Электромагнитные поля и волны

 

 
 
 

В.А. Замотринский, Ж.М. Соколова,  

Е.В. Падусова, Л.И. Шангина 

 
 
 
 
 
 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 

И ВОЛНЫ 

 

Учебное пособие 

 
 

Рекомендовано Сибирским региональным отделением 
учебно-методического объединения высших учебных 
заведений РФ по образованию в области радиотехники, 
электроники, биомедицинской техники и автоматизации 
для межвузовского использования в качестве учебного 
пособия для студентов, обучающихся по направлениям 

подготовки 210300 «Радиотехника» 

и 210400 «Телекоммуникации» 

 

 

ТОМСК 

 

2012 
 

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ  
УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) 
 
Кафедра сверхвысокочастотной и квантовой радиотехники 
 

 

 

В.А. Замотринский, Ж.М. Соколова,  

Е.В. Падусова, Л.И. Шангина 

 
 
 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 

И ВОЛНЫ 

 

Учебное пособие 

 
 
 
по практическим занятиям по дисциплинам  «Электромагнитные  
      поля и волны» , Электродинамика и  распространение радиоволн» 
 для направлений подготовки Радиотехника –210300 и  
Телекоммуникации – 210400  

 

 

ТОМСК 

 

2012 
 

УДК 537.811+621.371  
ББК 22.336+34.206.34 
Э45 

 

Рецензенты: 

д-р физ. мат. наук проф. Томск, гос. ун-та В.Л. Якубов, 
д-р техн. наук проф. Ин-та мониторинга климатич. 
и экологич. систем СОРАН А.А. Тихомиров, 
зав каф. радиофизики Красноярского ГТУ 
канд. техн. наук Ю.П. Саломатов 
 
 

Электромагнитные поля и волны: учеб, пособие / Замотринский В.А., 
Соколова Ж.М., Падусова Е.В., Шангина Л.И. –Томск: Томск, гос.ун-т 
систем упр.и радиоэлектроники, 2012. — 188 с. 

ISBN 5-86889-318-2 

 
Излагается кратко теория электромагнитных полей и волн: 

уравнения Максвелла, электростатические поля, электромагнитное поле 
постоянных токов, плоские электромагнитные волны, поведение векторов 
электромагнитного поля на границе раздела двух сред, элементарные 
излучатели волн в ближней и дальней зонах, поля и волны в волноводных 
передающих линиях. Представлены решения типовых задач статических 
зарядов, постоянных и переменных полей. 

Учебное пособие предназначено для проведения практических 

занятий 
по 
дисциплинам 
«Электромагнитные 
поля 
и 
волны».,  

«Электродинамика и распространение радиоволн», для студентов, 
обучающихся по направлениям подготовки Радиотехника – 210300, 
Телекоммуникации – 210400 и по специальностям Физика и техника 
оптической связи – 210401, Радиотехника – 210302, Бытовая 
радиоэлектронная аппаратура – 210303, Радиоэлектронные системы - 
210304, Аудиовизуальная техника – 210312, Защищенные системы связи – 
210403 очной, заочной, очно-зоачной форм обучения. 

 
                    
 
 
 

ISBN 5-86889-318-2   

   
                                 
© Замотринский В.А., Соколова Ж.М., 
 Падусова Е.В., Шангина Л.И., 2012 

       
 
 
© Томск, гос. ун-т систем упр 
  и радиоэлектроники, 2012 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение.......................................................................................................5 

Список условных обозначений..................................................................6 

1. Уравнения Максвелла.............................................................................8 

1.1 Уравнения максвелла в  интегральной и дифференциальной фор
мах.........................................................................................................8 

1.2 Материальные уравнения, граничные условия и энер
гия ЭМП ...............................................................................................9 

1.3 Примеры решения типовых задач.............................................11 

1.4 Задачи для самостоятельного решения.....................................29 

2. Электростатические поля .....................................................................37 

2.1. Электростатический потенциал. Уравнения для потенциа
ла. Поля, создаваемые заряженными телами.................................37 

2.2 Энергия электростатического поля. Емкость. Силы в элек
тростатическом поле.........................................................................39 

2.3.Примеры расчета электростатических полей...........................40 

2.4. Задачи для самостоятельного решения....................................55 

3. Электромагнитное поле постоянных токов........................................62 

3.1. Электрическое поле постоянного тока ....................................62 

3.2 Магнитное поле постоянного тока............................................64 

3.3 Энергия магнитного поля постоянного тока............................66 

3.4 Индуктивность и взаимная индуктивность..............................67 

3.5 Примеры решения типовых задач.............................................68 

3.6. Задачи для самостоятельного решения....................................78 

4. Плоские электромагнитные волны .....................................................82 

4.1. Плоские волны в безграничных средах ...................................82 

4.1.1 Примеры решения типовых задач..................................88 

4.2. Отражение и преломление плоских волн от плоской грани
цы раздела двух сред.........................................................................97 

4.2.1. Примеры решения типовых задач...............................101 

4.3 Задачи для самостоятельного решения...................................107 

5. Излучение электромагнитных волн элементарными излучателя
ми ..............................................................................................................110 

5.1. Краткие теоретические сведения............................................110 

5.2 Примеры решения типовых задач...........................................115 

5.3 Задачи для самостоятельного решения...................................126 

6. Электромагнитные поля в волноводах .............................................129 

6.1 Краткие теоретические сведения.............................................129 

6.2 Примеры решения типовых задач...........................................136 

6.3. Задачи для самостоятельного решения..................................152 

Приложение 1. Элементы векторного анализа ....................................157 

Приложение 2. Метод  разделения  переменных  в электроста
тике ...........................................................................................................169 

Литература ...............................................................................................180 

ВВЕДЕНИЕ 
Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для студентов, 

обучающимся по образовательным направлениям «Радиотехника» и «Телеком
муникация», и содержит материал по шести основным разделам дисциплины 

«Электромагнитные поля и волны».  

В каждом разделе кратко  изложены вопросы теории, необходимые для 

решения задач и приведены решения типовых задач. Предлагается также значи
тельное количество задач для самостоятельного решения. Условия задач иллю
стрируются рисунками, поясняющими выбор системы координат, размеров и 

прочей необходимой информации. 

В приложении 1 , в качестве справочного материала, приведены основные 

формулы и операции векторного анализа. Векторный анализ является «матема
тическим языком» электродинамики и поэтому умение свободно им пользо
ваться является необходимым при изучении этой дисциплины.  

В разделе «Приложение 2» приведена задача о нахождении потенциала 

между двумя изолированными электродами, заполненными неоднородной сре
дой, решение которой выполняется методом разделения переменных, а резуль
тат представлен в виде бесконечных рядов. Она рассчитана на любознательных 

студентов и полезна ввиду своей информативности. 

Задачи, приведенные в пособии, частично заимствованы из различных 

учебных пособий и монографий, а в основном  разработаны преподавателями 

кафедры. Для усвоения материала требуются знания основ высшей математики 

и общей физики в объемах, читаемых в вузах.  

Разделы:  уравнения Максвелла и электромагнитное поле постоянных то
ков написаны к.т.н., доц. Шангиной Л.И., электростатика – к.т. н., доц. Падусо
вой Е.В., плоские электромагнитные волны, излучение электромагнитных волн 

элементарными излучателями написаны к.ф.м.н., доц. Замотринским В.А., поля 

в волноводах и приложение 2 – доц. Соколовой Ж.М., приложение 1 - к.ф.м.н., 

доц. Замотринским В.А., к.т.н., доц. Шангиной Л.И., в оформлении пособия ак
тивное участие принимал студент гр. 152, ТУСУР Ноздреватых Б.Ф. 

СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 

А   -  работа, Дж 

B
r

      -  магнитная индукция, Тл (Вб/м2 )  

С       -  емкость, Ф  

с  
 - скорость света в вакууме, с=3⋅108 м/с 

D
r

    - электрическое смещение ( электрическая индукция), Кл/м2  

E
r

      - напряженность электрического поля, В/м 

е        -  заряд электрона, 
Кл
10
6,1
19
−
⋅
−
=
e
 

F
r

       - сила, Н 

f, (ω ) - рабочая частота, Гц, ( круговая частота, рад/с) 

H
r

      - напряженность магнитного поля, А/м 

I         -   электрический ток, А 

J, j, jS        -  плотность электрического тока, плотность поверхностного тока,  

А/м 2 

k,k

r

       -  волновое число, волновой вектор, 1/м   

L, M        - индуктивность и взаимная индуктивность, Гн 

m 
   -  масса электрона, 
31
10
11
,9
m
−
⋅
=
 кг 

M
r

       -  вектор намагниченности среды, Тл (Вб/м2 ) 

n         -  показатель преломления среды  

pr         - импульс частицы, кг⋅м/с 

eP
r

        -  дипольный момент, Кл·м 

P ,  PT    -  мощность и мощность тепловых потерь, Вт                                        

P
r

        -  вектор поляризации среды, Кл/м2 

q          -  величина электрического заряда, Кл 

rr
        -  радиус-вектор точки   

U
,
ϕ
  - электрические  потенциал и напряжение, В 

ϑ,vф   фазовая  скорость распространения электромагнитной волны в среде, м/c 

vгр        -  групповая скорость, м/c 

W, W Ε, W Μ  -  энергия, электрическая энергия, магнитная энергия ЭМП, Дж 

w       -  объемная плотность  энергии электромагнитной поля, Дж/м3 

ZС    -  характеристическое (волновое) сопротивление среды, Ом  

W0  -   характеристическое (волновое) сопротивление вакуума, W0 = 120π Ом 

0
0
0
z,
y
,
x
r
r
r
-  орты декартовой системы координат 

0
0
0
,
,
z
r
r
r
r
α
-  орты цилиндрической системы координат 

0
0
0
,
,
α
θ
r
r
rr
-  орты сферической системы координат 

α          -  коэффициент затухания (потерь) в среде, 1/м 

β          -  фазовая постоянная распространения волны, 1/м 
γ            -  постоянная распространения волны, 1/м (
α
β
γ
i
+
=
)  

∆             - угол потерь 

δ             -  глубина проникновения электромагнитного поля, м  
ε            - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, Ф/м 

rε
              -  относительная диэлектрическая проницаемость среды,   
0
r
/ ε
ε
=
ε
 

0ε            диэлектрическая проницаемость вакуума, 
12
9
0
10
85
,8
10
36

1
−
−
⋅
=
⋅
π
=
ε
 

Ф/м 

εˆ           тензор абсолютной диэлектрической проницаемости среды, Ф/м 
σ            -  удельная проводимость среды, См/м 

µ0            - магнитная проницаемость вакуума, 
7
0
10
4
−
⋅
= π
µ
Гн/м 

µ , 
r
µ     -абсолютная, Гн/м, и относительная, 

0
µ
µ
µ =
r
, магнитная проницае
мость  

m
χ ,
Э
χ  
-  магнитная и- электрическая восприимчивости среды 

ρ , ξ , τ   -  объемная, поверхностная, линейная плотности электрического заря
да, соответственно Кл/м3, Кл/м 2  , Кл/м 

Φ , 
IK
Ψ
     -  магнитный поток и потокосцепление, Вб  

λ, (λ0)          длина волны в среде (вакууме), м 

П
r

            -  вектор Пойнтинга, Вт/м2 

ЭДС, Э  
- электродвижущая сила, В 

 

1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 

В данном разделе рассматриваются темы: 

1. Уравнения Максвелла в  интегральной  и  дифференциальной  формах. 

Материальные уравнения  

2. Граничные условия.  Основные следствия из уравнений Максвелла. 

3. Связь между векторами электромагнитного поля. 

4. Определение ЭДС в контуре. Расчет  электромагнитной  энергии. 

1.1. Уравнения Максвелла в  интегральной и дифференциальной 

формах 

Закон полного тока (первое уравнение Максвелла) 

∫
=

L
I
ld
H

r
r

,                                                     (1.1) 

где 
∫
=
S
S
d
j
I

r
r

 - полный ток, пронизывающий площадку, опирающуюся на контур 

L.   Закон электромагнитной индукции      

                   
dt
dФ
l
d
E
L
−
=
∫

r
r

,                                                     (1.2) 

где  
S
d
B
Ф
S

r
r

∫
=
   - поток вектора магнитной индукции, пронизывающий пло
щадку S.  Тогда, второе уравнение Максвелла запишется в виде: 

S
d
B
dt
d
ld
E

S
L

r
r
r
r

∫
∫
−
=
.                                                    (1.3) 

Постулат Максвелла (третье уравнение Максвелла) 

                                 ∫
=
S
q
S
d
D

r
r

,                                               (1.4) 

где q – заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности S. 

Закон непрерывности линий магнитной индукции  (четвертое уравнение) 

∫
=
S
0
S
d
B

r
r

.                                                (1.5) 

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме: 

Плотность полного тока представляет сумму плотностей четырех токов 

j
j
j
j
j
см
пр
пер
ст
=
+
+
+
r
r
r
r
r
 ,                               (1.7) 

 
 
Выражения каждого из токов приведены в таблице ниже 

 
В каждой конкретной задаче присутствует один или несколько то
ков,  соответствующих условиям задачи. 

 1.2. Материальные уравнения, граничные условия и энергия ЭМП  

Связь векторов поля в некоторой материальной среде  представляется ма
териальными   уравнениями: 

   
M
H
H
B
0

r
r
r
r

+
µ
=
µ
=
,                                    (1.8) 

                                  
P
E
E
D
0

r
r
r
r

+
ε
=
ε
=
.                                     (1.9) 

 Здесь        M

r

 -   вектор намагниченности,  
H
M
m
0

r
r
χ
µ
=
,  Тл,                        (1.10) 

                   P

r

  - вектор поляризации среды,  
E
P
Э
0

r
r

χ
ε
=
, Кл/м2,            (1.11)          

где  χm=µr-1  магнитная восприимчивость и  χэ=εr-1 –электрическая восприим
чивость. 

         Вектор плотности тока проводимости    связан с вектором напряженности 

электрического поля законом Ома в дифференциальной форме 

                               
E
jПР

r
r

σ
=
 .                                             (1.12) 

j
H
rot

r
r

=
              (1.6а)

t

B
E
rot
∂

∂
−
=

r

r
           (1.6б)

ρ
=
D
div

r

          (1.6в)

 

0
B
div =

r

              (1.6г)

СМ
j
r

 

плотность тока 

смещения 

ПР
j
r

 

плотность тока 

проводимости 

ПЕР
j
r

 

плотность тока 

переноса 

СT
j
r

 

плотность сто
роннего тока 

t
D
см
j
∂
∂
=

r
r
 
E
пр
j

r
r

σ
=
 
ϑ
ρ
=

r
r
пер
j
 
первичный ис
точник поля 

СМ
j
r

 

плотность тока 

смещения 

ПР
j
r

 

плотность тока 

проводимости 

ПЕР
j
r

 

плотность тока 

переноса 

СT
j
r

 

плотность сто
роннего тока 

t
D
см
j
∂
∂
=

r
r
 
E
пр
j

r
r

σ
=
 
ϑ
ρ
=

r
r
пер
j
 
первичный ис
точник поля 

СМ
j
r

 

плотность тока 

смещения 

ПР
j
r

 

плотность тока 

проводимости 

ПЕР
j
r

 

плотность тока 

переноса 

СT
j
r

 

плотность сто
роннего тока 

t
D
см
j
∂
∂
=

r
r
 
E
пр
j

r
r

σ
=
 
 

 

первичный ис
точник поля 

Каждая  среда характеризуется  относительными проницаемостями – маг
нитной (µr) и  электрической (εr) и абсолютной удельной проводимостью σ. 

Материальные среды по своим свойствам делятся на однородные и неод
нородные, линейные и нелинейные, изотропные и анизотропные.  

Неоднородными  являются среды, в которых параметры 
σ
ε
µ
и
,
,
 являют
ся функциями координат. Нелинейными являются среды, в которых параметры 

σ
ε
µ
и
,
,
 являются функциями самих полей. Анизотропные среды отличаются 

от изотропных тем, что они в разных направлениях  обнаруживают различные 

свойства.  Для таких сред  
σ
ε
µ
и
,
,
 могут быть представлены  виде тензора. 

Тензор представляет матрицу, состоящую из 9 независимых элементов. Мате
риальные уравнения в этом случае приобретают вид:  

E
D

r
r

⋅
= ε
,   
H
B

r
r

⋅
µ
=
,   
Е
JПР

r
r

⋅
σ
=
.                               (1. 13) 

Переход от уравнений Максвелла в интегральной форме к уравнениям в 

дифференциальной форме осуществляется с помощью теорем  

Остроградского - Гаусса  (П1.19)    

           
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
∫
∫
=
S
V
dV
A
div
S
d
A

r
r
r
                                                 (1.14) 

и     Стокса (П1.26)  

∫
=
∫
S
L
S
d
A
rot
l
d
A

r
r
r
r

,                                                  (1.15)  

где вектором A

r

 может быть любой из 4 векторов E

r

,D

r

,B
r

,H

r

. 

Уравнения Максвелла  имеют единственное решение, соответствующее 

поставленной задаче, только в том случае, когда они подчинены граничным и 

начальным условиям. Граница может проходить между двумя диэлектриками: 

граница диэлектрик – диэлектрик (Д-Д) и между диэлектриком и металлом гра
ница  диэлектрик – металл (Д-М). Граничные условия непосредственно следу
ют из уравнений Максвелла и определяют поведение векторов поля на границе  

раздела двух  сред.