Теоретические основы электротехники. Ч. 1: Установившиеся режимы в линейных электрических цепях

 

Министерство образования и науки Российской Федерации 

 

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ 

УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) 

 
 
 
 

В.М. Дмитриев, А.В. Шутенков, В.И. Хатников, 

Т.В. Ганджа, Е.Б. Шандарова 

 
 
 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 

ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ 

 

Часть 1 

Установившиеся режимы 

в линейных электрических цепях 

 
 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Томск, 2015 

 

 
УДК 621.3.01(075.8) 
ББК 31.21я73 
Д 53 

 

Д 53 Дмитриев В.М., Шутенков А.В., Хатников В.И., Ганджа Т.В., 

Шандарова Е.Б. Теоретические основы электротехники.  
Ч. 1: Установившиеся режимы в линейных электрических 
цепях: Учебное пособие.– Томск: 2015.– 187 с. 
ISBN  

 

Рассмотрены установившиеся режимы в линейных электрических 

цепях постоянного и переменного тока с сосредоточенными и распределенными параметрами. 

Учебное пособие кроме теоретических сведений содержит приме
ры расчета электрических цепей. 

Книга подготовлена на кафедре моделирования и системного ана
лиза ТУСУРа и предназначена для студентов, обучающихся в областях 
электроники и наноэлектроники, радиотехники, автоматики и управления 
очной и дистанционной форм обучения. 

УДК 621.3.01(075.8) 
ББК 31.21я73 

 
Рецензенты:     д-р техн. наук, проф. Б.В. Лукутин, 
  
           д-р техн. наук, доцент Е.Н. Ивашкина 

 
 
 
 

 
 
 
 
ISBN  

© В.М. Дмитриев, А.В. Шутенков,  

В.И. Хатников, Т.В. Ганджа,  
Е.Б. Шандарова, 2015 

© ТУСУР, 2015 

 
 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение  .................................................................................... 6 
Тема 1. Основные понятия и законы  
электрических цепей .............................................................. 8 

1.1. Определение электрической цепи  ............................... 8 
1.2. Топологические характеристики цепи  ....................... 8 
1.3. Фундаментальные переменные цепи  ........................ 13 
1.4. Схемы электрической цепи  ....................................... 16 
1.5. Элементы электрических цепей  ................................ 17 
1.6. Классификация сигналов  ........................................... 23 
1.7. Понятие о компонентных и топологических  

уравнениях. Закон Ома. Законы Кирхгофа  .............. 27 

1.8. Модели электрической цепи.  

Анализ и синтез электрических цепей  ..................... 28 

1.9. Классификация электрических цепей  ....................... 30 

Тема 2. Анализ простейших линейных цепей при  
гармоническом воздействии  .............................................. 31 

2.1. Понятие гармонической функции  ............................. 31 
2.2. Метод комплексных амплитуд. Комплексные числа  

и основные операции над ними  ................................. 33 

2.3. Комплексные изображения гармонических  

функций  ....................................................................... 34 

2.4. Анализ RLC-цепей при гармоническом  

воздействии  ................................................................. 37 

2.5. Активная, реактивная, полная и  

комплексная мощности  .............................................. 41 

2.6. Баланс мощностей  ...................................................... 43 
2.7. Преобразования электрических цепей  ..................... 44 
2.8. Расчет электрических цепей с взаимной  

индуктивностью  .......................................................... 49 

2.9. Линейный трансформатор  ......................................... 53 

Тема 3. Частотные характеристики электрической цепи.  
Резонанс в электрических цепях  ....................................... 55 

3.1. Комплексные частотные характеристики  ................ 55 
3.2. Понятие о резонансе в электрических цепях  ........... 56 

3.3. Последовательный колебательный контур.  

Резонанс напряжений  ................................................. 57 

3.4. Параллельный колебательный контур.  

Резонанс токов  ............................................................ 60 

3.5. Резонанс в индуктивно связанных  

колебательных контурах  ............................................ 62 

Тема 4. Анализ разветвленных электрических цепей ... 64 

4.1. Общее представление о методах формирования 

уравнений модели цепи  .............................................. 64 

4.2. Методы, основанные на прямом применении  

законов Кирхгофа  ....................................................... 64 

4.3. Метод контурных токов  ............................................. 66 
4.4. Метод узловых напряжений  ...................................... 70 
4.5. Метод компонентных цепей  ...................................... 74 

Тема 5. Принципы и теоремы теории цепей  ................... 76 

5.1. Принцип наложения и метод наложения  ................. 76 
5.2. Принцип взаимности  .................................................. 77 
5.3. Принцип компенсации  ............................................... 77 
5.4. Теорема и метод эквивалентного генератора  .......... 78 

Тема 6. Четырехполюсники ................................................ 81 

6.1. Классификация четырехполюсников  ........................ 81 
6.2. Основные уравнения и первичные параметры  

четырехполюсников  ................................................... 82 

6.3. Схемы замещения четырехполюсников  ................... 85 
6.4. Характеристические параметры  

четырехполюсников  ................................................... 86 

6.5. Электрические фильтры  ............................................. 90 
6.6. Фильтры высоких порядков ....................................... 97 

Тема 7. Расчет электрических цепей при периодических  
несинусоидальных воздействиях  .................................... 105 

7.1. Метод расчета мгновенных установившихся значений 

переменных при действии несинусоидальных ЭДС  105 

7.2. Действующие периодические несинусоидальные  

токи и напряжения  .................................................... 109 

7.3. Активная мощность при периодических  

несинусоидальных токах и напряжениях  ............... 109 

7.4. Зависимость формы кривой тока от характера  

цепи при периодическом несинусоидальном  
напряжении  ............................................................... 110 

Тема 8. Трехфазные цепи  .................................................. 113 

8.1. Понятие о многофазных цепях и системах  ............ 113 
8.2. Симметричный режим трехфазной цепи  ................ 115 
8.3. Несимметричный режим трехфазной цепи  ............ 120 
8.4. Измерение мощности в трехфазных цепях  ............ 122 
8.5. Аварийные режимы в трехфазных цепях  ............... 125 
8.6. Вращающееся магнитное поле  ................................ 126 
8.7. Разложение несимметричной трехфазной системы  

напряжений и токов на симметричные  
составляющие  ........................................................... 129 

Тема 9. Установившиеся режимы в электрических  
цепях с распределенными параметрами ........................ 131 

9.1. Определение цепей с распределенными  

параметрами. Упрощенная теория линий  .............. 131 

9.2. Дифференциальные уравнения однородной линии  

и их решение для синусоидального режима  .......... 131 

9.3. Бегущие волны в линии  ........................................... 134 
9.4. Определение напряжения и тока в любой точке  

линии по заданным напряжению и току в начале  
или в конце линии  .................................................... 136 

9.5. Условия неискаженной передачи сигнала  

в линии  ....................................................................... 138 

9.6. Режим согласованной нагрузки ............................... 139 
9.7. Входное сопротивление линии ................................ 140 
9.8. Линия без потерь. Стоячие волны ........................... 140 

Приложение 1. Вопросы для самоконтроля  .................. 144 
Приложение 2. Контрольные задания  ............................ 154 
Приложение 3. Ответы на вопросы для  
самоконтроля  ...................................................................... 176 
Приложение 4. Ответы на контрольные задания  ........ 182 
Список литературы  ............................................................ 186 
 

ВВЕДЕНИЕ 

Учебное пособие предназначено для самостоятельной 

работы студентов, занимающихся по очной и дистанционной 
форме обучения и изучающих теорию линейных электрических цепей. Содержание данного пособия соответствует объему курсов «Теоретические основы электротехники» и «Основы теории электрических цепей» и отвечает требованиям 
ГОСТа по названным дисциплинам учебного плана подготовки инженеров радиоэлектронных специальностей. 

Основу пособия составляют материалы лекций, читае
мых ведущими преподавателями кафедры моделирования и 
основ теории цепей ТУСУРа в курсе «Теоретические основы 
электротехники». В текст пособия включен ряд дополнительных примеров, раскрывающих содержание разделов, а в 
ряде случаев для облегчения понимания теоретического материала опущено доказательство некоторых теорем. 

Большое внимание уделяется понятийно-определительной 

части материала (тема 1), на которой базируется весь остальной материал курса [1]. В теме 2 рассматривается анализ 
простейших электрических цепей при гармоническом воздействии [2]. Основным методом анализа является метод 
комплексных амплитуд (символический метод). Рассматриваются методы эквивалентных преобразований и расчета 
электрических цепей с взаимной индуктивностью. Частотные 
характеристики и резонанс в электрических цепях рассматриваются в теме 3. В теме 4 представлены все основные методы анализа разветвленных электрических цепей, подкрепляемые значительным количеством примеров. Принципы и 
теоремы теории цепей приведены в теме 5. Основные уравнения и параметры четырехполюсников подробно рассмотрены в теме 6 [3], включающей и разнообразные примеры. В 
теме 7 рассматриваются цепи с периодическими несинусоидальными сигналами. Трехфазные цепи представлены в теме 8. 

В заключительной теме 9 исследуются установившиеся режимы в линейных цепях с распределенными параметрами. 

Основная цель пособия – ввести студентов в круг поня
тий электрических цепей, познакомить с основными законами, действующими в электрических цепях, научить различным методам математического описания цепей в форме систем алгебраических и дифференциальных уравнений. 

Большое внимание уделяется понятию модели компонен
та, а модель цепи рассматривается как совокупность компонентных и топологических уравнений. 

Данное учебное пособие представляет собой твердую ко
пию электронного учебника, который в свою очередь является частью автоматизированного учебного практикума, состоящего из электронного учебника, компьютерной лаборатории 
[4] и электронного задачника. 
 
 
 

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ 

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 

1.1. Определение электрической цепи 

Общее определение электрической цепи (ЭЦ). Сово
купность элементов и устройств, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которой могут быть описаны с помощью понятий электродвижущей силы, тока и напряжения, называется электрической цепью. 

Формальное определение ЭЦ. С формальной точки зре
ния ЭЦ содержит три множества объектов 

C = (K, B, N), 

где K = {k1, k2, ... , kn} – множество компонентов цепи; 
В = {b1, b2, ... , bm} – множество ветвей цепи;  
N = {n1, n2, ... , nk} – множество узлов цепи. 

Компоненты цепи делятся на две группы: источники и 

приемники электрической энергии. 

К источникам электрической энергии (первичным ис
точникам) относятся различные устройства, в которых происходит преобразование химической, тепловой, механической и других видов энергии в электрическую. Примеры – 
аккумуляторы, батареи, гидрогенераторы. 

Приемники электрической энергии – это компоненты ЭЦ, 

в которых происходит преобразование электрической энергии в другие виды энергии, а также аккумулирование электрической энергии. Примеры – резисторы, диоды, электродвигатели и другие. 

1.2. Топологические характеристики цепи 

Каждый компонент цепи может иметь произвольное чис
ло выводов (связей). Выводы компонентов заканчиваются 
зажимами или полюсами. Соответственно компоненты называются многополюсниками (рис. 1.1, а) или двухполюсниками 
(рис. 1.1, б). Примерами многополюсников являются транзисторы, трансформаторы, а примерами двухполюсников – ди

оды, резисторы, индуктивности. Любая часть электрической 
цепи, имеющая два зажима (полюса), называется двухполюсником. Двухполюсник имеет условное изображение в 
виде прямоугольника с двумя выводами. Различают активные (А) и пассивные (П) двухполюсники (рис. 1.1, в) в зависимости от наличия (или отсутствия) источников энергии. 

 

Ki
n2

n1

ni

nm

       

 
Ki
n2
n1

           

 

А / П

n2

n1

 

а)                                      б)                                      в) 

Рис. 1.1. 

Выводы компонентов при включении их в цепь образуют 

ветви и узлы цепи. Точки объединения связей компонентов 
образуют множество узлов цепи. Ветвью может быть назван 
любой участок цепи, заключенный между двумя узлами при 
условии равенства токов на его входе и выходе (рис. 1.2, а, б), 
т.е. i1 = i2.. Ряд двухполюсных компонентов имеет два вывода, но при включении в цепь характеризуются одной ветвью. 
Примером здесь служат резисторы, емкости, индуктивности, 
диоды и пр. Электрическая цепь в общем случае содержит n 
компонентов, m ветвей и k узлов. 

 
K1
K2

K3

i1
i2

Ki

i1
i2

 

а)                                                          б) 

Рис. 1.2. 

Ветвь может содержать произвольное число последова
тельно соединенных компонентов: сопротивлений, конденсаторов, катушек, источников ЭДС. Если через все эти компоненты проходит один и тот же ток, то такое соединение будем называть последовательным. Параллельным соединением компонентов (ветвей) электрической цепи называют со

единение, при котором все участки цепи присоединяются к 
одной и той же паре узлов с одинаковым напряжением. 
Смешанное соединение предполагает сочетание последовательного и параллельного соединений. Более сложные электрические цепи могут не сводиться к последовательному и 
параллельному соединениям. 

Топологические свойства электрических схем не зависят 

от типа и свойств элементов, из которых они составлены. 
Поэтому исследование топологических свойств цепей удобно 
проводить на основе теории графов. 

Графом электрической схемы называют ее условное 

графическое отображение, в котором ветви схемы представлены отрезками, а узлы – точками. Отрезки линий, соответствующие ветвям схемы, называют ветвями (ребрами) графа, 
а концевые точки ветвей – узлами (вершинами) графа. Графы 
могут быть направленными и ненаправленными. Направленным 
называют 
граф, 
в 
котором 
указаны 
условно
положительные направления его ветвей, в противном случае 
граф называют ненаправленным. Если между любой парой 
узлов графа можно указать путь (непрерывную последовательность ветвей), то такой граф называют связным.  

Важным является понятие подграфа – любое множество 

ветвей и узлов, содержащихся в данном графе. 

В теории цепей большое значение имеют такие подгра
фы: путь, контур, дерево, связь и сечение. 

Контур – замкнутый путь графа, в котором один из узлов 

графа является начальным и одновременно конечным. 

Деревом связного графа называют связный подграф, со
держащий любую совокупность ветвей связного графа, соединяющих все его узлы, но не образующих ни одного контура. 

Ветви графа, не входящие в число ветвей дерева, назы
вают связями.  

Сечением графа называют минимальную совокупность 

его ветвей, при удалении которых граф распадается на два 
несвязных графа. Изображают сечение в виде замкнутой ли

нии (поверхности), которая один раз пересекает каждую 
ветвь этой совокупности. 

Приведенные определения показывают, что в любой от
носительно сложной схеме имеется большое число различных путей, деревьев, связей контуров и сечений. Однако в 
теории цепей существенную роль играют не все контуры и 
сечения, только главные. 

Главным называют контур, состоящий из любого числа 

ветвей дерева и только одной ветви связи. Главным сечением 
называют такое, в которое входит любое число ветвей связи 
и только одна ветвь дерева. Как будет показано ниже, на основе главных контуров и сечений могут быть составлены независимые уравнения для анализа схем. 

Для схемы направленного графа (содержащего ветви 1 – 

6) главные контуры I, II, III (рис. 1.3, а) и сечения S1, S2, S3 
(рис. 1.3, б) могут быть построены на основе одного дерева, 
включающего ветви 1, 4, 5, выделенные жирными линиями. 
Направления ветвей, главных контуров и сечений графа выбираются произвольно. 

 

1

2

3

4

5

6

1
2

4
3

1

2

3

4

5

6

1
2

4
3

S2

S1

S3

I

II

III

 

а)                                                          б) 

Рис. 1.3. 

Аналитически информацию о графе удобно представлять 

в матричной форме. В матрице ненаправленного графа перечисляются все его узлы и ветви, а также содержится информация о том, между какими узлами находятся соответствующие ветви. При матричном описании направленных графов 
необходимо также указать и направление каждой ветви. Гра

фы описывают узловыми, контурными матрицами и матрицами сечений. 

Узловой матрицей A направленного графа называют 

прямоугольную матрицу с числом строк, равным числу узлов 
без единицы и числом столбцов, равным числу ветвей графа. 
Каждый элемент aij такой матрицы определяется по правилу 

1, есливетвь  выходитизузла ;
1, есливетвь  входитвузел ;
 0, есливетвь  не соединена сузлом .

i j

j
i

a
j
i

j
i



 



 

Для одного из узлов графа матрицу не заполняют. Такой 

узел называют опорным или базисным. 

Для направленного графа (рис. 1.3) узловая матрица 

имеет вид: 

 
Узлы
Ветви

1
2
3
4
5
6

1
1
0
0
-1
1
0

2
-1
1
0
0
0
1

3
0
-1
1
0
-1
0

 
Контурной матрицей В направленного графа называют 

прямоугольную матрицу с числом строк, равным числу контуров графа и числом столбцов, равным числу его ветвей. 
Каждый элемент bi j матрицы определяется по правилу 

1, если ветвь  содержится в контуре  и направление
     ветви совпадает с направлением обхода контура;
1, если ветвь  содержится в контуре  и направление

    ветви противоположно направлению об

i j

j
i

b
j
i



 

хода контура;

0, если ветвь  не содержится в контуре .
j
i






 

Матрица главных контуров для графа (рис. 1.3) имеет вид: 
 

Главные 
контуры

Ветви

1
2
3
4
5
6

1
1
1
0
0
-1
0

2
0
0
1
1
1
0

3
1
0
0
1
0
1

 

Матрица сечений Q направленного графа строится по 

правилу: число строк равно числу сечений графа, а число 
столбцов равно числу ветвей. Каждый элемент qij матрицы 
сечений определяется по правилу: 

, если ветвь содержится в сечении и направлена 

согласно направлению сечения;

1, если ветвь содержится в сечении и направлена 

противоположно направлению сечения;

 0, если ветвь не содержитс

1

я 

i j

j
i

j
i

j

q



 

в сечении .i






 

Матрица главных сечений для графа (рис. 1.3) имеет вид: 
 

Главные 
сечения

Ветви

1
2
3
4
5
6

1
1
-1
0
0
0
-1

2
0
1
-1
0
1
0

3
0
0
-1
1
0
-1

 
Переход от схемы к графу, а от графа к матрицам позво
ляет представлять данные о топологии схемы в удобной для 
ЭВМ форме, что необходимо при машинных методах расчета. 

1.3. Фундаментальные переменные цепи 

Электрический ток есть упорядоченное движение сво
бодных носителей заряда: электронов – в металлах, ионов – в 
жидкостях и газах. За направление тока принимают то 
направление, в котором перемещаются (или могли бы перемещаться) носители положительного заряда.  

О направлении тока судят по его знаку, который зависит 

от того, совпадает или нет направление тока с направлением, 
условно принятым за положительное. Условно-положительное направление тока при расчетах электрических цепей 
может быть выбрано совершенно произвольно. Поэтому перед расчетом схемы сначала произвольным образом расставляются направления токов (соответственно и напряжений). Если в результате расчетов, выполненных с учетом выбранного направления, ток получится со знаком «+», значит