Активная параметрическая идентификация стохастических динамических систем на основе планирования эксперимента

 
 
 
 
 
 
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 
СЕРИИ «МОНОГРАФИИ НГТУ» 
 
 
д-р техн. наук, проф. (председатель)  А.А. Батаев 
д-р техн. наук, проф. (зам. председателя)  А.Г. Вострецов 
д-р техн. наук, проф. (отв. секретарь)  В.Н. Васюков 
 
д-р техн. наук, проф. А.А. Воевода 
д-р техн. наук, проф. В.И. Денисов 
д-р физ.-мат. наук, проф. А.К. Дмитриев 
д-р физ.-мат. наук, проф. В.Г. Дубровский 
д-р филос. наук, проф. В.И. Игнатьев 
д-р физ.-мат. наук, проф. О.В. Кибис 
д-р социол. наук, проф. Л.А. Осьмук 
д-р техн. наук, проф. Н.В. Пустовой 
д-р техн. наук, проф. Г.И. Расторгуев 
д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Селезнев 
д-р техн. наук, проф. Ю.Г. Соловейчик 
д-р техн. наук, проф. А.А. Спектор 
д-р техн. наук, проф. А.Г. Фишов 
д-р экон. наук, проф. М.В. Хайруллина 
д-р техн. наук, проф. В.А. Хрусталев 
д-р техн. наук, проф. А.Ф. Шевченко 
 
 
 

УДК 681.5.015.4:519.242 
Ч-813 
 
 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор А.А. Попов 
д-р техн. наук, профессор А.А. Воевода 
 
 
Чубич В.М. 
Ч-813  
Активная параметрическая идентификация стохастических 
динамических систем на основе планирования эксперимента : 
монография / В.М. Чубич, Е.В. Филиппова. – Новосибирск : 
Изд-во НГТУ, 2019. – 222 с. – (Серия «Монографии НГТУ»). 

ISBN 978-5-7782-4036-0 

Излагаются теоретические и прикладные аспекты активной параметрической идентификации стохастических линейных нестационарных и нелинейных дискретных и непрерывно-дискретных систем с 
предварительно выбранной модельной структурой. Рассматривается 
случай, когда неизвестные параметры входят в уравнения состояния и 
измерения, в начальные условия и в ковариационные матрицы шумов 
системы и измерений. Приводится описание разработанного алгоритмического и программного обеспечения, позволяющего решать задачи 
оптимального оценивания параметров с привлечением прямых и 
двойственных градиентных процедур планирования эксперимента. 
Монография будет интересна специалистам, научные и профессиональные интересы которых связаны с моделированием динамических объектов стохастической природы.   
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ по государственному заданию (проект 
№ 2.7996.2017/8.9). 
 
УДК 681.5.015.4:519.242 
 
ISBN 978-5-7782-4036-0 
© Чубич В.М., Филиппова Е.В., 2019 
 
© Новосибирский государственный 
 
технический университет, 2019 

УДК 681.5.015.4:519.242 
Ч-813 
 
 
 
Reviewers: 
Professor A.A. Popov, D.Sc. (Eng.) 
Professor A.A. Voevoda, D.Sc. (Eng.) 
 
 
 
Chubich V.M. 
Ч-813  
Active parametric identification of stochastic dynamic systems 
based on experiment design : monograph / V.M. Chubich, E.V. Filippova. – Novosibirsk : NSTU Publishers, 2019. – 222 p. – 
(“NSTU Monographs” series). 

ISBN 978-5-7782-4036-0 

Theoretical and applied aspects of active parametric identification of 
stochastic linear nonstationary and nonlinear discrete and discretecontinuous systems with a preset model structure are described. The case 
when unknown parameters enter into the equations of state and measurement, into initial conditions and into measurement noise covariance matrices of the system is studied. The developed algorithmic and software support which makes it possible to solve problems of optimal parameter estimation by using direct and dual gradient procedures for experiment design 
is described.  
The monograph will be of interests to specialists whose scientific and 
professional interests lie in the field of modeling dynamic stochastic objects. 
 
 
 
 
 
УДК 681.5.015.4:519.242 
 
ISBN 978-5-7782-4036-0 
© Chubich V.N., Filippova E.V., 2019 
 
© Novosibirsk State Technical University, 2019 

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß È ÑÎÊÐÀÙÅÍÈß 

 
7 

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß È ÑÎÊÐÀÙÅÍÈß 
 
 
– вектор неизвестных параметров размерности s 


  
– область допустимых значений параметров 

*
  
– вектор истинных значений параметров 
ˆ 
– оценка вектора параметров , найденная без планирования эксперимента 
*
ˆ  
– оценка вектора параметров , найденная с планированием 
эксперимента 


  
– относительная ошибка оценивания в пространстве параметров при пассивной идентификации 
*

  
– относительная ошибка оценивания в пространстве параметров при активной идентификации 
 
– данные наблюдений 


; 
    – критерий идентификации, критерий максимального правдоподобия 
 
– непрерывный нормированный план эксперимента  

1
2

1
2

, 
,
, 
,
, 
,
, 

q

q
p
p
p








  









1
0, 
1
q

i
i
i
p
p




, 
i

  , i = 1, 2,…, q 

*
  
– оптимальный по некоторому критерию непрерывный 
нормированный план эксперимента 
M() 
– информационная матрица плана 


( )
X M   – критерий оптимальности 
( )
M   
– информационная матрица Фишера одноточечного плана 
(при планировании входных сигналов 
,
U
 
 при планировании начальных условий 
0
0
(
)
[ (
)]
x t
E x t
 

) 
U 
– входной сигнал 







1
0

0

(
),
0,1,...,
1 , если время дискретное;

( ),
, 
, если время непрерывное

N
k

N

U
u t
k
N
U
u t
t
t
t







 




 

i
U  
– i-й входной сигнал 

 

 

(
), ( )
k
u t
u t  
– r-мерный вектор управления (входа) в соответствующий момент времени 
(
), ( )
k
x t
x t  
– n-мерный вектор состояния в соответствующий момент времени 

1
ˆ(
|
)
k
k
x t
t

 
– оценка 
1
(
)
k
x t 
 по измерениям 1
k
Y  (оценка одношагового прогнозирования) 

1
ˆ (
|
)
ij
k
k
x
t
t

 
– оценка одношагового прогнозирования состояния

1
(
)
k
x t 
, соответствующая паре(
,
)
i
ij
U Y
 

1
1
ˆ(
|
)
k
k
x t
t


 
– оценка 
1
(
)
k
x t 
 по измерениям 
1
1
k
Y 

 (оценка фильтрации) 

1
1
ˆ (
|
)
ij
k
k
x
t
t


 – оценка фильтрации состояния 
1
(
)
k
x t 
, соответствующая паре (
,
)
i
ij
U Y
 

(
), ( )
k
w t
w t  
– p-мерный вектор шума системы в соответствующий 
момент  

1
(
)
k
y t 
 
– m-мерный вектор измерения (выхода) в момент 

1
kt   

1
1
ˆ(
|
)
k
k
y t
t


 
– оценка 
1
(
)
k
y t 
по измерениям 
1
1
k
Y  при 
ˆ
    

*
1
1
ˆ (
|
)
k
k
y
t
t


 – оценка 
1
(
)
k
y t   по измерениям 
1
1
k
Y   при 
*
ˆ
    

1
, 
N
Y Y
 
– выходной сигнал 


1
1
(
), 
0, 1,..., 
1
N
k
Y
Y
y t
k
N





 

ij
Y  
– j-я реализация выходного сигнала, соответствующая входному сигналу 
i
U  

Y
  
– относительная ошибка оценивания в пространстве 
откликов при пассивной идентификации 
*
Y
  
– относительная ошибка оценивания в пространстве 
откликов при активной идентификации 


1
; 
N
L
Y

 
– функция правдоподобия 

1
(
)
k
v t 
 
– m-мерный вектор шума измерения в момент 
1
kt   

1
(
)
kt 

 
– m-мерный вектор обновления в момент 
1
kt   

 

ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß È ÑÎÊÐÀÙÅÍÈß 

 
9 

( , ), 
  
 – параметры обобщенной теоремы эквивалентности 


  
– дискретный нормированный план эксперимента 

1
2

1
2

, 
,
, 

,
,
, 
,
,
1
 
, 2,
, 

q

i
q
k
k
q
k
i














 





















 

U

 
– область допустимых входных сигналов 

0
(
)
x t

 
– область допустимых начальных условий 

( , )
g


   – градиент скалярной функции g  по аргументу   

T

1
2

( , )
( , )
( , )
( , )
, 
,..., 
n

g
g
g
g





 

 

 

   






 

 
E   
– оператор математического ожидания 

n
R  
– вещественное линейное пространство, состоящее из  
n-мерных векторов-столбцов 

m n
R   
– множество вещественных матриц, содержащих m строк 
и n столбцов 

  
– векторная или матричная норма 

T
2

1

n

i
i
a





,  если  
T
1
2
(
, 
,..., 
)
n
a
 


 

,
max
ij
i j
A
n


,  если 

11
12
1

21
22
2

1
2

...
...
...
...
...
...
...

n

n

n
n
nn

A













 









 

T
A  
– матрица, транспонированная к матрице А 

1
A  
– матрица, обратная к невырожденной матрице А 
sp A 
– след матрицы А 
det A  
– определитель матрицы А 
 I 
– единичная матрица 

ki

 
– символ Кронекера 
( )


 
– дельта-функция Дирака 

 

ДУ 
– дифференциальное уравнение 
ИМФ 
– информационная матрица Фишера 
ММП 
– метод максимального правдоподобия 
ОМП 
– оценка максимального правдоподобия 
ПК-I 
– программный комплекс активной параметрической идентификации стохастических нелинейных дискретных систем 
ПК-II 
– программный комплекс активной параметрической идентификации стохастических нелинейных непрерывнодискретных систем 
ПК-III 
– программный комплекс активной параметрической идентификации стохастических нестационарных линейных 
дискретных систем 
APIS 1.0 – интерактивная программная система активной параметрической идентификации стохастических динамических 
систем