Кристаллография. Формы кристаллических многогранников

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 
И.А. БАТАЕВ, А.А. БАТАЕВ 
 
 
 
 
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ 
 
 
 
ФОРМЫ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ  
МНОГОГРАННИКОВ 
 
 
Утверждено  
Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
2-е издание, исправленное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2018 

УДК 548(075.8) 
  Б 28 
 
 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор В.Г. Буров 
д-р техн. наук, доцент А.О. Токарев 
 
 
 
Работа выполнена на кафедре материаловедения в машиностроении  
для студентов и аспирантов НГТУ, обучающихся по образовательным  
программам укрупненных групп направлений подготовки «Технологии  
материалов», «Нанотехнологии и наноматериалы» и «Машиностроение» 
 
 
 
 
Батаев И.А.  
Б 28  
Кристаллография. Формы кристаллических многогранников: учебное пособие / И.А. Батаев, А.А. Батаев. – 2-е изд., испр. – Новосибирск: 
Изд-во НГТУ, 2018. – 67 с. 
 
ISBN 978-5-7782-3708-7 
 
Даны определения различных типов простых форм кристаллических многогранников. Проведен анализ 47 форм, участвующих в огранке кристаллов низшей, средней 
и высшей категории. Описаны правила наименования простых форм, соответствующих 
кристаллам кубической сингонии. Приведены примеры комбинационных многогранников, сочетающих несколько типов простых форм. Описаны особенности естественной огранки реальных кристаллов. Представлена характеристика процессов двойникования и эпитаксиального нарастания на кристаллах. 
 
 
УДК 548(075.8) 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-3708-7 
© Батаев И.А., Батаев А.А., 2016, 2018 
 
© Новосибирский государственный  
 
    технический университет, 2016, 2018 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Введение ................................................................................................................................ 4 

1. Выпуклые многогранники.  Платоновы тела ................................................................. 5 

2. Идеализированная и реальная форма кристаллических многогранников ................... 7 

3. Простые формы кристаллов ........................................................................................... 12 

3.1. Частные и общие простые формы ......................................................................... 13 
3.2. Открытые и закрытые простые формы ................................................................. 14 
3.3. Простые формы кристаллов в классах симметрии низшей категории .............. 15 
3.4. Простые формы кристаллов в классах симметрии средней категории ............. 19 
3.5. Простые формы кристаллов в классах симметрии высшей категории .............. 23 
3.5.1. Основные простые формы кубических кристаллов с символами 
{100}, {111}, {111} и {110} .................................................................................. 24 

3.5.2. Простые формы кубических кристаллов с индексами hk0 как производные гексаэдра ...................................................................................... 32 
3.5.3. Простые формы кубических кристаллов с индексами {hhl} (h > l), 
являющиеся производными  от октаэдра и тетраэдра .............................. 34 
3.5.4. Простые формы кубических кристаллов с индексами {hkk} (h > k), 
являющиеся производными  от октаэдра (тетраэдра) или гексаэдра ......... 36 
3.5.5. Общие простые формы кубических кристаллов  как производные 
октаэдра, тетраэдра или гексаэдра .............................................................. 38 

4. Облик и габитус кристаллов .......................................................................................... 41 

5. Комбинационные многогранники ................................................................................. 43 

6. Гониометрический анализ формы многогранников .................................................... 47 

7. Усложненные формы кристаллов. Сростки, двойники ............................................... 48 

8. Эпитаксиальное срастание  кристаллов ........................................................................ 60 

9. Контрольные вопросы .................................................................................................... 63 

Библиографический список ............................................................................................... 66 

 

ВВЕДЕНИЕ 

Большинство материалов природного происхождения (например, минералы), а также многие материалы, получаемые промышленным способом 
(например, металлы и сплавы на их основе), находятся в кристаллическом состоянии. Для того чтобы выявить их кристаллическое строение, специалисты 
используют аналитические методы исследования, например метод рентгеноструктурного анализа. Каких-либо внешних признаков, свидетельствующих о 
том, что кусок гранита неправильной формы, стальной пруток, полученный 
методом прокатки, или бронзовый слиток имеют отношение к кристаллам,  
нет. Как правило, термин «кристалл» ассоциируется с объектом в виде многогранника.  
Очевидно, что внешняя форма кристалла, как объекта, характеризующегося свойствами симметрии, имеет важное значение. Притягательная, во многих 
случаях «магическая», сила кристаллов в первую очередь объясняется именно 
красотой формы, симметричным расположением граней, их блеском. 
В общем случае форма кристалла определяется особенностями сочетания 
всех его граней. При этом с позиции симметрии значение имеет не только количество граней кристалла, но и количество сортов граней (отличающихся 
друг от друга размерами и очертаниями), соотношение геометрических параметров граней различных сортов, ориентация граней относительно друг друга.  
Огранка, а следовательно, форма служит важным диагностическим признаком кристаллических материалов, позволяющим специалисту сделать выводы о природе изучаемых кристаллических объектов. Важная роль, которую 
форма анализируемых объектов играет в кристаллографии, выразилась в выделении самостоятельного раздела этой науки. Различные аспекты учения о 
внешней форме кристаллов, именуемого морфологией, рассматриваются в 
данном пособии. 
 
 

1. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ.  
ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА 

Учитывая связь кристаллических образований с многогранниками, целесообразно кратко остановиться на некоторых особенностях и свойствах последних. Так, если речь идет о выпуклых многогранниках, необходимо отметить соотношение Эйлера: 

 
Г + В = Р + 2,  
(1) 

где Г – количество граней многогранника; В – количество вершин; Р – количество ребер. Многогранник относится к выпуклым в том случае, если любой 
отрезок, который соединяет две любые точки многогранника, полностью принадлежит ему. Можно убедиться, что хорошо известная геометрическая фигура – куб, имеющий 6 граней, 8 вершин и 12 ребер, удовлетворяет отмеченному 
требованию. Проведенный анализ позволяет сделать вывод о том, что соотношение Эйлера для куба выполняется: 
6 + 8 = 12 + 2. 

Из совокупности выпуклых многогранников особо следует выделить правильные многогранники. Все их грани являются правильными многоугольниками одинаковых размеров, двугранные углы в правильных многогранниках 
также одинаковы. Равным будет и количество ребер, сходящихся в каждой 
вершине правильного многогранника. История правильных многогранников 
связана с именами древних мыслителей. В честь Платона (427–347 до н. э.), в 
философии которого значительная роль отводилась правильным многогранникам, эти геометрические фигуры были названы платоновыми телами.  
Платоновых тел, т. е. правильных многогранников, всего пять. К ним относятся тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр (рис. 1). 
Наименьшим количеством граней (четырьмя) из отмеченных фигур обладает 
тетраэдр (рис. 1, а). Количество ребер в нем – 6, вершин – 4. Куб представляет 
собой геометрическую фигуру, закрытую со всех сторон шестью гранями  
(рис. 1, б). Поэтому в кристаллографии его часто называют гексаэдром.  

В огранке октаэдра, как и тетраэдра, участвуют грани в виде равносторонних 
треугольников (рис. 1, в). В то же время наименование октаэдр свидетельствует о том, что количество граней в нем равно восьми. Количество вершин в октаэдре составляет 6, ребер – 12.  
 

 
           а                           б                                 в                               г                           д 

Рис. 1. Пять правильных выпуклых многогранников (платоновых тел): 

а – тетраэдр; б – гексаэдр (куб); в – октаэдр; г – додекаэдр; д – икосаэдр 

Додекаэдр содержит двенадцать одинаковых граней в форме правильных 
пятиугольников (рис. 1, г). Для этой фигуры характерно присутствие двадцати 
вершин и тридцати ребер. Последним из отмеченных платоновых тел является 
икосаэдр (рис. 1, д), в огранке которого принимают участие двадцать граней в 
форме равносторонних треугольников. Фигура содержит тридцать ребер и 
двенадцать вершин. Следует подчеркнуть, что в классической кристаллографии оси пятого порядка, имеющиеся у додекаэдра и икосаэдра, запрещены.  
В то же время эти две фигуры характерны для квазикристаллов, за открытие 
которых в 2011 году израильскому физику и химику Дану Шехтману была 
присвоена Нобелевская премия по химии. 
Одно из свойств выпуклых многогранников заключается в том, что сумма всех 
углов между ребрами, которые сходятся в 
одной вершине, всегда меньше 360. Для 
доказательства этого неравенства может 
быть использован рис. 2, на котором изображен пятиугольник ABCDE. Из точки O, 
находящейся внутри фигуры, ко всем ее 
пяти углам проведены линии. Сумма изображенных на плоскости углов 1 + 2 +  
+ 3 + 4 + 5 = 360. Для того чтобы  
точка О стала вершиной пятигранника, выведем эту точку из плоскости (переместим 
в точку O). Очевидно, что для показанных 
на рисунке углов выполняются соотношения: 
1
1


 
, 
2
2


 
 и т. д. При беско
Рис. 2. К определению углов между
ребрами в вершине выпуклого мно                        гогранника 

нечно большом расстоянии ОО каждый угол, обозначенный символом  со 
штрихом, будет стремиться к нулю. Таким образом,  

 
 
1
2
3
4
5
360















.  
(2) 

Используя соотношение (2), покажем, что количество платоновых тел не 
может быть больше пяти. Так, если в одной вершине многогранника сходятся 
равносторонние треугольники, то доказанное выше неравенство допускает 
право на существование всего лишь трех фигур: тетраэдра (в каждой его вершине сходятся по три треугольника), октаэдра (по четыре треугольника) и 
икосаэдра (по пять треугольников). В первом случае сумма внутренних углов 
составляет 3  60° = 180°, во втором – 4  60° = 240°, в третьем – 5  60° = 300°. 
Все эти цифры меньше 360°. Если же в одной точке сойдутся шесть равносторонних треугольников (6  60° = 360°), выпуклого многоугольника не получится, так как эти шесть граней образуют не объемную фигуру, а плоскость.  
Схождение в одной вершине трех квадратных граней допускает формирование правильного многогранника, поскольку в этом случае сумма внутренних 
углов не превышает 360° (3  90° = 270°). Фигура с восемью вершинами, в 
каждой из которой сходятся по три квадрата, представляет собой куб. Если же 
в точке сходятся четыре квадрата, то платоново тело возникнуть не может,  
поскольку 4  90° = 360°. В этом случае фигура будет плоской, а не многогранником.  
При формировании вершины путем сочетания трех правильных пятиугольников возникает пятый правильный многогранник – додекаэдр. Этот 
случай также удовлетворяет отмеченному неравенству, в соответствии с которым сумма углов между ребрами в выпуклом многоугольнике должна быть 
меньше 360° (3  108° = 324°). С увеличением числа пятиугольников при вершине до четырех это неравенство не соблюдается (4  108° = 432° > 360°). Других вариантов, позволяющих увеличить количество платоновых тел, нет.  
 
 
2. ИДЕАЛИЗИРОВАННАЯ И РЕАЛЬНАЯ ФОРМА 
КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МНОГОГРАННИКОВ 

Четкая геометрическая форма считается свойством, характерным для многих кристаллических материалов. В кристаллических многогранниках могут 
встречаться грани различной формы (треугольники, квадраты, ромбы, пятиугольники и др.). Идеальный кристалл каменной соли NaCl (галита) имеет 
форму куба, шесть граней которого представляют собой квадраты. В большинстве случаев именно так схематически изображается этот минерал. Восемь 

граней в виде правильных треугольников при объединении дают фигуру, 
называемую октаэдром. Такую идеальную форму могут иметь кристаллы магнетита (Fe3O4). Идеальной формой кристаллов граната является ромбододекаэдр. Двенадцать его граней представляют ромбы, равные между собой. В литературе можно найти описание идеальной формы множества других 
кристаллов различного химического состава. 
Формирование кристаллов абсолютно правильной формы предполагает, 
что их рост происходит в идеальных условиях. Это означает, что в процессе 
роста кристалла его со всех сторон окружает одинаковый по составу питающий раствор и не проявляются какие-либо факторы, приводящие к возникновению дефектов строения. Любые изменения условий роста кристаллов отражаются на их внешнем облике, в том числе на количестве сортов граней 
различного типа. Благоприятные условия, способствующие формированию 
кристаллов правильной формы, можно обеспечить лишь в лабораторных условиях. На качество кристаллов влияет даже такой фактор, как гравитация. Чтобы его исключить, предпринимают попытки выращивать кристаллы на космических станциях.  
Кристаллы, образующиеся в реальных условиях, далеки от совершенства. 
Как правило, форма их граней не идеальна и не соответствует строго кристаллической структуре. В зависимости от условий роста (температуры, давления, 
вязкости среды, степени переохлаждения, химического состава среды, степени 
ее загрязнения посторонними примесями и др.) одни грани по сравнению с 
другими будут более развитыми. Поэтому, сравнивая два кристалла, характеризующихся различной степенью развития соответственных граней, а следовательно, значительно различающихся между собой по форме, можно ошибиться, полагая, что эти кристаллы имеют различную химическую природу и 
относятся к разным материалам. Классическим примером этого являются кристаллы кварца, выросшие в разных условиях и резко отличающиеся своей 
внешней формой (рис. 3). «Родственные» грани у этих кристаллов развиты совершенно по-разному. В то же время, если кристаллы одинаково сориентировать в пространстве, их «родственные» (соответственные) грани станут параллельными друг другу. На рисунке параллельные друг другу грани 
выделены одинаковым цветом и обозначены символами m, n и p. Свидетельством того, что все три кристалла, представленных для анализа, являются 
одним и тем же веществом, будут одинаковые значения углов между гранями  
m и p, m и n, n и p.  
Другим показательным примером изменчивости формы кристалла при 
смене условий его роста может служить введение в раствор NaCl мочевины 
CO(NH2)2. В отличие от кубических кристаллов каменной соли кристаллы, 
растущие из раствора с мочевиной, приобретают форму октаэдров. 

p

n

p

n

p

n

 
                        а                                          б                                                   в 

Рис. 3. Иллюстрация закона постоянства двугранных углов на примере 
различных по форме кристаллов кварца (по работе Роме де Лиля) 

Один из механизмов влияния примесей на процесс кристаллизации связан 
с их адсорбцией на поверхностях растущих кристаллов. Скорость роста граней, на которых адсорбируются примеси в виде атомов или молекул, снижается, поскольку примеси препятствуют осаждению новых порций элементов, 
участвующих в построении кристалла. На грани с различным строением это 
влияние неодинаково. Концентрируясь в различных количествах на разных 
гранях, примеси приводят к изменению соотношения скоростей их роста. В 
результате этого изменяется форма растущего кристалла.  
Второй механизм, объясняющий снижение скорости роста кристалла в 
присутствии примесей, связан с появлением дополнительного энергетического барьера, обусловленного тем, что основной материал, осаждаемый на кристалл в виде движущихся по граням ступеней, должен выполнять работу  
по предварительной очистке поверхностей от примесей (сдвигу примесей). 
Процесс оттеснения примесей при кристаллизации известен как один из методов очистки веществ. Если растущий кристалл и примесь являются изоморфными веществами, то атомы примеси могут встраиваться в структуру, 
образуя твердые растворы. Изоморфные примеси на форму кристаллов не 
влияют.  
Для формирования хорошо развитых граней рост кристаллов должен происходить в равновесных условиях. Совершенные по форме многогранники 
возникают лишь при малых значениях пересыщения и переохлаждения материала на фронте роста кристалла. Соблюдение этих условий способствует химической однородности растущего кристалла, его правильной огранке, однородности физических и химических свойств. Отклонение от равновесных 
условий роста служит причиной существенного изменения облика кристаллов. 
В условиях быстрого роста и высокой степени пересыщения окружающей  

среды возможно образование кристаллов скелетной формы (рис. 4). Основная 
причина формирования таких фигур связана с тем, что массоперенос к выступающим частям кристалла идет с более высокой скоростью, чем к его граням. 
Такое поведение может объясняться действием примесей, которые оттесняются от быстрорастущих ребер на грани и тормозят их рост.  
 

 
                                        а                                                                     б 

Рис. 4. Скелетные кристаллиты галита – NaCl (а) и пирита – Fe2S (б) 

Резкое различие значений скорости роста вдоль разных направлений служит причиной того, что поступающий из питающей среды материал заполняет 
не весь объем воображаемого многогранника, а лишь часть его. Грани кристаллов отстают в своем развитии. Наиболее характерными примерами скелетных многогранников являются привычные нам снежинки (рис. 5). При 
обеспечении условий роста, близких к равновесным, снежинки способны приобретать полногранную форму (рис. 5, г). 
 

 
             а                                б                              в                               г 

Рис. 5. Различные варианты скелетных форм на примере  
кристаллитов снежинок 

Признаком, позволяющим обоснованно говорить о том, что анализируемые кристаллы представляют собой один и тот же материал и характеризуют

ся одинаковым структурным состоянием, служит равенство углов между соответственными гранями. Эта геометрическая особенность лежит в основе первого основного закона кристаллографии, известного как закон Н. Стенона. 
Согласно этому закону для кристаллов, относящихся к одной и той же полиморфной модификации данного кристаллического вещества, характерно постоянство углов между соответственными гранями. Под соответственными 
понимаются такие грани кристаллов одного и того же вещества, которые при 
одинаковой взаимной ориентации кристаллов параллельны друг другу. Таким 
образом, проведя гониометрические исследования, во многих случаях можно 
доказать принадлежность анализируемого кристалла тому или иному веществу. 
Геометрические параметры реального кристалла в значительной степени 
определяются скоростью роста его граней. В соответствии с правилом Кюри –
Вульфа наиболее развиты те грани кристалла, которые характеризуются 
наименьшими значениями скорости роста. Иллюстрацией этого правила служит рис. 6, на котором показаны два исходных кристалла одинаковых размеров. На левом рисунке быстрее развиваются грани, обозначенные буквой m, а 
на правом – грани k. В обоих случаях быстрорастущие грани постепенно вырождаются, в результате чего исчезает имевшееся на начальном этапе внешнее 
сходство кристаллов. Можно отметить, что огранка кристалла определяется 
теми гранями, скорость роста которых была наименьшей. 
 

k

k

k

k

m

m

k

k

k

k

m

m

 
                                    а                                                                   б 

Рис. 6. Влияние скорости роста отдельных граней на внешнюю  
форму кристалла 

Возникновение кристаллов, характеризующихся наличием тех или иных 
граней, представляло интерес для многих специалистов. Один из основателей