О методологии построения системы показателей оценки риска

Лукасевич И.Я.
О методологии построения системы показателей 

оценки риска. // Качество информационных услуг: Сб. научн. 

трудов по материалам научно-практического семинара / Под 

ред. О.В. Голосова. Тамбов: Издательство ТГТУ, 2000. - с. 112 

- 119.

О методологии построения системы показателей оценки риска

Проблема принятия эффективных управленческих решений в усло
виях риска занимает одно из центральных мест в современной экономиче
ской теории. В финансовой сфере данная проблема часто формулируется 

как задача оптимального выбора среди возможных комбинаций вида "риск 

– результат". При этом в общем случае целью решения является достиже
ние максимального результата при заданном уровне риска, либо миними
зация риска при фиксированном значении результатного показателя. 

Исследования показывают, что адекватные критерии оценки риска в 

финансовой сфере должны учитывать его относительную природу, а также 

отражать сущность и особенности проводимых операций. На наш взгляд, 

проблема построения подобных критериев оценки в общем случае включа
ет решение, как минимум, трех задач:


выбор базисного уровня результата, относительно которого будут 

учитываться возможные отклонения;


определение степени важности влияния на оценку больших и ма
лых отклонений; 


определение и выбор возможных исходов операции, которые 

должны учитываться данной мерой риска. 

В настоящей работе предлагается общая методология разработки 

критериев оценки риска, включающих широко используемые на практике 

статистические показатели и позволяющих гибко и эффективно моделиро

вать решение указанных выше задач в соответствии с целями и запросами 

пользователя (инвестора, менеджера и т.д.).   

Пусть R – показатель результата; f(R) – функция плотности распре
деления вероятностей R; F(R) – кумулятивная функция распределения ве
роятностей R; R = E(R) – математическое ожидание R.

Определим меру риска М как функцию от следующих параметров:

0
),
(
)
,
,
(


 




k
R
dF
B
R
A
k
B
M

A

k
,
(1)

где  В – базисный уровень результатного показателя, относительно 

которого определяются отклонения; k – мера относительного влияния 

больших и малых отклонений, k  0; А – параметр шкалы, определяющий 

какие отклонения должны учитываться мерой риска.

Определим меру О(В, k, А) как корень k-й степени из М(В, k, А), т.е.: 

.0
,
)
(
)
,
,
(

1












 




k
R
dF
B
R
A
k
B
О

k
A

k
(2)

Как следует из (1), мера М, по сути, является ожиданием (или част
ным ожиданием) возможных потерь, которые могут быть заданы функцией 

более общего вида:

k
B
R
k
B
L


)
,
(
. 
(3)

Отметим, что функция (3) не ограничивает величину потерь (т.е. ог
раничения вида  А  В  в общем случае могут отсутствовать). 

Определяемая из (2) мера О(В, k, А), по сути, является более общей 

формой стандартного отклонения. 

Покажем, что традиционные показатели оценки риска – дисперсия, 

полудисперсия, среднее абсолютное отклонение и вероятность недобора 

являются частными случаями трехпараметрической меры M(В, k, А), а 

стандартное отклонение – меры О(В, k, А).

Лемма 1. При В = E(R), k = 2 и А = , дисперсия является частным случа
ем меры M(В, k, А).

Доказательство:























)
(
)
(
)
(
)
(
)
,2
,
,
,
(
2
2

R
VAR
R
dF
R
R
R
dF
R
R
A
k
R
B
A
k
B
M
. 

Лемма 2. При В = E(R), k = 2 и А = E(R), полудисперсия является частным 

случаем меры M(В, k, А).

Доказательство:

).
(
)
(
)
(
)
(
)
,2
,
,
,
(
2
2

R
V
S
R
dF
R
R
R
dF
R
R
R
A
k
R
B
A
k
B
M

R
R



















Нетрудно заметить, что полудисперсия является просто квадратич
ной функцией потерь (3) с базисным уровнем, равным ожидаемому сред
нему распределения и областью определения [- ; E(R)]. Дисперсия и по
лудисперсия отличаются лишь интервалом отклонений от средней, учиты
ваемым критерием оценки.

Лемма 3. При k = 1 и А = , среднее абсолютное отклонение является ча
стным случаем меры M(В, k, А).

Доказательство:

).
(
)
(
)
,1
,
,
,
(

1

R
MAD
R
dF
R
R
A
k
R
B
A
k
B
M
















Лемма 4. Вероятность получения потерь больших, чем некоторый крити
ческий уровень Х, является частным случаем меры M(В, k, А) при k = 0, А = 

Х; при этом значение параметра В не существенно.

Доказательство:

).
(
)
(
)
(
)
(
)
,0
,
,
(

0
X
R
p
X
F
R
dF
R
dF
B
R
X
A
k
A
k
B
M

X
X



















Для удобства вероятность полных потерь можно определить путем 

задания Х = 0, вероятность получения результата ниже среднего – уста
новкой Х = Е(R). 

Одно из важнейших следствий из леммы 4 состоит в том, что при k = 

0 мера риска перестает зависеть от базисного уровня измерения отклоне
ний. Таким образом, вероятность потерь, по сути, более правильно считать 

вырожденным случаем введенной меры риска вида M(В, k, А). Отметим 

также, что мера вида О(В, k, А) при k = 0 вообще не определена.

Стандартное отклонение функционально связано с дисперсией. Не
трудно показать, что оно является частным случаем меры О(В, k, А).

Лемма 5. При В = E(R), k = 2 и А = , стандартное отклонение является 

частным случаем меры О(В, k, А).

Доказательство:

.
)
(
)
,2
,
,
,
(

2

1

2

























R
dF
R
R
A
k
R
B
A
k
B
О


Рассуждая аналогичным образом можно показать, что принципы 

стохастического доминирования, широко используемые в финансовой тео
рии для оценки рисков, также являются частными случаями трехпарамет
рической меры М(В, k, А). 

Пусть B = A = X. Тогда:














X
X

k
k
R
dF
X
R
R
dF
X
R
X
k
X
M
)
(
)
(
)
(
)
,
,
(
. 

Предположим, что Х – целое число и пусть М(X, k, X) может быть 

интегрирована по частям k-раз.


.
)
(
)
(

)
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
)
,
,
(

1

1

































X

k

X

k
X
k

X

k

dR
R
F
R
X
k

R
X
k
R
F
R
X
R
F
R
dF
X
R
X
k
X
M

Пусть: 
dR
R
F
dv
R
X
u
k
)
(
,
)
(
1




. Тогда: 







R

R
F
dx
x
F
V
).
(
)
(
1

).
(
!
)
(
)
(

...
)
(
)
(
)1
(
)
(
)
(
)
,
,
(
2

2

1

1

X
F
k
R
dF
R
X

R
dF
R
X
k
k
R
dF
R
X
k
X
k
X
M

k

X

k

k
k

X

k

X

k
































По определению, если dF(R) – соответствующая функция плотности, 

Fk(Х) по нижней границе должен быть равен 0.

Таким образом:








X

k

k
X
F
k
R
dF
R
X
),
(
!
)
(
)
(
k = 0, 1, 2, . . . 
(4)

Вернемся к принципам стохастического доминирования. Пусть су
ществуют две альтернативы F и G с кумулятивными функциями распреде
ления вероятностей результата F(R) и G(R). Введем соответствующие 

функции меры  MF(X, k, X) = k!F(X) и MG(X, k, X) = k!G(X). 

Тогда при k = 0 имеем:

MF(X, 0, X)  MG(X, 0, X) =

= 











X
X

R
dG
X
R
R
dF
X
R
)
(
)
(

0
0
 F(X)  G(X)  X.
(5)

Для стохастического доминирования второго уровня k = 1 и нера
венство примет следующий вид:

MF(X, 1, X)  MG(X, 1, X) =

= 











X
X

R
dG
X
R
R
dF
X
R
)
(
)
(

1
1
 F1(X)  G1(X)  X.
(6)

Для стохастического доминирования третьего уровня необходимо 

рассмотреть два условия: 

1) при k = 1 и Х = b имеем:

MF(b, 1, b)  MG(b, 1, b) =

= 











X
X

R
dG
b
R
R
dF
b
R
)
(
)
(

1
1
 F1(b)  G1(b).
(7)

2) при k = 2 и Х принимающего значения по всем R имеем:

MF(X, 2, X)  MG(X, 2, X) =

= 











X
X

R
dG
X
R
R
dF
X
R
)
(
)
(

2
2
 F2(X)  G2(X)  X.
(8)

Можно показать, что для стохастического доминирования порядка n

необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

X
X
G
X
F
n
n




)
(
)
(
1
1
,

)
(
)
(
1
1
X
G
X
F
n
n



хотя бы для одного Х,

),
(
)
(
b
G
b
F
k
k

для k = 1, 2, …, n – 2.

Предлагаемый подход и разработанные на его базе трехпараметриче
ские меры оценки М(В, k, А) и О(В, k, А), позволяют более гибко и эффек
тивно моделировать процессы количественного анализа риска и имеет ряд 

преимуществ, по сравнению с рассмотренными в предыдущем параграфе.

Во-первых, в общем случае он не накладывает ограничения на ис
пользуемые типы вероятностных распределений.

Во-вторых, изменяя значения параметров В, k, А инвестор (менед
жер), исходя из собственных предпочтений или сущности операции, может 

самостоятельно определять:


вид результатного показателя и его требуемый или желаемый ба
зисный уровень, относительно которого будут оцениваться откло
нения (выбор значения В);


степень влияния на результат больших отклонений по отношению 

к малым отклонениям (выбор значения k); 


какие отклонения будут учитываться при оценке риска (выбор зна
чения А)  и т.д. 

Например, в качестве базисного уровня В помимо средней могут 

быть использованы: нуль, конкретное значение результата, мода или ме
диана распределения и др.

Различные неотрицательные значения параметра k могут иметь сле
дующую интерпретацию:


при 1 < k < , большие отклонения считаются более важными и 

существенными, чем малые;


при k = 1, все отклонения взвешиваются одинаково, т.е. считаются 

равнозначными;


при  0 < k < 1, малые отклонения имеют большие веса чем боль
шие, причем их значение возрастает по мере приближения k к 0;


при k = 0, только вероятность осуществления события принимается 

во внимание.

Наиболее часто используемыми на практике значениями k являются 

0, 1 или 2 (вероятность потерь, среднее абсолютное отклонение или раз
личные показатели дисперсии соответственно). Однако предлагаемый под
ход позволяет использовать и более высокие значения, например 3 или 4 

(асимметрия и эксцесс соответственно). 

Возможный выбор значений параметра А может иметь следующую 

интерпретацию:


при А =  мера риска учитывает все отклонения;


при А = В, учитываются только те отклонения, которые лежат ниже 

базисного уровня;


при А < В, во внимания принимаются только нежелательные от
клонения (т.е. значения результатного показателя строго меньшие 

базисного уровня);


при В < А <  учитываются все нежелательные и некоторая часть 

желательных отклонений.

Следует отметить, что в общем случае для дисперсии и среднего аб
солютного отклонения, параметр А = . Для полудисперсии параметр А 

должен быть равен базисному уровню В, который в свою очередь, уста
навливается равным среднему значению E(R), т.е.:  А = В = E(R) = R . 

На наш взгляд, наиболее интересным направлением развития изло
женного подхода является рассмотрение случая А = В = Х. В наиболее 

простом случае X может быть некоторым положительным числом.

Определим меру MF(X, k, X) следующим образом:






X

k
k
R
dF
X
R
X
k
X
M

0

.0
),
(
)
,
,
(
(9)

Задаваемый (9) класс оценок обладает рядом интересных свойств. По 

сути, это взвешенные суммы отклонений результата от некоторого кон

трольного или предельного уровня, где в качестве весов используются со
ответствующие вероятности. При этом, только нижняя от контрольного 

уровня часть распределения включается во взвешивание. 

Другими словами (9) задает класс "нижних" частных моментов на 

шкале [0; X]. 

Нетрудно заметить, что при k = 0, М0 есть ни что иное, как вероят
ность недобора, т.е. p(R < Х):










X
X

X
R
p
R
F
R
dF
R
dF
X
R
X
X
M

0
0

0
.)
(
)
(
)
(
)
(
)
,0,
(
(10)

Еще больший интерес представляют частные относительные момен
ты следующих порядков. Пусть k = 2. Рассмотрим величину М2, равную:









X
X

M
R
dF
X
R
R
dF
X
R
X
X
M

0
0

2

2
2
)
(
)
(
)
(
)
,2,
(
.
(11) 

Согласно (11), М2 является частной относительной полудисперсией. 

Использование М2 в качестве оценки риска, позволяет избежать целый ряд 

из рассмотренных выше проблем. Очевидно, что вычисляемая из (11) по
лудисперсия является асимметричной мерой риска, так как она негативно 

оценивает результаты, лежащие ниже заданного уровня и, в тоже время, не 

оказывает влияния на превышающие его результаты. Это свойство позво
ляет использовать данный показатель для оценки нелинейных стратегий, и 

в частности – при проведении операций с инструментами, содержащими в 

себе опционы. Будучи квадратом разностей, относительная полудисперсия 

негативно оценивает именно наибольшие недоборы (т.е. наибольшие отно
сительные отклонения, лежащие ниже заданного уровня). Таким образом, 

она косвенно учитывает “нелинейные” эффекты в психологии поведения 

инвесторов.

Рассуждая подобным образом можно показать, что частные относи
тельные моменты третьего и четвертого порядков представляют собой 

нижние частные показатели асимметрии и эксцесса соответственно. Их от
личие от предыдущего показателя заключается в еще более негативной 

оценки “недоборов”. В частности, М3 назначает “кубический штраф” для 

отклонений, лежащих ниже базисного уровня, а М4 – “штрафует” их еще в 

большей степени.  

Предлагаемый подход в целом позволяет разрабатывать численные 

оценки риска вида М(В, k, А) и О(В, k, А), обладающие теми или иными не
обходимыми свойствами. Вместе с тем, конкретный вид оценки, ее свойст
ва и эффективность применения во многом зависят от сущности решаемой 

задачи. В частности исследования показывают, что для классических задач 

оптимизации портфеля рисковых инвестиций важную роль играет такое 

свойство функции риска, как ее однородность первой степени относитель
но параметров. 

В этой связи можно показать, что для случая B = Е(R) и A =  или A

= E(R), мера М(В, k, А) является однородной функцией k-й степени одно
родности, а мера О(В, k, А) – однородной функцией первой степени. Таким 

образом, в данных задачах использование меры О(В, k, А) более предпоч
тительно. Например, стандартное отклонение в подобных задачах является 

лучшей мерой риска, чем дисперсия. В целом, тот факт, что мера О(В, k, А) 

является корнем k-й степени из среднего отклонения, тогда как мера М(В, 

k, А) представляет собой "степень среднего отклонения", свидетельствует в 

пользу большей эффективности применения первой при решении задач оп
тимизации портфельного инвестирования.     

К числу важнейших свойств мер М(В, k, А) и О(В, k, А), которые не
обходимо обязательно учитывать при их использовании для решения кон
кретных задач, относится тип зависимости от параметров А и k. Нетрудно 

показать, что с ростом А, М(В, k, А) и О(В, k, А) возрастают. Дифференци
руя М(В, k, А)  по А получим:











A

k
k
A
f
B
A
dR
R
f
B
R
dA
d

dA
dM
0
)
(
)
(
.
(12)

Как следует из (12), при f(A)  0, функция М(В, k, А) является строго 

монотонно возрастающей; при f(A) = 0 – монотонно возрастающей от А.

Прологарифмировав О(В, k, А) имеем:

M

k

O
log
1
log

.
(13)

Из (12) и (13) следует, что О(В, k, А) является монотонно возрастаю
щей от А, поскольку М(В, k, А) монотонно возрастающая от А, а логариф
мическая функция строго возрастает от своих аргументов.

В отличие от границы интервала А, параметр k, отвечающий за взве
шивание отклонений в мере М(В, k, А), при решении некоторых задач мо
жет быть источником затруднений. Проблема заключается в том, что 

функция М(В, k, А) – не всегда монотонно возрастающая от k (рис. 1). 

Рис. 1.  Зависимость меры M(B, A, k) от k.

Более того, на некоторых участках она может убывать и даже дости
гать минимума. В частности, при включении в меру риска маленьких от
клонений наравне с большими, т.е. при 
1

 B
R
, с ростом k величина

k
B
R 
уменьшается. Таким образом, увеличение k необязательно приводит