Линейная алгебра и математический анализ

Федеральное государственное образовательное бюджетное  
учреждение высшего образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(Финансовый университет)
Новороссийский филиал

Н.В. Королёва

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 
И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

 
Учебно-методическое пособие

МОСКВА 
2020

УДК 512
ББК 22.16 
 
К 68
 

Рецензенты:
Зинченко А.Л. — начальник управления информационных 
систем ПАО «НМТП»;
Захарова Е.Н. — кандидат физико-математических наук, 
доктор экономических наук, профессор, профессор кафедры экономики и управления ФГБОУ ВО «Адыгейский государственный 
университет».

 
Королёва Н.В.
К 68 
 
Линейная алгебра и математический анализ: Учебно-методическое пособие / Н.В. Королёва. — М: Прометей, 2020. — 132 с.

 
ISBN 978-5-00172-014-0

Учебно-методическое пособие содержит краткие теоретические сведения по некоторым разделам линейной алгебры и математического анализа. Представлены решения типовых задач, 
показано применение математических методов к прикладным 
экономическим задачам. Приводятся задания для контрольных 
работ. 
Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов, обучающихся по направлениям подготовки 38.03.02 «Менеджмент», 38.03.01 «Экономика», 38.03.05 «Бизнес-информатика», а также для преподавателей вуза, специалистов-практиков. 
Может использоваться при преподавании дисциплин «Математика», «Компьютерный практикум», «Анализ данных», «Финансовая математика».

Рекомендовано кафедрой «Математика, информатика и общегуманитарные науки» (Протокол № 5 от 26.12.2019).
Рекомендовано к изданию Учёным советом Новороссийского 
филиала Финансового университета при Правительстве РФ (Протокол № 22 от 26.03.2020)

 
©  Королева Н.В., 2020
ISBN 978-5-00172-014-0 
© Издательство «Прометей», 2020

—   3  —

О ГЛ А ВЛ Е Н И Е

Ведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Раздел 1. Элементы линейной алгебры . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.1. Матрицы и определители. Основные понятия  . . . . 7
1.2. Действия над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Определитель матрицы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5. Линейная зависимость строк матрицы . . . . . . . . . 24
1.6. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Задания по разделу 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Раздел 2. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . 29
2.1. Основные понятия и оределения . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Формулы Крамера  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3. Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4. Решение систем линейных уравнений  
с помощью обратной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5. Использование систем линейных уравнений 
при решении  практических  задач  . . . . . . . . . . . . 38
Задания по разделу 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Раздел 3. Элементы математического анализа . . . . . . . 49
3.1. Определение функции  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2. Пределы и непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3. Методы вычисления предела функции . . . . . . . . . 54
Задания по разделу 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

—   4   —

Оглавление

Раздел 4. Дифференциальное исчисление  . . . . . . . . . . . 60
4.1. Определение производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2. Правила дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3. Экономическое приложение производной . . . . . . . 68
Задания по разделу 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Раздел 5. Интегральное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1. Определение первообразной функции . . . . . . . . . . 79
5.2. Правила интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3. Определённый интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.4. Использование понятия определенного 
интеграла в экономике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Задания по разделу 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Варианты контрольной работы №1 . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Варианты контрольной работы №2 . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Примеры решения некоторых задач математического 
анализа посредством MSExcel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

—   5  —

В В Е Д Е Н И Е

Цель настоящего учебного пособия — помочь 
студентам в организации занятий при изучении общего курса математики. Курс математики в системе 
подготовки экономиста направлен на освоение необходимого математического аппарата, помогающего 
анализировать, моделировать и решать прикладные 
экономические задачи. Изучаемые в математике методы и модели являются эффективными методами проведения экономических исследований, элементами 
общей культуры.
Важную часть подготовки современных экономистов составляют математические дисциплины. Владение математическим инструментарием позволяет 
выполнять различные расчеты, строить и использовать модели экономических процессов. Выпускникам 
необходимо не только обладать глубокими знаниями 
по своей специальности, но и применять их в решении 
профессиональных проблем. Широкие возможности 
открываются перед студентами, если они хорошо освоят основы линейной алгебры, методы дифференциального и интегрального исчисления, научатся решать 
прикладные задачи. Решение задач прикладной экономики на практических занятиях по высшей математике 
позволит преподаватель продемонстрировать междисциплинарную связь.

—   6   —

Введение

В связи с этим в учебном пособии уделено особое 
внимание использованию методов линейной алгебры 
при решении практических задач, экономическому 
приложению производной, применению производной 
в задачах с экономическим содержанием, использование понятия определенного интеграла в экономике. Так 
же представлены примеры применения электронных 
таблиц при решении задач математического анализа.

—   7  —

Ра з дел 1.  

Э Л Е М Е Н Т Ы  Л И Н Е Й Н О Й 

А Л Г Е Б Р Ы

1.1. Матрицы и определители. 
Основные понятия

Определение 1. Матрицей размерности m × n называется прямоугольная таблица из элементов любой 
природы, имеющая  m  строк  и  n  столбцов

aij — это элементы матрицы А, где i — номер строки, 
в которой находится элемент  j — номер столбца.
Определение 2. Строка матрицы называется нулевой, если все её элементы равны нулю.
Определение 3. Если хотя бы один из элементов 
строки матрицы не равен нулю, то строка называется 
ненулевой.
Пример 1. 
Первая и третья строки ненулевые, вторая нулевая. 

—   8   —

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

1
3
2
0
0
0
1
0
0












Определение 4. Нулевой столбец — это столбец, где 
все элементы равны нулю.
Определение 5. Ненулевой столбец — это столбец, 
где хотя бы один из элементов не равен нулю
Определение 6. Диагональ матрицы, проведённая 
из левого верхнего угла в правый нижний угол, называется главной.
Определение 7. Диагональ, проведённая из левого 
нижнего угла в правый верхний угол, называется побочной.
Определение 8. Если у матрицы количество строк 
равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной и обозначается 
n n
A ×

Определение 9. Если все элементы матрицы равны 
нулю, то она называется нулевой. 
Определение 10. Если матрица состоит из одной 
строки, то она называется вектор-строкой.
Пример 2. 
(
)
2
6
0
À =
 
Определение 11. Если матрица состоит из одного 
столбца, то она называется вектор-столбцом.
Определение 12. Если у квадратной матрицы элементы, стоящие на главной диагонали, не равны нулю, 
а все остальные элементы равны нулю, то матрица называется диагональной.
Пример 3. Диагональная матрица.

3
0
0
0
1
0
0
0
6
À




= 



−



—   9  —

1.2. Действия над матрицами

Определение 13. Если у диагональной матрицы 
по главной диагонали стоят единицы, то она называется единичной. 
Единичную матрицу обычно обозначают символом E.
Пример 4.

1
0
0
0
1
0
0
0
1
Å




= 






Определение 14. Если у матрицы все элементы, 
расположенные ниже (или выше) главной диагонали, 
равны нулю, то такая матрица называется треугольной.
Пример 5. 

2
1
8
0
4
9
0
0
1
À
−




= 






,  

1
0
0
6
3
0
7
1
1
Â




= 



−



1.2. Действия над матрицами

Определение 15.  Произведением матрицы A на число k называется матрица B = k · A  того же размера, полученная из исходной умножением на заданное число всех 
ее элементов: bij = k · aij. 
Пример 6. Умножим число 3 на матрицу.

1
3
3
9
3
0
3
0
9




⋅
=




−
−



 
Пример 7. Умножим 1
2  на матрицу. 

—   10   —

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

1
5
1
2
2
1
2
5
1
1
0
1
4
0
2
2
2
12
7
9
7
9
6
2
2













⋅
=















Свойства умножения матрицы на число.
• 1 · A = A 
• 0 · A = Θ, где Θ — нулевая матрица
• k · (A + B) = k · A + k · B 
• (k + n) · A = k · A + n · A
• (k · n) · A = k · (n · A)
Определение 16.  Суммой двух матриц A и B одинакового размера m n
×
называется матрица С=A+B, элементы которой 
ij
ij
ij
c
a
b
=
+
 для i=1,2,3...,m;  j=1,2,…n 
(матрицы складываются поэлементно)
Определение 17.  Аналогично сложению, при вычитании матриц одного размера матрицы вычитаются 
поэлементно, т.е. 
ij
ij
ij
c
a
b
=
−

Пример 8. 

Сложить матрицы 
12
1
5
0
F
−


= 

−



 и 
4
3
15
7
G
−
−


= 



Решение.
Для того чтобы сложить матрицы, необходимо 
сложить их соответствующие элементы:

12
1
4
3
5
0
15
7
F
G
−
−
−




+
=
+
=




=



      

12
1
4
3
5
0
15
7
F
G
−
−
−




+
=
+
=




=





12
( 4)
1 ( 3)
8
4
5 15
0 7
10
7
+ −
− + −
−




=




− +
+





Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

—   11  —

1.2. Действия над матрицами

Пример 9.
Найти разность матриц

3
5
1
2
0
3
À


= 

−



  и  
2
1
2
3
4
5
Ñ
−


= 




Решение.

(
)
3
5
1
2
1
2
3
2
5 1
1 2
5
4
2
0
3
3
4
5
2 3
0
4
3 5
5
4
À
Ñ
−
− −
−
−







−
=
−
=
=







−
− −
−
−
−
−








(
)
3
5
1
2
1
2
3
2
5 1
1 2
5
4
1
2
0
3
3
4
5
2 3
0
4
3 5
5
4
2
Ñ
−
− −
−
−
−








−
=
−
=
=








−
− −
−
−
−
−
−









Определение 18. Пусть матрица A имеет размер 

m k
×
, а матрица B размера k n
×
. То есть число столбцов 
матрицы А равно числу строк матрицы В. Тогда произведение матриц 
m k
k n
A
B
×
×
⋅
 называется такая матрица 

m n
C × , каждый элемент которой 
ij
c  равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы -го столбца матрицы B. 

1
,
1,2,...,
;
1,2,..., .

k

ij
is sj
s
ñ
a b
i
m j
n

=
=
=
=
∑

Свойства умножения матриц.
• (
)
(
)
A B C
A
B C
⋅
⋅
=
⋅
⋅
, (свойство ассоциативности)
• 
(
)
(
)
k
A B
k A
B
⋅
⋅
=
⋅
⋅
, где k — число.
• 
(
)
A B
C
AB
AC
+
=
+
 (свойство дистрибутивности)
• E A
A E
⋅
=
⋅
 — умножение на единичную матрицу.
• AB
BA
≠
 — произведение матриц не коммутативно

Пример 10. Найти матрицу C равную произведению матриц

4
2

9
0
À


= 




, 
3
1
3
4
Â


= 

−



—   12   —

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Решение.

(
)
(
)

4
2
3
1
4 3 2
3
4 1 2 4
6
12
*
*
9
0
3
4
9 3
0
3
9 1 0 4
27
9
À
Â
⋅ + ⋅ −
⋅ + ⋅

 





=
=
=

 





−
⋅ +
⋅ −
⋅ +
⋅

 






(
)
(
)

4
2
3
1
4 3 2
3
4 1 2 4
6
12
*
*
9
0
3
4
9 3
0
3
9 1 0 4
27
9
À
Â
⋅ + ⋅ −
⋅ + ⋅

 





=
=
=

 





−
⋅ +
⋅ −
⋅ +
⋅

 






Пример 
11. 
Найти 
произведение 
матрицы 

5
8
4
6
9
5
4
7
3
P
−




=
−




−

  

на матрицу 

2

 
3

1

R




= −







Решение.

(

(
)

5
8
4
2
6
9
5
3
5 2
8 ( 3)
( 4) 1
6 2
9 ( 3)
( 5) 1
4 2 7
4
7
3
1
18
20
16

−

 


 

−
⋅ −
=
⋅ +
⋅ −
+ −
⋅
⋅ +
⋅ −
+ −
⋅
⋅ + ⋅

 


 

−

 

= −
−
−
)
2
8 ( 3)
( 4) 1
6 2
9 ( 3)
( 5) 1
4 2 7 ( 3)
( 3) 1
+
⋅ −
+ −
⋅
⋅ +
⋅ −
+ −
⋅
⋅ + ⋅ −
+ −
⋅

(

(
)

5
8
4
2
6
9
5
3
5 2
8 ( 3)
4
7
3
1
18
20
16

−

 


 

−
⋅ −
=
⋅ +
⋅ −

 


 

−

 

= −
−
−

Определение 19. Транспонирование матрицы — 
переход от матрицы А к матрице А’, в которой строки 
и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. 
Обозначается АТ  или А’.
Свойства транспонированной матрицы
• Если матрица A имеет размер n×m, то транспонированная матрица AT имеет размер m×n;
• (AT)T = A;
• (k · A)T = k · AT;
• (A + B)T = AT + BT;
• (A · B)T = BT · AT.
Пример 12. Транспонировать матрицу

1
0
2
5
4
7
6
4
6
Â
−
−




= −
−




−
−

