Колебания твердых тел, жидкостей и газов с учетом локальной неравновесности

КОЛЕБАНИЯ ТВЕРДЫХ 
ТЕЛ, ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 
С УЧЕТОМ ЛОКАЛЬНОЙ 
НЕРАВНОВЕСНОСТИ

И.В. КУДИНОВ
А.В. ЕРЕМИН
В.В. ЖУКОВ
В.К. ТКАЧЕВ
К.В. ТРУБИЦЫН

Москва
ИНФРА-М
2022

МОНОГРАФИЯ

УДК 534(075.4)
ББК 22.312
 
К88

Кудинов И.В.
К88  
Колебания твердых тел, жидкостей и газов с учетом локальной неравновесности : монография / И.В. Кудинов, А.В. Еремин, В.В. Жуков, 
В.К. Ткачев, К.В. Трубицын. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 162 с. — 
(Научная мысль). — DOI 10.12737/1859642.

ISBN 978-5-16-017515-7 (print)
ISBN 978-5-16-110034-9 (online)
В монографии представлены результаты разработки и исследований новых математических моделей процессов колебаний твердых тел, жидкостей и газов с учетом 
локальной неравновесности. Для вывода дифференциальных уравнений используются уравнения Навье — Стокса, второй закон Ньютона и модифицированные 
формулы классических эмпирических законов Фурье, Гука, Ньютона, в которых 
учитываются скорости и ускорения движущих сил (градиентов соответствующих 
величин) и их следствий (теплового потока, нормальных и касательных напряжений). Исследованы условия возникновения ударных волн напряжений и перемещений в динамических задачах термоупругости, сформулированных с учетом релаксационных явлений в тепловой и термоупругой задачах, получены новые результаты 
при исследовании продольных и поперечных колебаний стержней, струн, жидкостей 
и газов, а также определены условия возбуждения автоколебаний газа, возникающих 
от постоянного во времени источника теплоты.
Предназначена для научно-технических работников, специализирующихся в области математики, теплофизики, термоупругости, а также преподавателей и студентов технических вузов.

УДК 534(075.4) 
ББК 22.312

Р е ц е н з е н т ы:
Карташов Э.М., доктор физико-математических наук, профессор;
Довгялло А.И., доктор технических наук, профессор

ISBN 978-5-16-017515-7 (print)
ISBN 978-5-16-110034-9 (online)
©  Кудинов И.В., Еремин А.В., Жуков В.В., 
Ткачев В.К., Трубицын К.В., 2022

Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Подписано в печать 02.02.2022. 
Формат 6090/16. Бумага офсетная. Гарнитура Petersburg. 
Печать цифровая. Усл. печ. л. 10,13. Тираж 500 экз. Заказ № 00000
ТК 753439-1859642-020222

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

ВВЕДЕНИЕ 
Уравнения, 
описывающие 
волновые 
процессы, 
являются 
гиперболическими. Получение их точных аналитических решений в 
случаях незатухающих (вынужденных) колебаний, происходящих под 
действием некоторой возмущающей силы, представляет серьезные 
трудности. Решения таких задач найдены лишь в отдельных частных 
случаях при конкретно заданных законах изменения возмущающей 
нагрузки. При этом вопросы, связанные с решением проблемы бесконечной 
скорости переноса потенциалов исследуемых полей, в известной 
литературе не рассматривались. Однако, как показали выполненные в 
настоящей работе исследования, учет релаксационных свойств материалов 
приводит к существенному отличию колебательного процесса по 
сравнению со случаем их неучета. Учет этих свойств позволяет устранить 
проблему скачкообразного изменения искомой функции, возникающую 
ввиду заложенной в законе Гука бесконечной скорости переноса 
возмущений, что объясняется отсутствием в формуле этого закона 
причинно-следственной связи явлений. Причиной (действующей силой) 
здесь является деформация, а следствием – напряжение. Отсутствие в 
законе Гука временнóй переменной свидетельствует о том, что причина и 
следствие в данном случае не разделены во времени. В связи с чем 
следствие с изменением причины наступает мгновенно (скачкообразно), то 
есть с бесконечной скоростью. Однако скорости распространения 
потенциалов любых физических полей не могут быть бесконечными. В 
реальном теле их изменение происходит с запаздыванием во времени в 
зависимости от релаксационных свойств, учитываемых коэффициентами 
релаксации. В настоящей работе при выводе дифференциальных уравнений 
колебаний стержней используются уравнение движения (второй закон 
Ньютона) и модифицированная формула закона Гука, в которой 
учитываются скорости и ускорения напряжений и градиентов перемещений 
(деформаций). Получаемые таким путем уравнения содержат производные 
высокого порядка, а также смешанные производные. Ниже будут 
рассмотрены вопросы, связанные с их выводом, нахождением точных 
аналитических и численных решений, а также с анализом полученных 
результатов. 
При больших скоростях изменения температуры температурные 
напряжения оказываются зависимыми от распределения напряжений в 
предшествующие моменты времени. Время в данном случае становится 
независимой переменной, в связи с чем в уравнениях термоупругости 
появляются инерционные члены, учитывающие изменение напряжений во 
времени. При этом различают связанные и несвязанные задачи 
динамической 
термоупругости. 
В 
связанной 
задаче 
в 
уравнении 

теплопроводности 
учитывается 
зависящий 
от 
деформации 
член 
механической связи. Ниже будут рассмотрены лишь несвязанные задачи, в 
которых пренебрегается изменением температуры от деформации и 
учитываются лишь инерционные члены в уравнениях равновесия. 
Сопряжение полей деформаций и температур исследовали Ж.-М.К. Дюамель, 
Дж.Ф. Нейман, В. Фойхт, Г. Джеффрис и др. Динамическая термоупругость 
рассматривалась также в работах В.И. Даниловской, Б. Боли, Мура, 
Стернберга, 
Чакраворти, 
В. 
Новацкого, 
Игначака, 
Ю.М. 
Коляно,  
Я.С. Подстригача, Г. Паркуса, А.Д. Коваленко, Э.М. Карташова,  
И.В. Кудинова и др. [1, 5 – 8, 14, 65]. При этом определяющие соотношения 
термомеханики не изменялись – изменялись (точнее усложнялись) лишь 
температурные функции, а следовательно, и все последующие расчеты. 
Содержание данной работы представляет новый уровень развития теории 
термических напряжений, связанный с изменением определяющих 
соотношений 
термомеханики, 
посредством 
учета 
двукратного 
запаздывания (напряжений и деформаций). В уравнения термомеханики 
вводятся новые слагаемые, учитывающие релаксационные свойства 
напряжений 
через 
коэффициенты 
релаксации. 
Кроме 
того, 
в 
температурном слагаемом уравнения динамической термоупругости также 
учтено двукратное запаздывание – теплового потока и скалярной величины 
градиента температуры. Полученные уравнения учитывают перекрестные 
эффекты, связанные с одновременным проявлением временнóй и 
пространственной 
неравновесности, 
и 
их 
совместное 
влияние 
на 
термомеханическую реакцию упругой области при тепловом ударе [10, 14, 
23, 25, 26]. 
Применительно к новому уравнению динамической термоупругости 
формулируется краевая задача для бесконечной пластины и находится ее 
точное аналитическое решение в форме бесконечного ряда. Детальное 
исследование полученного решения позволило обнаружить ряд интересных 
фактов, 
раскрывающих 
особенности 
термомеханики 
в 
новых 
теплофизических и термомеханических условиях. И, в частности, было 
показано, что при воздействии теплового удара на поверхности пластины 
внутри нее возникают высокочастотные колебания перемещений в 
результате движущихся от поверхности механических волн со скоростью, 
равной скорости звука в данном теле, – определена также и амплитуда 
колебаний. Возможность возбуждения подобных колебаний была впервые 
установлена теоретическими исследованиями Б. Боли и Барбера (1957 г.), 
Крауса (1966 г.). 
Колебательные процессы можно разделить на три группы: свободные, 
или собственные (происходят в системах, не содержащих источников 
энергии); вынужденные (происходят под действием внешней нагрузки); 
самовозбуждающиеся, или автоколебания, при которых колеблющаяся 
система, называемая автоколебательной, самостоятельно регулирует 
поступление энергии от внешнего непериодического источника, причем в 

таком количестве, чтобы процесс колебаний был незатухающим.  
К самовозбуждающимся колебаниям относятся: фрикционные, флаттерные, 
колебания в часах с анкерным механизмом, термоакустические колебания  
и др. 
Непериодический (постоянный) источник внешней энергии может 
вызвать незатухающие колебания лишь в случае, когда колеблющаяся 
система будет периодически прерывать или изменять поступление внешней 
энергии так, чтобы совершаемая ею общая работа была положительной. 
Следовательно, эта энергия должна действовать в направлении движения 
тела. При изменении направления движения колеблющегося тела внешняя 
энергия должна отключаться от системы, чтобы избежать совершения 
отрицательной работы, под которой понимается передача энергии от 
колеблющегося 
тела 
к 
источнику 
внешней 
энергии. 
Примером 
отрицательной работы является так называемое отрицательное трение 
(отрицательное 
сопротивление), 
возникающее 
при 
колебаниях 
закрепленного на пружине груза, расположенного на ленте движущегося 
транспортера. Известны также автоколебательные системы с инерционным 
возбуждением. Механизмом возбуждения автоколебаний является здесь 
инерционное 
взаимодействие 
между 
колебательной 
системой 
и 
регулирующим устройством (обратная связь), исключающим передачу 
энергии от колеблющегося тела к внешнему источнику [2, 3, 28]. 
Таким образом, автоколебательной является система, в которой 
совершаются незатухающие периодические колебания от действия 
непериодического источника энергии. Подобная система включает: 
непериодический 
источник; 
колебательную 
систему; 
устройство, 
регулирующее поступление энергии в колебательную систему от 
источника энергии. Автоколебания в такой системе могут возникать только 
при 
наличии 
обратной 
связи 
между 
колебательной 
системой 
и 
регулирующим устройством. Регулирующая система управляет движением 
колебательной системы, которая, в свою очередь, через обратную связь 
управляет 
работой 
регулирующего 
устройства, 
и 
таким 
путем 
осуществляется самоуправление работой колебательной системы [2]. 
В качестве конкретного примера системы с инерционным возбуждением 
в книге рассмотрен резонатор Гельмгольца с неравномерно нагретыми 
стенками, 
относящийся 
к 
классу 
термомеханических 
систем. 
Термомеханической (термоакустической) называется система, содержащая 
механический колебательный элемент, колебания которого возбуждаются 
тепловым источником. Ввиду того что источник теплоты в резонаторе 
Гельмгольца 
не 
является 
периодическим, 
его 
можно 
отнести 
к 
автоколебательной системе с инерционным самовозбуждением [28, 44]. 
Важность 
выполнения 
исследований 
таких 
систем 
связана 
с 
перспективным направлением по разработке и внедрению энергетических 
установок на основе термоакустических двигателей, представляющих 
устройства для преобразования тепловой энергии в энергию акустических 

колебаний высокой интенсивности. По сравнению с традиционными 
поршневыми тепловыми двигателями прямого цикла они имеют минимум 
механических движущихся деталей и представляют заполненный газом 
акустический канал с теплообменником внутри него. Описание рабочего 
процесса 
термоакустических 
двигателей 
в 
основном 
сводится 
к 
рассмотрению установившихся режимов работы. Однако весьма важным 
является исследование тепловых и акустических процессов, протекающих 
при запуске двигателей. Так как подобные двигатели представляют 
автоколебательные системы, большой интерес представляет нахождение 
условий, при которых двигатели будут работать в режиме автоколебаний 
при неколебательном характере их источника, каковым здесь является 
постоянной мощности источник теплоты. 

1. Экспериментально-теоретические исследования колебаний 
упругих твердых тел 
В настоящем разделе на основе модифицированных уравнений закона 
Гука и второго закона Ньютона представлены результаты получения 
дифференциальных уравнений колебаний стержней и струн, учитывающих 
релаксационные свойства среды и ее сопротивление процессу колебаний. 
Анализ их точных аналитических и численных решений показал, что учет 
релаксационных 
свойств 
материалов 
приводит 
к 
устранению 
скачкообразного изменения искомых функций, наблюдающегося в 
классических 
моделях. 
Исследования 
продольных 
колебаний 
закрепленного на одном из торцов стержня с учетом внешней 
гармонической нагрузки показали, что при совпадении частот собственных 
и вынужденных колебаний наблюдается резонанс, при котором, ввиду 
учета сопротивления среды, амплитуда колебаний устанавливается на 
некоторой постоянной величине в незатухающем во времени процессе 
колебаний. При значительном отличии частот собственных и вынужденных 
колебаний колебательный процесс принимает форму биений, при которых 
амплитуда периодически возрастает от нуля до некоторого максимального 
значения, определяемого соотношением коэффициентов сопротивления и 
релаксации. 
При 
значительном 
отличии 
частот 
собственных 
и 
вынужденных колебаний наблюдаются колебания с двумя амплитудами и 
частотами – с большой амплитудой и малой частотой, а также с малой 
амплитудой 
и 
высокой 
частотой. 
Применительно 
к 
поперечным 
колебаниям закрепленного на одном из торцов стержня показано, что 
наибольшая частота (при незначительной амплитуде), существенно 
превышающая частоту колебаний свободного торца, наблюдается в 
сечениях, расположенных вблизи закрепленного торца. С использованием 
полученных решений и экспериментальных данных для продольных и 
поперечных 
колебаний 
стержня, 
путем 
решения 
обратных 
задач 
идентифицированы коэффициенты сопротивления и релаксации. 
 
1.1. МОДЕЛЬ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ В УСЛОВИЯХ 
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННО́ Й НЕЛОКАЛЬНОСТИ 
Рассмотрим 
вывод 
дифференциального 
уравнения 
продольных 
колебаний стержня в условиях нелокального равновесия. Уравнение 
движения (равновесия) с учетом сопротивления, оказываемого материалом 
стержня процессу колебаний (уравнение второго закона Ньютона), имеет 
вид [4] 
 

2

2
1 σ
u
t
x
, 
 
 
 
 
 (1.1) 

где u  – перемещение; σ – нормальное напряжение; x – координата; t  – 
время; – плотность. 

С целью учета релаксационных свойств среды эмпирическую формулу 
закона Гука 
 
dx
Edu /
σ 
 
 
 
 
(1.2) 
 
представим в виде 
 

 

2

3
2
2

2

2
2

2
2
1
1
τ
τ
τ
τ
t
x
u
t
x
u
x
u
E
t
t
, 
(1.3) 

 
где 
1τ , 
2τ  – коэффициенты релаксации напряжений и деформаций 
x
u /
ε
; E – модуль упругости. 
Отметим, что второе и третье слагаемые левой и правой части 
соотношения (1.3) представляют скорости и ускорения напряжений и 
деформаций. Ограничиваясь двумя слагаемыми слева и справа, находим 
 

t
t
x
u
x
u
E
σ
τ
τ
σ
1

2

2
. 
 
 
(1.4) 

 
Соотношение (1.4) полностью совпадает со стандартными моделями 
вязкоупругого тела, известными как модели Максвелла и Кельвина – 
Фойхта [13, 14, 46]. Отметим, что соотношение (1.4) соответствует 
усложненным их моделям, в которых добавляется третий элемент – 
пружина, 
соединенная 
параллельно 
с 
моделью 
Максвелла 
и 
последовательно – с моделью Кельвина – Фойхта. Общая их формула 
имеет вид 
 

t
Q
E
t
Q
2
1
, 

 
где 
1
Q , 
2
Q  – некоторые постоянные, имеющие размерность времени. 
Формулы Максвелла и Кельвина – Фойхта отличаются лишь различными 
соотношениями для постоянных 
1
Q  и 
2
Q . Физический смысл этих моделей в 
том, что в них учитываются скорости изменения напряжений и 
деформаций и их взаимное влияние друг на друга. Совпадение модели (1.4) 
с моделями Максвелла и Кельвина – Фойхта (с точностью до постоянных) 
свидетельствует об использовании одинаковых исходных принципов. 
Формула (1.4) может быть получена также из сформулированной  
А.В. Лыковым обобщенной системы дифференциальных уравнений 
Онзагера [30, 31] 
 

N

k

k
k
i
k
r
ik
i
r
i
i
t
X
L
X
L
t
J
L
J
1

)
(
)
(
,  
 
(1.5) 

 
где 
iJ  − поток субстанции (тепла, массы, импульса и т. д.), 
k
X  − движущие 
силы (в данном случае 
x
u
X k
/
ε
), 
r
iL , 
k
iL , 
k
iL− постоянные 
феноменологические коэффициенты. Если положить 
1τ
r
iL
; 
E
L r
k
i
; 

2τ
E
L k
i ; 
σ
iJ
; 
x
u
X k
/
, то соотношение (1.5) приводится к формуле 
(1.4). Согласованность формул (1.4), (1.5) свидетельствует о том, что в 
формуле 
(1.4) 
учитываются 
перекрестные 
эффекты, 
связанные 
с 
одновременным учетом временно́й и пространственной неравновесности и 
их взаимного влияния в нелокальном процессе переноса импульса. 
Подставим (1.4) в уравнение движения (1.1) 
 

x
t
t
x
u
E
x
u
E
t
u
1
2

3

2
2

2

2

2

. 

 
Заменяя величину 
x
/
σ
 ее значением из (1.1), с учетом силы 
сопротивления 
t
u /
 получаем 
 

t
u
t
x
u
x
u
e
t
u
t
u
μ
τ
τ
2

3

2
2

2
2
2

2

3

3

1
, 
 
(1.6) 

 
где 
ρ
/
E
e − скорость распространения возмущения; − коэффициент 
сопротивления, (
с
/
1
 знак «минус» в силе сопротивления означает, что ее 
направление противоположно направлению перемещения). 
При 
0
μ
τ
τ
2
1

уравнение 
(1.6) 
совпадает 
с 
классическим 
гиперболическим уравнением незатухающих колебаний. Рассмотрим 
получение точного аналитического решения задачи о продольных 
колебаниях стержня, жестко закрепленного на одном из его торцов. В 
начальный момент времени стержень деформирован по линейному закону, 
согласно которому максимальное перемещение имеет свободный торец 
стержня. Краевые условия к уравнению (1.6) в данном случае будут 
 
;0
/)
0
,
(
)
8.1(
;0
/)
0
,
(
)
7.1(
);
δ
(
)
0
,
(
2
2
t
x
u
t
x
u
x
b
x
u
 
(1.9) 
 
0
/)
,0
(
x
t
u
; 
 
 
 
(1.10) 
 
0
)
,
(
t
u
, 
 
 
 
 
(1.11) 
 
где − длина стержня; b – коэффициент, учитывающий начальное 
перемещение; 
0
t
; 
δ
0
x
. 

Так как в формуле (1.4) учтены скорости изменения напряжений и 
деформаций, задачу (1.6) – (1.11) будем называть моделью с двукратным 
запаздыванием. Из условия (1.7) следует, что при 
0
t
 перемещение 
линейно зависит от координаты x, принимая максимум 
δ
)
0
;0
(
b
U
в точке 
0
x
 и минимум 
0
)
0
,
(
U
 – в точке 
δ
x
. Согласно (1.8) и (1.9) начальные 
скорости и ускорения принимаются равными нулю. Из условия (1.10) 
следует, что на незакрепленном торце стержня (при 
0
x
) нагрузка 
отсутствует. Граничное условие (1.11) представляет условие жесткого 
закрепления торца стержня при 
δ
x
. 
Обозначим: 
 

,
δμ
;
δ
τ
;
δ
τ
;
δ
Fo
;
δ
ξ
;
Θ
3
2
2
1
1
1
0
e
F
е
F
е
F
еt
x
u
u

(1.12) 

 
где Θ , , Fo  соответственно безразмерные перемещение, координата, 
время; 
δ
0
b
u ; 
1F , 
2
F  безразмерные коэффициенты релаксации; 
3F  безразмерный коэффициент сопротивления среды. 
С учетом обозначений (1.12) задача (1.6) – (1.11) принимает вид 
 

Fo
ξ
)
Fo
,ξ(
Θ
ξ
)
Fo
,ξ(
Θ
Fo
)
Fo
,ξ(
Θ
Fo
)
Fo
,ξ(
Θ
Fo
)
Fo
,ξ(
Θ

2

3

2
2

2

2

2

3

3

1
3
F
F
F
; (1.13) 

 
)1
ξ
0
;0
Fo
(
; 

 

)
ξ
1(
)
0,
ξ
(
Θ
;      (1.14)      
0
Fo
)
0,
ξ
(
Θ
;      (1.15)      
0
Fo
)
0,
ξ(
Θ

2

2
;      (1.16) 

 

 
0
ξ
/)
Fo
,0
(
;                (1.17)               
0
Fo)
,1(
Θ
. 
(1.18) 

 
Решение краевой задачи Штурма – Лиувилля (1.13) – (1.18), следуя методу Фурье, разыскивают в виде 
 
 
)
ξ
(
ψ
)
Fo
(
)
Fo
,ξ
(
Θ
,  
 
 
 
(1.19) 
 
где 
(Fo)
, ψ(ξ) неизвестные функции (времени и пространственной 
переменной). 
Подставляя (1.19) в (1.13), получаем 
 

ν
ψ
ψ

2

1
3
F
F
F
,  
 
 
(1.20)