Высшая математика. Функции многих переменных, двойные и тройные интегралы

Национальный исследовательский университет МЭИ 

Московский государственный университет  
имени М.В. Ломоносова 

А.А. Туганбаев 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

Функции многих переменных, 
двойные и тройные интегралы 

Учебник 

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2019 

УДК 517.2(075.8) 
ББК  22.161.5я73 

 Т81 

Т81  

 Туганбаев А.А. 
     Высшая математика. Функции многих переменных, двойные и тройные 
интегралы [Электронный ресурс]: учебник / А.А. Туганбаев. — М. : 
ФЛИНТА, 2019. — 228 с. 

ISBN 978-5-9765-4180-1 

Книга соответствует программам курсов высшей математики для студентов раз
личных нематематических специальностей и может выполнять функции учебника, задачника, решебника и сборника контрольных заданий по важнейшим темам высшей математики: пределы, непрерывность, дифференциалы, производные, формула Тейлора и экстремумы для функций нескольких переменных, двойные и тройные интегралы, замена
переменных в двойном и тройном интегралах, двойные интегралы в полярных и обобщенных полярных координатах, тройные интегралы в цилиндрических, сферических и
обобщенных сферических координатах, вычисление объемов, физические приложения
двойных и тройных интегралов. 

Для студентов и преподавателей нематематических факультетов высших учебных
заведений. 

УДК 517.2(075.8) 
ББК  22.161.5я73 

Учебное издание

Туганбаев Аскар Аканович

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Функции многих переменных, двойные и тройные интегралы

Учебник

Подписано к выпуску 26.02.2020. Формат 60×88/16.
Уч.-изд. л. 9,5.
Электронное издание для распространения через Интернет.

ООО «ФЛИНТА», 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17-Б, комн. 324. 
Тел./факс: (495) 334-82-65; тел. (495) 336-03-11.
E-mail: flinta@mail.ru; WebSite: www.flinta.ru

ISBN 978-5-9765-4180-1        
   © Туганбаев А.А., 2019 

© Издательство «ФЛИНТА», 2019

Оглавление 
 
ЧАСТЬ I. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ................... 5 
 
1. Предел функции нескольких переменных .................................. 5 
1.1. Подмножества арифметических пространств ......................... 5 
1.2. Предел функции нескольких переменных .............................. 8 
1.3. Непрерывные функции нескольких переменных .................. 14 
 
2. Производные функций нескольких переменных ..................... 15 
2.1. Частные производные первого порядка ................................. 15 
2.2. Дифференцируемость и полный дифференциал ................... 18 
2.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ................. 24 
2.4. Производные сложных функций ............................................ 29 
2.5. Производные неявных функций ............................................. 35 
 
3. Производные высших порядков и формула Тейлора ............. 46 
3.1. Производные высших порядков ............................................. 46 
3.2. Дифференциалы высших порядков ........................................ 49 
3.3. Формула Тейлора ..................................................................... 52 
 
4. Экстремумы функций нескольких переменных ...................... 57 
4.1. Необходимые условия экстремума ......................................... 57 
4.2. Достаточные условия экстремума .......................................... 60 
4.3. Условный экстремум ............................................................... 64 
4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции ..................... 70 
 
5. Задачи о функциях нескольких переменных ............................ 77 
5.1. Задачи с краткими решениями ................................................ 77 
5.2. Задачи с ответами ..................................................................... 86 
5.3. Контрольные задания ............................................................... 90 

 
ЧАСТЬ II. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ............................................... 109 
 
6. Двойные интегралы...................................................................... 109 
6.1. Общие свойства двойных интегралов .................................. 109 
6.2. Двойной интеграл в декартовых координатах .................... 112 
6.3. Замена переменных в двойном интеграле ........................... 119 

6.4. Двойной интеграл в полярных координатах ....................... 122 
6.5. Двойной интеграл в обобщенных полярных  
координатах ................................................................................... 131 
6.6. Физические приложения двойных интегралов .................... 134 
 
7. Тройные интегралы ..................................................................... 141 
7.1. Общие свойства тройных интегралов .................................. 141 
7.2. Тройной интеграл в декартовых координатах .................... 144 
7.3. Замена переменных в тройном интеграле ........................... 154 
7.4. Цилиндрические и сферические координаты ...................... 158 
7.5. Обобщенные сферические координаты ............................... 165 
7.6. Вычисление объемов ......................................................... 167 
7.7. Физические приложения тройных интегралов ............ 169 
 
8. Задачи по кратным интегралам .......................................... 176 
8.1. Задачи с краткими решениями ........................................ 176 
8.2. Задачи с ответами ............................................................... 191 
8.3. Контрольные задания ........................................................ 196 

 
 

!"#$ %&'$

Rn n x1, . . . , xn nRnRn x1, . . . , xn M(x1; . . . ; xn)n RnOxyz OxyzOx! x, y, z"R3 = OxyzR2 = Oxy
R1 = Ox = RR2 R3n = 1 y = f(x)n > 3 ! n = 2, 3"

#M(x1; . . . ; xn) N(y1; . . . ; yn) Rn $"(y1 − x1)2 + . . . + (yn − xn)2 ρ(M, N)%ρ(M, N) = ρ(N, M)M N ρ(M, N) = 0RnR2 R3&" δ ' > 0M(x1; . . . ; xn) ∈ Rn δ(M0) ' M ∈ Rn(δ M0δ(M0) = {M(x1; . . . ; xn) ∈ Rn |
(y1 − x1)2 + . . . + (yn − xn)2 < δ}.

δ(M0) δM0 M˙δ(M0) = δ(M0) \ M0M0 δ(M0) δM0 M0" δ(M0) δ M0{M(x1; . . . ; xn) ∈ Rn |
(y1 − x1)2 + . . . + (yn − xn)2 = δ}

nδ $M0)*" δ(M0)nδ M0+

 n = 2 n = 3δ(M0) δ M0δ(M0) ! (x − x0)2 + (y − y0)2 < δ2 (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 < δ2),

! δ"˙δ(M0) M0 ! 0 < (x−x0)2+(y−y0)2 < δ2 0 < (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2 < δ2).

#$ %%&%%%&&%%&'δ"˙δ(M0) n = 1, 2, 3"
( Rn)( D Rn M *! D +M! DD  , ( M+M! D,Rn ! **D-D ! D  "
, ( ,M.!($ $ /

D {(x, y) | x2 + y2 < R2} {(x, y) | x2 + y2 ≤ R2} (0; 0) R R2! "{(x, y) | x2 + y2 = R2}#"Rn$ #"Rn #x1 = x1(t), x2 = x2(t), . . . , xn = xn(t),

x1(t), x2(t), . . . , xn(t) % & ' D % RnD #' DR2 'D1 = {(x, y) | 1 < x2 + y2 < 4} (()(%
D2 = {(x, y) | (x − 2)2 + y2 < 1} ∪ {(x, y) | (x + 2)2 + y2 < 1}

! (()*+' M1 M2 ! ''
!#D,,#' 

D1 D2 D RnRn DRn δM0D ⊂ δ(M0)!D1 D1 "#"$ R2 {(x, y) | y ≥ 0} R2#D RnM(x1; x2; . . . ; xn)%f : D → RM D un D = D(f) u = f(x1, x2, . . . , xn) u = f(M)&$ $ u '(u = f(M)#n ≥ 2 '(u = f(M) #n = 1 '(y = f(x) )* x+'($ $ ("'($ $ $#,'($ $ $- $ $  z = f(x, y) u = f(x, y, z) z = f(x1, x2) u = f(x1, x2, x3)#,(x, y) (x, y, z) M Oxy $Oxyz.'(f(x, y) f(x, y, z) M "D Oxy Oxyz /V ""xy z '(u = f(x, y, z) = xyzD: x > 0, y > 0, z > 00(z = f(x, y)
$ $ ')'*
""'$$#$z =
f(x, y) '(f(x, y). +'((x; y) z "'1

!" " #z = Cf(x, y) = CC ∈ R$%&z = x2 + y2'C < 0 z = f(x, y) ( )C0
"O(0; 0; 0)&C = 1 x2 + y2 = 1 * +!" 1 &+z = f(x, y) "# z = 1 * +!" x2 + y2 = 11&"# z = 4 !" x2 + y2 = 4z = 4 ,z = x2 + y2 " "# x = 0%z = y2 yOz$-./%" z =
1 − x2

a2 − y2

b2 .

◁ ( x y!1 − x2

a2 − y2

b2 "0

− x2

a2 − y2

b2 ≥ 0 x2

a2 + y2

b2 ≤ 1. x2

a2 + y2

b2 = 1  ▷

! "#z = ln(y2−4x+8).

◁ $! "#z = ln(y2 − 4x + 8) % &(x; y)y2 − 4x + 8 > 0. 'y2 = 4x − 8 (
)(2; 0). 02 − 4 · 0 + 8 > 0, (0; 0) &(3; 0)! 02 − 4 · 3 + 8 < 0* !y2 − 4x + 8 &! +!+ ,!y2 − 4x + 8 < 0 -> 0
-.!! "#/
! &0y2 = 4x − 8
1▷

2! D = {(x; y; z)} %  &0xyz ,

u = f(x, y, z) x, y, zDD f(x, y, z)x, y, z f(x, y, z)f(x, y, z) f(x, y, z) = C = !"#, $ $%&'$$()&* u =
R2 − x2 − y2 − z2 +
1
x2 + y2 + z2 − r2
R > r

$*x2+y2+z2 = ρ2 *+$x2 + y2 + z2 = R2◁ )&* R2 − x2 − y2 − z2 ≥ 0
x2 + y2 + z2 − r2 > 0
x2 + y2 + z2 ≤ R2

x2 + y2 + z2 > r2
.

,*&*+r2 < x2 + y2 + z2 ≤ R2, r R-x2 + y2 + z2 = ρ2 = !"# $u =
R2 − ρ2 +
1
ρ2 − r2
$.&$x2 +

y2 + z2 = ρ2 r < ρ ≤ R u = u(x, y, z)/u(ρ) =
R2 − ρ2 +
1
ρ2 − r2
(r, R].

)*+$u′(ρ) = −
ρ
R2 − ρ2 −
ρ
(ρ2 − r2)3 = −ρ

1
R2 − ρ2 +
1
(ρ2 − r2)3

.

00 < r < ρ ≤ R $u′(ρ) < 0, *u(ρ) $ρ &01*+$u(ρ) ρ = Rx2 + y2 + z2 = R2.

0* f(M) &M0 ∈ Rn2A $f(M) M → M0&ε > 0 δ > 0|f(M) − A| ≤ ε 33

M ∈ ˙δ(M0)lim
M→M0 f(M) = AM M0!n = 2 M0 = M0(x0; y0) lim
M→M0 f(M) = A "

lim
x→x0
y→y0
f(M) = A#"

ρ, θM0(x0, y0) "
$$ Ox%&x − x0 = ρ cos θy − y0 = ρ sin θ lim
x→x0
y→y0
f(x, y) = lim
ρ→0 f(x0 + ρ cos θ, y0 + ρ sin θ).
1.2.9(1)

x, y "
$ &&ρ'()*'(++ ,θ,
lim
x→x0
y→y0
f(x, y) ,!M0 - &
D f(M)%&"
M0 f(M) !f(M) M0 &.

A f(M) M → M0$&ε > 0 δ > 0|f(M) − A| ≤ ε M ∈ D ∩ ˙δ(M0)lim
M→M0 f(M) = Alim
M→M0 f(M) = A ()