Строение невыпуклых однородных многогранников с выпуклыми гранями

Российский государственный педагогический университет 

им. А. И. Герцена 

 

 

 
 
 
 
 
 
 

А. Л. Вернер,  Л. А. Антипова 

 
 

СТРОЕНИЕ НЕВЫПУКЛЫХ 

ОДНОРОДНЫХ МНОГОГРАННИКОВ 

С ВЫПУКЛЫМИ ГРАНЯМИ 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Санкт-Петербург 

Издательство РГПУ им. А. И. Герцена 

2021 

ББК 22.1, я73

В 35

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Вернер А. Л., Антипова Л. А. 

В 35
Строение невыпуклых однородных многогранников с выпуклыми гранями. —
СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2020. — 64 с.

 

ISBN 978–5–8064–2945–3 

 

Это учебное пособие доступно каждому, кто изучал в школе стереометрию и интересуется гео
метрией. В нём рассматриваются невыпуклые однородные многогранники с выпуклыми гранями. 
Класс однородных многогранников содержит многогранники как с выпуклыми правильными гранями, так и многогранники с правильными звёздчатыми гранями. Авторы из этого класса выделили 
семейство невыпуклых многогранников с выпуклыми гранями. Это семейство содержит 17 типов. В 
пособии подробно проводится построение каждого многогранника из этих 17 типов и выясняется 
его ориентируемость. Пособие богато иллюстрировано. 
 

ISBN 978–5–8064–2945–3

ББК 22.1, я73

© А. Л. Вернер, Л. А. Антипова, 2021
© С. В. Лебединский, оформление обложки, 2021
© Издательство РГПУ им. А. И. Герцена, 2021

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 

Задачи этого пособия, терминология и литература 

 
 
Семейство однородных многогранников подробно рассматривалось в обзорной 

статье известного английского геометра прошлого века Гарольда Коксетера и его соавторов в работе [1]. Английское слово Uniform в советской математической литературе 
перевели как термин однородный. Доказательство полноты списка перечисленных в 
статье [1] однородных многогранников дал харьковский геометр Семен Петрович Сопов — ученик А. В. Погорелова — в работе [2]. Сейчас невыпуклые многогранники в 
России становятся очень популярными: издаётся серия выпусков «Волшебные грани» с 
картонными заготовками для склеивания этих многогранников, в интернете опубликовано несколько статей о таких многогранниках (например, [3], [4]). Некоторые результаты о них опубликованы в учебных пособиях [5], [6]. 

В этой книге мы продолжим начатую там работу, рассказав о всех 17-ти типах не
выпуклых однородных многогранников с выпуклыми гранями в трёхмерном евклидовом пространстве Е3. Эти типы мы выделили среди многогранников, перечисленных 
в [3]. 

Этот рассказ пополняется списком заданий, посильных, по нашему мнению, 

школьникам старших классов и студентам университетов, знакомых с методом координат и интересующихся геометрией. Пособие мы постарались сделать максимально наглядным, снабдив его многочисленными рисунками. 

Следуя А. Д. Александрову, под многогранником в этом пособии будем понимать 

совокупность конечного числа плоских многоугольников, которая удовлетворяет двум 
условиям: 1) каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона и 
другого многоугольника — смежного с ним (но только одного); 2) от любого многоугольника можно перейти к любому другому, переходя по смежным друг с другом 
многоугольникам. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а 
вершины — вершинами многогранника. 

Однородный многогранник имеет своими гранями правильные многоугольники 

(выпуклые или звёздчатые) одного или нескольких типов, а многогранные углы в их 
вершинах равны друг другу. 

В этом пособии мы строим и изучаем лишь те из них, у которых грани — выпук
лые правильные многоугольники. 

Однородными многогранниками являются, конечно, все правильные многогран
ники (Платоновы многогранники, рис. 1). 

Однородными многогранниками являются и полуправильные многогранники Ар
химеда. Многие из них будут появляться в этом пособии. Но они являются выпуклыми 
многогранниками, а потому будут играть лишь вспомогательную роль, так как основным объектом нашего пособия являются невыпуклые однородные многогранники с выпуклыми гранями. 

Рис. 1. Правильные многогранники Платона [5] 

 
Среди невыпуклых однородных многогранников есть правильные, то есть все 

грани которых равны друг другу (рис. 2). 

 

        
 

 

Большой додекаэдр Пуансо 
Большой икосаэдр Пуансо 

 

Рис. 2. Правильные многогранники Пуансо [6] 

 

Правильные многогранники Пуансо имеют выпуклые грани, а потому мы о них 

далее расскажем. А вот два других правильных звёздчатых многогранника Кеплера 
имеют своими гранями невыпуклые многоугольники — пентаграммы (рис. 3). Поэтому 
они нами рассматриваться не будут. 

В основу нашей классификации невыпуклых однородных многогранников с вы
пуклыми гранями мы положили знак кривизны вершины такого многогранника. Сумму 
величин плоских углов (в радианном измерении) многогранного угла V(А) обозначим 
α(А), а кривизной угла V(А) и кривизной вершины А многогранника F называется число 
Ѡ(А) = 2π – α(А). 
Кривизной Ѡ(F) многогранника F называется сумма кривизн всех его вершин. 

В тех статьях, которые были нами указаны, много различных таблиц, в которых 

сказано, какие грани у каждого многогранника, а потому из этих таблиц можно найти 
кривизну его вершин, но этого не сделано. И нет информации об ориентируемости этих 
многогранников, не сказано, как можно выполнить их построение. Но ведь даже довольно простые многогранники, имеющие одну и ту же систему рёбер (1-остов), могут 
иметь совершенно разную геометрию (выпуклость, ориентируемость и род, внутреннюю метрику). Таковы, например, многогранники на рисунке 4. 

Малый звёздчатый додекаэдр 
Большой звёздчатый додекаэдр 

 

Рис. 3. Многогранники Кеплера [6] 

 
 

 

Кубооктаэдр [5] 

 

 
                          
 

 

Октатетраэдр [5] 
Кубогемиоктаэдр [5] 

 

Рис. 4 

Если многогранник F имеет f граней, е вершин и к ребер, то число χ(F) = е – к + f 

называется эйлеровой характеристикой многогранника F. 

Напомним, какой многогранник называют ориентируемым. Каждая грань много
гранника имеет две ориентации, которые задаются обходом вершин этой грани. Ориентации двух соседних граней называются согласованными, если на их общем ребре ими 
индуцируются противоположные ориентации, например, АВ и ВА. Многогранник называется ориентируемым, если его грани можно ориентировать так, что ориентации 
любых соседних граней будут согласованы. 

Род g(F) ориентируемого многогранника F и его эйлерова характеристика χ(F) 

связаны равенством χ(F) = 2(1 – g(F)). Если же многогранник F неориентируем, то они 
связаны равенством χ(F) = 2 –  g(F). 

Напомним ещё, что изометрия — это преобразование, сохраняющее расстояния, а 

гомеоморфизм — это преобразование без разрывов и склеиваний. Этих наглядных 
представлений достаточно для чтения этого пособия. Если же читатель захочет более 
глубоко ознакомиться с этими понятиями, то он может обратиться к интернету или к 
вузовским учебникам геометрии. 
 

Список литературы 
[1]. Coxeter H. S. M., Longuet-Higgins M. S., Miller J. C. P. Uniform Polyhedra. Phill. Trans. 246A, 

401–450 (1954). 

[2]. Сопов С. П. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников // 

Украинский геометрический сборник. 1970. Вып. 8. С. 139–156. 

[3]. Википедия. Список однородных многогранников. 
[4]. Википедия. Однородный звёздчатый многогранник. 
[5]. Вернер А. Л., Васильева М. Н., Голокова О. Г. Начала геометрии многогранных поверхно
стей. СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2019. 87 с. 

[6]. Вернер А. Л., Васильева М. Н., Голокова О. Г. Геометрия правильных звёздчатых много
гранников. СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2018. 100 с. 

[7]. Венниджер М. Модели многогранников. М.: Мир, 1974. 237 с. 
[8]. Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия, 11. М.: Просвещение, 2014. 232 с. 
[9] Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.; Л.: ГИТТЛ, 1951. 352 с. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Координаты, обозначения, рисунки 

 

Координаты. Многогранники мы будем рассматривать в некоторой фиксирован
ной системе прямоугольных координат х, у, z с началом в точке О. Куб К имеет своими 
вершинами точки (1, 1, 1), (–1, 1, 1), (–1, –1, 1), (1, –1, 1), (1, 1, –1), (–1, 1, –1), (–1, –1, –1), 
(1, –1, –1). 

На шести гранях куба К лежат 12 вершин икосаэдра I (по две на каждой грани, 

рис. 5). 

 

 

Рис. 5. Икосаэдр, вписанный в куб [6] 

 
Считаем, что ребро А1А2 лежит на верхней грани куба К над осью х. Тогда 

вершины икосаэдра получат такие координаты: А1(, 0, 1), А2(–, 0, 1), А3(0, 1, ), 
А4(0, –1, ), А5(1, , 0), А6(1, –, 0), А7(–1, , 0), А8(–1, –, 0), А9(0, 1, –), А10(0, –1, –), 
А11(, 0, –1), А12(–, 0, –1). 

Длины ребер икосаэдра I в этом случае будут равны 2, где     

 

  –число, обрат
ное «золотому сечению» Ф и равное 
    

 . Это легко проверить. Например, 

A4A6 =                          . 

Вокруг куба К описан додекаэдр D (рис. 6). 

 

 

 

Рис. 6. Додекаэдр, описанный около куба [6] 

 
Восемь вершин додекаэдра D совпадают с вершинами куба К, а остальные 12 его 

вершин лежат вне куба К. 

Перечислим эти 20 точек, указав и их координаты (рис. 6): 
С1(0, –φ, ), С2(1, –1, 1), С3(, 0, φ), С4(1, 1,1), С5(0, φ, ), 
С6(–1, 1, 1), С7(–, 0, φ), С8(–1, –1, 1), С9(–φ, –, 0), С10(φ, –, 0), 
С11(1, –1, –1), С12(, 0, –φ), С13(1, 1, –1), С14(φ, , 0), С15(–φ, , 0), 
С16(–1, 1, –1), С17(0, φ, –), С18(0, –φ, –), С19(–1, –1, –1), С20(–, 0, –φ). 
О построении такого додекаэдра рассказано, например, в п. 26.3 учебника [8]. 
Координатные задания других многогранников в этом пособии связаны с коорди
натными заданиями куба К, икосаэдра I и додекаэдра D. 

Например, вершинами кубооктаэдра КО, уже изображенного на рисунке 4, явля
ются середины рёбер куба К, а потому координаты вершин кубооктаэдра КО равны полусуммам координат соответствующих вершин куба К (рис. 7). 

 
Обозначения. Наименования. Однородные многогранники имеют сложные на
именования. Например, последним мы будем рассматривать большой икосоикосододекаэдр. У него 52 грани — 20 треугольников, 12 пятиугольников и 20 шестиугольников. 
Ясно, что в его названии повторяется дважды корень икосо, соответствующий числу 20, 
и один раз корень додеко, соответствующий числу 12. Мы будем его обозначать символом БИИД. 

Часто будет встречаться и корень геми, что означает полу. Например, большой 

додекогемиикосаэдр, у которого 22 грани — 12 пятиугольников и 10 шестиугольников. 
Ясно, что корень додеко говорит о 12-ти пятиугольниках, а сочетание гемиикосаэдр говорит о половине тех двадцати треугольников, которым соответствуют эти 10 шестиугольников. Обозначать этот многогранник мы будем БДГИ. 

Такие обсуждения мы будем вести для каждого нового многогранника. 

Рис. 7. Сеть рёбер кубооктаэдра на кубе [5] 

 
Рисунки. Однородные многогранники устроены сложно. Наша задача упростить 

их изучение, рассказать о том, как их можно построить, выяснить, ориентируемы ли 
они, задать их в координатах. Многочисленные рисунки помогают в решении этих задач. Они и иллюстрируют наши построения, и дают им доказательства (например, при 
выяснении ориентируемости многогранника). Обычно, рисунок «внешнего вида» однородного многогранника мало что говорит о его свойствах, например, глядя на изображение большого додекаэдра (рис. 2) трудно понять, что он имеет род 4, то есть топологически устроен как сфера, к которой приклеены 4 «ручки». Рисунки помогают понять, 
где эти «ручки». Да и при обозначениях элементов многогранников без рисунков не 
обойтись. Если рисунки уже были в цитируемых пособиях, то мы указываем, откуда 
они взяты. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ч А С Т Ь  1 

 

НЕВЫПУКЛЫЕ ОДНОРОДНЫЕ МНОГОГРАННИКИ 

НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ С ВЫПУКЛЫМИ ГРАНЯМИ 

 
 
 

1.1. Октатетраэдр 

 
Единственным однородным многогранником нулевой кривизны является окта
тетраэдр (рис. 4). Мы обозначаем его ОТ. Октатетраэдр ОТ имеет ту же сеть рёбер 
(1-остов), что и кубооктаэдр КО (рис. 7). У него 8 граней — треугольники (те же, что и 
у кубооктаэдра КО), а потому и корень окто в его наименовании. Корень же тетра говорит о четырёх шестиугольных гранях, которые являются сечениями кубооктаэдра КО 
(рис. 8). 

 

 

 

Рис. 8. Шестиугольное сечение кубооктаэдра 

 
Глядя на рисунок 8, перечислим грани ОТ, ориентируя их порядком вершин и со
гласовывая ориентации соседних граней. 

Начнём с шестиугольника ABGMNE. К нему прилегают треугольники BAF, GBC, 

MGL, NMH, ENJ, AED. К треугольнику BAF прилегают шестиугольники FADHML и 
BFJNHC. Их ориентации согласованы с ориентациями уже построенных треугольников. Остался один шестиугольник и два треугольника. Шестиугольник CDEJLG и два 
треугольника GLM и DCH. Все пары соседних граней ориентированы согласовано. Мы 
доказали, что октатетраэдр — ориентируем. 

Посчитаем теперь его эйлерову характеристику χ. У октатетраэдра 12 вершин, 

24 ребра и 12 граней. Поэтому χ = 12 – 24 + 12 = 0. Ориентируемая замкнутая поверхность нулевой кривизны является плоским тором. Итак, октатетраэдр является многогранной реализацией плоского тора. 

Убедимся в этом ещё раз, построив развёртку октатетраэдра. В каждой его вер
шине сходятся два правильных шестиугольника и два правильных треугольника. Вер