Стоячие волны в геофизических исследованиях : теория и практика

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
К.В. ФЕДИН 
 
 
 

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ  

В ГЕОФИЗИЧЕСКИХ 
ИССЛЕДОВАНИЯХ 
 

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА 
 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2020 

УДК 550.344.33(075.8) 
   Ф 326 
 
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук Г.М. Митрофанов, 
канд. техн. наук И.В. Михайлов 
 
Работа подготовлена на кафедре газодинамических систем  
для студентов IV курса  
по направлению 16.03.01 «Техническая физика» физико-технического 
факультета по дисциплине «Экспериментальные методы  
исследований» и утверждена Редакционно-издательским советом  
университета в качестве учебно-методического пособия 
 
 
Федин К.В. 

Ф 326  
Стоячие волны в геофизических исследованиях : теория и 

практика : учебно-методическое пособие / К.В. Федин. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2020. – 36 с. 

ISBN 978-5-7782-4284-5 

В пособии излагается введение в теорию и практику экспериментальных методов геофизики. 
Рассматривается теория и практика геофизических методов исследования, а именно выделение стоячих волн из микросейсма, измерение 
скоростей на образцах, трехмерное физическое моделирование, измерение толщины льда по акустике. Приведена область применения этих 
методов. Обсуждаются результаты, которые необходимо получить в 
ходе изучения данного курса. 
Предназначено для студентов старших курсов, которые специализируются по геофизике и геофизическим методам разведки полезных 
ископаемых. 
 
 
УДК 550.344.33(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-4284-5 
 Федин К.В., 2020 
 
 Новосибирский государственный 
 
    технический университет, 2020 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение ................................................................................................................... 4 

1. Упругие стоячие волны в геофизических приложениях (обзор) ..................... 6 

2. Моделирование изгибных стоячих волн, возбуждаемых акустическими шумами в балках прямоугольного сечения ........................................... 9 

3. Методика проведения экспериментов ............................................................. 11 

4. Обработка экспериментальных данных ........................................................... 16 

5. Определение толщины льда по стоячим волнам ............................................ 22 

Вопросы для самоконтроля и задачи ................................................................... 31 

Библиографический список .................................................................................. 32 

 

ВВЕДЕНИЕ 

Упругие стоячие волны широко применяются в сейсмоакустических исследованиях на разных масштабных уровнях. На «микроуровне» стоячие волны разных типов (стержневые продольные, крутильные, изгибные) используются при резонансных измерениях, 
которые долгое время были основным методом изучения упругих и 
поглощающих свойств горных пород в лабораторных условиях. Упругие стоячие волны на планетарном уровне – это собственные колебания Земли, изучение которых дает информацию о ее внутреннем строении, вещественном составе, особенностях вращения и т. д. 
На промежуточных масштабных уровнях наиболее широкое применение стоячие волны находят в инженерной сейсмологии, где они, в 
частности, используются при обследовании зданий и сооружений,  
в основном для оценки их технического состояния и сейсмостойкости. 
Чаще всего при таких исследованиях колебания в испытуемых конструкциях возбуждают с помощью искусственных источников [2], что 
позволяет исследовать собственные частоты, декременты затухания 
колебаний, а в некоторых случаях и формы стоячих волн. Однако обследование сооружений с искусственными источниками – трудоемкая 
операция, требующая больших временны´ х и материальных затрат. 
Прорывом в этой области инженерной сейсмологии стала разработанная коллективом авторов методика выделения стоячих волн из шумового (микросейсмического) поля [5–7]. Эта методика реализована в 
технологии обследования зданий и инженерных сооружений, позволяющей по записям микросейсм в разных точках исследуемых объектов 
определять значения собственных частот и изучать формы стоячих волн, 
формирующихся в них под действием микросейсмических колебаний. 
Особенностью методики является то, что в каждом отдельном сеансе измерений производится синхронная регистрация колебаний объекта под воздействием микросейсм в неподвижных опорных точках  

и точках, меняющих свое положение от сеанса к сеансу. Таким образом, даже с малоканальной аппаратурой исследуемый объект может 
быть покрыт густой сетью наблюдений. Основная проблема при таком 
способе получения исходных данных состоит в преобразовании к 
«единому» времени записей, полученных в разных сеансах. Алгоритм 
такого преобразования реализован разработчиками упомянутой технологии на основе фильтров Винера в предположении о том, что для любой пары точек в исследуемом объекте связь параметров стоячих волн 
описывается не зависящей от времени линейной системой, а для бегущих волн такая связь отсутствует. 
В последние годы аналог этой методики находит применение и в 
другой области инженерной сейсмологии – в сейсмическом микрорайонировании [5–7, 14–16, 33, 34]. Выделение из зарегистрированного на 
исследуемом участке микросейсмического поля его когерентных составляющих (стоячих волн) позволяет определять резонансные частоты верхней части разреза (ВЧР), строить карты усиления колебаний на 
собственных частотах, оценивать точность определения коэффициентов усиления. 
Несмотря на то что данная методика в настоящее время достаточно 
активно используется в практике инженерно-сейсмологических исследований, перспективы ее применения для решения многих задач инженерной сейсмологии изучены еще далеко не в полной мере. В связи с 
этим актуальным становится экспериментальное исследование возможностей методики на модельных объектах с хорошо контролируемыми геометрией и физическими характеристиками. Кроме того, такое 
моделирование позволяет изучать характер влияния тех или иных факторов на поле стоячих волн. Основывающиеся на теории подобия волновых явлений [8–10] результаты физического моделирования могут 
быть в дальнейшем экстраполированы на реальные объекты. 
Настоящее издание предназначено для студентов старших курсов, 
которые специализируются по геофизике и геофизическим методам 
разведки полезных ископаемых. Приводится ряд экспериментальных 
работ, каждая из которых решает важные задачи в геофизике. 
Рекомендации по учебной литературе: в качестве введения в экспериментальные методы геофизики можно рекомендовать учебники  
Л.Д. Гика [3–4], И.С. Чичинина и др. [27], а также учебник Vlastislav 
Cerveny and Ravindra [7]. Учебник Vlastislav Cerveny and Ravindra [29] 
может оказаться труден при первом прочтении, но будет чрезвычайно 
полезен для студентов, специализирующихся по сейсмике, для более 
углубленного изучения предмета. 

1. УПРУГИЕ СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ  
В ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ПРИЛОЖЕНИЯХ (ОБЗОР) 

Стоячие волны возникают, когда две гармонические волны с рав
ными периодами и амплитудами распространяются навстречу друг 
другу [26, 11, 20]. В одномерном случае две такие волны, бегущие 
вдоль оси x , можно описать выражениями 

1
0 sin(
),
a
a
kx
t

 
 

2
0 sin(
),
a
a
kx
t

 
 

где 
0
a  – амплитуда;   – круговая частота; k  – волновое число; t  – 
время. 

Просуммировав эти выражения, после несложных тригонометриче
ских преобразований можно получить формулу, описывающую колебательный процесс в стоячей волне: 

0
2
cos(
)sin(
)
a
a
t
kx


. 

Как видно из этой формулы, в каждой точке x  происходят гармонические колебания, амплитуды которых распределены вдоль оси x  по синусоидальному закону. Точки, в которых sin(
)
kx  обращается в нуль, 
т. е. колебания в которых отсутствуют, называются узлами. Максимальные колебания наблюдаются в точках, для которых sin(
)
1
kx   – 
это пучности колебаний. Так как волновое число связано с длиной 
волны λ соотношением 
2π / λ
k 
, расстояния между соседними узлами, а также между соседними пучностями равны половине длины волны. На каждом участке между соседними узлами колебания синфазны; 
в смежных участках колебания происходят в противофазе. 

Отсутствие колебаний в узловых точках стоячей волны означает, 
что через эти точки энергия не переносится, а между ними лишь происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно. В случае, если встречные волны имеют разную  
амплитуду, они компенсируются не полностью; в результате их интерференции идеальные узлы со строго нулевыми смещениями не 
наблюдаются, и часть энергии распространяется в виде бегущей волны. В этом случае говорят о коэффициенте стоячей воны [20]. 

Стоячие волны могут возникать, например, при отражении бегу
щих волн от препятствий, когда происходит интерференция падающей 
и отраженной волны. При этом в зависимости от условий отражения на 
отражающей границе может находиться как пучность (например, при 
отражении звука в воде от ее границы с воздухом), так и узел колебаний (при отражении от той же границы звука в воздухе) [18]. Соответственно при резонансных явлениях в ограниченных телах с одинаковой геометрией в зависимости от условий на границах могут 
формироваться семейства мод стоячих волн с разными наборами собственных частот. Если на противоположных границах резонирующего 
тела образуются только пучности или только узлы, то между этими 
границами будет укладываться целое число полудлин стоячих волн. 
Соответствующие собственные частоты тела в этом случае равны 

 
,
2
n
nV
f
l

  
(1) 

где V – скорость распространения интерферирующих волн; l – расстояние между границами; n – номер моды стоячей волны. 

Если же на одной границе образуются узлы, а на другой пучности, 

то между ними будет укладываться нечетное число четвертей длин 
волн. При этом собственные частоты определяются формулой 

 
(2
1)
4
n
n
V
f
l


. 
(2) 

При интерференции волн, распространяющихся под углом друг к 

другу, также возникают стоячие волны. Так, две гармонические волны 
равной частоты и одинаковой амплитуды, бегущие под углом друг к 
другу, образуют интерференционную картину, бегущую в одном 
направлении, но стоячую – в другом [11]. Иначе говоря, суперпозицию 

волн, бегущих под углом друг к другу, можно рассматривать как волну, стоячую в одном и бегущую без изменения формы в другом 
направлении. 
Образование стоячих волн может быть обусловлено интерференцией бегущих волн различной физической природы. Можно привести 
множество примеров стоячих волн разного масштаба, например, электромагнитных (от световых стоячих волн [13] до низкочастотных волн 
Шумана, возникающих между поверхностью Земли и ионосферой 
[36]), волн на поверхности жидкости (от волн в лабораторных опытах 
[26] до весьма низкочастотных сейш в крупных водоемах [1]), волн 
Фарадея, возникающих при параметрических вертикальных резонансах в жидкости [12] и т. д. Так как настоящая работа посвящена исследованию упругих стоячих волн, возникающих в физических моделях 
различных объектов, ниже будут рассмотрены некоторые примеры и 
особенности применения упругих стоячих волн в различных геофизических приложениях. Далее в тексте под стоячими волнами будут подразумеваться именно упругие стоячие волны. 

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ  
ИЗГИБНЫХ СТОЯЧИХ ВОЛН,  
ВОЗБУЖДАЕМЫХ АКУСТИЧЕСКИМИ ШУМАМИ  
В БАЛКАХ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 

Строительство и эксплуатация гражданских и промышленных зданий и сооружений в обязательном порядке сопровождается комплексом мероприятий, связанных с обеспечением устойчивости как сооружений в целом, так и отдельных их компонентов. Важная роль здесь 
отводится методам контроля и мониторинга состояния несущих и 
других конструктивных элементов сооружений. К числу наиболее 
эффективных методов этой группы относятся сейсмоакустические 
методы. 
В последние годы разработана и успешно применяется в ряде организаций технология обследования инженерных сооружений методом 
стоячих волн [5–7]. Технология позволяет по разновременным записям микросейсм, полученных с помощью малоканальной аппаратуры 
во многих точках исследуемых объектов, и синхронным с ними записям микросейсм в одной или нескольких опорных точках определять 
значения собственных частот и изучать формы стоячих волн, формирующихся в сооружениях под действием микросейсмических колебаний. 
Геометрия форм стоячих волн, частотные и фазовые характеристики собственных колебаний зависят от строения объекта, его физических свойств, а также от граничных условий. Поэтому стоячие волны 
могут быть использованы как для разовых обследований сооружений с 
целью выявления в них различного рода дефектов, так и для мониторинговых наблюдений, позволяющих отслеживать изменение свойств 
исследуемых объектов во времени. 

Как правило, реальные сооружения имеют сложную конструкцию, 
к тому же свойства материалов, из которых они изготовлены, не всегда 
могут быть определены с достаточной для построения расчетных моделей точностью. Это затрудняет исследование на математических моделях влияния разного рода дефектов, изменения физических свойств 
материала или внешних условий на возникающие в различных объектах под действием микросейсм стоячие волны. В связи с этим становится актуальным экспериментальное исследование стоячих волн, 
формирующихся под действием акустических шумов в физических 
моделях с хорошо контролируемыми геометрией и физическими характеристиками. Такое физическое моделирование позволяет изучить 
характер влияния тех или иных факторов на поле стоячих волн в различных объектах. Результаты моделирования согласно теории подобия 
волновых явлений [8–10] могут быть экстраполированы на соответствующие критериям подобия реальные объекты. 
В настоящем разделе описана методика и представлены результаты 
физического моделирования стоячих волн, формирующихся под действием акустических шумов в балках прямоугольного сечения, в том 
числе с щелевидными дефектами [14–16]. Для выделения стоячих волн 
из шумового поля использован лабораторный вариант упомянутой 
выше методики обследования зданий и сооружений, основанный на 
описанном в разделе 3 методе пересчета разновременных данных к 
«единому» времени. Кроме оценки эффективности применения данной 
методики в высокочастотном (килогерцовом) диапазоне частот, целью 
экспериментов было продемонстрировать на относительно простых 
моделях принципиальную возможность ее применения в диагностике и 
мониторинге различных объектов для выявления и локализации возникающих в них дефектов. 

 

3. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ 

Методическим вопросам физического моделирования сейсмических волновых явлений уделяется внимание практически во всех публикациях по данной проблеме, начиная с ранних и кончая недавними 
работами [см., например, 3, 4, 8–10, 28, 30, 39]. Однако методика моделирования упругих стоячих волн, возбуждаемых сейсмоакустическими 
шумами в ограниченных объектах, до настоящего времени не была 
разработана. 
Ниже описаны аппаратура и методические приемы, применявшиеся 
нами при моделировании акустических шумов в балках, а в следующем разделе на примере обработки экспериментальных данных, полученных для незакрепленной балки, иллюстрируется возможность выделения стоячих волн из шумового поля в килогерцовом диапазоне. 
Эта методика применялась при получении результатов, описанных далее в настоящем разделе, а также (с небольшими изменениями) и в 
экспериментах, результаты которых представлены в соответствующих 
разделах. 
В качестве моделей балок прямоугольного сечения использовались 
образцы в форме параллелепипедов толщиной 3,5 см и шириной 7 см, 
длина которых в разных экспериментах варьировалась в пределах 
49,5…50 см. Образцы были изготовлены из бетона на основе смеси 
речного песка с размерами частиц менее 3 мм и цемента М400 в пропорции 2 : 1. Поскольку данный материал по механическим и плотностным свойствам близок ко многим строительным материалам, подобие изучаемых волновых явлений в моделях и натурных объектах 
определяется в основном их геометрическими характеристиками [8–10]. 
В частности, при одинаковой форме модели и натурного объекта отношение частот одноименных стоячих волн в них должно быть обратно пропорциональным отношению их размеров.