Радиотехнические цепи и сигналы. Часть 1. Теория сигналов и линейные цепи

Министерство образования и науки Российской Федерации 

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 

высшего профессионального образования 

 

ТОМСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ  СИСТЕМ 

УПРАВЛЕНИЯ  И  РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ  (ТУСУР) 

 
 

 

Н.А. Каратаева 

 
 
 

 
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ  

 

Часть 1 

 
 
 

Теория сигналов и линейные цепи 

 

 

Учебное пособие 

 

Рекомендовано Сибирским региональным отделением  
учебно-методического объединения высших учебных  
заведений по образованию в области радиотехники,  

электроники, биомедицинской техники и автоматизации для 

межвузовского использования в качестве учебного пособия для 
студентов, обучающихся по направлениям подготовки 552500, 
654200 «Радиотехника», 511100, 654300 «Проектирование и 

технология РЭА», 654400 «Телекоммуникации» 

 
 
 

 

2012 

 
 
 
 

ББК 32.841 
УДК 621.372 

 

Рецензенты: 
Доктор технических наук профессор Красноярского 
Государственного технического университета А.И.Громыко; 
Кафедра компьютерных измерительных систем и метрологии 
Томского политехнического университета 

 
 
 

Каратаева Н.А. 
Радиотехнические цепи и сигналы. Часть 1: Учебное пособие. − Томск: 
Томский межвузовский центр дистанционного образования,  2012. − 260 с. 
 
 
 

В учебном пособии изложены основы математического описания детерминиро
ванных сигналов и линейных цепей с постоянными параметрами. Рассмотрены обобщенные функции, ряды Фурье, преобразования Фурье, преобразования Лапласа и применение их для анализа сигналов, линейных цепей и взаимодействия между ними. Показано единство математических преобразований, исследованы взаимные связи между 
ними, отражена концепция смены математического аппарата в зависимости от меняющихся условий решаемых задач. 

В пособии рассмотрены радиосигналы с амплитудной, частотной и фазовой моду
ляциями. Показана внутренняя структура узкополосных сигналов, проанализированы 
особенности взаимодействия узкополосных сигналов и частотно-избирательных цепей.    

Предлагаемое учебное пособие может быть полезно для студентов и преподавате
лей высших учебных заведений радиотехнических специальностей. 

 

       ББК 32.841 

УДК 621.372 

 

Разработчики электронной версии: 

Е.П. Ворошилин, В.В Родионов, А.А. Савин   

 
 

                                                               © Каратаева Н.А.,                           2012                     
                                                               © Томский межвузовский центр 
                                                                    дистанционного обучения,       2012 

СОДЕРЖАНИЕ 

 

Предисловие………………………………………………………………….…………………………… 7 

1 Введение в теорию сигналов…………………………………………………………………. 9 

1.1 Идеальные модели сигналов и их свойства……………………………………………… 9 
1.2 Описание алгоритмов взаимодействия обобщенных  
      функций и сигналов…………………….……………………………………………………… 

 
14 

1.3 Энергетические характеристики сигналов………………………………………………. 20 

1.3.1 Энергетические характеристики вещественных сигналов…………………... 20 
1.3.2 Энергетические характеристики комплексных сигналов……………….…… 21 
1.3.3 Корреляционные характеристики детерминированных сигналов………… 22 

1.4 Обобщенное линейное представление сигналов………………………………………. 26 
1.5 Динамическое представление сигналов…………………………………………………... 30 
1.6 Выводы…………………………………………………………………………….………………. 33 

2 Гармонический анализ периодических сигналов……………………………….. 34 

2.1 Периодические сигналы и их свойства…………………………………………………… 34 

2.2 Гармонические колебания (гармоники) ………………………………………………….. 35 
2.3 Векторное и комплексное представления гармонического колебания…………... 36 
2.4 Сложение гармонических колебаний……………………………………………………… 38 
2.5 Энергетические характеристики гармонических колебаний……………………….. 40 
2.6 Разложение произвольного периодического сигнала по гармоникам……………. 42 
2.7 Анализ внутренней структуры периодического сигнала…………………………….. 45 
2.8 Энергетические характеристики периодического сигнала сложной формы…… 47 
2.9 Практическое приложение ко второй главе……………………………………………... 51 

2.9.1 Гармонический анализ периодической последовательности                 

униполярных прямоугольных импульсов……….………………………………. 51 

2.9.2 Частотное представление периодического сигнала…………………………… 53 
2.9.3 Распределение мощности в спектре периодического сигнала……………... 54 
2.9.4 Анализ связи между длительностью импульса, периодом и шириной 

спектра……………………………………………………………………………………... 

 
55 

2.9.5 Пример гармонического анализа периодической последовательности 

знакочередующихся импульсов треугольной формы………………………… 

 
60 

2.10 Выводы…………………………………………………………………………………………… 61 

3 Гармонический анализ непериодических сигналов……………………………. 63 

3.1 Предельный переход от периодических сигналов к непериодическим………….. 63 
3.2 Прямое и обратное преобразования Фурье……………………………………………… 64 
3.3 Спектральные характеристики непериодических сигналов………………………… 66 
3.4 Анализ внутренней структуры непериодического сигнала…………………………. 68 
3.5 Энергетические характеристики непериодических сигналов………………………. 73 
3.6 Границы применимости преобразований Фурье и возможности их                

расширения………………………………………………………………………………………. 75 

3.7 Спектральное представление некоторых неинтегрируемых сигналов…………... 79 
3.8 Выводы…………………………………………………………………………………………….. 84 

4 Теоремы о спектрах……………………………………………………………………………….. 85 

4.1 Сложение сигналов……………………………………………………………………………... 85 
4.2 Теорема сдвига…………………………………………………………………………………… 86 
4.3 Следствие теорем 4.1, 4.2…………………………………………………………………….. 86 
4.4 Изменение масштаба времени……………………………………………………………….. 87 
4.5 Инверсия сигнала во времени……………………………………………………………….. 88 
4.6 Дифференцирование сигнала по времени………………………………………………... 90 
4.7 Интегрирование сигнала во времени………………………………………………………. 91 
4.8 Взаимозаменяемость аргументов ω  и t  в преобразованиях Фурье…………….. 92 
4.9 Перемещение спектра сигнала………………………………………………………………. 93 
4.10 Дифференцирование спектральной плотности……………………………………….. 93 
4.11 Свертывание двух сигналов………………………………………………………………… 96 
4.12 Произведение двух сигналов………………………………………………………………. 98 
4.13 Взаимная корреляционная функция сигналов………………………………………… 98 
4.14 Автокорреляционная функция сигнала………………………………………………….. 99 
4.15 Выводы…………………………………………………………………………………………… 100 

5 Преобразование Лапласа………………………………………………………………………. 102 

5.1 Двустороннее преобразование Лапласа…………………………………………………... 102 
5.2 Свойства правостороннего преобразования Лапласа…………………………………. 106 

5.2.1 Основные определения………………………………………………………………… 106 
5.2.2 Сложение сигналов……………………………………………………………………... 107 
5.2.3 Изменение масштаба времени………………………………………………………. 107 
5.2.4 Сдвиг во времени……………………………………………………………………….. 108 
5.2.5 Умножение оригинала на экспоненциальную функцию…………………….. 108 
5.2.6 Дифференцирование оригинала…………………………………………………….. 108 
5.2.7 Дифференцирование изображения…………………………………………………. 109 
5.2.8 Интегрирование оригинала…………………………………………………………... 109 
5.2.9 Интегрирование изображения……………………………………………………….. 110 
5.2.10 Свертка оригиналов…………………………………………………………………… 110 
5.2.11 Свертка оригиналов, один из которых является производной……………. 110 
5.2.12 Предельные соотношения…………………………………………………………… 111 

5.3 Обратное преобразование Лапласа………………………………………………………… 112 
5.4 Применение преобразования Лапласа к обобщенным функциям………………… 114 
5.5 Анализ связи между преобразованиями Лапласа и преобразованиями Фурье... 119 
5.6 Практическое приложение к пятой главе………………………………………………… 121 

5.6.1 Математическое описание простейших односторонних сигналов                      

и расчет изображений по Лапласу…………………………………………………. 121 

5.6.2 Расчет изображений по Лапласу односторонних затухающих              

гармонических колебаний……………………………………………………………. 123 

5.6.3 Расчет изображений по Лапласу односторонних незатухающих           

гармонических колебаний……………………………………………………………. 124 

5.6.4 Дифференцирование сигналов и определение изображений……………….. 126 
5.6.5 Интегрирование сигналов и определение изображений……………………... 127 
5.6.6 Изображение свертки…………………………………………………………………... 128 

5.7 Выводы…………………………………………………………………………………………….. 129 

6 Линейные электрические системы и их математические модели…….. 136 

6.1 Математическое описание линейной электрической цепи (ЛЭЦ) ……………….. 136 
6.2 Методы алгебраизации дифференциального уравнения электрического            

равновесия………………………………………………………………………………………... 

 
141 

6.2.1 Метод комплексных амплитуд (МКА) …………………………………………… 141 
6.2.2 Частотный метод………………………………………………………………………… 144 
6.2.3 Операторный метод…………………………………………………………………….. 145 

6.3 Анализ взаимодействия линейной цепи с сигналами, описываемыми                

обобщенными функциями…………………………………………………………………… 146 
6.3.1 Импульсная характеристика цепи………………………………………………….. 146 
6.3.2 Переходная характеристика цепи…………………………………………. 147 
6.3.3 Передаточная функция цепи………………………………………………………… 149 

6.4 Практическое приложение к шестой главе………………………………………………. 149 

6.4.1 Расчет передаточных функций линейных цепей……………………………….. 149 
6.4.2 Расчет временных характеристик линейных цепей…………………………… 151 
6.4.3 Расчет частотных и временных характеристик параллельного  

                          избирательного контура………………………………………………………………. 

 
155 

6.4.4 Расчет частотных и временных характеристик последовательного  
         избирательного контура………………………………………………………………. 

 
158 

6.5 Выводы…………………………………………………………………………………………….. 161 

7. Прохождение сигналов через линейные цепи…………………………………….. 164 

7.1 Анализ прохождения периодических сигналов через линейные цепи               

(метод комплексных амплитуд) …………………………………………………………… 

 
164 

7.2 Операторный метод расчета отклика на выходе линейной цепи                                

при произвольном непериодическом воздействии…………………………………… 

 
167 

7.3 Операторный метод определения установившейся реакции линейной                 

цепи на включение периодического сигнала…………………………………………… 

 
172 

7.4 Временные методы анализа (интегралы Дюамеля) …………………………………… 176 

7.4.1 Операторный подход…………………………………………………………………… 176 
7.4.2 Временной подход………………………………………………………………………. 177 

7.5 Практическое приложение к седьмой главе……………………………………………... 182 

7.5.1 Расчет реакции дифференцирующий RC - цепи на включение           

гармонического сигнала………………………………………………………………. 

 
182 

7.5.2 Расчет реакции параллельного контура на включение                                     

гармонического сигнала………………………………………………………………. 

 
184 

7.6 Выводы…………………………………………………………………………………………….. 187 

8 Спектральный анализ амплитудно-модулированных сигналов………. 188 

8.1 Основные определения………………………………………………………………………… 188 
8.2 Тональная амплитудная модуляция гармонического несущего колебания…….. 190 
8.3 Энергетические характеристики АМ−сигнала………………………………………….. 193 
8.4 Амплитудная модуляция произвольным периодическим                                            

и непериодическим сигналами……………………………………………………………... 194 

8.5 Балансная и однополосная модуляция……………………………………………………. 196 
8.6 Амплитудно-импульсная модуляция……………………………………………………… 198 
8.7 Выводы…………………………………………………………………………………………….. 201 

9 Радиосигналы с угловой модуляцией…………………………………………………... 202 

9.1 Основные определения………………………………………………………………………… 202 
9.2 Тональная угловая модуляция………………………………………………………………. 202 
9.3 Спектр сигнала с угловой тональной модуляцией при малых индексах………... 206 
9.4 Спектр радиосигнала с угловой тональной модуляцией при                                       

произвольном индексе………………………………………………………………………… 208 

9.5 Угловая модуляция сигналом сложной формы…………………………………………. 212 
9.6 Квадратурная амплитудная модуляция…………………………………………………… 214 
9.7 Выводы…………………………………………………………………………………………….. 218 

10 Огибающая, частота и фаза узкополосного сигнала………………………... 219 

10.1 Физическая огибающая радиосигнала…………………………………………………… 219 
10.2 Комплексная огибающая радиосигнала…………………………………………………. 219 
10.3 Применение преобразования Гильберта для определения огибающей               
        и фазового угла узкополосного сигнала………………………………………………… 

 
224 

10.4 Аналитический сигнал и его свойства…………………………………………………… 229 
10.5 Выводы…………………………………………………………………………………………… 233 

11 Методы анализа прохождения узкополосных радиосигналов  
      через избирательные цепи……………………………………….…………………………. 

 
234 

11.1 Понятие низкочастотного эквивалента избирательной цепи……………………... 234 
11.2 Расчет НЧ – эквивалентов простейших колебательных цепей…………………… 235 
11.3 Расчет НЧ – эквивалента произвольной частотно-избирательной цепи……….. 238 
11.4 Анализ связи между комплексными огибающими узкополосных               
        сигналов на входе и выходе избирательной цепи…………………………………... 
242 

11.5 Расчет комплексной огибающей узкополосного сигнала на выходе 
        избирательной цепи приближенным операторным методом……………………... 246 
11.6 Расчет комплексной огибающей узкополосного сигнала на выходе 
        избирательной цепи приближенным временным методом………………………... 

 
246 

11.7 Выводы…………………………………………………………………………………………… 253 

Список рекомендуемой литературы……………………………………………………….. 

 
255 

Приложения………………………………………………………………………………………………. 256 

Таблица П.1 Комплексные функции и действия над ними………………………………. 256 
Таблица П.2 Тригонометрические функции и их преобразования ……………………. 257 

Таблица П.3 Дифференцирование функций………………………………………………….. 258 
Таблица П.4 Определенные интегралы………………………………………………………... 259 
Таблица П.5 Неопределенные интегралы…………………………………………………….. 260 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 

Современное состояние научно-технического прогресса характеризует
ся резким повышением скорости передачи информации на расстояние. От 
специалистов, работающих в области создания комплексных систем обработки, хранения и передачи информации, требуется широта представлений, глубокое понимание фундаментальных закономерностей, в основе которых лежит теория преобразования сигналов. 

Курс «Радиотехнические цепи и сигналы» (РТЦиС) отличается разно
образием содержания, так как в процессе обработки сигналы из аналоговых и 
непрерывных могут становиться импульсными, дискретными и цифровыми. 
Линейные и нелинейные преобразования сигналов выполняются в функциональных узлах канала передачи, которые в соответствии с передаваемыми 
сигналами могут быть аналоговыми, дискретными и цифровыми. 

Для фундаментального изучения курса РТЦиС имеются первоклассные 

учебники, изданные в России и за рубежом [1,2,3,6,7,8], которые вооружают 
читателя разнообразными знаниями, универсальными методами анализа, 
многочисленными примерами и рассчитаны на годичный срок обучения. 

Чтобы в ограниченные сроки освоить обязательный объем знаний и 

умений, предусмотренных по ГОС, необходимо четкое структурирование 
изучаемого материала, динамичная взаимосвязь с курсами «Высшая математика», «Физика», «Основы теории цепей». 

Предлагаемое учебное пособие посвящено линейной части курса «Ра
диотехнические цепи и сигналы», а именно теории сигналов и методам анализа линейных цепей и систем. 

Как показал опыт, студенты (особенно занимающиеся на заочных отде
лениях) испытывают трудности при самостоятельном изучении этой части 
курса РТЦиС, так как она тесно связана с такими разделами высшей математики, как «Ряды Фурье», «Преобразование Фурье» и «Преобразование Лапласа». 

В процессе изучения РТЦиС студенты должны закрепить понятия и ме
тоды анализа, освоенные в курсе «Основы теории цепей», узнать новые методы анализа и современные способы математического описания сигналов, цепей и их взаимодействия. Особенно важно научиться выбирать математический аппарат, позволяющий решать поставленную задачу кратчайшим путем, 
видеть физическую сторону исследуемого явления, уметь составлять и сравнивать математические и физические модели изучаемых процессов. 

В основу учебного пособия положена первая часть курса лекций по 

РТЦиС, читаемого автором на радиотехническом факультете Томского Государственного университета систем управления и радиоэлектроники. 

Главы 1 и 2 знакомят с обобщенными функциями, рядами Фурье и их 

применением для анализа сигналов. Главы 3 и 4 посвящены преобразованиям 
Фурье и теоремам о спектрах, описывающим связь между временными и 

спектральными (частотными) представлениями сигналов. Глава 5 посвящена 
преобразованиям Лапласа и их свойствам. Таким образом, в главах 1-5 подчеркивается диалектическое единство преобразований Лапласа, преобразований Фурье и рядов Фурье и исследуются взаимные связи между ними, формируя концепцию смены математического аппарата в зависимости от физической модели сигнала. Преобразования Фурье рассматриваются как обобщение 
рядов Фурье, а переход к преобразованиям Лапласа – как обобщение преобразований Фурье. 

Главы 6 и 7 знакомят с применением рядов Фурье, преобразований 

Фурье и преобразований Лапласа для анализа линейных цепей и систем. Рассматривается возможность установления связи между сигналами на входе и 
выходе линейной цепи в произвольный момент времени. 

В главах 8 и 9 рассматриваются радиосигналы с различными видами 

модуляции: амплитудной, частотной, фазовой. В процессе анализа применяются временные и векторные модели модулированных сигналов. 

Главы 10 и 11 посвящены изучению внутренней структуры и особенно
стей взаимодействия узкополосных сигналов и частотно-избирательных линейных цепей. Результатом анализа является установление связи между комплексной огибающей радиосигнала и низкочастотным эквивалентом избирательной цепи. 

Не все темы изложены одинаково полно и строго. Большое внимание 

уделено отбору материала, обеспечению  наглядности, подготовке таблиц и 
графиков. Как на форму, так и на содержание пособия оказали существенное 
влияние коллеги по работе в прошлом и настоящем:  Б.Л.Агранович, 
В.Ф.Сиверцев, Н.Н.Штарев, В.Н.Гришко, В.Л.Каминский, И.В.Мельникова, 
А.В.Пуговкин и другие. Велика роль студентов, общение с которыми  вдохновляло, стимулировало и доставляло много радости. К разработке электронной версии учебного пособия с энтузиазмом подключались студенты радиотехнического факультета: Вережинский Максим, Гребенюк Юлия, Истомин 
Дмитрий, Круглов Роман, Присяжнюк Алексей и другие. Самой глубокой 
благодарности заслуживают основные разработчики электронной версии:  
Ворошилин Евгений, Родионов Владимир, Савин Александр, которые пожертвовали частью летних каникул, чтобы довести дело до конца. 
 
 

1 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СИГНАЛОВ 

 

1.1 Идеальные модели сигналов и их свойства 

 

Для описания электрических цепей используют модели элементов це
пи. Для описания сигналов также используют модели, а конкретнее, функции, графики, векторы, таблицы, диаграммы и прочие математические объекты. Их некорректно называть элементарными и трудно сравнивать между собой. Круг моделей, применяемых в процессе решения сложных задач, непрерывно расширяется.  

Для описания постоянного или переменного напряжений, разряда ем
кости через сопротивление или реакции резонансного контура на произвольное воздействие и т.п. применяют существенно различающиеся, на первый 
взгляд, математические образы. Однако опыт показывает, что сравнивать их 
между собой и однозначно описывать можно, если своевременно ввести в обращение абстрактные математические модели, так называемые обобщенные 
функции: дельта-функцию и функцию Хевисайда. 

 Обобщенные функции представляют собой инструмент, позволяющий 

анализировать разнообразные сигналы сложной формы, как периодические 
так и непериодические. При использовании обобщенных функций нет необходимости выяснять, чем они «являются», так как имеет смысл лишь результат 
их «работы».  

Дельта-функция (δ  – функция) не является функцией в смысле класси
ческого анализа. δ  – функция – это бесконечно короткий по длительности и 
бесконечно большой по амплитуде импульс единичной площади. Вводят δ  – 
функцию как предел дельта-образующих семейств функций. На рисунке 1.1а 
показано дельта-образующее семейство прямоугольных импульсов, амплитуда которых обратно пропорциональна длительности, а площадь равна единице. 

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рисунок 1.1 − Дельта-образующие семейства функций 

t 
0 

а) 

δ(t) 

τ/2 
-τ/2 

1/τ 

б) 

0 

δ(ω) 

ω 

1/απ 

На рисунке 1.1б представлено дельта-образующее семейство непре
рывных функций с такими же свойствами: 

 

.
)
/
(

)
/
(

/

,
,

,
,
/
lim
)
(

1
arctg
1
d

1

1
1
d

0
0

0

2
2
2

2
2
0

=
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
=

+

=

+

⎩
⎨
⎧

≠
=
∞
=

+

=

∞

∞
−

∞

∞
−

∞

∞
−

→

∫
∫
α
ω

π
α
ω

α
ω
π
ω

ω
α

π
α

ω
ω

ω
α

π
α
ω
δ

α

 

 

Изображают δ  – функцию короткой вертикальной стрелкой в точке, 

где она определена (не равна нулю). Таким образом, 
)
(t
δ
 и ( )
ω
δ
 – это 

условная сокращенная запись предела одного из дельта-образующих семейств функций (таблица 1.1), каждое из которых характеризуется тремя основными свойствами: 

1) действие дельта-образующих семейств функций сосредоточено в 

начале координат 

⎩
⎨
⎧

≠
=
∞
=
;0
,0

,0
,
)
(
t
t
t
δ

 

(1.1) 

 

2) любая дельта-образующая функция имеет единичную площадь, т.е. 

;1
)
(
=
∫

∞

∞
−

dt
t
δ
(1.2) 

3) все функции дельта-образующего семейства неотрицательны в 

окрестности нуля 

 

0
)
(
>
t
δ
  при  
0
t → . 
(1.3) 

Возникнув в недрах абстрактной математики, δ  – функция внедрилась 

не только в теорию, но и в практику анализа сигналов и цепей. Универсальные свойства δ  – функции позволяют выполнять математические операции 
непосредственно над δ  – функцией, не обращаясь к дельта-образующим семействам. 
 

Рассмотрим подробнее некоторые из математических преобразований.  

 
 
а) 
Задержка во времени.  

Перемещение δ  – функции во времени математически выполняется с 

помощью замены в (1.1) аргумента t  на (
)
0t
t −
 и обеспечивает перенос             

действия δ  – функции из начала координат в произвольную точку 0t  (рисунок 1.2). 

s(t)

 t
 0

δ(t)

 s(t)

 0

δ(t-t0)

 t
 t0

 

Рисунок 1.2 − Фильтрующее свойство δ – функции и перенос действия                  

из начала координат в точку t0 

 

б) Фильтрующее свойство δ  – функции.  
Использование δ  – функции позволяет аналитическим путем опреде
лить значение сигнала в произвольной точке 0t : 

2
1
0
),
0
(
)
(
)
(

2

1

t
t
s
dt
t
t
s

t

t

<
<
=
⋅
∫
δ
; 
(1.4) 

2
0
1
0
0
),
(
)
(
)
(

2

1

t
t
t
t
s
dt
t
t
t
s

t

t

<
<
=
−
⋅
∫
δ
. 
(1.5) 

в) Дифференцирование δ  – функции.  
Применяя δ  – функцию, можно оценить скорость изменения сигнала в 

точке 0t : 

0
0
,0
)
(
t
t
t
t
≠
=
−
ʹ′
δ
; 
(1.6) 

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0

2

1

2

1

t
s
dt
t
t
t
s
dt
t
t
t
s

t

t

t

t

ʹ′
−
=
−
⋅
ʹ′
−
=
−
ʹ′
⋅
∫
∫
δ
δ
. 
(1.7) 

г) Интегрирование δ  – функции.  
Интегрирование δ  – функции приводит к возникновению функции 

Хевисайда 
)
(t
σ
: 

⎪
⎩

⎪
⎨

⎧

<

=

>

=
=
∫
∞
−
.
,

,
,

,
,

)
(
)
(

0
t
0

0
t
2
1

0
t
1

t
d

t

σ
τ
τ
δ
(1.8) 

На функции Хевисайда  (единичном скачке) остановимся подробнее. 

Единичный скачок не является функцией в смысле классического анализа. 
Определяют функцию Хевисайда 
)
(t
σ
 как предел  интеграла от дельта
образующих семейств. Два семейства, переходящие в пределе к функции 
Хевисайда, изображены на рисунке 1.3. 

Таблица 1.1. Дельта-образующие функции 

Аналитическое выражение 
Графическое представление 

⎪
⎩

⎪
⎨

⎧

>

≤

=

→

2
,0

2
,
1

lim
)
(

0
τ

τ

τ
δ

τ
t

t

t

 

t
e
t
α

α

α
δ
−

∞
→
=
2
lim
)
(

0
,
lim
)
(
≥
=
−

∞
→
t
e
t
t
α

α
α
δ

t

t
t
π

ω
δ

ω

sin
lim
)
(

∞
→
=

 
π
ω

ω
π 2
∫
−

Ω

∞
→
Ω
=

ω

ω
ω
π
δ
d
e
t
t
j

2
1
lim
)
(

2
2
0
lim
)
(

ω
α

π
α

ω
δ

α
+

=

→

απ
1

ω
π

ω
ω
δ
t

t

sin
lim
)
(

∞
→
=

∫
−

−

∞
→
=

t

t

j

t
d
e
τ
π
ω
δ
ωτ

2
1
lim
)
(

∫
∫

∞
−
∞
→
∞
−

=
=

t
t

d
d
t
τ
πτ

ωτ
τ
τ
δ
σ

ω

sin
lim
)
(
)
(

2

τ

τ
1

ω 

t 

Рисунок 1.3 − Образование функций Хевисайда 

 

Функцию Хевисайда изображают единичной ступенькой (с перебро
сом уровня в начале координат) и, видимо, поэтому называют функцией 
включения или единичным скачком. 

Основные свойства функции Хевисайда: 

 
1) аналитическая связь с δ  – функцией 

)
(
)
(
t
t
δ
σ
=
ʹ′
; 
(1.9) 
 

 
 
2) формирование одностороннего сигнала ( )t
s
 из произвольной 

функции ( )t
f

⎩
⎨
⎧

<

≥
=
⋅
=
;0
,0

,0
),
(
)
(
)
(
)
(
t

t
t
f
t
t
f
t
s
σ
(1.10) 

 
3) определение значения сигнала в произвольной точке 

)
(
)
(
)
(
0
0
t
s
dt
t
t
t
s
=
−
ʹ′
⋅
∫

∞

∞
−

σ
; 
(1.11) 

4) определение скорости изменения сигнала в точке 
 

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
t
s
dt
t
t
t
s
dt
t
t
t
s
ʹ′
−
=
−
ʹ′
⋅
=
−
ʹ′ʹ′
⋅
∫
∫

∞

∞
−

∞

∞
−

δ
σ
. 
(1.12) 

Единичный скачок можно представить суммой четной и нечетной со
ставляющих (рисунок 1.4): 

)
(
2
1

2
1
)
(
t
sign
t
⋅
+
=
σ
. 
(1.13) 

В таблице 1.1 представлены различные дельта - образующие функции с 

единичной площадью, которые при выполнении предельного перехода приобретают свойства δ  – функции. Используется δ  – функция в подынтегральных выражениях для сокращения объема преобразований и обеспечения 
ясности при дифференцировании не только непрерывных, но и разрывных 
функций. 

t 
0 

1 

0 

1 

t 

σ(t)
1

0,5

0,5

-0,5

0

0

0
t

t

t

 0,5sign(t)

 

Рисунок 1.4 − Графическое представление единичного скачка 

 

1.2 Описание алгоритмов взаимодействия  
      обобщенных функций и сигналов 

 

Функцию Хевисайда и δ  – функцию можно сдвигать, перемножать с 

другими функциями, интегрировать (например, по частям), дифференцировать и т.д. Соответствующий математический аппарат разработан. 

Функция Хевисайда и δ  – функция - это линейные операторы (или 

функционалы), которые работают по определенным правилам, сведенным в 
таблицу 1.2. Правила эти просты и удобны. Они заменяют большой объем 
классических математических преобразований. Физический смысл преобразований с помощью обобщенных функций будем выяснять в процессе ознакомления с дисциплиной. Единичный скачок и δ  – функция – это не только 
функционалы, предписывающие правила преобразований, они имеют самостоятельное применение в качестве «испытательных» сигналов в теории цепей. 

Рассмотрим различные преобразования, позволяющие аналитическим 

путем осуществить выбор момента времени и определить значения сигнала в 
произвольной точке: 

∫

∞

∞
−

=
⋅
−
⋅
)
(
)
(
)
(
0
0
t
s
dt
t
t
t
s
δ
; 
(1.14) 

)
(
)
(
)
(
0
0
t
s
dt
t
t
t
s∫

∞

∞
−

=
−
ʹ′
σ
; 
(1.15) 

∫

∞

∞
−

−
=
−
ʹ′
)
(
)
(
)
(
0
0
t
s
dt
t
t
t
s
σ
. 
(1.16)