Математика. Решение задач с параметрами профильного уровня ЕГЭ

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
Г.А. КУЗИН 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИКА 
 
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ 
ПРОФИЛЬНОГО УРОВНЯ ЕГЭ 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом 
университета в качестве учебного пособия для учащихся  
Инженерного лицея НГТУ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2018 

 

УДК 51(076.1) 
         К 89 

Рецензенты: 

д-р техн. наук, профессор Б.С. Резников  

учитель математики высшей квалификационной 
категории Инженерного лицея НГТУ Н.В. Мордвинова  

 
 
 
Работа подготовлена на кафедре инженерной математики НГТУ 
для учащихся 10–11 классов Инженерного лицея НГТУ 
 
 
 
Кузин Г.А. 
К 89 
  
Математика. Решение задач с параметрами профильного 
уровня ЕГЭ: учебное пособие / Г.А. Кузин. – Новосибирск: 
Изд-во НГТУ, 2018. – 80 с. 

ISBN 978-5-7782-3497-0 

Задачи с параметрами из ЕГЭ требуют знания различных методов 
их решения. В учебном пособии приведены типовые примеры задач с 
подробными решениями с использованием графического метода и 
методов подвижных границ и областей. Ко всем задачам даны ответы 
или указания к решению. 
Пособие предназначено для учащихся 10–11 классов Инженерного 
лицея НГТУ и может быть использовано для проведения аудиторных 
занятий, а также при подготовке к ЕГЭ по математике. 
 
 
 
УДК 51(076.1) 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-3497-0  
 
 
 
 
 
© Кузин Г.А., 2018 
© Новосибирский государственный 
   технический университет, 2018 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Задачи с параметрами из ЕГЭ имеют повышенный уровень сложности, требуют от ученика знания различных приемов, методов решения и исследования подобных задач. 
Анализ материалов ЕГЭ, методической литературы показывает, что 
многие задачи с параметрами можно решить, используя метод подвижных границ, графический метод, метод областей. 
Метод подвижных границ фактически является аналитическим методом, связанным, как правило, с перебором возможных вариантов. 
Пусть, например, решением неравенства 
( , )
0
F x a 
, содержащего 
параметр a , будет промежуток 
( ( ),
( ))
x
f a
g a

 на числовой прямой, 
концы которого 
( )
f a  и 
( )
g a  зависят от параметра a . При изменении 
параметра концы промежутка не являются, вообще говоря, фиксированными: они могут перемещаться по прямой или даже совпадать, т. е. быть 
подвижными. Тем самым искомый промежуток как бы двигается по 
числовой прямой, сжимаясь или растягиваясь, чтобы включать (или, 
наоборот, не включать) то, что требуется в рассматриваемой задаче. 
В пособии много внимания уделяется графическому методу решения задач. Этот метод позволяет выявить особенности расположения 
графиков при изменении параметра, найти «критические» положения 
графика, отделяющие множество графиков, удовлетворяющих условию задачи, от не удовлетворяющих, после чего наступает аналитическая часть решения, связанная с вычислением критических значений 
параметра и записи ответа. 
При решении задач, содержащих неравенства с параметром, полезно знакомство с методом областей на координатной плоскости, который является аналогом метода интервалов на прямой. 
Пособие предназначено для учащихся 10–11 классов Инженерного 
лицея Новосибирского государственного технического университета. 
Целью пособия является знакомство учащихся с некоторыми приемами и методами решения задач с параметрами. 

В пособии разобраны типовые примеры, иллюстрирующие особенности применения метода подвижных границ, графического метода и 
метода областей. Многие задачи допускают решение различными методами, что позволяет увидеть взаимосвязь различных разделов математики, сравнить сложность решения задачи тем или иным применяемым методом и выбрать наиболее простой вариант решения. 
Пособие содержит задачи из ЕГЭ прошлых лет и других источников для самостоятельного решения. Ко всем задачам даны ответы, в 
некоторых случаях решение задачи сопровождается методическими 
указаниями. 
Автор надеется, что при внимательном чтении с «карандашом» пособие будет полезно учащимся при подготовке к ЕГЭ. 
Несколько советов. Стремясь извлечь из своих усилий максимальную пользу, старайтесь подметить в задаче, которую вы решаете, то, 
что может пригодиться и в будущем при решении других задач. 
Следует обратить внимание на оформление решения задачи с развернутым ответом. Оформление решения задачи должно быть аккуратным, записи  разборчивыми, пояснения  максимально исчерпывающими и логически обоснованными. 
Автор выражает искреннюю признательность и благодарность рецензентам: профессору, доктору технических наук Б.С. Резникову и 
учителю математики высшей квалификационной категории Н.В. Мордвиновой, а также руководителю секции «математика» Инженерного лицея НГТУ, кандидату педагогических наук, доценту кафедры инженерной математики Е.В. Подолян за полезные советы и обсуждения при 
написании данного пособия. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

1. ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФИЧЕСКОГО МЕТОДА 
К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ 
 И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ 

Рассмотрим задачу. 
Найдите решение уравнения 5
7
x 
. 

Ответ: 
7 / 5
x 
. 
Поставим аналогичную задачу для уравнения ax
b

. Наверняка, 
получим ответ в виде 
/
x
b a

. Зададимся вопросом: всегда ли это имеет место? Так как произошло деление на a , то очевидно, что 
0
a 
. 
А что получится, если 
0
a 
? Какие значения принимает при этом второй параметр b ? Такого рода вопросы возникают при исследовании 
уравнений, содержащих параметры. 
Перейдем к геометрической интерпретации уравнения ax
b

. 
Уравнение равносильно системе уравнений 

 
,

.

y
ax

y
b






 
(1) 

Графиком функции y
b

 является прямая, параллельная оси Ox, 
пересекающая ось Oy в точке (0; )
b . Графики функций y
ax

 в зависимости от параметра a представляют собой семейство прямых, проходящих через начало координат с угловым коэффициентом a  (рис. 1). 
Изменению параметра a  соответствует вращение прямой y
ax

 вокруг начала координат, изменению параметра b  соответствует параллельный перенос прямой y
b

. 
Возможны следующие случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости: 
1) прямые пересекаются при 
0
a 
. Система (1) имеет единственное решение 
/
x
b a

; 

Рис. 1 

2) прямые параллельны и не совпадают, если 
0
a 
 и 
0
b 
. Система (1) не имеет решений x  ; 
3) прямые совпадают с осью Ox  при 
0,
0
a
b


. Система (1) имеет бесконечно много решений x
R

. 
Рассмотренная ситуация типична для многих задач, содержащих 
параметр. Переход к геометрической интерпретации позволяет проследить за изменением взаимного расположения графиков при изменении параметров и сделать вывод о наличии и количестве корней или об 
их отсутствии. 
Рассмотрим следующую задачу в общей постановке. 
Исследовать число корней уравнения 
( , )
( )
f x a
g x

в зависимости 
от параметра a . 
Прежде всего термин «исследовать» означает, что нужно дать ответ на вопрос о количестве корней уравнения при тех или иных допустимых значениях параметра, входящего в уравнение. 
Уравнение равносильно системе уравнений 

 
( , ),
( ).
y
f x a
y
g x





 
(2) 

При переходе от уравнения к системе уравнений желательно (но не 
обязательно) преобразовать уравнение к такому виду, чтобы параметр 
содержался в одной части равенства, а другая часть 
( )
g x  его не содержала. Тогда график функции 
( )
y
g x

 не меняется при изменении 
параметра a  в силу его отсутствия, и необходимо проследить только 
за особенностями расположения графика функции 
( , )
y
f x a

, содер
О 

жащей параметр. При этом число корней уравнения равно числу точек 
пересечения графиков функций, входящих в систему. 

Пример 1. Найти все значения параметра a , при каждом из ко
торых уравнение 
2
2
(
)
2

x
x
a
x





 имеет единственное решение. 

Р е ш е н и е . Перепишем уравнение в виде равносильной системы 
уравнений 

 

2
(
) ,

2 .
2

y
x
a

x
y
x











 
(3) 

Графиком функции 
2
(
)
y
x
a


 является парабола с вершиной в 
точке ( ; 0)
a
, ветви которой направлены вверх. Для построения графика 

2

2

x
y
x




 освободимся от знака модуля, записав уравнение в виде 

 
1,
2,
1,
2.
x
y
x



 


 
(4) 

Перемещая график параболы слева направо, замечаем, что критическими положениями параболы являются положения I и II (рис. 2). 

 
Рис. 2 

В положении I и левее графики не пересекаются, поскольку точка 

2
x 
 не входит в область определения функции 
2

2

x
y
x




. 

В положении II графики имеют одну точку пересечения. Дальнейшее перемещение графика параболы приводит к двум точкам пересечения. Таким образом, если вершина параболы принадлежит промежутку 
1
2
(
,
]
a
a
, то система, а следовательно, и уравнение имеет единственное решение. 
Вычислим искомые значения параметра a в положениях I и II, подставив координаты точки (2;1)  в уравнение параболы. 
2
(2
)
1
a

 , откуда находим 1
1
a   или 
2
3.
a 
 

Ответ: 
(1; 3]
a
. 
В следующем примере рассмотрен прием замены переменной. 

Пример 2. Исследовать число корней уравнения 
x
a



1/3
log
(
2 )
x
a


 в зависимости от параметра .a  

Р е ш е н и е . Обращает на себя внимание то, что параметр входит в 
обе части уравнения и оно не приводится непосредственно к виду 
( , )
( )
f x a
g x

. Тем не менее этого можно добиться при помощи замены переменной 
2
t
x
a


. 

Уравнение запишется в виде, в котором параметр присутствует в 
одной части равенства  

1/3
3
log
.
t
a
t


 

Полученное уравнение равносильно системе уравнений 

 

1/3

3 ,
log
.
y
t
a
y
t







 
(5) 

Графиками семейства функций 
3
y
t
a


 являются «полупараболы», вершины которых лежат на оси Ot в точке ( 3 ; 0)
a

и ветви которых направлены в положительном направлении оси t . Другой график 
есть график логарифмической функции с основанием 1/3 (рис. 3). 

Рис. 3 

Перемещая график 
3
y
t
a


 в положительном направлении оси t , 
заключаем, что критическим положением является положение I, когда 
вершина «полупараболы» совпадает с точкой (1; 0) . При дальнейшем 
перемещении «полупараболы» точек пересечения графиков нет. 
Вычислим критическое значение параметра a , подставив координаты точки (1; 0)  в уравнение 
3
y
t
a


: 1
3
0
a


, откуда 
1/ 3
a  
. 

Ответ: 
 при 
1/ 3
a  
 уравнение имеет один корень; 
 при 
1/ 3
a  
 уравнение корней не имеет. 
Еще раз обратим внимание на использованный прием, состоящий в 
замене переменной. Именно это обстоятельство позволило записать 
исходное уравнение в более удобном для исследования виде. 
Во многих задачах встречается ситуация, когда графики функций 
( , )
y
f x a

 и 
( , )
y
g x a

 при некотором значении параметра касаются 
друг друга в некоторой точке 
0
x
x

. Математически это выражается 
условиями: 

 
0
0

0
0

(
, )
(
, ),
(
, )
(
, ).
f x
a
g x
a
f
x
a
g x
a


 



 
(6) 

 

О 

Первое уравнение системы выражает равенство ординаты графиков 
в точке касания. Второе уравнение системы выражает равенство углового коэффициента касательной, поскольку значение производной в точке 
касания 
0
x
x

 есть угловой коэффициент касательной в этой точке 
(рис. 4). 

 
Рис. 4 

Пример 3. Найти все значения параметра a , при которых неравен
ство 
2
2
x
x

|
| 3
x
a



 выполняется при всех значениях x. 

Р е ш е н и е . Запишем неравенство в виде 
2
|
| 3
2
x
a
x
x




. Обо
значим 
( , )
f x a
x
a


, 
2
( )
3
2
g x
x
x



. Получаем неравенство 

( , )
( ).
f x a
g x

 

Геометрически неравенство означает, что график функции y 
( , )
f x a

 расположен выше графика функции 
( )
y
g x

. График функции 
( , )
y
f x a

 есть прямой угол, симметричный относительно вертикальной прямой 
,
x
a

 с вершиной в точке ( ; 0)
a
, перемещающийся по 
оси Ox (рис. 5). 
Графиком функции 
( )
y
g x

 является парабола, ветви которой 
направлены вниз, пересекающая ось Ox в точках (–3; 0) и (1; 0) (рис. 5). 
Перемещая график функции 
( , )
|
|
f x a
x
a


 вправо, что соответствует увеличению параметра a , получим критические положения 
I и II, когда сначала «правая часть угла», а затем «левая часть угла» 
касается графика параболы в некоторых точках 1
2
,
x
x , и вместо нера