Решения задач по теоретической механике

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 

ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ 

МЕХАНИКЕ

М.Н. КИРСАНОВ

2-е издание, дополненное

Москва
ИНФРА-М

2022

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений, обучающихся 

по техническим специальностям и направлениям подготовки 

(квалификация (степень) «бакалавр») 

(протокол № 8 от 22.06.2020)

УДК 531(075.8)
ББК 22.21я73
 
К43

Кирсанов М.Н. 

К43  
Решения задач по теоретической механике : учебное пособие / 

М.Н. Кирсанов. — 2-е изд., доп. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 222 с. — 
(Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1102072.

ISBN 978-5-16-016344-4 (print)
ISBN 978-5-16-108639-1 (online)
Изложены решения более 100 задач по статике, кинематике и динами
ке. Даны рекомендации применения системы компьютерной математики 
Maple и 50 задач с ответами для самостоятельного решения.

Учебное пособие может быть использовано как при очной, так и при ди
станционной формах обучения.

Для студентов и преподавателей университетов и технических вузов.

УДК 531(075.8)

ББК 22.21я73

Р е ц е н з е н т ы:

Артемов М.А., доктор физико-математических наук, профессор, 

заведующий кафедрой программного обеспечения и администрирования информационных систем Воронежского государственного университета;

Комерзан Е.В., кандидат технических наук, доцент кафедры теоре
тической механики и мехатроники Национального исследовательского университета «МЭИ»

А в т о р:

Кирсанов М.Н., доктор физико-математических наук, профессор, 

профессор Национального исследовательского университета «МЭИ»

ISBN 978-5-16-016344-4 (print)
ISBN 978-5-16-108639-1 (online)

© Кирсанов М.Н., 2015
© Кирсанов М.Н., 2020, 

с изменениями

Данная книга доступна в цветном исполнении 
в электронно-библиотечной системе Znanium

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Г л а в а 1. Статика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

1.1. Плоская система сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

1.2. Составная конструкция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Ферма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.4. Трение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.5. Пространственная система сил. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.6. Центр тяжести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Г л а в а 2. Кинематика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.1. Кинематика точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.2. Вращательное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.3. Плоское движение тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.4. Сложное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.5. Планетарный редуктор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.6. Сферическое движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.7. Произвольное пространственное движение тела . . . . . . . . . . . . . . 141

Г л а в а 3. Динамика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.1. Динамика точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.2. Динамика твердого тела и системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.3. Аналитическая механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.4. Колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.5. Теория удара. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.6. Приложение. Геометрические характеристики плоских фигур . . . . . 213
Ответы к задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Предметный и именной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Предисловие

Хороший метод изучения нового предмета — знакомство с готовыми
решениями задач. Теоретическая механика не исключение. Хорошо известны сборники заданий и решений [1,10,16,21,27,32,33] и сборники
задач [3, 14, 17–19]. Решения задач после изложения теории разбираются, как правило, и в учебниках, но в меньшем объеме. Можно
рекомендовать учебники [2,4,5,11,24,28,34].
Настоящий сборник дополняет и расширяет сборник [17], предлагая
помимо разобранных решений задачи для самостоятельной работы. Эти
задачи с ответами в конце книги, помечены «звездочкой» *.
Раздел «Статика» состоит из задач на равновесие рам, плоских составных конструкций, задач на трение качения и скольжение. Задача о
ферме дополнена инструкциями по применению системы компьютерной
математики Maple [7,8,20–22,25]. Есть также задачи пространственной
статики, в том числе и задача о пространственной ферме, и задача о
приведении системы сил к простейшему виду.
Решение задач кинематики готовит студента к заключительной и
наиболее трудной части теоретической механики — динамике. Именно
поэтому особое внимание в решении задач кинематики уделяется
аналитическим методам, которые (в отличие от геометрических подходов) позволяют находить ответы в координатной и векторной форме.
Такой вид решения необходим в динамике для векторных и скалярных
произведений при составлении выражений различных динамических
величин и уравнений. Однако, некоторые задачи кинематики (передача
вращений, задача о многозвенных механизмах) имеют самостоятельное
значение.
В разделе «Динамика» вместе с решениями стандартных задач
есть задачи на менее распространенные темы: кинетическая энергия
пространственного движения тела, теория колебаний и теория удара.
Автор благодарит студентов НИУ МЭИ, прорешавших задачи сборника. Неоценимым вкладом во второе издание пособия были замечания
и рекомендации доцента НИУ МЭИ Н.В. Осадченко (1955 – 2019), замечательного ученого и методиста, рецензента первого издания (2015).
Отдельная благодарность профессору Розенблату Г. М. и академику
Журавлеву В.Ф. за внимание к книге.
Большинство решенных задач (с точностью до числовых данных)
можно найти на сайте vuz.exponenta.ru в разделе «Архив задач». Все
приведенные решения проверены в системе Maple. Архив соответствующих программ расположен по адресу: vuz.exponenta.ru/Infra-m.rar.
Автор
будет
благодарен
всем
приславшим
свои
замечания
о
книге: mpei2004@yandex.ru.

Статика
5

Г л а в а 1

Статика

Статика — наука о силах и равновесии тел или системы тел
под действием сил. Сила — векторная величина. Одной из важных
характеристик силы является ее момент относительно точки

⃗
MO(⃗F) = ⃗r × ⃗F,

где ⃗r — радиус-вектор точки A приложения силы ⃗F. Вектор момента
перпендикулярен плоскости, содержащей вектор ⃗r и ⃗F (рис. 1).


6



⃗r
>⃗F

o ⃗
M

A

x

y

z

Рис. 1

Если точка O находится в начале координат xyz с ортами ⃗i, ⃗j, ⃗k, то
выражение момента силы ⃗F, приложенной к точке A с координатами
x, y, z, имеет вид

⃗M0(⃗F ) = ⃗r × ⃗F =

⃗i
⃗j
⃗k

x
y
z

Fx
Fy
Fz

=

⎡

⎢⎣

yFz − zFy
zFx − xFz
xFy − yFx

⎤

⎥⎦ =

=⃗i(yFz − zFy) +⃗j(zFx − xFz) + ⃗k(xFy − yFx).
(1.1)

Условием равновесия тела под действием системы сил являются два
векторных равенства
⃗Fi = 0,
⃗
MO(⃗Fi) = 0.
(1.2)

В координатной форме эти уравнения образуют систему шести
уравнений, в которую входят проекции сил и проекции их моментов на

Статика
Глава 1

оси координат. Для плоской системы сил, расположенных, например, в
плоскости xy, из шести уравнений (1.2) остается только три
Fix = 0,
Fiy = 0,
Miz = 0.

Остальные уравнения выполняются тождественно 1.

1.1. Плоская система сил

Задача 1.
Плоская конструкция, состоящая из шести шарнирно
соединенных стержней, имеет две неподвижные шарнирные опоры.
К шарниру A приложена сила F = 10 кН, параллельная основанию
(рис. 2). Даны углы α = 53◦, β = 60◦, γ = 49◦, ϕ = 63◦, ψ = 27◦.
Найти усилия в стержнях.

α
α

ϕ

γ

-F
A

B

C

D

β

ψ

E

α
α

ϕ

γ

-F
A

B

C

D

α

ξ

ψ

β

ξ
ζ

ε

ε

θ

Рис. 2
Рис. 3

Решение
Задачу решаем методом вырезания узлов. Если действие стержней
заменить их реакциями, то для каждого узла, находящегося в равновесии, можно составить по два уравнения в проекциях. Стержней в
конструкции шесть, узлов три, поэтому общая система уравнений будет
замкнутой. Решение можно немного упростить, если не составлять
сразу все шесть уравнений, а последовательно выбирать те узлы,
к которым подходят только два стержня с неизвестными усилиями.
Очевидна такая последовательность узлов: A, B, C. Не рекомендуем
вырезать узлы, прикрепленные к основанию, так как их реакции (в
данном случае E и D) неизвестны. Безусловно, составляя уравнение
моментов для всей конструкции относительно E и D, можно найти эти

1Другие варианты системы уравнений равновесия плоской системы сил см.
с. 11.

1.1.
Плоская система сил
7

реакции, но особенность данной задачи состоит в том, что ее можно
решить только с помощью уравнений проекций, не изучая пока тему
"плоская система сил".
Основная трудность таких задач — определение углов между стержнями и осями координат. Ось x выберем вдоль основания, y —
перпендикулярно ему. Введем в рассмотрение дополнительные углы,
задающие направления стержней. Для того, чтобы вычислить эти углы,
удобно провести прямые, параллельные основанию, через шарниры B
и C (рис. 3). Получим:

θ = α − ψ = 26◦, ζ = γ + θ = 75◦,

ξ = β − θ = 34◦, ε = π − ϕ − α = 64◦.

Рассмотрим равновесие узла A (рис. 4). Реакции стержней направляем вдоль стержней от узла к стержню. Такой выбор направления
усилий соответствует общепринятому правилу знаков: сжатые стержни
имеют усилия меньше нуля, растянутые — больше нуля. Уравнения
равновесия имеют вид
Xi = SAC cos ξ − SAB cos ζ + F = 0,
Yi = −SAC sin ξ − SAB sin ζ = 0.


6
x

y


s



F
A

SAB
SAC

ξ
ζ


6

x

y

U

*


B

SCB
SAB

SBE

ζ

ε

θ

6

x

y



k


^

α

ξ

θ
α

C

SAC

SCD
SCE

SCB

Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6

Находим решение системы

SAC = −10, 22 кН, SAB = 5, 91 кН.

Стержень AC, как и следовало ожидать, сжат, стержень AB —
растянут.
Пользуясь полученными результатами, рассматриваем равновесие
узла B (рис. 5).
Xi = SCB cos θ + SAB cos ζ + SBE cos ε = 0,
Yi = SCB sin θ + SAB sin ζ − SBE sin ε = 0.

Статика
Глава 1

Находим решение системы 1

SBE = 4, 46 кН, SCB = −3, 88 кН.

Аналогично, составляем уравнения для узла C
Xi = −SCB cos θ − SCE cos α + SCD cos α − SAC cos ξ = 0,
Yi = −SCB sin θ − SCE sin α − SCD sin α + SAC sin ξ = 0.

Находим решение системы

SCD = −12, 45 кН, SCE = 7, 42 кН.

Проверка. Рассекая опорные стержни CD, BE и CE горизонтальным сечением, отделяем всю конструкцию от основания (рис. 7).
Теперь она находится в равновесии под действием внешней силы F и
трех реакций стержней SCE, SBE и SCD, которые, следуя принятому
правилу знаков, направляем по внешней нормали к сечению, т. е. вниз.

α
α

ϕ

γ

-F
A

B

C

D

α

ξ

ψ

β

ξ
ζ

ε

ε

θ

SCE
SBE
SCD


6

x

y

U
/
w

Рис. 7

Составляем уравнения проекция для сил, действующих на конструкцию,
Xi = SBE cos ε − SCE cos α + SCD cos α + F =

= 1.95 − 4.46 − 7.49 + 10 = 0,
Yi = −SBE sin ε − SCE sin α − SCD sin α = −4.01 − 5.93 + 9.94 = 0.

Проверка выполнена. Заметим, что рассмотренная конструкция относится к так называемым консольным фермам, для которых, как
правило, метод вырезания узлов позволяет найти усилия в стержнях,

1Здесь можно было воспользоваться тем, что стержни с неизвестными
усилиями взаимно перпендикулярны, и, повернув оси координат, направить
их вдоль этих сил. Система уравнений была бы значительно проще.

1.1.
Плоская система сил
9

не находя реакции опор. Более общие методы расчета ферм см. на
с. 50.

Задача 2. Стержни 1, 2 и 3 соединены между собой шарнирами и закреплены на основании неподвижными шарнирными опорами
(рис. 8). К узлам конструкции приложены вертикальная сила P = 20 Н
и горизонтальная сила Q = 10 Н. В положении равновесия угол β =
= π/6, стержень 3 вертикальный. Найти угол α и усилия в стержнях.

α
β

?


P

Q

1
2

3

α
β

?


P

Q

U

s

k

6

S1
S2

S2
S3

A

B

6

-x

y

Рис. 8
Рис. 9

Решение
Рассмотрим равновесие узла A (рис. 9). Отбрасываем стержни, присоединенные к узлу, заменяем их действие реакциями, направленными
из узла к стержню. Записываем уравнения равновесия в проекции на
оси координат
Xi = S1 cos α + S2 cos β = 0,
(1.3)
Yi = −S1 sin α − S2 sin β − P = 0.
(1.4)

Аналогично, для узла B имеем два уравнения
Xi = −S2 cos β + Q = 0,
(1.5)
Yi = S2 sin β + S3 = 0.
(1.6)

Из (1.5) найдем усилие

S2 = Q/ cosβ = 2Q
√

3/3 = 11, 54 Н.

Из (1.3) выразим
cos α = −Q/S1,
(1.7)

а из (1.4) найдем

sin α = −(Q
√

3 + 3P)/(3S1).

Статика
Глава 1

Таким образом, зная sin α и cos α, находим тангенс искомого угла

tg α = (Q
√

3 + 3P)/(3Q) = 2, 57

и угол α = 1, 2, или α ≈ 69◦.
Из (1.6) определяем усилие

S3 = −10
√

3/3 = −5, 77 Н.

В заключение, из (1.7) находим усилие

S1 = −Q/ cosα = −27, 59 Н.

Отметим, что для решения задачи не потребовались длины стержней.

Задача 3. Рама закреплена на неподвижном шарнире A и горизонтальном опорном стержне B (рис. 10). К раме приложены силы
F1 = 4 Н, F2 = 5 Н и момент M = 2 Нм. Размеры на чертеже даны в
метрах, cos α = 0.8. Определить реакции опор.

?
M

A
B
F1

F2 α



k

2

2

6
2



6



k

YA
XA

XB

N

?
M

A
B
F1

F2 α

2

2

6
2

Рис. 10
Рис. 11

Решение
Заменим действие связей реакциями. В неподвижном шарнире A
возникают две реакции — XA и YA. Реакция XB опорного стержня B
горизонтальная (рис. 11).
Составим три уравнения равновесия — два уравнения в проекциях и
одно уравнение моментов относительно произвольно выбранной точки:
Xi = XA + XB − F2 cos α − F1 = 0,
Yi = YA + F2 sin α = 0,
MiA = −2 XB + 2 F1 + 4 F2 cos α + 6 F2 sin α − M = 0.
(1.8)

Решаем систему уравнений и находим XA = −12 Н, YA = −3 Н,
XB = 20 Н. Для проверки решения составим сумму моментов всех сил,

1.1.
Плоская система сил
11

действующих на раму, включая найденные реакции, относительно произвольной точки, например, N (точки приложения наклонной силы):
MiN = 4XA + 2XB − 6YA − 2F1 − M =

= −4 · 12 + 2 · 20 + 6 · 3 − 2 · 4 − 2 = 0.

Сумма равна нулю. Решение найдено верно.
Замечание. Система уравнений равновесия плоской системы сил, кроме
варианта (1.8) из двух уравнений проекций и уравнения моментов, может
иметь еще два других варианта. Можно составить одно уравнение проекций
на произвольную ось и два уравнения моментов относительно двух точек
Xi = 0,
MiA = 0,
MiB = 0.

Однако в этом случае точки A и B не произвольные. Необходимо, чтобы
ось x была бы не перпендикулярна отрезку AB. Еще один вариант системы
уравнений имеет вид
MiA = 0,
MiB = 0,
MiC = 0.

В этом варианте также есть ограничение: точки A, B и C не должны
лежать на одной прямой.

Задача 4. К плоской раме приложены силы F, P и момент M
(рис. 12). Известны вертикальная реакция неподвижной шарнирной
опоры A: YA = 35 кН, горизонтальная XA = 80 кН и реакция YB =
= 28 кН подвижного шарнира B. Размеры на рисунке даны в метрах,
cos α = 0.8. Найти значения нагрузок F, P и M, соответствующие этим
реакциям.

?

M

A

B
?
P
F

α

3
7

2

2
?

M

A

B
?
P
F

α

3
7

2

2

6


6
XA
YA
YB

Рис. 12
Рис. 13

Решение
Уравнения равновесия рамы под действием внешних сил и реакция
связей (рис. 13) имеют вид
Xi = XA − F cos α = 0,
Yi = YA + YB − P − F sin α = 0,
MiA = M − 3 P + 10 YB + 4 F cos α − 10 F sin α = 0.