Кристаллография. Обозначение и вывод классов симметрии

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 
И.А. БАТАЕВ,  А.А. БАТАЕВ 
 
 
 
 
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ  
 
ОБОЗНАЧЕНИЕ И ВЫВОД  
КЛАССОВ СИММЕТРИИ 
 
 
 
Утверждено  
Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
2-е издание, исправленное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК  
2018 

УДК 548(075.8) 
         Б 28 
 
 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор Х.М. Рахимянов 
д-р техн. наук, доцент А.О. Токарев 
 
 
 
Работа выполнена на кафедре материаловедения в машиностроении  
для студентов и аспирантов НГТУ, обучающихся по образовательным  
программам укрупненных групп направлений подготовки «Технологии  
материалов», «Нанотехнологии и наноматериалы» и «Машиностроение» 
 
 
 
Батаев И.А.  
Б 28  
Кристаллография. Обозначение и вывод классов симметрии : учебное пособие / И.А. Батаев, А.А. Батаев. – 2-е изд., испр. – Новосибирск : 
Изд-во НГТУ, 2018. – 60 с. 

ISBN 978-5-7782-3707-0 

Рассмотрены обозначения точечных групп симметрии по Браве, по  
А. Шёнфлису и в соответствии с международной классификацией Германа – 
Могена. Проанализированы правила взаимодействия элементов симметрии в 
виде осевой теоремы Эйлера, ее частных проявлений и следствий. Представлен 
вывод классов симметрии для кристаллов с единичными направлениями, а 
также для кристаллов без единичных направлений. 
 
 
 
 
 
 
УДК 548(075.8) 
 
                          
ISBN 978-5-7782-3707-0 
© Батаев И.А.,  Батаев А.А., 2015, 2018 
 
© Новосибирский государственный  
 
    технический университет, 2015, 2018 
 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Введение ................................................................................................................................ 4 

1. Обозначения точечных групп (классов) симметрии ...................................................... 5 

1.1. Обозначение точечных групп симметрии по Браве ............................................... 6 
1.2. Обозначение точечных групп симметрии по А. Шёнфлису ................................. 7 
1.3. Международные обозначения точечных групп (классов симметрии) ............... 20 
1.3.1. Обозначение точечных групп  симметрии кристаллов низшей  
категории ...................................................................................................... 22 
1.3.2. Обозначение точечных групп  симметрии кристаллов средней  
категории ...................................................................................................... 24 
1.3.3. Обозначение точечных групп симметрии кристаллов высшей  
категории ...................................................................................................... 25 
1.4. Контрольные вопросы ............................................................................................ 26 

2. Правила взаимодействия элементов симметрии (правила взаимодействия 
симметрических операций) ............................................................................................ 31 

2.1. Осевая теорема Эйлера ........................................................................................... 34 
2.2. Частные проявления осевой теоремы Эйлера и ее следствия ............................. 35 
2.3. Теоремы о взаимодействии осей симметрии  второго порядка (L2 и Ł2)  
с осью симметрии Ln ............................................................................................... 42 
2.4. Упражнение ............................................................................................................. 44 
2.5. Контрольные вопросы ............................................................................................ 44 

3. Вывод точечных групп (классов) симметрии ............................................................... 48 

3.1. Вывод точечных групп симметрии для кристаллов с единичными 
направлениями ........................................................................................................ 48 
3.2. Вывод точечных групп симметрии  для кристаллов без единичных 
направлений ............................................................................................................ 52 
3.3. Контрольные вопросы ............................................................................................ 57 

Библиографический список ............................................................................................... 59 

 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
В настоящем учебном пособии рассмотрены одни из наиболее важных 
разделов кристаллографии. Представленный материал лежит в основе других 
разделов этой дисциплины, имеющих принципиальное значение при подготовке специалистов в области материаловедения и наноинженерии. Пособие 
содержит три основных раздела, в которых описаны правила обозначения 
классов симметрии, особенности взаимодействия симметрических операций, а 
также принципы вывода классов симметрии. Понятия «точечная группа симметрии», или «класс симметрии», наиболее часто употребляются в учебных 
курсах кристаллографии, кристаллохимии и кристаллофизики. Полная характеристика кристаллических тел без использования этих терминов практически 
невозможна. Таким образом, студенты, осваивающие курс кристаллографии, 
должны знать, каким образом классы симметрии обозначаются в современной 
литературе и как можно выполнить процедуру их вывода.  
Вопросы, связанные с анализом правил взаимодействия симметрических 
операций, выводом и обозначением классов симметрии, рассматриваются 
практически во всех классических учебниках по кристаллографии. Во многих 
учебниках по кристаллофизике и кристаллохимии эти вопросы сконцентрированы в начальных разделах, представляющих основу для дальнейшего изложения материала. Список некоторых советских, российских и зарубежных 
учебников, опубликованных в различные годы, приведен в конце настоящего 
учебного пособия. Авторы представленной работы попытались по возможности учесть достоинства материала, содержащегося в этих учебниках, а также в 
ряде других работ. Учитывая специфику курса, а также проблемы, возникающие при его освоении, связанные, в частности, с некоторыми особенностями 
используемой терминологии, мы попытались изложить материал подробно и 
достаточно просто. Особое внимание при подготовке рукописи было уделено 
оформлению графического материала, роль которого при освоении кристаллографии переоценить невозможно. С целью улучшения восприятия анализируемого материала в пособие были включены цветные рисунки.  
 
 

1. ОБОЗНАЧЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП (КЛАССОВ) 
СИММЕТРИИ 
 
Одним из базовых, наиболее часто используемых в кристаллографии понятий является «точечная группа симметрии», или «класс симметрии». Точечная 
группа симметрии (класс симметрии) представляет собой совокупность всех 
элементов симметрии, которые характерны для данного кристаллического 
многогранника. Симметрические преобразования, соответствующие кристаллографическому классу, образуют математическую группу, называемую точечной. Наименование «точечная группа симметрии (ТГС)» обусловлено тем, 
что симметрические преобразования не изменяют расположения, по крайней 
мере, одной точки многогранника, в которой имеет место пересечение всех 
элементов симметрии.  
В том случае, если анализируемые геометрические объекты не были кристаллическими, а следовательно, к ним не применялось ограничение по количеству элементов (осей) симметрии, тогда следовало бы говорить о бесконечном числе точечных групп симметрии. Если же речь идет о кристаллах, 
допускающих присутствие лишь осей симметрии первого, второго, третьего, 
четвертого и шестого порядка, количество точечных групп симметрии ограничивается числом 32.  
Относительно малое число кристаллографических точечных групп симметрии позволяет каждую из них проанализировать и описать отдельно.  
С другой стороны, эта ограниченная совокупность групп с использованием 
различных параметров классификации может быть разделена на отдельные 
семейства, что существенно упрощает анализ реальных кристаллов.  
Для специалиста весьма важно получить максимально возможную информацию об анализируемом кристалле (о его симметрии) непосредственно по 
обозначению, т. е. по символу точечной группы симметрии, к которой он относится. По этой причине символике точечных групп симметрии в кристаллографии уделяется особое внимание. Здесь вполне уместна следующая аналогия. Студент первого курса, пришедший первого сентября в группу из  
25 человек, постарается быстро запомнить имена своих товарищей. Однако 
само имя, например Владимир, не дает какой-либо характеристики конкрет

ному одногруппнику (кроме того, что это мужчина). Вполне вероятно, что с 
этим именем в группе могут учиться два или даже три студента. Если же мы 
говорим о точечных группах, т. е. о классах симметрии, нам важно, лишь 
только услышав конкретный символ, сразу иметь представление о свойствах 
кристалла.  
Для обозначения точечных групп симметрии в разные периоды развития 
кристаллографии было предложено несколько отличающихся друг от друга 
символик. В современной учебной и научной литературе наиболее распространены символики (обозначения) трех типов: символики Браве, Шёнфлиса и 
Германа – Могена. Каждая из них имеет свои достоинства и недостатки. 
 
1.1. ОБОЗНАЧЕНИЕ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП СИММЕТРИИ  
ПО БРАВЕ 
 
Символика Браве предполагает минимальное количество допущений и 
ограничений, что позволяет усвоить ее за короткое время. Благодаря своей 
простоте символика Браве широко используется на начальных этапах изучения 
курса кристаллографии и по этой причине считается учебной. 
Обозначение точечной группы симметрии по Браве представляет перечисление элементов симметрии в последовательности: количество осей симметрии старшего порядка → количество осей симметрии более низкого порядка → количество плоскостей симметрии → наличие центра симметрии. Ось 
симметрии обозначается буквой L с индексом n, соответствующим порядку 
оси. Так, оси L2, L3, L4, L6 обозначают простые поворотные оси симметрии 
второго, третьего, четвертого и шестого порядка соответственно. Для обозначения зеркальной плоскости симметрии в символике Браве используется буква P. 
Присутствие в символе буквы С свидетельствует о том, что анализируемый 
кристалл обладает центром симметрии. Таким образом, запись 3L44L36L29PC 
означает, что точечная группа симметрии характеризуется наличием трех поворотных осей симметрии четвертого порядка (3L4), четырех осей симметрии 
третьего порядка (4L3), шести осей симметрии второго порядка (6L2), девяти 
зеркальных плоскостей симметрии (9P) и центра симметрии (С).  
Если в состав точечной группы симметрии входит инверсионная ось симметрии, то для ее обозначения используется символ Łn. Индекс n здесь также 
служит для характеристики порядка оси. Например, элементы симметрии типа 
Ł3, Ł4, Ł6 – инверсионные оси третьего, четвертого и шестого порядка соответственно. Инверсионная ось симметрии первого порядка Ł1 по своей сути соответствует центру инверсии С, а инверсионная ось симметрии второго порядка 

Ł2 – зеркальной плоскости симметрии Р. В некоторых случаях вместо перечеркнутой буквы L (Ł) инверсионную ось симметрии обозначают символом L с 
индексом n, над которым указан знак «минус», например 
3
L , 
4
L .  

В тех случаях, когда элементы симметрии, например поворотные оси симметрии одного и того же порядка или зеркальные плоскости симметрии, являются неэквивалентными, эти особенности могут быть зафиксированы в обозначении группы симметрии. Например, поскольку в классе симметрии L66L2 
имеется два типа эквивалентных осей симметрии второго порядка, более подробная запись этого класса выглядит следующим образом: 
6
2
2
3
3
L
L
L

 . В клас
се симметрии L44L25PC имеется два типа эквивалентных между собой осей 
симметрии второго порядка и три типа зеркальных плоскостей симметрии. 
Следовательно, в расширенном варианте запись по символике Браве будет 
следующей: 
4
2
2
2
2
2
2
L
L
L
P
P P C



 
.  
Иногда возникает необходимость подчеркнуть, каким образом элементы 
симметрии, например поворотные оси и плоскости симметрии, сопрягаются 
между собой. Для этого в качестве дополнительных индексов используют 
значки  и . Например, в точечной группе L66L27PC шесть плоскостей симметрии параллельны оси симметрии шестого порядка, а одна плоскость располагается перпендикулярно этой оси. В расширенной записи группы по Браве 
эта особенность может быть отражена следующим образом: L66L26PPC. 
Обозначение тридцати двух точечных групп симметрии с использованием различных символик, в том числе символики Браве, приведено в табл. 1.  
Подводя итог данному разделу, следует еще раз подчеркнуть главное достоинство символики Браве – ее предельную простоту. К недостаткам надо отнести громоздкость некоторых символов и отсутствие связи между расположением элементов симметрии относительно координатных осей. Недостатком 
данной символики является также невозможность отражать в символе группы 
трансляционные элементы симметрии. 
 
1.2. ОБОЗНАЧЕНИЕ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП СИММЕТРИИ  
ПО А. ШЁНФЛИСУ 
 
Один из недостатков, характерных для символики Браве, а именно громоздкость записи, устранен в символике, предложенной немецким математиком А. Шёнфлисом (Arthur Moritz Schoenflies, 1853–1928 гг.). Символика 
Шёнфлиса используется в теории групп, представляющей один из разделов 
математики, а также в физике и кристаллографии. В этой символике показаны 
только   порождающие  элементы  симметрии,   с  помощью  которых   можно  

Т а б л и ц а  1 

Обозначение точечных групп (классов) симметрии по Браве, Шёнфлису и Герману – Могену 

Катего
рия 
Сингония  
Подсингония  
Полный символ 

Германа – Могена 

Сокращенный 

символ 

Германа – Могена

Символ 

Шёнфлиса 

Символ 

Браве 

Порядок 

группы 

Низшая 

Триклинная 

1
1 
C1
L1
1

1
1  
Ci = S2 
C = Ł1 
2 

Моноклинная 

2
2 
C2
L2
2

m
m 
Cs = C1h
P = Ł2
2

2
m  
2/m 
C2h 
L2PC 
4 

Ромбическая 

222
222 
D2 = V
3L2
4

mm2
mm2 
C2v
L22P
4

2 2 2
m m m  
mmm 
D2h 
3L23PC 
8 

Средняя 
Тетрагональная 

4
4 
C4
L4
4

4
4  
S4 
Ł4 
4 

4
m  
4/m 
C4h 
L4PC 
8 

422
422 
D4
L44L2
8

4mm
4mm 
C4v
L44P
8

42m
42m  
D2d 
Ł42L22P 
8 

4 2 2
m m m  
4/mmm 
D4h 
L44L24P||PC 
16 

 
 

8 

Гексагональная 

Тригональная 

3
3 
C3
L3
3

3
3  
S6 = C3i 
Ł3 = L3C 
6 

32
32 
D3
L33L2
6

3m
3m 
C3v
L33P
6

2
3 m  
3m 
D3d 
Ł33L23P =L33L23PC 
12 

Гексагональная 

6
6 
C6
L6
6

6
6  
C3h 
L3P= Ł6 
6 

6
m  
6/m 
C6h 
L6PC 
12 

622
622 
D6
L66L2
12

6mm
6mm 
C6v
L66P
12

6 2
m
6 2
m  
D3h 
L33L23P||P=Ł63L23P 
12 

6 2 2
m m m  
6/mmm 
D6h 
L66L26P||PC 
24 

Высшая 
Кубическая 

23
23 
T
3L24L3
12

2 3
m
 
3
m  
Th 
3L24L33PC 
24 

43m
43m  
Td 
3Ł44L36P 
24 

432
432 
O
3L44L36L2
24

4
2
3
m
m  
3 
m m  
Oh 
3L44L36L29PC 
48 

 

9 

вывести все остальные элементы, присутствующие в точечной группе. Вывод 
элементов симметрии предполагает знание теорем взаимодействия элементов 
симметрии и следствий из этих теорем. Артур Мориц Шёнфлис объединил 
классы (группы) симметрии в несколько семейств, которые он предложил обозначать буквой с соответствующим индексом. 
1. Циклические группы – группы типа Ln. Они обладают единственным 
особым направлением, представленным поворотной осью симметрии (рис. 1). 
По предложению Шёнфлиса циклические группы обозначаются буквой С с 
нижним индексом n, соответствующим порядку поворотной оси: C1, C2, C3, C4, 
C6 (С1 = L1;  С2 = L2;  С3 = L3;  С4 = L4;  С6 = L6). 
 

С  = 
n
n
L

С3
С4
С6
С2
 
Рис. 1. Циклические группы симметрии Cn с единственным особым направлением, совмещенным с осью  
                                   симметрии 

2. Группы, в которых присутствует единственная инверсионная ось симметрии (рис. 2), обозначаются буквой С с индексом, содержащим букву i и 
цифру, соответствующую порядку инверсионной оси – Cni:  Ci = Ł1;   C3i = Ł3. 
 
 
 
 
Рис. 2. Группы с единственной инверсионной  
осью симметрии 
 
 
 
3. В тех случаях, когда инверсионной оси предпочитают ее эквивалент в 
виде зеркально-поворотной оси, точечную группу обозначают символом S c 
индексом n, соответствующим порядку оси (Sn). В группах  Sn  индекс n – всегда четный: S2 = Ci;  S4 = C4i;  S6 = C3i. 
4. Для обозначения точечных групп симметрии, характеризующихся наличием побочных осей симметрии второго порядка, расположенных перпенди
C3i
C4i

кулярно главному направлению, используют символ D с нижним индексом n 
(Dn) (рис. 3). Индекс n в данном символе соответствует порядку главной поворотной оси симметрии, а также количеству побочных осей второго порядка. 
Кристаллические многогранники описываются символами D2, D3, D4, D6  
(D2 = 3L2 = L22L2;  D3 = L33L2;  D4 = L44L2;  D6 = L66L2). 
 

D2
D3
D4
D6
 
Рис. 3. Группы симметрии с побочными горизонтальными осями симметрии  
второго порядка, расположенными перпендикулярно главному направлению:  
                                                  Dn (D2, D3, D4, D6) 

5. Группы с осью симметрии, расположенной вертикально, и ориентированными вдоль нее (т. е. вертикальными) плоскостями симметрии обозначаются символом С с нижним индексом nv (рис. 4). Буква n характеризует порядок 
поворотной оси, а буква v (от нем. – vertical) подчеркивает, что в группе содержатся вертикальные плоскости симметрии (в количестве n штук). Таким 
образом, при добавлении вертикальных плоскостей симметрии к группам  
типа  Cn  получаются точечные группы С2v, С3v, С4v, С6v. 
 

C2v
C3v
C4v
C6v
 
Рис. 4. Группы симметрии Cnv с осью симметрии и расположенными вдоль нее  
                 вертикальными плоскостями симметрии (C2v, C3v, C4v, C6v) 

6. Добавление к группам Сn горизонтальной (нем. horisontal) плоскости 
симметрии приводит к появлению групп типа Сnh (С2h; С3h; С4h; С6h) (рис. 5).