Теория автоматического управления. Теория управления особыми линейными и нелинейными непрерывными системами

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
О.В. НОС 
 
 
 
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО 
УПРАВЛЕНИЯ 
 
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ ОСОБЫМИ 
ЛИНЕЙНЫМИ И НЕЛИНЕЙНЫМИ  
НЕПРЕРЫВНЫМИ СИСТЕМАМИ 
 
 
Утверждено Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2019 

УДК 681.5.01(075.8) + 681.511(075.8) 
Н 84 
 
Рецензенты:  
д-р техн. наук, доцент Г.А. Французова 
канд. техн. наук, доцент Д.А. Котин 
 
 
Работа подготовлена на кафедре проектирования  
технологических машин для студентов МТФ дневного отделения,  
обучающихся по направлениям подготовки 15.03.04 и 15.03.06 
 
Нос О.В. 
Н 84 
 
Теория автоматического управления. Теория управления 
особыми линейными и нелинейными непрерывными системами: учебное пособие / О.В. Нос. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 
2019. – 166 с. 

ISBN 978-5-7782-3889-3 

Предлагаемое читателю учебное пособие представляет собой 
структурное продолжение вышедшего в 2018 г. издания «Теория автоматического управления. Теория управления линейными одноканальными непрерывными системами» и посвящено дальнейшему изучению непрерывных систем автоматического управления с учетом их 
многомерности и нелинейности, а также решению частных задач синтеза управляющих устройств применительно к техническим объектам 
с особой структурой. 
Адресовано студентам дневной формы обучения по направлениям 
подготовки 15.03.04 – «Автоматизация технологических процессов и 
производств» и 15.03.06 – «Мехатроника и робототехника». 
 
 
 
 
 
 
УДК 681.5.01(075.8) + 681.511(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-3889-3 
© Нос О.В., 2019 
 
© Новосибирский государственный 
 
технический университет, 2019 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Современный уровень развития отечественной машиностроительной отрасли характеризуется широким внедрением в производственный процесс 
различного рода локальных управляющих подсистем и технических средств 
автоматизации, предназначенных для одновременного автоматического регулирования нескольких технологических переменных, поведение во времени 
которых в силу достаточно сложных физических явлений нельзя описать с 
помощью линейных дифференциальных уравнений. Характерными примерами такого класса процессов и объектов служат металлорежущее оборудование, робототехнические комплексы, релейные устройства автоматики, гидравлические и пневматические приводы и т. д. В этой связи важное значение 
при подготовке специалистов в данной области знаний приобретают прикладные задачи разработки систем автоматического управления (САУ) с учетом предельных значений эксплуатационных характеристик, математическое 
описание которых не поддается линеаризации и требует применения специальных методов анализа и синтеза. 
Первая глава настоящего учебного пособия посвящена векторно-матричным математическим моделям многомерных линейных непрерывных 
САУ в рамках метода пространства состояний, а также рассмотрению различных подходов к формированию области допустимых управлений и обеспечению требования инвариантности выхода от негативного действия сигнальных возмущений.  
Вторая глава включает в себя материал, связанный с вопросами организации и расчета систем подчиненного регулирования, нашедших широкое 
применение в электроприводах постоянного и переменного тока, повышения 
статической точности САУ в рамках принципа последовательной коррекции, 
учета влияния на устойчивость малого параметра, а также компенсации негативного действия звена чистого запаздывания на качество процессов по 
управляемой координате с помощью дополнения структуры регулятора упредителем (предиктором) О. Смита. 
Третья глава содержит в себе краткие сведения о характере установившихся и переходных процессов в объектах управления с нелинейными характеристиками, для которых неприменим принцип суперпозиции, в том числе 
квалификационные признаки и математическое описание наиболее распро

страненных в реальных технических системах нелинейных элементов, а также правилах структурного преобразования статических звеньев в составе 
данного класса непрерывных САУ, включая их приведение к стандартному 
виду. 
В четвертой главе изложены базовые положения метода фазовой плоскости, широко применяемого для анализа состояния непрерывных систем с 
одной нелинейностью и линейной частью второго порядка, который обладает 
большой наглядностью вследствие графического изображения процессов в 
двумерном пространстве. По фазовому портрету, построение которого выполняется на основании аналитического решения дифференциального уравнения в частных производных или приближенного графоаналитического метода изоклин, можно получить полное представление о всех возможных видах движения САУ, а также об условиях их возникновения.  
Изучению возникающих на выходе нелинейной непрерывной САУ автоколебательных режимов работы в рамках метода гармонической линеаризации посвящена пятая глава, в которой достаточно подробно рассмотрены 
аналитические и графоаналитические методы расчета устойчивости и параметров периодических движений выхода во временно́й и частотной областях, 
основанные на приближенной замене существенно нелинейной статической 
или динамической зависимости эквивалентной ей гармонически линеаризованной передаточной функцией. 
В шестой главе описаны условия возникновения, протекания и технической регуляризации скользящих режимов, которые широко применяются в 
полупроводниковых преобразовательных устройствах силовой электроники 
вследствие разрывного характера управляющих воздействий. В САУ данного 
класса благодаря соответствующему выбору поверхности переключения 
управлений можно добиться устойчивости линейного объекта с «правыми» 
корнями и малой чувствительности качества протекающих процессов к параметрическим возмущениям. 
В заключительной седьмой главе основное внимание уделено классическим для теории автоматического управления задачам определения устойчивости САУ произвольного вида с использованием соответствующих теорем, 
доказанных А.М. Ляпуновым и В.М. Пóповым, включая частный случай анализа по дифференциальным уравнениям первого приближения после линеаризации по ряду Б. Тейлора. 
В конце каждой из глав приведены практические задачи и перечень вопросов с ответами, позволяющих самостоятельно осуществить контроль изученного теоретического материала. 
Замечания, пожелания и предложения по содержанию учебного пособия 
следует направлять по адресу: 630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса 20, Новосибирский государственный технический университет, издательство НГТУ. 

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ 
 
САУ – система автоматического управления 
ОУ – объект управления 
КУ – корректирующее устройство 
СПР – система подчиненного управления 
ДПТ НВ – двигатель постоянного тока независимого возбуждения 
t  – независимая переменная, время 
x  – n-мерный вектор состояния 
y  – k-мерный вектор управляемых (выходных) переменных 
u  – m-мерный вектор управления 
f  – алгебраический вектор сигнальных возмущений 
А  – собственная матрица системы 
B  – матрица при управлениях 
C  – матрица выхода по состоянию 
D – матрица выхода по управлению 
G  – матрица выхода по возмущению 
v  – задающее воздействие 

d
p
dt

 – оператор дифференцирования 

( )
G p  – входной линейный дифференциальный оператор 
( )
D p  – собственный линейный дифференциальный оператор 
( )
W p  – передаточная функция 
k  – коэффициент передачи 
T  – постоянная времени, с 
 – постоянная времени запаздывания, с 
  – коэффициент демпфирования 

раз
k
 – коэффициент передачи САУ в разомкнутом состоянии 

(
)
W j  – амплитудно-фазочастотная характеристика (АФЧХ) 

*(
)
W
j  – видоизмененная АФЧХ 

( )
A   – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) 
( )
   – фазочастотная характеристика (ФЧХ) 
( )
L   – логарифмическая 
амплитудно-частотная 
характеристика 
(ЛАЧХ) 
( )
P   – вещественная частотная характеристика 
( )
Q   – мнимая частотная характеристика 

*( )
Q
  – мнимая составляющая видоизмененной АФЧХ 

c
  – частота среза 

сопр

 – частота сопряжения 

pt  – время регулирования 

ct  – время нарастания переходного процесса, или, иначе, время первого согласования 

max
t
– время достижения первого максимума 
%

 – перерегулирование 
( )
L

  – запас устойчивости по модулю 
( )
   – запас устойчивости по фазе 
(
)
M j  – годограф А.В. Михайлова 
, 
a c  – параметры типовых статических нелинейностей по входу и выходу соответственно 
( ), ( )
q A
q A

 – коэффициенты гармонической линеаризации 

нэ( , , )
W
A p   – гармонически линеаризованная передаточная функция 

a
A , 
a
  – амплитуда и частота автоколебаний соответственно 
 
s x  – функция поверхности переключения разрывных управлений 
( )
V x  – функция А.М. Ляпунова 
H  – диагональная матрица положительных весовых коэффициентов 
 

ГЛАВА 1 

МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ  
И ИНВАРИАНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ  
НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ 

 
 
 
 
 
1.1. Векторно-матричные модели линейных систем  
в пространстве состояний 

Динамические свойства линейных непрерывных САУ полностью 
характеризуются координатами состояния, часть из которых представляют собой выходные переменные. В связи с этим в современной теории автоматического управления широкое распространение при анализе систем произвольного порядка во временно́й области получил метод 
пространства состояний, который основывается на использовании 
пространства с заданным скалярным произведением, каждый элемент 
которого полностью определяет мгновенное поведение рассматриваемой системы (процесса) в заданный или текущий момент времени.  
В качестве элементов могут быть приняты конечные упорядоченные 
совокупности действительных чисел, последовательность которых, 
представленная в виде 

 

T
1
2
n
x
x
x

x

, 
(1.1) 

где T  – верхний символ транспонирования, называется n-мерным алгебраическим вектором. 
В рамках данного метода переходной процесс рассматривается как 
движение изображающей точки в пространстве соответствующей размерности, что позволяет рассматривать многомерные системы. В связи 
с этим широко используется векторно-матричная форма записи уравнений и математический аппарат линейной алгебры. 
Если в САУ все переменные состояния и внешние воздействия связаны между собой на основании линейных комбинаций и для них 

справедлив принцип суперпозиции, то в этом случае используют следующую математическую модель: 

 
( )
( )
,

( )
( )
( ) ,

t
t

t
t
t




 




x
A
x
B
u
f

y
C
x
D
u
G
f


 
(1.2) 

где 


1
colon
n
i
i
x


x
 – n-мерный вектор-столбец координат состоя- 

ния; 


1
colon
m
i
i
u


u
 – m-мерный вектор-столбец управлений; 



1
colon
k
i
i
y


y
 – k-мерный вектор-столбец управляемых (выходных) 

переменных; 


1
colon
n
i
i
f


f
 – n-мерный вектор аддитивных сигнальных возмущений; 
( )t
А
 – собственная матрица системы размерностью 
dim
( )t
n
n


А
; 
( )t
B
 – матрица при управлениях размерностью 
dim ( )t
n
m


B
; 
( )t
C
 – матрица выхода по состоянию размерностью 
dim
( )t
k
n


C
; 
( )t
D
 – матрица выхода по управлению размерностью 
dim
( )t
k
m


D
; 
( )t
G
 – матрица выхода по возмущению размерностью dim
( )t
k
n


G
, причем размерность вектора состояния n также 
называется порядком системы, и она связана с величинами k  и m  
следующим образом: 

 
n
k

,     n
m

. 

Явная зависимость (1.2) от независимой переменной t  показывает, 
что САУ является нестационарной. Если элементы матриц не изменяются с течением времени и являются постоянными величинами, то 
САУ называется стационарной: 

 
,

,




 




x
Ax
Bu
f

y
Cx
Du
Gf


 

что иллюстрирует рис. 1.1, на котором E  обозначена единичная матрица размерностью dim
n
n


E
. 
 

Строки матриц A , B  и C, D , G  относятся к соответствующим 
уравнениям в скалярной форме записи, а столбцы отвечают за координаты вектора состояния или выхода, причем в большинстве реальных 
технических систем D  и G  являются нулевыми матрицами, в результате чего становится справедливым равенство 


y
Cx . 

 

u
B

A

D

x

f

G

E
p
1
C

y
x

 
Рис. 1.1. Векторно-матричная структурная схема линейной  
стационарной системы 

На основании метода пространства состояний также можно представить одномерные системы, описываемые как 

( )
(
1)
(1)
0
1
1

( )
(
1)
(1)
0
1
1
.

n
n
n
n

m
m
m
m

a y
a y
a
y
a y

b u
b u
b
u
b u






















 

При скалярном управляющем воздействии ( dim
1 1
 
u
) и отсутствии форсирующих свойств у объекта управления (ОУ) с выходной 
переменной y  ( dim
1 1
 
y
) путем использования вспомогательных 
переменных 

 
1
y
x

, 
(1)
2
y
x

, . . ., 
(
1)
n
n
y
x


 
(1.3) 

первоначально записывают 
n обыкновенных дифференциальных 
уравнений первого порядка в форме Коши (Огюстен Луи Коши, 
Augustin Louis Cauchy, 1789–1857): 




1
2

2
3

1
0
1
2
1
1 2
1
0

,

,

,
n
n
n
n
n

x
x

x
x

x
a
a x
a x
a
x
a x
b u











 
















 

из которых следует, что текущее состояние одномерной САУ полностью определено, если имеется информация о самой выходной переменной и ее 
1
n   производных. Далее осуществляют переход к векторно-матричной форме записи 

 
,u


x
Ax
B

 
(1.4) 

 
,
y  Cx  

в которой A , B  и C находятся как 

1
1
1
1
0
1 0
2 0
1 0

0
1
0
0

0
0
1
0

0
0
0
1

n
n
n
a a
a
a
a
a
a a















 












A













,  

1
0 0

0

b a





 






B

, 



1
0
0

C

, 

а дифференциальное уравнение (1.4) с собственной матрицей A  данного вида носит название уравнения Фердинанда Георга Фробениуса 
(Ferdinand Georg Frobenius, 1849–1917). 
Если модель ОУ включает в себя m  производных входного воздействия в правой части, причем m
n

, то с учетом коммутативности