5
4ln
2
+
+

11

2

3

2

2
,
2
5
,
[0; 1]
3

2
1
,
2

x
t

y
t
t

z
t

 =



=



 = −


1) 17

15
2) 19

15

3) 17

12
4) 19

12

12

3

2

,

1
8
,
[0; 1],
3
1
,
2

x
t

y
t
t

z
t

=


=




=


1) 1 
2) 1

2

3) 3

2
4) 5

2

13

3/2

2

4
,
3
1
,
[1; 2]
3
3 ,

x
t

y
t
t

z
t

 =

=


 =


1) 3 
2) 4

3) 5 
4) 6 

6.1. Криволинейные и поверхностные 
интегралы 

6.1.2. Длина кривой, заданной 

параметрически

10

Вычислите длину дуги кривой 
№
Условие задачи
Варианты ответов

14

2

3/2

1
,
2
8 ,
[0; 2]

8
,
3

x
t

y
t
t

z
t

 =

=




= −


1) 18 
2) 28 

3) 38 
4) 48 

15
3/2

2

2,
2

2
2
,
[0; 4]
3

3
1,

t
x

y
t
t

z
t

 =
+



=


 =
−


1) 10 
2) 16 

3) 36
4) 50 

16

cos ,

sin ,
[0; ln 4]

2
,

t

t

t

x
e
t

y
e
t
t

z
e

 =

=


 =


1) 6 
2) 10 

3) 11 
4) 18 

17

cos ,

sin ,
[ln 2; ln5]

2
,

t

t

t

x
e
t

y
e
t
t

z
e

 =

=


 =


1) 6 
2) 9 

3) 11 
4) 16 

18

,

2
cos ,
[0; 2]

2
sin ,

t

t

t

x
e

y
e
t
t

z
e
t

 =

=


 = −


1) 
2
5(
1)
e +
2) 
3
2(
2)
e +

3) 
3
2(
1)
e −
4) 
2
3(
1)
e −

19



5 (
cos
1),
2

5
sin ,
ln 2; ln5
2

2(
3),

t

t

t

x
e
t

y
e
t
t

z
e

 =
−


=


 =
+


1) 42 
2) 4 

3) 9 
4) 14 

20

3
sin ,

3
1,
[2; 4]

3(
cos
2),

t

t

t

x
e
t

y
e
t

z
e
t

 =

=
+


 =
−


1) 
2
2
4
(
1)
e
e −
2) 
2
3
3
(
1)
e
e −

3) 
3
2
4
(
1)
e
e −
4) 
2
2
3
(
1)
e
e −

6.1. Криволинейные и поверхностные 
интегралы 

6.1.2. Длина кривой, заданной 

параметрически

11

Вычислите длину дуги кривой 
№
Условие задачи
Варианты ответов

21
2

3

3 ,

3
,
[0; 1]

2(
1),

x
t

y
t
t

z
t

=


=


 =
+


1) 3 
2) 5 

3) 8 
4) 12 

22

3

2

,

2,
[1; 3]

3
,
2

x
t

y
t
t

z
t

 =

= −


 = −


1) 18 
2) 22 

3) 28 
4) 42 

23

2

3
3(
3),

,
[2; 3]

6 ,

x
t

y
t
t

z
t

 =
−


=


 =


1) 10 3

3
2) 10 

3) 25 3

3
4) 25 

24

2 cos ,
2 sin ,
[0; 2].

4 ,

x
t
t

y
t
t
t

z
t

=


=


 =


1) 
5
4
ln3
2
+
2) 
7
2
ln3
3
−

3) 
5
2
ln5
3
+
4) 
5
6
ln5
2
+

25

2 sin ,

2 ,
[0;
6].

2 cos ,

x
t
t

y
t
t

z
t
t

 = −

=


 =


1) 
3
4 3
ln( 3
2)

2

+
−

2) 
3
3 3
ln( 3
2)

2

+
+

3) 
3
5 3
ln( 3
2)

2

+
+

4) 
5
3 3
ln( 3
2)

2

+
−