Электродинамика

Министерство образования и науки Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 
Е.А. КРАСНОПЕВЦЕВ 
 
 
 
 
 
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА 
 
 
 
 
Утверждено  
Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2018 

 

УДК 537.8(075.8) 
   К 782 
 
 
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, профессор В.Г. Дубровский; 
д-р физ.-мат. наук, профессор Ю.Г. Пейсахович 
 
 
 
 
Работа подготовлена на кафедре 
полупроводниковых приборов и микроэлектроники НГТУ 
для студентов инженерно-физических специальностей 
 
 
Краснопевцев Е. А.  
К 782  
Электродинамика: учебное пособие / Е.А. Краснопевцев. – 
Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2018. – 244 с.  

ISBN 978-5-7782-3667-7 

Излагаются основные понятия и законы электромагнетизма и электродинамики. Рассматриваются прикладные вопросы: скин-эффект, 
плазмоника, волноводы и резонаторы, начала квантовой теории излучения, спонтанное параметрическое рассеяние света. Издание предназначено для студентов инженерно-физических направлений.  
 
 
 
 
 
 
 
УДК 537.8(075.8) 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-3667-7 
 Краснопевцев Е.А., 2018 
 
 Новосибирский государственный 
 
    технический университет, 2018 

 

ВВЕДЕНИЕ 

Электродинамика изучает электромагнитное поле, его проявления, 
источники и воздействие на заряженные частицы. Свойства газов, 
жидкостей и твердых тел объясняются многообразием форм электромагнитного взаимодействия зарядов, из которых состоят эти вещества. 
Человеческие чувства начинаются с электромагнитных взаимодействий. Электродинамика является основой электротехники, радиотехники, электроники, без нее невозможно развитие современной науки, 
техники и технологии.  
Существуют положительные и отрицательные электрические заряды, кратные заряду электрона, которые создают в окружающем пространстве поля электрическое и магнитное, и эти поля действуют на 
заряды. Не существует магнитных зарядов. Различают статические 
электрическое и магнитное поля, не зависящие от времени, распределенные в пространстве, связанные соответственно с зарядами и токами, и зависящие от времени электрическое и магнитное поля, которые 
порождают друг друга. Они могут отрываться от зарядов и токов и 
распространяться в пространстве в виде электромагнитной волны.  
С микроскопической точки зрения статическое электрическое поле и 
статическое магнитное поле являются облаком квантов – виртуальных фотонов, испускаемых и поглощаемых зарядами и токами. Кванты распространяются в пространстве и передают взаимодействие между зарядами и токами. У электромагнитной волны квантом является 
реальный фотон, несущий энергию, импульс, момент импульса, его 
масса и заряд равны нулю. В отличие от реального фотона у виртуального фотона не выполняется релятивистское соотношение между энергией и модулем импульса   Cp , где С – скорость света, такой фотон 
невозможно зарегистрировать детектором. Заряженные частицы поглощают виртуальные фотоны, получают импульс и воздействие  

в виде силы Кулона или силы Лоренца. При ускорении заряда часть 
виртуальных фотонов превращается в реальные фотоны и излучается 
электромагнитная волна. Классическая электродинамика не рассматривает явления, происходящие на уровне отдельных фотонов, ограничиваясь полями. Представление о фотонах лежит в основе фотоники – 
аналога электроники, где вместо электронов используются кванты света.  
Классическая электродинамика создана работой многих ученых, 
начиная с XVII века. Завершающий вклад в общую теорию и в открытие новых явлений внесли М. Фарадей, который ввел понятие поля в 
1845 г., и Дж. К. Максвелл, получивший систему уравнений для полей 
в 1865 г. Уравнения Максвелла единым образом описали известные к 
тому времени проявления электричества и магнетизма и предсказали 
новые явления, в частности электромагнитные волны.  
 

      
 
Майкл Фарадей  
(1791–1867)  
 
Джеймс Клерк Максвелл 
(1831–1879) 

Электромагнитное поле взаимодействует со средой, состоящей из 
множеств атомов, молекул, ионов, электронов. Далее ограничимся линейными, однородными и изотропными средами, которые характеризуются усредненными по микроструктуре параметрами. Такое описание 
удовлетворительно для не слишком высоких частот изменения полей. 
Формулы записываются в международной системе единиц (СИ). В тексте 
жирная буква, например F, обозначает вектор, курсивная F – его модуль. 
Пособие предназначено для студентов инженерно-физических специальностей, прослушавших курсы: Общая и прикладная физика, Математический анализ, Методы математической физики, Квантовая  
механика.  

ГЛАВА 1 

ЭЛЕКТРОСТАТИКА 

Электростатика изучает электрическое поле неподвижных зарядов, 
называемое кулоновским.  

1.1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЗАРЯДЫ 

Эксперименты показывают, что любой реальный заряд q кратен 
элементарному заряду 
19
1,6022 10


e
 Кл,  

 
q
eN , 
0,1, 2,...

N
 

Единицей измерения заряда является кулон. Электрон имеет отрицательный элементарный заряд, протон несет такой же положительный 
заряд. Атом с равным количеством электронов в оболочке и протонов 
в ядре имеет нулевой заряд. Для изолированной системы, содержащей 
положительные 
,
 i
q
 и отрицательные 
,
 k
q
 заряды, суммарный заряд  

,
,
|
|






i
k
i
k
Q
q
q
 

строго сохраняется. Например, при трении стекла о ткань на стекле 
возникает заряд 
,1

q
, на ткани 
,2

q
, причем 
,1
,2
0




q
q
, т. е. заряды 

при трении не рождаются, а разделяются.  
Плотность зарядов ( , )

t
r
 равна заряду, находящемуся в момент t 
в единице объема около точки r: 

 
( , )

 dQ
t
dV
r
, [ ]
  [Кл/м3].  
(1.1) 

Если заряды одинаковой величины q распределены в пространстве с 
концентрацией ( , )
n
t
r
, тогда  

( , )
( , )


t
qn
t
r
r
. 

Если заряды 
iq  находятся в точках 
( )
i t
r
 единичного объема, расположенного около точки r, тогда  



( , )
( )




 i
i
i
t
q
t
r
r
r
, 

где r) – дельта-функция. Полный заряд в объеме V выражается через 
плотность зарядов  

 
3
( )
(
)



V
Q t
,t d r
r
,  
(1.2) 

если распределение неоднородное. 

1.2. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ СИЛА  
И НАПРЯЖЕННОСТЬ ПОЛЯ 

Эксперименты показывают, что заряды одинакового знака отталкиваются друг от друга, заряды разных знаков взаимно притягиваются (рис. 1.1). Сила взаимодействия зависит от величины зарядов, расстояния между ними и от среды, в которой они находятся. 
 

 
Рис. 1.1. Силы взаимодействия зарядов 

Закон Кулона. Если в диэлектрической среде находятся заряды 1
q  
и 
2
q  на расстоянии r друг от друга, то сила взаимодействия пропорциональна величине зарядов и обратно пропорциональна квадрату 
расстояния между ними: 

1 2
2
0

1
4

 
q q
F
r
, 

где электрическая постоянная  

12
0
8,85 10
 

Ф/м, 

9

0

1
9 10
4



м2  Н/Кл2
9
9 10


 м/Ф; 

ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды показывает, во сколько раз уменьшается взаимодействие зарядов при переходе от вакуума к среде из-за ее поляризации, т. е. появления связанных 
зарядов на границе среды. Если в формулах используется диэлектрическая проницаемость , то связанные заряды явно учитывать не нужно, в качестве заряда q рассматривается свободный заряд. Вектор силы, действующей на заряд 2 со стороны заряда 1, равен  

 
1 2
2,1
2,1
2
0

1
4

 
q q

r
F
n
,  
(1.3) 

где 
2,1
|
|

r
r
; 
2,1
2,1 /

r
n
r
 – единичный вектор, показанный на рис. 1.2.  
 

r
n
q
q
1
2
F
2,1
2,1
2,1
F1,2
 
Рис. 1.2. Сила Кулона 

Поскольку 1,2
2,1
 
r
r
, выполняется третий закон 

Ньютона 
1,2
2,1
 
F
F
. Закон (1.3) установил 
Шарль Огюст Кулон в 1785 г.  
Принцип суперпозиции сил утверждает, что 
результирующая сила, действующая на точечный 
заряд 
iq  (рис. 1.3), является векторной суммой 
всех сил Кулона, приложенных к заряду  

,
 
i
i j
j
F
F
, 

где 
,
,
 
i j
j i
F
F
. Пример показан на рис. 1.3. Следовательно, добавление заряда в систему не изменяет сил, действовавших первоначально, но лишь добавляет новые силы.  

Шарль Огюст Кулон 
(1736–1806) 

q
q
1
2
F2,1
F1,2

q3

F1,3

F3,1
F3,2

F2,3

F1
F2
F3

 

Рис. 1.3. Суперпозиция сил 

Напряженность электрического поля. Понятие поля и его 
наглядное изображение в виде силовых линий ввел М. Фарадей. 
Напряженность поля 
( )
E r  равна силе 
( )
F r , действующей со стороны поля на единичный положительный заряд, помещенный в 
точку наблюдения r. Такой заряд называется пробным, и, если его 
величина q, то  

 
( )
( ) 
q
F r
E r
, [ ] 
E
 [Н/Кл кг · м/(с2 · Кл)  В/м].  
(1.4) 

Напряженность, показанная на рис. 1.4, не зависит от величины пробного заряда, поскольку с 
изменением заряда пропорционально меняется и 
сила.  
Напряженность поля точечного заряда Q 

находим, подставляя (1.3) в виде 
2
0

1
4

 
qQ

r
F
n , 

где 
/

r
n
r
, в (1.4) и получаем  

 
2
0

1
( )
4

 
Q

r
E r
n ,   
2
0

1
( )
4

 
Q
E r
r
.  
(1.5) 

Поскольку пробный заряд положительный, вектор напряженности 
направлен от заряда Q, если он положительный, и к заряду Q, если он 
отрицательный.  
Принцип суперпозиции полей следует из принципа суперпозиции 
сил и утверждает, что напряженность, созданная системой зарядов, 

Рис. 1.4. Напряженность электрического поля 

есть векторная сумма напряженностей, образованных каждым 
зарядом системы: 

( )
( )
 
i
i
E r
E r . 

Следовательно, добавление нового поля не изменяет полей, которые 
были первоначально. Если в пространстве распределены точечные 
заряды, то результирующая напряженность в точке А (рис. 1.5), складывается из напряженностей (1.5). С учетом 
/
 
i
i
ir
n
r
, где ir  – положение точечного заряда относительно точки наблюдения, находим  

 
3
0
1

1
4




  
N
i

A
i
i
i

q

r
E
r .  
(1.6) 

 

q
r

r

1
1

2

E1

q2

E2

E

A

A

 
Рис. 1.5. Напряженность системы зарядов 

Непрерывное распределение зарядов в объеме V. Выбираем 
начало координат в точке наблюдения поля A. В пределах объема V 
выделяем элемент заряда dq , находящийся в объеме 
( )
dV r  в окрестности точки r (рис. 1.6). Используя объемную плотность заряда ( )
 r , 
выражаем 
( )
 
dq
dV
r
.  
 

r
A

dq 
dV

dEA
 
Рис. 1.6. Поле точечного заряда 

Сумма в (1.6) по элементам заряда переходит в интеграл  

3
1
( )
4





  
A
V
dV
r

r r
E
. 

Полученное выражение применимо и при достаточно медленном изменении зарядов, т. е. для квазистационарной системы  

 
3
1
( , )
( )
4





  
A
V

t
t
dV
r

r
r
E
.  
(1.7) 

Силовые линии наглядно изображают распределенное в пространстве поле. В каждой точке силовой линии касательная направлена 
вдоль вектора напряженности.  
Свойства кулоновских силовых линий: 
а) направление линии совпадает с направлением Е; 
б) линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются 
на отрицательных зарядах, или уходят в бесконечность; 
в) линии непрерывны в однородной среде. Если бы была точка разрыва, то в ней напряженность не могла бы быть определена; 
г) линии не пересекаются. В противном случае напряженность была бы не однозначной; 
д) густота линий пропорциональна модулю напряженности и определяется отношением числа линий N, пересекающих перпендикулярную линиям площадку, к величине площадки S: 

/

  
N
S
E , 

где  – постоянная.  
Для наблюдения силовых линий М. Фарадей распределил манную 
крупу в прозрачном масле. Электрическое поле электризует крупинки, 
раздвигая в них положительный и отрицательный заряды, крупинки 
становятся диполями, притягиваются друг к другу и образуют цепочки. Силовая линия поля – это кривая, вдоль которой выстраиваются электрические диполи пробного вещества. В общем случае силовые линии исследуют с помощью пробных зарядов. 
Однородное электрическое поле имеет одинаковую во всех точках напряженность 
( )
const

E r
, его силовые линии параллельны и 
эквидистантны. Примеры силовых линий показаны на рис. 1.7.