Кристаллография. Индицирование граней и ребер кристаллов

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
__________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
И.А. БАТАЕВ, А.А. БАТАЕВ, С.В. ВЕСЕЛОВ 
 
 
 
 
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ 
 
ИНДИЦИРОВАНИЕ ГРАНЕЙ  
И РЕБЕР КРИСТАЛЛОВ 
 
 
 
Утверждено 
Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2019 

УДК 548(075.8) 
Б 28 
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, профессор В.А. Селезнев 
д-р техн. наук, доцент А.О. Токарев 
 
 
 
 
Работа выполнена на кафедре материаловедения в машиностроении  
для студентов и аспирантов НГТУ, обучающихся по образовательным  
программам укрупненных групп направлений подготовки «Технологии  
материалов», «Нанотехнологии и наноматериалы» и «Машиностроение» 
 
 
 
Батаев И.А.  
Б 28  
Кристаллография. Индицирование граней и ребер кристаллов: учебное пособие / И.А. Батаев, А.А. Батаев, С.В. Веселов. – Новосибирск: 
Изд-во НГТУ, 2019. – 118 с. 

ISBN 978-5-7782-3870-1 

Отражены особенности кристаллического строения материалов. Обоснована необходимость использования специальных кристаллографических координатных систем. Приведена характеристика кристаллографических категорий и 
кристаллографических систем (сингоний). Показана значимость закона Гаюи 
(о рациональности отношений параметров граней кристаллов). Приведены 
особенности символьного представления ребер и плоскостей кристаллов. Дан 
вывод теоретически возможных граней методом развития зон. Представлен 
метод сложения символов граней (компликационное правило Гольдшмидта). 
Описан закон зон (поясов) Вейсса.     
 
 
 
 
 
УДК 548(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-3870-1 
© Батаев И.А., Батаев А.А., Веселов С.В., 2019 
 
© Новосибирский государственный 
 
технический университет, 2019 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 

Введение ................................................................................................................................ 6 

1. Кристаллическое состояние вещества ............................................................................ 7 

2. Причины анизотропии свойств кристаллических материалов ................................... 17 

3. Пространственная решетка ............................................................................................ 19 

4. Кристаллографические координатные системы .......................................................... 25 

4.1. Использование сферических координат для описания кристаллов ................... 25 

4.2. Специальные кристаллографические координатные системы ........................... 26 

4.3. Кристаллографические категории ......................................................................... 29 

4.4. Сингонии (кристаллографические системы) ........................................................ 30 

4.4.1. Сингонии, соответствующие низшей категории (а ≠ b ≠ c) ..................... 33 

4.4.2. Сингонии, соответствующие средней категории (а = b ≠ c) .................... 34 

4.4.3. Сингонии, соответствующие высшей категории (а = b = c) .................... 37 

5. Закон Гаюи – закон рациональности отношений параметров граней  
кристаллов ....................................................................................................................... 38 

6. Единичные плоскости в кристаллах .............................................................................. 44 

7. Индицирование граней и ребер кристаллов ................................................................. 49 

7.1. Символы узлов пространственной решетки ......................................................... 50 

7.2. Символьное представление направлений (ребер, атомных рядов, осей 
зон) в кристаллографии ......................................................................................... 51 

7.2.1. Обозначение символов направлений .......................................................... 53 

7.2.2. Обозначение символов атомных рядов ...................................................... 53 

7.2.3. Равнозначные направления и их обозначение ........................................... 54 

7.2.4. Примеры индицирования кристаллографических направлений  
в примитивных решетках по координатам радиусов-векторов .............. 54 

7.2.5. Индицирование направлений в ОЦК-  и ГЦК-кристаллах ....................... 57 

7.2.6. Право параллельного переноса координатных осей ................................. 58 

7.2.7. Определение символов направления по двум точкам, не совпадающим с началом координат ........................................................................ 59 

7.2.8. Индицирование направлений по методу направляющих косинусов ...... 61 

7.2.9. Определение углов между направлениями в кристаллах ......................... 65 

7.2.10. Достоинства символьного представления направлений в кристаллах ....... 67 

7.3. Символьное представление граней (атомных плоскостей) в кристаллографии ...................................................................................................................... 68 

7.3.1. Недостатки подхода, основанного на использовании индексов 
Вейсса ........................................................................................................... 68 

7.3.2. Определение пространственного положения граней кристаллов  
и атомных плоскостей с использованием индексов Миллера ................. 70 

7.3.3. Связь индексов Миллера с ретикулярной плотностью ............................. 74 

7.3.4. Определение символов плоскостей по направляющим косинусам 
их нормалей .................................................................................................. 76 

7.3.5. Определение символа плоскости по символам двух принадлежащих ей атомных рядов ................................................................................ 79 

7.3.6. Определение символа атомной плоскости по координатам трех 
принадлежащих ей точек ............................................................................ 80 

7.3.7. Определение символа линии пересечения атомных плоскостей ............. 82 

7.3.8. Особенности индицирования атомных плоскостей и направлений  
в кубических кристаллах ............................................................................ 82 

7.3.9. Расчет углов между атомными плоскостями в кристалле ........................ 84 

7.3.10. Перечень способов определения символов атомных плоскостей ........... 84 

7.3.11. Достоинства символьного представления атомных плоскостей  
и граней кристаллов ..................................................................................... 85 

7.4. Закон Вейсса. Возможные грани и ребра в кристаллах ...................................... 86 

7.4.1. Возможные грани и ребра ........................................................................... 86 

7.4.2. Закон зон (поясов) Вейсса ........................................................................... 88 

7.4.3. Формулировки закона Вейсса ..................................................................... 91 

7.4.4. Вывод теоретически возможных граней методом развития зон .............. 92 

7.4.5. Расчет символов возможных граней с использованием метода развития зон ....................................................................................................... 93 

7.4.6. Метод сложения символов граней. Компликационное правило 
Гольдшмидта ................................................................................................ 96 

7.4.7. Применение правила суммирования индексов для определения 
символов возможных граней кубического кристалла .............................. 98 

7.4.8. Условие принадлежности грани (hkl) зоне [uvw] .................................... 100 

7.5. Определение символов плоскостей и направлений в гексагональных  
и тригональных кристаллах ................................................................................. 103 

7.5.1. Индицирование граней и плоскостей гексагональных кристаллов ....... 104 

7.5.2. Индицирование граней и плоскостей тригональных кристаллов .......... 108 

7.5.3. Индицирование направлений в гексагональных кристаллах ................. 109 

Контрольные вопросы ................................................................................................. 114 

Библиографический список ........................................................................................ 117 

 

 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Определение взаимной ориентации граней и ребер кристаллов является одной из типичных кристаллографических задач. Решение ее тесно связано с процедурой присвоения граням, плоскостям, ребрам, направлениям цифровых кристаллографических символов. Определение пространственного положения отмеченных элементов в виде координат некоторых точек предполагает использование 
соответствующих координатных систем. Различные варианты симметрии реальных кристаллов не позволяют во всех случаях использовать привычную декартову систему координат. Оказалось, что индицирование граней и ребер реализуется 
намного проще с помощью специальных координатных систем, которые тесно 
связаны с симметрией кристаллов, т. е. с особенностями их внутреннего строения.   
В представленном пособии проанализированы специальные координатные 
системы, применение которых целесообразно при индицировании граней и 
ребер кристаллов различной симметрии. Анализ этих систем сопровождается 
такими понятиями, как кристаллографические категории, кристаллографические системы (сингонии), эквивалентность граней и координатных осей.  
С учетом особой роли закона рациональности отношений параметров (закона Гаюи) в определении пространственного положения граней в пособии 
проведен анализ его проявления в кристаллах с различным внутренним строением. В приложении к закону Гаюи дано определение понятия «единичная 
грань». Показано, что положение граней кристаллов легко описывается при 
использовании естественных масштабов, заложенных в реальной структуре 
кристаллических материалов. 
Основной объем учебного пособия посвящен методам индицирования 
граней и ребер кристаллических материалов. Представлены возможности, которые обусловлены правом параллельного переноса координатных осей. Описаны особенности индицирования симметрично-равных граней с использованием однотипных символов. Отражены особенности применения четырехосных координатных систем при описании пространственного положения гексагональных кристаллов. Приведены примеры индицирования граней кристаллов различной симметрии. 
Анализируемый ниже материал подробно описан в работах [1–13]. При 
необходимости читатель может найти в них другие подходы к проблемам индицирования кристаллов. 

1. КРИСТАЛЛИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА 
 
Встречающиеся в природе вещества могут находиться в различных агрегатных состояниях. Если речь идет о земных условиях, то в первую очередь 
выделяют три состояния: твердое тело, жидкость и газ (рис. 1). Газы, ионизируясь, могут переходить в четвертое агрегатное состояние, называемое плазмой. Во Вселенной плазма является самым распространенным агрегатным состоянием.  
 

Газ

Плазма

  Жидкое 
состояние

Испарение

Конденсация

Рекомбинация
Ионизация

Десублимация

Сублимация (возгонка)

Отвердевание
Плавление

 
Рис. 1. Четыре агрегатных состояния вещества 

Процессы, которые развиваются при переходе твердого тела в жидкость 
или обратно, называются плавлением и соответственно отвердеванием (для 
кристаллических тел – кристаллизацией). Преобразования твердого в газообразное состояние и обратно связаны с процессами возгонки (сублимации) и 
десублимации вещества. Переход жидкости в газ сопровождается испарением, 
а в обратном направлении – конденсацией вещества. 
Материалы, находящиеся в различных агрегатных состояниях, имеют 
различные комплексы свойств. Так, для твердых тел характерна способность 
сохранять свою форму и объем. Обусловлено это тем, что атомы, ионы или 
молекулы в веществах, которые находятся в твердом состоянии, длительное 
время могут не менять своих соседей, т. е. сохранять неизменным свое положение. Вещество, находящееся в жидком состоянии, при перемещении в другую емкость сохраняет объем, но легко изменяет форму. Газы, в отличие от 
твердых тел и жидкостей, в отсутствие внешних границ не сохраняют ни 
форму, ни объем. Для газов характерно стремление заполнить весь доступный им объем.  
Модели, отражающие взаимное расположение материальных частиц в веществах, которые находятся в различном агрегатном состоянии, показаны на 
рис. 2. Различия, которые соответствуют анализируемым состояниям, связаны 
с характером относительного движения частиц.  
 

 
а 
б 
в 

Рис. 2. Модели, отражающие расположение материальных частиц в веществах, находящихся в твердом (кристаллическом) состоянии (а), в виде жид- 
                                                кости (б) и газа (в)  

Характерная особенность газов – это беспорядочное движение составляющих их материальных частиц, например, молекул или атомов. Притяжением 
частиц в газах обычно пренебрегают. Используемые физические модели предполагают отталкивание частиц при их столкновении по закону взаимодействия 
упругих тел (шаров). Расположение частиц на значительных расстояниях друг 
от друга обеспечивает возможность существенного сжатия газов.  
По сравнению с газами расстояние между частицами в жидкостях намного 
меньше. Этим фактором объясняется особо малая сжимаемость жидкостей. 
Движение частиц в жидких средах по сравнению с газами значительно замед

ленно. Благодаря силам притяжения в жидкостях в течение некоторого времени проявляется упорядоченность материальных частиц.     
В твердых телах при температуре, далекой от температуры плавления, материальные частицы совершают тепловые колебания относительно положения 
равновесия. Поступательное движение частиц для них (в сравнении с жидкостями и газами) не является типичным свойством.  
Материальные частицы в твердых телах могут находиться в упорядоченном либо неупорядоченном состоянии. Переход вещества из жидкого (неупорядоченного) состояния в кристаллическое (упорядоченное) требует определенного времени. Упорядоченное, периодическое расположение частиц позволяет говорить о том, что в кристаллах проявляется дальний порядок. Если же 
охлаждение происходит с высокой скоростью и времени для упорядочения материальных частиц и выстраивания их в кристаллическую структуру недостаточно, то формируется аморфный, стеклообразный материал. В аморфных материалах отсутствует дальний порядок в расположении составляющих их частиц, но проявляется ближний порядок. 
По сравнению с аморфным кристаллическое состояние энергетически более устойчиво. Таким образом, являющийся метастабильным аморфный материал с течением времени должен превратиться в кристалл. Однако время перехода в энергетически более выгодное состояние часто очень велико, и по этой 
причине метастабильность аморфного материала может быть совершенно незаметной.  
В настоящем учебном пособии нас в первую очередь интересуют материалы, обладающие кристаллическим строением. По этой причине в дальнейшем 
основное внимание будет уделено им.  
В обыденном смысле под термином «кристаллы» часто понимают возникшие в природных условиях или выращенные искусственно одиночные 
объекты в форме многогранников – монокристаллы. Яркими примерами таких многогранников являются монокристаллы горного хрусталя (SiO2)  
(рис. 3, а). Часто встречаются кристаллические конгломераты, называемые 
друзами. Друза кристаллов раухтопаза (дымчатого кварца) представлена на 
рис. 3, б. Не вызывает сомнений также кристаллическая природа минерала 
пирита (FeS2), на поверхности которого четко проявляются грани квадратной 
формы (рис. 3, в). 
Следует, однако, подчеркнуть, что для большинства кристаллических материалов форма явно выраженных симметричных многогранников не типична. 
Такой вывод можно сделать, изучая структуру металлических материалов, а 
также горных пород, таких как граниты, известняки, песчаники. Металлы и 
сплавы, получаемые при использовании большинства промышленных технологий, обладают характерной поликристаллической структурой, которую 

можно представить как совокупность множества отдельных кристалликов 
(кристаллитов, зерен) неправильной формы (рис. 4, а). Снимки, показанные на 
рис. 4, б–г, дают представление о форме и размерах некоторых кристаллических фаз, присутствующих в различных промышленных сплавах.   
 

 
Рис. 3. Кристаллы горного хрусталя (а), раухтопаза (б) и пирита (в) 

Вопрос о том, является какой-либо материал кристаллическим или нет, в 
настоящее время решается достаточно просто. Для ответа на него могут быть 
использованы такие методы исследований, как электронная микроскопия высокого разрешения, дифракционная электронная микроскопия, метод дифракции обратно рассеянных электронов (EBSD-анализ, Electron Backscattered Diffraction), метод рентгеноструктурного анализа и др. Полученные с их применением экспериментальные данные доступны многим специалистам: физикам, 
химикам, материаловедам.  
 

Рис. 4. Кристаллическое строение металлических сплавов: 

а – поликристаллическое (зеренное) строение технически чистого железа; б – наноразмерные кристаллы -Cu и пластины цементита (Fe3C) в ферритной матрице (-Fe) 
легированной медью стали; в – кристаллы видманштеттова цементита (Ц) на фоне 
пластинчатого перлита (П) в структуре заэвтектоидной стали; г – кристаллы мартенси- 
 та (М), распределенные в матрице остаточного аустенита (А) в заэвтектоидной стали 

Перечисленные выше методы исследований широко используются в специализированных научных центрах и университетских лабораториях. Примеры экспериментальных данных, полученных с применением рассмотренных 
методов исследований и свидетельствующих о кристаллическом строении материалов, приведены на рис. 5 и 6.  
 
 

б  

Рис. 5. Рентгеновские дифрактограммы, зафиксированные 
при изучении технически чистого железа (а) и меди (б),  
          находящихся в кристаллическом состоянии 

 
 

a

Интенсивность, имп/с 
Интенсивность, имп/с 

Рис. 6. Результаты структурных исследований, свидетельствующие  
                      о кристаллическом состоянии материалов: 

а – изображение частиц соединения TiO2, полученное с использованием 
электронного микроскопа высокого разрешения; б – поликристаллическое 
строение феррита, зафиксированное методом дифракции обратнорассеянных 
электронов; в – изображение кристалла Sn3O4, полученное методом просвечивающей электронной микроскопии, соответствующая ему схема (д) и кар- 
                                   тина дифракции электронов (г)