Спин-орбитальные взаимодействия в полупроводниковых квантовых точках и кольцах

УДК 530.145:538.915:538.958

Баран, А. В. Спин-орбитальные взаимодействия в полупровод
никовых квантовых точках и кольцах / А. В. Баран, В. В. Куд ряшов ; 
Нац. акад. наук Беларуси, Ин-т физики им. Б. И. Степанова. – Минск : 
Беларуская навука, 2021. – 66 с. : ил. – ISBN 978-985-08-2716-6.

В монографии исследуются связанные состояния электрона в кванто
вых точках и кольцах, которые локализованы во внутреннем слое двойной полупроводниковой гетероструктуры. Квантовые точки и кольца рассматриваются как двумерные круговые нанообъекты с удерживающими 
прямоугольными потенциалами конечной глубины. Учитывается влияние 
на состояния электрона как спин-орбитальных взаимодействий Рашбы 
и Дрессельхауса, так и внешнего магнитного поля. Получены волновые 
функции и дискретные уровни энергии электрона, соответствующие различным соотношениям интенсивностей двух типов спин-орбитальных взаимодействий.

Адресуется научным работникам, преподавателям, студентам и аспиран
там, специализирующимся в области применения квантово-механических 
расчетов в физике полупроводников.

Табл. 11. Ил. 32. Библиогр.: 89 назв.

Печатается по решению Ученого совета 

ГНУ «Институт физики имени Б. И. Степанова  

Национальной академии наук Беларуси»

(протокол от 31 января 2019 г. № 2)

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, доцент Ю. А. Курочкин,
доктор физико-математических наук, профессор И. Д. Феранчук

ISBN 978-985-08-2716-6 
 © Баран А. В., Кудряшов В. В., 2021
© ГНУ «Институт физики 

им. Б. И. Степанова НАН Беларуси», 2021

© Оформление. РУП «Издательский дом 

«Беларуская навука», 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 
4

Глава 1. Квантовые точки и кольца в полупроводниковых гетероструктурах  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  
6

1.1. Моделирование квантовых точек и колец в полупроводниковых гетероструктурах  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 
6

1.2. Спин-орбитальные взаимодействия в гетероструктурах  .  .  .  .  .  . 
9

Глава 2. Спин-орбитальное взаимодействие Рашбы в круговых квантовых точках и кольцах  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 
13

2.1. Спин-орбитальное взаимодействие Рашбы   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  
13

2.2. Взаимодействие Рашбы в присутствии магнитного поля   .  .  .  .  .  . 
22

Глава 3. Спин-орбитальные взаимодействия Рашбы и Дрессель ха уса равных интенсивностей в полупроводниковых 
квантовых точках и кольцах  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 
36

3.1. Спин-орбитальные взаимодействия Рашбы и Дрессельхауса 
равных интенсивностей   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 
36

3.2. Взаимодействия Рашбы и Дрессельхауса равных интенсивностей в присутствии магнитного поля   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 
42

Глава 4. Спин-орбитальные взаимодействия Рашбы и Дрессельхауса неравных интенсивностей в квантовых точках 
и кольцах внутри полупроводниковых гетероструктур  .  .  .  .  .  . 
51

4.1. Спин-орбитальные взаимодействия Рашбы и Дрессельхауса 
неравных интенсивностей   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 
51

4.2. Взаимодействия Рашбы и Дрессельхауса неравных интенсивностей в присутствии магнитного поля  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 
56

Заключение  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 
60

Список использованных источников  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 
61

Предисловие

В связи с развитием нанотехнологий возрастающее значение приобретают экспериментальные и теоретические исследования квантовых явлений, происходящих в нанообъектах, что открывает возможность разработки принципиально новых устройств электроники,
оптоэлектроники, фотоники (квантовые транзисторы, параметрические лазеры, светодиоды на основе полупроводниковых гетероструктур).

Одной из важнейших областей исследования электроники, где находят применение квантово-механические методы описания состояний электронов в нанообъектах, является физика полупроводниковых гетероструктур, в которых носители заряда находятся в квантовой яме, ограничивающей движение в направлении, перпендикулярном к слоям. При исследовании систем, расположенных во внутреннем слое двойных гетероструктур, выделяют два наиболее распространенных типа объектов: квантовые точки и квантовые кольца. Для теоретического анализа экспериментальных данных по таким объектам используют различные типы удерживающих потенциалов. Прямоугольный потенциал с непроницаемыми стенками и параболический потенциал являются наиболее часто рассматриваемыми
аксиально-симметричными потенциалами. Отсутствие несвязанных
состояний при нулевом магнитном поле делает такие модели чрезмерно идеализированными. Более реалистичными для квантовой точки
и кольца в гетероструктурах являются аксиально-симметричные прямоугольные потенциальные ямы конечной глубины.

Другим важным направлением исследований, приведшим к возникновению нового раздела электроники — спинтроники, является
изучение спин-орбитальных механизмов взаимодействия в системах
с пониженной размерностью, что объясняется перспективами их использования для обработки и хранения информации. Наиболее распространенные взаимодействия, ответственные за спиновые явления

4

в полупроводниковых нанообъектах — спин-орбитальные взаимодействия Рашбы и Дрессельхауса.
Все вышесказанное определяет актуальность работы, направленной на систематическое изучение состояний электрона в двумерных
круговых квантовых точках и квантовых кольцах, моделируемых потенциалами конечной глубины, с учетом влияния внешнего магнитного поля и спин-орбитальных взаимодействий Рашбы и Дрессельхауса
с различными соотношениями их интенсивностей.

Глава 1
КВАНТОВЫЕ ТОЧКИ И КОЛЬЦА
В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ

1.1.
Моделирование квантовых точек и колец
в полупроводниковых гетероструктурах

Исследование полупроводниковых гетероструктур является важнейшим активно развивающимся направлением в физике твердого
тела [1–4]. Двойная гетероструктура образована двумя гетеропереходами, представляющими собой контакты двух различных по ширине запрещенной зоны полупроводников [5]. Располагая слой узкозонного полупроводника между двумя другими, получают аналог
тонкой пленки. Высота удерживающего потенциала зависит от разности величин энергетических щелей и составляет несколько сотен
миллиэлектронвольт. Используя методы молекулярно-лучевой эпитаксии и литографии высокого разрешения, можно формировать гетероструктуры с необходимой толщиной среднего слоя [6]. Таким образом получают структуры с пониженной размерностью, в которых
движение носителей заряда ограничено вдоль одного из направлений,
что позволяет говорить о двумерном электронном газе в запирающей
квантовой яме, ориентированной по оси z, перпендикулярной плоскости (x,y) внутреннего слоя гетероструктуры [7,8].

Качество гетероструктур зависит от согласования постоянных
решеток контактирующих соединений. Как отмечено в [2], первой решеточно-согласованной гетероструктурой стала структура
GaAs/AlGaAs, которая до сих пор часто используется в исследованиях. Достоинством двумерных систем является возможность управлять спектром электронных состояний, изменяя параметры квантовой ямы. Расстояние между энергетическими уровнями зависит от
толщины среднего слоя, что позволяет эффективно управлять длиной волны излучения лазера, базирующегося на квантовых ямах.

Проявление эффектов размерного квантования кардинально изменяет энергетический спектр носителей заряда в сравнении со
спектром объемного кристалла и влияет на физические свойства
квантово-размерных структур. В связи с этим открываются перспективы для производства электронных и оптических устройств, таких
как флеш-память [9], квантовых компьютеров [10–13], лазеров на

6

квантовых точках [14] и т. д.

Прогресс в физике двумерных гетероструктур с квантовыми ямами и их прикладное применение стимулировали изучение систем, обладающих еще меньшей размерностью: квантовых проволок и квантовых точек [2]. В отличие от квантовых ям, в которых движение
электронов ограничено в направлении, перпендикулярном к слоям,
и свободно в плоскости слоя, в квантовых точках, находящихся в среднем слое, носители заряда ограничены уже в трех направлениях,
и энергетический спектр является дискретным [15]. Поэтому эти объекты нанометровых размеров называют еще «искусственными атомами», хотя каждая такая точка состоит из многих тысяч настоящих
атомов.

Обладая уникальными физическими свойствами, полупроводниковые квантовые точки стимулируют развитие технологий их производства. В настоящее время нанотехнологии достигли такого уровня,
что можно получать квантовые нанообъекты с наперед заданными
свойствами. Метод субмикронной литографии хотя и является одним из способов создания квантовых точек, но имеет естественные
ограничения на размеры создаваемых точек, кроме того, происходит
их значительное удорожание вследствие высокой стоимости систем
для субмикронного экспонирования [16]. Более эффективные способы используют эффекты самоорганизации, в которых наноструктуры
формируются сами, под влиянием внутренних механизмов [17]. Растущий слой гетероструктуры стремится повторить кристаллическую
структуру предыдущего, но из-за несогласованности постоянных решетки возникают напряжения в слое, что приводит к образованию
множества дислокаций и уменьшению толщины монокристаллического слоя. Таким образом, возможна самоорганизация квантовых точек
в напряженном среднем слое [18,19].

При экспериментальных исследованиях и практических приложениях различают два основных метода получения квантовых точек:
синтез в коллоиде (метод основан на росте нанокристаллов в растворе) и выращивание кристаллов на поверхности подложки или эпитаксия. Начало синтезу квантовых точек было положено А.И. Екимовым
в стеклянной матрице [20] и Л.Е. Брусом в коллоидных растворах [21].

Квантовые точки, связанные с подложкой, обладают широким
спектром приложений на практике. Возможность изменять геометрические размеры квантовой точки позволяет эффективно управлять
оптическими свойствами системы. Например, флуоресценция квантовых точек в зависимости от своего размера происходит на различных
длинах световых волн, при этом поглощение света происходит в широком диапазоне спектра, а излучение — в узком спектре длин волн [22].

7

Квантовые точки являются альтернативой традиционных люминофоров. Такие наночастицы не уступают им по фотостабильности
и яркости флуоресценции. Оптические свойства квантовых точек используются в
биологических исследованиях, благодаря перестраиваемой люминесценции. Многослойные солнечные элементы, созданные на основе поглощающих свет квантовых точек, позволяют добиться эффективного поглощения солнечного излучения в широком
диапазоне спектра. Применение квантовых точек делает их одним из
кандидатов для представления кубитов в квантовых вычислениях.
Кроме того, квантовые точки служат основой для полупроводниковых и оптоэлектронных приборов: полевых транзисторов, фотоэлементов, светодиодов, лазерных диодов, свойства которых термостабильны [23,24].

Наряду с квантовыми точками важное место среди нанообъектов
занимают квантовые кольца. Их главной топологической особенностью является неодносвязность области движения электронов. Полупроводниковые технологии дают возможность создавать квантовые кольца на поверхности монокристаллов с последующим отжигом [25,26].

Квантовые кольца привлекают внимание исследователей в области конденсированных сред [27–31]. В частности, возникает возможность изучать проявления чисто квантовых эффектов, таких как эффект Ааронова–Бома [32,33], квантовый эффект Холла [34], эффект
незатухающих токов в мезоскопических кольцах [35,36]. Возможность
получения квантовых колец с заданными характеристиками позволила использовать квантовые интерференционные эффекты в производстве оптоэлектронных устройств.

Широкое распространение получила простейшая одномерная модель кольца, которая частично объясняет квантовые интерференционные эффекты, но не дает ответа на ряд вопросов, связанных с наблюдаемыми на эксперименте эффектами. Учет конечной ширины
кольца позволяет объяснить детали эффектов в реальных экспериментах: многоканальный режим транспорта при рассмотрении незатухающих токов и проникновение внешнего магнитного поля в проводящую область кольца [37–40].

Чаще
всего
теоретически
изучаемые
нанообъекты
являются
аксиально-симметричными. Тогда круговые квантовые точки и кольца в полупроводниковых гетероструктурах могут быть эффективно описаны как двумерные системы с удерживающим потенциалом
Vc(ρ), ρ =
√

x2 + y2.

Существуют два типа удерживающих потенциалов, которые
широко используются в этой области: прямоугольный потенциал

8

с непроницаемыми стенками для описания квантовых точек [41, 42]
и квантовых колец [43,44], либо параболический потенциал для моделирования квантовых точек [45,46] и квантовых колец [47,48]. Однако
эти модели допускают только связанные состояния, когда отсутствует магнитное поле. Простые, но достаточно реалистичные потенциалы конечной глубины были предложены в [49, 50] для двумерных
круговых квантовых точек и в [51,52] для квантовых колец. Эти прямоугольные потенциалы имеют вид

Vc(ρ) =
{0,
0 < ρ < ρo,
V,
ρo < ρ < ∞
(1.1)

в случае квантовой точки и

Vc(ρ) =






V,
0 < ρ < ρi,
0,
ρi < ρ < ρo,
V,
ρo < ρ < ∞
(1.2)

в случае квантового кольца конечной ширины. Здесь V – глубина
потенциальной ямы, ρo – внешний (outer) радиус точки или кольца,
а ρi – внутренний (inner) радиус кольца.

1.2.
Спин-орбитальные взаимодействия
в гетероструктурах

Спин-зависимые явления привлекают большое внимание, являясь
ключевым элементом в формирующейся спинтронике [53–57]. Спинорбитальные механизмы взаимодействия в полупроводниках могут
приводить к новым физическим эффектам в системах с пониженной
размерностью. Повышенный интерес к данной тематике связан с прогрессом, достигнутым в реализации спиновой поляризации электронных систем на основе узкозонных полупроводниковых наноструктур [58]. Уникальный характер спин-орбитального взаимодействия,
осуществляющего связь между поступательным движением носителей заряда и вращением их спинов, приводит к тому, что на транспорт электронов в спин-поляризованных системах существенно влияет наличие вырождения по спину [56]. Были предложены механизмы для обработки и хранения информации [58, 59]. Стало возможным создавать электронные приборы, в которых спиновые степени
свободы используются на равных правах с орбитальными: спиновые
полевые транзисторы [60], магнитные биполярные диоды [59], спинволноводы [61], спин-фильтры [62] и т. д.

9

Спиновые процессы в низкоразмерных структурах качественно
отличаются от соответствующих процессов в объемных кристаллах.
Гамильтониан спин-орбитального взаимодействия может быть представлен в форме взаимодействия Зеемана, где роль эффективного
магнитного поля, действующего на электрон, играет частота спиновой прецессии, направление которой определяется квазиимпульсом
электрона и видом асимметрии образца [63,64].

Известны два типа пространственной асимметрии полупроводниковых гетероструктур, которые вызывают спин-орбитальные взаимодействия:

1) структурно-инверсионная асимметрия в полупроводниковых гетероструктурах, рассмотренная Э.И. Рашбой [65,66];

2) объемно-инверсионная асимметрия самого объемного полупроводника, впервые исследованная Г. Дрессельхаусом [67].

Структурно-инверсионная асимметрия может быть вызвана как
внешним электрическим полем, так и деформацией или конструкцией самой гетероструктуры, что приводит к появлению эффективного магнитного поля, перпендикулярного квазиимпульсу электрона.
Отсутствие центра инверсии приводит к возникновению магнитного
поля, направление которого зависит от угла между квазиимпульсом
и кристаллографическими осями.

В
случае
отсутствия
внешнего
магнитного
поля
квантовомеханический оператор взаимодействия Рашбы задается формулой

VR = α(σxpy − σypx)/ℏ,
(1.3)

а взаимодействие Дрессельхауса определяется выражением

VD = β(σxpx − σypy)/ℏ,
(1.4)

где px и py – операторы проекций импульса p = −iℏ∇ на оси x
и y соответственно. Здесь α и β – интенсивности (константы) спинорбитальных взаимодействий, σx и σy – матрицы Паули.

Значительный интерес представляет учет внешнего постоянного однородного магнитного поля, нормального к плоскости гетероструктуры [42,51,52]. Соответствующий векторный потенциал выбран
в следующей форме:

Ax = −By/2,
Ay = Bx/2,
Az = 0,
(1.5)

где B – величина магнитной индукции. Учет внешнего магнитного
поля приводит к замене оператора импульса на оператор

P = p + qeA,
(1.6)

10

где qe – заряд электрона. Тогда взаимодействия Рашбы и Дрессельхауса описываются формулами

VR = α(σxPy − σyPx)/ℏ,
(1.7)

VD = β(σxPx − σyPy)/ℏ.
(1.8)

Интенсивности этих взаимодействий зависят от используемых материалов. Вклад каждого из взаимодействий может быть измерен
с применением различных экспериментальных методов [68,69].

Влияние спин-орбитальных взаимодействий на состояния электронов в полупроводниковых гетероструктурах активно исследуется
в последнее время (см., напр., [70–72]). В общем случае полное спинорбитальное взаимодействие имеет вид

VSO = VR + VD
(1.9)

при β ̸= α. Вместе с тем значительное внимание уделяется и специальному случаю [68,73,74], когда спин-орбитальные взаимодействия Рашбы и Дрессельхауса имеют равную интенсивность. Это может быть
экспериментально осуществлено, поскольку интенсивностью взаимодействия Рашбы можно управлять с помощью внешнего электрического поля, а
интенсивность взаимодействия Дрессельхауса можно
изменять варьированием ширины квантовой ямы по оси z [68].

В случае α = β гамильтониан электрона в гетероструктуре с учетом спин-орбитальных взаимодействий и взаимодействия Зеемана
в присутствии магнитного поля, но без потенциала Vc(ρ) математически эквивалентен гамильтониану модели Раби для двухуровневой
системы в одномодовом квантовом поле [75, 76], если же α ̸= β, то
исследуемый гамильтониан эквивалентен гамильтониану обобщенной
модели Раби [77].

Следует заметить, что существующие примеры учета спинорбитальных взаимодействий в квантовых точках [41,42,45,46] и квантовых кольцах конечной ширины [43] нельзя признать удовлетворительными из-за бесконечной глубины удерживающих потенциалов.
В настоящем исследовании влияние спин-орбитальных взаимодействий на состояния электронов в полупроводниковых гетероструктурах исследуется на основе моделирования квантовых точек и колец
потенциалами конечной глубины.

Дальнейшее изложение базируется на результатах работ, которые
могут быть разбиты на три группы в зависимости от типа рассматриваемого спин-орбитального взаимодействия. В каждой из этих групп
описываются случаи отсутствия и присутствия магнитного поля как

11