Электромагнитные поля и волны: сборник задач и упражнений

Боков Л.А., Мандель А.Е.,  

 Соколова Ж.М., Шангина  Л.И. 

 
 
 
 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ 

ПОЛЯ И ВОЛНЫ:  

 сборник задач и упражнений 

 
 

Учебное пособие 

 
 
 

 

 
 
 
 
 

 

Томск – 2014 
 

Министерство образования и науки Российской Федерации 

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное 

учреждение высшего профессионального образования 

 

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ 

УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) 

 

Кафедра сверхвысокочастотной и квантовой радиотехники (СВЧиКР) 

 
 
 
 
 

Л.А. Боков, А.Е. Мандель Соколова Ж.М., Шангина Л.И. 

 
 

 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ВОЛНЫ: 

сборник задач и упражнений 

 

Учебное пособие 

 

 
 

Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим центром 

высшего профессионального образования  для межвузовского 

использования в качестве учебного пособия для  студентов, обучающихся 

по направлениям подготовки  бакалавров 11.03.02 (210700.62) 

«Инфокоммуникационные технологии и системы связи», 11.03.01 
(210400.62)  «Радиотехника» и специальности 11.05.01 (210601.65)  

«Радиоэлектронные системы и комплексы» 

 

 
 
 
 

 
 
 

2014 

 

 
УДК 537.8(075.8) + 621.371.3(075.8) 
 
 

 

 

Рецензенты: 

Зав. каф. радиотехники  Сибирского федерального университета, канд. 

техн. наук, профессор Ю П. Саломатов 

Д-р техн. наук, профессор ин-та мониторинга климатич. и экологич. 

систем СО РАН А.А. Тихомиров 

Д-р физ.-мат. наук, профессор Томского гос. ун-та А.П. Коханенко 
 
 
 
Боков Л.А. 
Б786 Электромагнитные поля и волны: сборник задач и упражнений. 

Учебное пособие/ / Боков Л.А., А.Е. Мандель, Соколова Ж.М.,  Шангина 
Л.И.– Томск : Томск. гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 2014. – 184 с. 

 

Учебное пособие содержит материалы практических занятий,  

охватывающие все разделы курса «Электромагнитные поля  и волны». 
Представлены решения широкого круга задач для практических занятий, 
излагаются вопросы теории, необходимые для решения задач. Представлены 
вопросы и задачи по элементам векторного анализа.  

Учебное пособие предназначено для бакалавров направлений 

подготовки 11.03.02 (210700.62) «Инфокоммуникационные технологии и 
системы связи», 11.03.01 (210400.62)  «Радиотехника», специалистов  
направления подготовки  11.05.01 (210601.65)  «Радиоэлектронные системы и 
комплексы» 

 
 
УДК 537.8(075.8) + 621.371.3(075.8) 
ББК 22.336я73 
 
 
 
 

 Л.А. Боков, А.Е. Мандель, 

Соколова Ж.М.,  Шангина Л.И..
2014

 Томск. гос. ун-т систем упр. 

и радиоэлектроники,  2014

 

Содержание 

Глава 1. Элементы векторной алгебры и векторного анализа ................... 8 

1.1. Сведения из векторной алгебры и векторного анализа ................... 8 
1.2. Поля и операции векторного анализа ................................................ 9 
1.3. Криволинейные системы координат ............................................... 16 
1.4. Примеры решения задач ................................................................... 19 
1.5. Задачи для самостоятельного решения ........................................... 29 

Глава 2. Уравнения Максвелла .................................................................... 33 

2.1. Краткие теоретические сведения ..................................................... 33 
2.2. Примеры решения задач ................................................................... 37 
2.3. Задачи для самостоятельного решения ........................................... 52 

Глава 3. Электростатическое поле .............................................................. 59 

3.1. Краткие теоретические сведения ..................................................... 59 
3.2. Примеры расчета электростатических полей ................................. 62 
3.3. Задачи для самостоятельного решения ........................................... 74 

Глава 4. Электромагнитное поле постоянных токов ................................. 81 

4.1. Электрическое поле постоянного тока ............................................ 81 
4.2. Магнитное поле постоянного тока .................................................. 82 
4.3. Энергия магнитного поля постоянного тока .................................. 85 
4.4. Индуктивность и взаимная индуктивность .................................... 85 
4.5. Примеры решения задач ................................................................... 86 
4.6. Задачи для самостоятельного решения ........................................... 96 

Глава 5. Плоские электромагнитные волны ............................................. 100 

5.1. Плоские волны в безграничных средах ......................................... 100 
5.2. Отражение и преломление плоских волн от границы раздела двух 

сред ................................................................................................................... 108 

5.3. Задачи для самостоятельного решения ......................................... 115 

Глава 6. Излучение электромагнитных волн ........................................... 119 

6.1. Краткие теоретические сведения ................................................... 119 
6.2. Примеры решения задач ................................................................. 125 
6.3. Задачи для самостоятельного решения ......................................... 133 

Глава 7. Электромагнитные поля в направляющих системах ................ 137 

7.1. Краткие теоретические сведения ................................................... 137 
7.2. Примеры решения задач ................................................................. 147 
7.3. Задачи для самостоятельного решения ......................................... 157 

Глава 8. Электромагнитные поля в объемных резонаторах ................... 163 

8.1. Краткие теоретические сведения ................................................... 163 
8.2. Примеры решения задач ................................................................. 174 
8.3. Задачи для самостоятельного решения ......................................... 179 

Список литературы ..................................................................................... 184 

 

Введение 

Материал предлагаемого студентам пособия содержит разобранные 

варианты практических занятий, охватывающие все разделы курса 
«Электромагнитные поля и волны». Разделы пособия построены по единому 
принципу. В начале каждого практического занятия кратко излагаются 
теоретические сведения. Приведенные формулы являются справочным 
материалом, имеющим целью экономию времени учащегося при решении 
предложенных задач и необходимы для самостоятельной работы студентов. 
Во второй части занятия приводятся подробные решения ряда типичных 
задач. В третьей части занятия предлагаются задачи для самостоятельного 
решения. Цель данного пособия помочь студентам усвоить лекционный курс. 

Пособие написано сотрудниками кафедры сверхвысокочастотной и 

квантовой радиотехники Томского государственного университета систем 
управления и радиоэлектроники. Задачи, приведенные в пособии, частично 
заимствованы из различных учебных пособий и монографий, а в основном 
разработаны преподавателями кафедры. Для усвоения материала требуются 
знания основ высшей математики, читаемых в вузах. В связи с этим первая 
глава пособия содержит элементы векторной алгебры и векторного анализа. 

Настоящее 
учебно-методическое 
пособие 
предназначено 
для 

бакалавров направлений подготовки 210700.62 «Инфокоммуникационные 
технологии и системы связи», 210400.62 «Радиотехника», специалистов 
направления 
подготовки 
210601.65 
«Радиоэлектронные 
системы 
и 

комплексы». 

Список условных обозначений 

A – работа, Дж . 

B


 – магнитная индукция, Тл (
2
Вб м ). 

C  – емкость, Ф. 
c  – скорость света в вакууме, 
8
3 10 м с
с  
. 

D


 – электрическое смещение (электрическая индукция), 
2
Кл м . 

E


 – напряженность электрического поля, В м . 

e – заряд электрона, 
19
1,6 10
Кл
e

 

. 

F


 – сила, Н. 

f  () – рабочая частота, Гц (круговая частота, рад с). 

H


 – напряженность магнитного поля, А м. 

I  – электрический ток, А. 
J , j , 
Sj  – плотность электрического тока, плотность поверхностного тока, 

2
А м . 

k , k



 – волновое число и волновой вектор, 1 м. 

L, M  – индуктивность и взаимная индуктивность, Гн. 
m – масса электрона, 
31
9,11 10
кг
m



. 

M


 – вектор намагниченности среды, Тл (
2
Вб м ). 

n  – показатель преломления среды. 
p


 – импульс частицы, кг м с

. 

e
P


 – дипольный момент, Кл м

. 

P , 
T
P  – мощность и мощность тепловых потерь, Вт. 

P


 – вектор поляризации среды, 
2
Кл м . 

q – величина электрического заряда, Кл. 

r


 – радиус-вектор точки. 

, U  – электрические потенциал и напряжение, В. 
, 
фv  – фазовая скорость распространения ЭМВ в среде, м с. 

гр
v  – групповая скорость, м с. 
W , 
Е
W , 
M
W  – энергия, электрическая энергия, магнитная энергия ЭМП, Дж

. 
w – объемная плотность энергии электромагнитной поля, 
3
Дж м . 

C
Z  – характеристическое (волновое) сопротивление среды, Ом . 

0
W  – характеристическое (волновое) сопротивление вакуума, 
0
120 Ом
W 

. 

0x


, 
0
y


, 
0z


 – орты декартовой системы координат. 

0r


, 
0



, 
0z


 – орты цилиндрической системы координат. 

0r


, 
0



, 
0



 – орты сферической системы координат. 

 – коэффициент затухания (потерь) в среде, 1 м. 
 – фазовая постоянная распространения волны, 1 м. 
  – постоянная распространения волны, 1 м (
i
    ). 

 – угол потерь. 
  – глубина проникновения электромагнитного поля, м. 
 – абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, Ф м. 

r  – относительная диэлектрическая проницаемость среды, 
0
r    . 

0  – диэлектрическая проницаемость вакуума, 

9
12

0

1
10
8,85 10
Ф м

36



 






. 

 – удельная проводимость среды, См м. 

0
  – магнитная проницаемость вакуума, 
7

0
4
10
Гн м

  
. 

 – абсолютная магнитная проницаемость, Гн м. 

r
  – относительная магнитная проницаемость, 
0
r
    . 

М
 , 
Э
  – магнитная и электрическая восприимчивости среды. 

 ,  ,  – объемная, поверхностная, линейная плотности электрического 
заряда, соответственно 
3
Кл м , 
2
Кл м , Кл м. 

 , 
ik
  – магнитный поток и потокосцепление, Вб. 

  (
0
 ) – длина волны в среде (вакууме), м. 




 – вектор Пойнтинга, 
2
Вт м . 

ЭДС, Э  – электродвижущая сила, В. 

Глава 1. Элементы векторной алгебры и векторного 

анализа 

1.1. Сведения из векторной алгебры и векторного 
анализа 

Рассмотрим 
декартову 
систему 
координат. 
Соответствующие 

направления осей X , Y , Z  декартовой системы координат задаются 
единичными векторами 𝑥0
     , 𝑦0
     , 𝑧0
    . 

Любой вектор в декартовой системе координат можно представить в 

виде разложения: 
 
o
z
y
x
z
A
y
A
x
A
A








0
0
 
(1.1) 

где 
x
A , 
y
A , 
zA  – проекции вектора A

  на оси X , Y , Z  соответственно 

(компоненты вектора A

 ). 

 

Рис. 1.1. Компоненты вектора 

Сложение двух векторов сводится к суммированию их компонент: 

 
0
0
0
(
)
(
)
(
)
x
x
y
y
z
z
A
B
x A
B
y A
B
z
A
B














 
(1.2) 

Скалярное произведение двух векторов 

,
A B  есть скаляр, который 

вычисляется по следующим правилам: 

 
(
)
cos
x
x
y
y
z
z
AB
AB
AB
A B
A B
A B













 
(1.3) 

где  𝛼 - угол между направлениями векторов  𝐴  и 𝐵  . 

Векторное произведение двух векторов есть вектор, перпендикулярный 

исходным векторам и направленный в сторону движения правого винта, если 
вращать от первого вектора ко второму по наименьшему углу. 

Y

X

X

A

0

Z

Рис. 1.2. К определению векторного произведения 

Зададим направление векторного произведения ортом 
0
V . Тогда 

векторное произведение двух векторов будет: 

 
 𝐴  𝐵   = 𝑉  0𝐴𝐵𝑠𝑖𝑛𝛼 =  

𝑥0
     
𝑦0
     
𝑧0
    

𝐴𝑥
𝐴𝑦
𝐴𝑧

𝐵𝑥
𝐵𝑦
𝐵𝑧

 = 𝑥0
      𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐵𝑦𝐴𝑧 − 

−𝑦0
      𝐴𝑥𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑥 + 𝑧0
     𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥  
(1.4) 

где   – угол между направлениями векторов. 

Двойное векторное произведение может быть вычислено как 

 
 𝐴  𝐵  , 𝐶   = 𝐵   𝐴 , 𝐶  − 𝐶 (𝐴 , 𝐵  )   
(1.5) 

Для смешанного произведения существует правило перестановки: 

 






A
C
B
B
A
C
C
B
A


















 
(1.6) 

1.2. Поля и операции векторного анализа 

Для 
описания 
физических 
полей, 
к 
которым 
относятся 

электромагнитные поля, используются их математические модели – 
скалярные и векторные поля. Скалярные и векторные величины, при 
описании полей в заданном пространстве являются функциями положения 
точки M , т.е. являются функциями координат. Совокупность значений 
некоторой величины (скалярной или векторной), отнесенных каждой точке 
пространства, называется полем этой величины. Если величина скалярная, 
это поле называется скалярным. Если величина векторная, то поле будет 
векторным. 

1.2.1. Скалярное поле 

Пусть в каждой точке пространства задана некоторая скалярная 

величина 




, ,
U
U M
U x y z


, которая характеризуется своим числовым 

значением. В этом случае говорят, что этой скалярной величиной задано 

,
A B





A

B


0
V

скалярное поле, а функцию 


, ,
U x y z  называют функцией поля. Таким 

полем может быть поле скалярного потенциала 




, ,
f M
f x y z
 

, поле 

температур в неравномерно нагретом теле 


, ,
T
f x y z

, плотность массы 

неоднородного тела 


, ,
m
f x y z

. 

Геометрической 
характеристикой 
скалярного 
поля 
являются 

поверхности уровня или эквипотенциальные поверхности – поверхности, на 
которых скалярная функция U  имеет одно и то же значение: 



, ,
const.
U x y z 
 

 
Зададим функцию 


, ,
U
U x y z

, описывающую скалярное поле. 

Выберем произвольную точку 


, ,
M x y z  этого поля и произвольный луч l , 

выходящий 
из 
точки 
M  
в 
направлении 
единичного 
вектора 



0
cos ,cos ,cos
l 






, где ( , , )
    – углы, образованные вектором 
0l  с 

осями координат. 

Производной функции 


, ,
U
U x y z

 в точке M  по направлению l  

называют предел отношения приращения функции 
U

 в направлении l  

величины перемещения l
  при 
0
l
 
: 

 

0
lim
.

l

U
U

l
l
 







 

 
Производная по направлению дает скорость изменения функции в 

заданном направлении. Формула вычисления производной по направлению: 

 

 
cos
cos
cos .
U
U
x
U
y
U
z
U
U
U

l
x
l
y
l
z
l
x
y
z















 
 












(1.7) 

 
Градиентом скалярного поля, задаваемого скалярной функцией 



, ,
U x y z , называется вектор, компоненты которого совпадают со 
значениями соответствующих частных производных этой функции 

 

 
0
0
0
grad
.
U
U
U
U
x
y
z
x
y
z










 

(1.8) 

Рис. 1.3. К определению производной по направлению 

Градиент скалярной функции U – gradU  – вектор, указывающий 

направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий 
модуль, равный скорости этого возрастания. 

Свойства градиента: 
1. 


1
2
1
2
grad
grad
grad
U
U
U
U



; 

2. 


1
2
1
2
2
1
grad
grad
grad
U
U
U
U
U
U
 


. 

Выражение градиента в символической форме с помощью оператора 

Гамильтона 
0
0
0
z
z
y
y
x
x















: 

grad
.
U
U
 
 

1.2.2. Векторное поле 

Пусть в каждой точке пространства задана некоторая векторная 

величина 


M
A

 
или 
три 
ее 
проекции 
на 
координатные 
оси  



o
z
y
x
z
A
y
A
x
A
M
A








0
0
. В этом случае говорят, что этой векторной 

величиной задано векторное поле. Векторными полями являются, например: 
электрическое поле точечного заряда; поле сил тяготения; поле магнитной 
напряженности и др. 

Графически векторное поле удобно изображать с помощью векторных 

линий. Векторной линией векторного поля 


M
A

 называется такая линия в 

пространстве, в каждой точке которой вектор A

  направлен по касательной к 

ней. 

l

M

M

l


x


y


z


X

Y

Z





