Радиотехнические цепи и сигналы. Часть 2. Дискретная обработка сигналов и цифровая фильтрация.

 
 
 

Н.А. Каратаева  

 
 

 
 
 
 

 
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ  

 

Часть 2 

 
 
 

Дискретная обработка сигналов и  

цифровая фильтрация 

 
 

 

Учебное пособие 

 
 

 

Σ  

xn 
yn 

z–1 

z–1 

z–1 

z–1 

a0 

a1 

aM 

b1 

bN 

 

 

ТОМСК − 2012 

 

 

Министерство образования и науки Российской Федерации 

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 

высшего профессионального образования 

 

ТОМСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ  СИСТЕМ 

УПРАВЛЕНИЯ  И  РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ  (ТУСУР) 

 
 

 

Н.А. Каратаева 

 
 
 

 
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ  

 

Часть 2 

 
 
 

Дискретная обработка сигналов и  

цифровая фильтрация 

 

 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

2012 

 

 
 
 

 
 
Рецензент: 
Профессор кафедры ТОР ТУСУР, д.т.н. А.В. Пуговкин 
 
 
 
Корректор:  
 
 
 
 
Каратаева Н.А. 
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ. Дискретная обработка сигналов и цифровая фильтрация: Учебное пособие. – Томск: Томский государственный университет  систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР), 2012.– 257 с. 
 
 

Изложены основные определения и комментарии к дискретной обработке сигналов, ана
лизу и синтезу цифровых фильтров. Приведены варианты задач, рассмотрены примеры расчета. 

Пособие предназначено для студентов всех форм обучения, изучающих дисциплину «Ра
диотехнические цепи и сигналы». 
 
 
 
Разработчики электронной версии:  
Алексеева М.Я., Архипов П.П., Барашков А.Ю., 
Платонов А.В., Филиппов К.Н. 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Каратаева Н.А.,                        2012  

 

1 ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................ 9 

2 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И КОММЕНТАРИИ К 
ДИСКРЕТНОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ ...................................................11 

2.1 
Дискретизация сигналов .........................................................................11 

2.2 
Дискретизация сигналов по частоте .....................................................12 

2.3 
Дискретизация сигналов по времени ....................................................15 

2.4 
Ряд и теорема Котельникова ..................................................................20 

2.5 
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) ..........................................21 

2.6 
Прямое и обратное Z-преобразования ..................................................25 

3 ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К ДИСКРЕТНОЙ ОБРАБОТКЕ 
СИГНАЛОВ ...........................................................................................................30 

3.1 
Расчет спектральной плотности аналогового сигнала .....................30 

3.2 
Дискретизация аналогового сигнала по времени ..............................32 

3.3 
Расчет спектральной плотности дискретизированного сигнала ....33 

3.4 
Расчет коэффициентов ДПФ ...................................................................34 

3.5 
Восстановление исходного сигнала по ДПФ .......................................37 

3.6 
Z-преобразование дискретной последовательности ..........................38 

3.7 
Восстановление аналогового сигнала использованием ряда 

Котельникова ........................................................................................................40 

3.8 
Задачи для самостоятельного решения ................................................41 

4 ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМОВ РАБОТЫ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ И 
РАСЧЕТ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ..................................................44 

4.1 
Описание алгоритмов работы трансверсальных (ТЦФ) и 

рекурсивных (РЦФ) фильтров ...........................................................................44 

4.2 
Определение системных функций и построение структурных схем 

ТЦФ и РЦФ ............................................................................................................45 

4.3 
Расчет частотных характеристик цифровых фильтров ...................48 

4.4 
Расчет временных характеристик цифровых фильтров ..................49 

4.4.1 
Расчет импульсной характеристики ЦФ ..........................................49 

4.4.2 
Расчет переходной характеристики ЦФ ............................................50 

4.5 
Расчет дискретной последовательности на выходе цифрового 

фильтра ...................................................................................................................51 

4.6 
Устойчивость цифровых фильтров ......................................................52 

4.7 
Соединение цифровых фильтров ...........................................................53 

4.8 
Задачи для самостоятельного решения ................................................54 

5 СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ..........................................................64 

5.1 
Синтез ЦФ методом билинейного Z-преобразования передаточной 

функции известного аналогового фильтра- прототипа ................................64 

5.2 
Синтез ЦФ по импульсной характеристике известного аналогового 

фильтра-прототипа (метод инвариантности импульсной 
характеристики) ....................................................................................................67 

5.3 
Пример анализа линейной электрической цепи (ЛЭЦ) ....................70 

5.3.1 
Расчет передаточной функции ЛЭЦ ...................................................70 

5.3.2 
Расчет и построение частотных характеристик ..............................70 

5.3.3 
Расчет и построение временных характеристик ЛЭЦ ...................72 

5.4 
Пример синтеза цифрового фильтра методом инвариантности 

импульсных характеристик ...............................................................................74 

5.4.1 
Дискретизация импульсной характеристики ЛЭЦ .........................74 

5.4.2 
Расчет системных функций трансверсального и рекурсивного 

ЦФ 
75 

5.4.3 
Расчет АЧХ трансверсального и рекурсивного ЦФ .......................77 

5.5 
Пример синтеза ЦФ методом билинейного Z-преобразования по 

заданной ЛЭЦ ........................................................................................................79 

5.5.1 
Расчет системной функции цифрового фильтра .............................79 

5.5.2 
Расчет АЧХ ЦФ канонического вида .................................................81 

5.5.3 
Расчет импульсной характеристики ЦФ ..........................................83 

5.5.4 
Обсуждение полученных результатов ...............................................84 

5.5.5 
Прохождение дискретного сигнала через цифровые фильтры ....85 

6 СИНТЕЗ РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ПО 
КЛАССИЧЕСКОМУ НИЗКОЧАСТОТНОМУ (НЧ-) ПРОТОТИПУ .......88 

6.1 
Технические характеристики идеальных фильтров-прототипов...88 

6.2 
Классические НЧ-прототипы Баттерворта и их характеристики ..90 

6.3 
Классические НЧ-прототипы Чебышева 1-го типа и их 

характеристики .....................................................................................................92 

6.4 
Синтез РЦФ различного назначения по классическому НЧ
прототипу методом билинейного Z-преобразования.....................................96 

6.4.1 
Деформация аналоговой частоты НЧ-прототипа ...........................96 

6.4.2 
Частотные преобразования НЧ-прототипов при синтезе РЦФ 

различного назчения ............................................................................................97 

6.4.3 
Синтез РЦФ методом обобщенного билинейного ..........................103 

Z-преобразования ................................................................................................103 

6.5 
Синтез РЦФ методом инвариантной импульсной характеристики

 
107 

6.5.1 
Расчет цифрового НЧ-прототипа ......................................................107 

6.5.2 
Частотные преобразования НЧ-прототипа с помощью 

преобразований Константинидиса ..................................................................109 

6.5.3 
Порядок расчета РЦФ методом ИИХ ...............................................114 

7 ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К СИНТЕЗУ РЕКУРСИВНЫХ 
ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ РАЗЛИЧНОГО НАЗНАЧЕНИЯ ....................115 

7.1 
Синтез цифрового ФНЧ Баттерворта методом обобщённого 

билинейного Z-преобразования .......................................................................115 

7.2 
Синтез цифрового ФНЧ Баттерворта методом обобщённого 

билинейного Z-преобразования .......................................................................116 

7.3 
Синтез цифрового ФВЧ Баттерворта методом обобщенного 

билинейного Z-преобразования .......................................................................120 

7.4 
Синтез цифрового ФВЧ Баттерворта методом обобщенного 

билинейного Z-преобразования .......................................................................121 

7.5 
Синтез цифрового ПФ Чебышева методом обобщённого 

билинейного Z-преобразования .......................................................................125 

7.6 
Синтез цифрового ПФ Чебышева методом обобщённого 

билинейного Z-преобразования .......................................................................127 

7.7 
Синтез цифрового РФ Баттерворта методом обобщенного 

билинейного Z-преобразования .......................................................................129 

7.8 
Синтез цифрового РФ Баттерворта методом обобщенного 

билинейного Z-преобразования .......................................................................133 

7.9 
Синтез цифрового ФНЧ Баттерворта методом инвариантной 

импульсной характеристики ............................................................................137 

7.10 Синтез цифрового ФНЧ Баттерворта методом инвариантной 
импульсной характеристики ............................................................................138 

7.11 Синтез цифрового ПФ Баттерворта методом инвариантной 
импульсной характеристики ............................................................................141 

7.12 Синтез цифрового ПФ Баттерворта методом инвариантной 
импульсной характеристики ............................................................................144 

8 СИНТЕЗ ТРАНСВЕРСАЛЬНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ............149 

8.1 
Метод частотной выборки .....................................................................149 

8.2 
Пример синтеза КИХ-фильтра методом частотной выборки ........152 

8.3 
Метод взвешивания ................................................................................155 

8.4 
Пример синтеза КИХ-фильтров методом взвешивания .................156 

8.5 
Метод оконных функций .......................................................................160 

8.6 
Пример синтеза КИХ-фильтров методом оконных функций ........163 

9 ПРИЛОЖЕНИЯ ............................................................................................167 

9.1   Приложение 1 ..............................................................................................167 

9.1.1 Описание пакета программ для исследования частотных и 
временных характеристик цифровых фильтров, синтезированных 
методом Билинейного z-преобразования .......................................................167 

9.1.2 
Описание пакета программ для исследования цифровых 

фильтров, синтезированных методом инвариантности импульсных 
характеристик .....................................................................................................170 

9.2 
Приложение 2 ...........................................................................................173 

9.3 
Приложение 3. ..........................................................................................182 

9.4 
Приложение 4 ...........................................................................................218 

10 
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ..............................254 

11 
СПИСОК ПРИНЯТЫХ СОКРАЩЕНИЙ .............................................255 

12 
СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ ...........................................256 

 

1 
ВВЕДЕНИЕ 

 

Цифровая обработка сигналов как направление развития науки и 

техники зародилась в 1950-х годах и поначалу представляла собой довольно 
экзотическую область радиоэлектроники, практическая ценность которой 
была далеко не очевидной. Однако за прошедшие пятьдесят лет благодаря 
успехам микроэлектроники системы цифровой обработки сигналов не только 
воплотились в реальность, но и вошли в нашу повседневную жизнь в виде 
CD- и DVD-проигрывателей, модемов, сотовых телефонов и многого другого. 
Более того, в некоторых прикладных областях цифровая обработка сигналов 
стала вытеснять аналоговую. В значительной мере это произошло в 
аудиотехнике, интенсивно идёт процесс перехода телевизионного вещания на 
цифровую основу. 

Под термином «цифровая фильтрация» обычно понимают локальную 

цифровую обработку сигнала скользящим окном или апертурой. В основе 
такой 
фильтрации 
лежит 
преобразование 
аналоговых 
сигналов 
в 

последовательность чисел и обработка этой последовательности в цифровом 
вычислительном устройстве, роль которого может играть как универсальная 
ЦВМ, так и специализированный цифровой процессор. 

Применение в радиоэлектронике цифровой фильтрации открывает 

дополнительные возможности при обработке сигналов. В частности, могут 
быть реализованы сложные алгоритмы фильтрации, которые аналоговыми 
методами в ряде случаев вообще не удается осуществить. С другой стороны, 
возможен синтез в цифровой форме аналогов известных радиотехнических 
устройств различного функционального назначения, а именно: фильтров, 
преобразователей частоты, детекторов и т.п. 

Настоящее пособие посвящено курсовой работе «Дискретная обработка 

сигналов и цифровая фильтрация». Текст пособия разбит на главы, в каждой 
из которых повествуется о каком-либо аспекте дискретной обработки 
сигналов и цифровой фильтрации.  

Так, вторая глава пособия посвящается основным определениям 

дискретной обработки сигналов: дискретизации сигналов по частоте и по 
времени, теореме Котельникова, дискретному преобразованию Фурье и Zпреобразованию. Третья глава является логическим продолжением второй: в 
ней подробно рассмотрено практическое приложение к дискретной обработке 
сигналов. В четвёртой главе говорится об описании алгоритмов работы 
цифровых фильтров и расчёте их основных характеристик (частотных и 
временных). Кроме того, третья и четвёртая главы пособия дополнены 
задачами, предназначенными для самостоятельного решения. Пятая глава 
посвящена 
синтезу 
цифровых 
фильтров 
методами 
билинейного 
Z
преобразования и методом инвариантности импульсной характеристики. В 
шестой главе рассматривается синтез рекурсивных цифровых фильтров по 

классическому низкочастотному прототипу. Седьмая глава дополняет 
шестую практическим приложением к синтезу рекурсивных цифровых 
фильтров. В восьмой главе ставится вопрос о синтезе трансверсальных 
цифровых фильтров, основными методами которого являются метод 
частотной выборки, метод взвешивания и метод оконных функций. 

В девятой главе представлены приложения: описание пакета программ 

для исследования частотных и временных характеристик цифровых 
фильтров, 
разработанного 
студентами 
кафедры 
ТОР 
Томского 

государственного университета систем управления и радиоэлектроники; 
пересчётные 
таблицы 
преобразования 
Константинидиса, 
а 
также 

передаточные 
функции 
и частотные 
характеристики 
низкочастотных 

прототипов Баттерворта и Чебышева. 

При 
помощи 
настоящего 
пособия 
студент 
может 
не 
только 

самостоятельно подготовиться к выполнению и защите курсовой работы, но и 
получить базовые знания для дальнейшей научной работы. 

2 
ОСНОВНЫЕ 
ОПРЕДЕЛЕНИЯ 
И 
КОММЕНТАРИИ 
К 

ДИСКРЕТНОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ 
 

2.1 
Дискретизация сигналов 

 

В первой части курса «Радиотехнические цепи и сигналы» [9] 

рассматривались сигналы, моделью которых являлась функция времени s(t), 
значения которой заданы для непрерывной совокупности всех точек по оси 
времени (рисунок 2.1,а). Такие сигналы называются непрерывными или 
аналоговыми. 

Сигнал s(t) может быть задан спектральной плотностью 
 

S
, 

поскольку s(t) и  

S
 связаны парой преобразований Фурье: 

 

  
 










dt
e
t
s
S
t
j


,  
 
 
 
(2.1) 

 
 













 d
e
S
t
s
t
j


2
1
. 
 
 
 
(2.2) 

Как и s(t), спектральная плотность 
 

S
 также является аналоговой  

функцией частоты (рисунок 2.1,б). 

 

E 

t 
 

s(t) 

 

S
 



4
 


4


 

2

E
 

0 
 
– 

 

а)  
 
 
 
 
 
       б) 

Рисунок 2.1 – Временное (а) и частотное (б) представления аналогового 

непериодического сигнала 

 
В радиотехнике часто встречаются задачи, в которых значения сигнала 

могут быть определены лишь в счетном множестве точек по оси времени    
(..., t0, t1, t2, ...). Обычно моменты времени tn следуют через равные 
промежутки Тд, которые называются шагом (интервалом) дискретизации. В 
этом случае моделью сигнала являются отсчетные значения (..., s(0), s(Тд), 

s(2Тд), ..., s(nТд), …) в точках (..., 0, Тд, 2Тд, ..., nТд). Такие сигналы называются 
дискретными (от лат. слова discretis  раздельный, прерывистый).  

Спектральная плотность сигнала  также может быть задана своими 

отсчетными значениями (..., 

1

S
, 

1
2
S
, 

1
3
S
, ...). Шаг дискретизации по 

оси частот обозначен 1. 

Ясно, что, чем меньше шаг дискретизации Тд (или 1), тем точнее 

сигнал s(t) (или 
 

S
) может быть восстановлен по своим отсчетным 

значениям. Однако с уменьшением шага дискретизации увеличивается число 
отсчетных значений, поэтому задача о выборе шага дискретизации требует 
специального исследования. 
 
 
 

2.2 
 Дискретизация сигналов по частоте 

 

Рассмотрим для определенности аналоговый непериодический сигнал 

s(t)(рисунок 2.1,а), длительность которого равна , а спектральная плотность 
описывается функцией 
 

S
. Преобразуем непериодический сигнал s(t) в 

периодическую последовательность сигналов sп(t) с периодом Тос> (рисунок 
2.2,а).  

 












m

ос
mT
t
s
t
sп
,                                          (2.3) 

где m = 0, 1, 2, … 
 




ос
Т
k
S
1



ос
Т
E 2


0

–
1
k1

t

sп(t)

1

2 


ос
Т

E

 

а)  
 
 
 
 
 
 
б) 

Рисунок 2.2 – Временное (а) и спектральное (б) представления 

аналогового периодического сигнала 

 
 
 

Периодическую последовательность sТ(t) представим рядом Фурье: 

 

 



















1

1
0
п
arg
cos
2
1

k

k
k

k

t
jk

k
C
t
k
C
С
e
C
t
s





,  –  < t < .  

 
(2.4) 

 
Здесь коэффициенты 
k
С  вычисляются по формуле: 

 

 







2

2

1
1

ос

ос

T

T

t
jk

оc

k
dt
e
t
s
T
C


. 
 
 
 
(2.5) 

 
 
Сравнение выражений (2.1) и (2.5) позволяет утверждать, что 

1

k
S
 – 

отсчетные 
значения 
(отсчеты) 
спектральной 
плотности 
с 
шагом 

дискретизации 1 (рисунок 2.2,б), с точностью до постоянного множителя Тос 
совпадают с комплексными коэффициентами 
k
С : 

 

 
0
0
C
T
S
ос 

, 


1
1
C
T
S
ос





,  …,  


k
ос C
T
k
S




1

.  
(2.6) 

 

Исходный непериодический сигнал s(t) совпадает с периодической 

последовательностью sТ(t) на интервале 0  t  Тос и вычисляется по 
дискретным отсчетам 


1

k
S
 спектральной плотности, взятым с шагом 

дискретизации 
ос
Т


2
1 
. 

 
Формула (2.4) с учетом (2.6) имеет вид: 

 

 



 






.
0
  ,
arg
cos
2
0

1

1

1
1
1

1
п
1

оc

k
оc
оc

k

t
jk

ос

T
t
k
S
t
k
T
k
S

T
S

e
k
S
T
t
s




































  
(2.7) 

 
Для увеличения шага дискретизации по оси частот, необходимо 

уменьшать период Тос. Но формула (2.4) справедлива при условии Тос >. 
(Наибольший шаг дискретизации по оси частот при Тос=).  

Заметим, что ширина спектральной плотности реально ограничена, т. е. 

существуют верхние частоты в, при превышении которых ( > в) 
спектральную плотность можно считать равной нулю (рисунок 2.2 б). Это 
означает, что число слагаемых, учитываемых при вычислении ряда (2.4) или 
(2.7), конечно. 

Для оценки числа учитываемых слагаемых N достаточно поделить 
ширину спектральной плотности 
в

2
 на шаг дискретизации 
ос
Т


2
1 
: 

 

ос
в
в
T
f
N



2
2
1


.  
 
 
(2.8) 

 

Итак, используя (2.7), можно восстановить непрерывный сигнал s(t) по 

дискретным отсчетам 

1

k
S
 спектральной плотности, взятыми с шагом 1. 

Число слагаемых N, учитываемых в (2.7), оценивается формулой (2.8). 
 
 

2.3 
 Дискретизация сигналов по времени 

 
Сравнение моделей сигналов, изображенных на рисунках 2.1 и 2.2 и 

описанных в предыдущих параграфах, позволяет сформулировать следующие 
обобщения. 

1. 
Аналоговому 
непериодическому 
сигналу 
s(t) 
соответствует 

аналоговая 
непериодическая 
функция 
частоты, 
называемая 

спектральной плотностью  

S
. 

2. Дискретизация аналоговой спектральной плотности с шагом 1 

приводит к преобразованию непериодического сигнала s(t) конечной 
длительности  в периодическую последовательность sп(t) с 
периодом повторения 
1
2



ос
Т
, где Тос > . 

3. Уместно 
предположить 
(и 
нетрудно 
показать, 
учитывая 

взаимообратимость преобразований Фурье), что дискретизация 
аналогового непериодического сигнала s(t) с шагом Тд приведет к 
преобразованию спектральной плотности, реальная ширина которой 
равна 2в, в периодическую последовательность 
 

д
S
 с периодом 

повторения 
д
д
2
Т

 
, причем д должна быть больше или равна 

2в (рисунок 2.3,а и б). 

 

E

t
Тд

s(nТд.)

nТд

 

д
S

2

E

0

в

д
д
2
2
Т
в






–в

  

                          а)                                                                   б) 

Рисунок 2.3 – Временное (а) и частотное (б) представления 

дискретизированного по времени сигнала 

 

Модель дискретного сигнала, показанного на рисунке 2.3,а, задается 

отсчетами s(nТд) непрерывного сигнала s(t), взятыми в дискретные моменты 
времени t=nТд, где Тд – шаг дискретизации, n = 0, 1, 2, … 

Для фиксации моментов времени nТд воспользуемся периодической  

последовательностью -функций: