Введение в нелинейную оптику

 
Министерство образования и науки Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное образовательное 
учреждение  
высшего профессионального образования 
«Томский государственный университет систем управления и 
радиоэлектроники» 
 
Кафедра электронных приборов 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ОПТИКУ  

 

 
 
Учебное пособие  
        для студентов направлений подготовки 
«Фотоника и оптоинформатика», «Электроника и наноэлектроника», 
«Электроника и микроэлектроника»  
 
 
 
 
 
 
 
2012

 

 

 

Шандаров, Станислав Михайлович 

 

Введение в нелинейную оптику : учебное пособие для студентов 
направлений подготовки «Фотоника и оптоинформатика», «Электроника и 
наноэлектроника», «Электроника и микроэлектроника» / С.М. Шандаров;  
Министерство образования и науки Российской Федерации,  Федеральное 
государственное 
бюджетное 
образовательное 
учреждение 
высшего 
профессионального образования Томский государственный университет 
систем управления и радиоэлектроники, Кафедра электронных приборов. - 
Томск : ТУСУР, 2012. –  41 с.  
 
В пособии изложены физические основы нелинейной оптики – 
нелинейная поляризация среды, электромагнитная теория эффектов 
второго порядка, генерация волны суммарной частоты и второй 
гармоники, параметрическое усиление и генерация света, преобразование 
частоты при квазисинхронном взаимодействии.   
Предназначено для студентов очной, очно-заочной и заочной форм, 
обучающихся 
по 
направлениям 
подготовки 
«Фотоника 
и 
оптоинформатика», «Электроника и наноэлектроника», «Электроника и 
микроэлектроника».   
 

 

 

 

 

 

 

 

© Шандаров Станислав Михайлович, 2012 

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение  
высшего профессионального образования 
«Томский государственный университет систем управления и 
радиоэлектроники» 
 
Кафедра электронных приборов 
 
 
 
 
 
 
 
УТВЕРЖДАЮ 
Зав.кафедрой ЭП 
________С.М. Шандаров 
«___»    ________ 2012 г. 
 
 
 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ОПТИКУ  

 

 

Учебное пособие  
        для студентов направлений подготовки 
«Фотоника и оптоинформатика», «Электроника и наноэлектроника», 
«Электроника и микроэлектроника»  
 
 
 
 
Разработчик 
докт. физ.-мат. наук, проф. 
каф.ЭП 
________С.М. Шандаров 
«____»__________2012 г. 
 
 
 
 
 
 
2012 
 

 

Содержание 
 
 

 

Введение....................................................................................................................... 5 

1. Нелинейная поляризация среды при мгновенном отклике ............................. 5 

2. Общий подход к описанию нелинейных явлений второго порядка ............... 6 

3. Электромагнитная теория нелинейных эффектов второго порядка............... 9 

4. Генерация 
волны 
суммарной 
частоты 
при 
коллинеарном 
взаимодействии в ниобате лития............................................................................. 12 

5. Генерация второй гармоники............................................................................ 15 

6. Фазовый синхронизм при генерации второй гармоники............................... 16 

7. Генерация второй гармоники при наличии обратного воздействия............. 19 

8. Параметрическое усиление ............................................................................... 21 

9. Параметрическая генерация.............................................................................. 23 

10. 
Преобразование частоты при квазисинхронном взаимодействии............. 25 

11. 
Периодические доменные структуры в сегнетоэлектриках....................... 27 

12. 
Методы формирования индуцированных доменов и РДС......................... 29 

Список использованной литературы....................................................................... 39 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение 

 

Нелинейная оптика изучает распространение светового излучения в твердых 

телах, жидкостях и газах в условиях, когда оно изменяет оптические характеристики 

среды (показатель преломления, коэффициент поглощения), и приложения таких 

эффектов к преобразованию спектральных и пространственных характеристик 

светового поля. К эффектам нелинейной оптики относятся генерация гармоник 

светового излучения, параметрическое усиление и генерация света, АП-конверсия, 

оптическое 
выпрямление, 
вынужденное 
рассеяние 
света, 
двухфотонное 
и 

многофотонное поглощение, самофокусировка и самодефокусировка световых пучков, 

генерация и взаимодействие пространственных и временных солитонов, оптическая 

бистабильность, и многие другие явления, известные к настоящему времени. 

В настоящем учебном пособии, ориентированном на студентов и аспирантов, 

излагаются сведения по основам нелинейной оптики, нелинейным материалам и 

структурам, опубликованные в некоторых учебных пособиях, монографиях, обзорных 

и оригинальных статьях [1-16]. Основное внимание уделяется таким вопросам, как 

нелинейная поляризация среды, электромагнитная теория эффектов второго порядка, 

генерация волны суммарной частоты и второй гармоники, параметрическое усиление и 

генерация света, преобразование частоты при квазисинхронном взаимодействии.   

 

1. Нелинейная поляризация среды при мгновенном отклике 

 

В реальной среде увеличение напряженности светового поля приводит к 

нелинейной связи с наведенной им электрической поляризацией. Такая нелинейная 

связь во многих случаях может быть представлена в виде разложения в ряд Тейлора: 

 



0
2
4
...
i
ij
j
ijk
j
k
ijkl
j
k
l
P
E
d E E
E E E
 


 

,                                              (1) 

 

где Pi –  компонента мгновенной поляризации; Ej – компонента электрической 

напряженности мгновенного светового поля; χij – линейная восприимчивость среды; dijk 

и χijkl – нелинейные оптические восприимчивости второго и третьего порядков 

соответственно. В выражении (1) предполагается, что система не имеет потерь и отклик 

 

является мгновенным. В этом случае можно показать, что коэффициенты тензоров χij, 

dijk и χijkl симметричны по перестановкам любых индексов; например, χijkl = χjilk.  

 

Нелинейный оптический отклик, характеризуемый параметрами dijk и χijkl, 

приводит к многочисленным нелинейным явлениям и интересным приложениям. 

Нелинейность второго порядка 
0
2
i
ijk
j
P
d E
k
E
 

0
4
ijkl
j
k
l
P
E E

 ответственна за генерацию второй 

гармоники, суммарных и разностных частот, за параметрическое усиление и генерацию 

света. Член третьего порядка 
i
E
  
 связан с описанием различных явлений, 

таких как генерация третьей гармоники, комбинационное рассеяние света и рассеяние 

Мандельштама-Бриллюэна, самофокусировка и обращение волнового фронта. 

 

2. Общий подход к описанию нелинейных явлений второго порядка 

 

Рассмотрим связь монохроматических оптических полей с частотами ω1 и ω2 в 

нелинейной среде. Запишем их в виде 

 

1
1
1
1
( )
exp(
)
к.с.
2
j
j
E
t
E
i
t






,                                                                     (2) 

2
1
( )
exp(
)
к.с.
2
j
j
E
t
E
i
t






                                                                     (3) 

 

В нелинейной среде эти поля наводят электрическую поляризацию на частотах 

nω1+ mω2, где n и m – целые числа. Представляя составляющие вектора поляризации на 

частоте ω3 = ω1+ ω2, как 

 

3
3
3
1
( )
exp(
)
к.с.
2
i
i
P
t
P
i
t






                                                                      (4) 

 

и ограничиваясь рассмотрением в (1) членов второго порядка, получаем для члена, 

соответствующего суммарной частоте, следующее выражение: 

 

0
1
2
0
2
1
1
1
( )
exp[ (
) ]
exp[ (
) ]
к.с.
2
2
i
ijk
j
k
ikj
k
j
P
t
d E E
i
t
d E
E
i
t







  


  





   (5) 

 

В среде с мгновенным откликом и в отсутствие потерь, где dikj = dijk, имеем 

 

3
3
0
1
2
1
( )
exp(
)
к.с.
 
exp[ (
) ]
к.с.
2
i
i
ijk
j
k
P
t
P
i
t
d E E
i
t







 
  





1
k
E




1E



1E



)

, 

 

или, для комплексных амплитуд, 

 

3
0
2
i
ijk
j
P
d E
  


.                                                                                             (6) 

 

Некоторая инерционность отклика, которой мы пренебрегаем, приводит к 

зависимости коэффициентов нелинейной восприимчивости от частот ω1 и ω2. Кроме 

того, из полученных выше соотношений можно найти и электрическую поляризацию, 

создаваемую на разностной частоте ω3 = ω1 – ω2. С учетом частотной зависимости 

выразим комплексные амплитуды электрической поляризации на суммарной и 

разностной частоте в следующем виде: 

 

3
0
3
2
(
,
,
)
i
ijk
j
k
P
d
E
 




 
  

,                                                                 (7) 

3
0
3
2
(
,
,
)
i
ijk
j
k
P
d
E
 




 
  

.                                                              (8) 

 

Отметим, что в общем случае  

 

3
3
(
,
,
)
(
,
,
ijk
ijk
d
d




  

  
, 

 

поскольку два этих коэффициента относятся к случаям, когда поля электрической 

напряженности с частотами ω1 и ω2 имеют различные направления, так что 

результирующая поляризация 
3
iP   для них не обязательно одна и та же. Однако 

имеет место следующее неравенство: 

 

3
3
(
,
,
)
(
,
,
ijk
ikj
d
d




  

   ) .                                                                    (9) 

 

Далее мы будем рассматривать главным образом прозрачные кристаллы с мгновенным 

откликом, когда коэффициенты dijk не зависят от частоты или от того, какую 

поляризацию мы анализируем - на суммарной или разностной частоте. Поэтому будем 

опускать ниже любые их обозначения, связанные с частотой. 

 

Тензор 
нелинейной 
оптической 
восприимчивости 
третьего 
ранга 
с 

коэффициентами dijk отличен от нуля только в кристаллах без центра симметрии. 

Коэффициенты dijk измеряют чаще всего в экспериментах по генерации второй 

гармоники, когда ω1 = ω2 = ω, а ω3 = 2ω. В этом вырожденном случае имеем 

 

2
0
i
ijk
j
k
P
d E
  

 E


 ,                                                                                                 (10) 

 

то есть выражения (10) и (7) различаются множителем 2. Это легко показать из (1), где 

в квадратичный член нужно подставлять не суперпозицию полей с частотами ω1 и ω2, а 

только поле с частотой ω. 

Используя симметрию коэффициентов dijk по перестановке двух последних 

индексов, заменим их на один по известным правилам: 11 ↔ 1; 22 ↔ 2; 33 ↔ 3; 23, 32 

↔ 4; 13, 31 ↔ 5 и 12, 21  ↔ 6, представим коэффициенты тензора d в виде матрицы 

: 
3 6


 

11
12
13
14
15
16

21
22
23
24
25
26

31
32
33
34
35
36

 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

d
d
d
d
d
d

d
d
d
d
d
d

d
d
d
d
d
d


d
.                                                                                 (11) 

 

Как известно, симметрия кристалла приводит к уменьшению независимых 

компонент тензоров, описывающих их физические свойства. В качестве примера 

приведем вид тензора d в кубических кристаллах симметрии 23 и 43m : 

 

14

14

14

0   0   0  
 0   0

0   0   0   0  
 0

0   0   0   0   0   
 

d

d

d


d
.                                                                                     (12) 

 

К кубическим нецентросимметричным кристаллам принадлежат GaAs, GaP, InAs, 

CdTe,  и другие. На длине волны накачки 1,06 мкм в арсениде галлия описывающий 

генерацию второй гармоники коэффициент d14 = 140 пм/В. 

Другим важным классом нелинейных материалов являются тригональные 

кристаллы симметрии 3m, к которым относятся ниобат лития (LiNbO3), танталат лития 

(LiTaO3) и бета-борат бария (BBO, 
2
4
BaB O
 
). Для них тензор d имеет следующий 

вид: 

 

15
22

22
22
15

31
31
33

  0     0    0   0   
 

 
  0   
 0      0

 
  
  
  0   0      0

d
d

d
d
d

d
d
d



 
d
.                                                                            (13) 

 

Для ниобата лития на длине волны накачки 1,058 мкм описывающие генерацию второй 

гармоники коэффициенты имеют следующие значения: d22 = 3,07 пм/В; d31 = 5,82 пм/В; 

d33 = 40,68 пм/В.  

Тетрагональные кристаллы класса симметрии 42m , к которым принадлежат 

дигидрофосфат калия (KDP, KH2PO4), дидейтерофосфат калия (DKDP, KH2-xDxPO4), 

дигидрофосфат аммония (ADP, NH4H2PO4), фосфид цинка-германия (ZnGeP2) и 

некоторые другие, имеют следующий вид тензора d: 

 

14

14

36

0    0    0   
  0     0

0    0    0   0    
   0

0    0    0   0    0    

d

d

d


d
.                                                                            (14) 

 

Используемый в широкоапертурных нелинейных устройствах кристалл KDP на длине 

волны накачки 1,058 мкм имеет значение коэффициентов d36 = d14= 0,47 пм/В. 

В кристаллах класса симметрии 6mm, к которому принадлежат, в частности, 

селенид кадмия (CdSe), нитрид галлия (GaN), нитрид алюминия (AlN), тензор d имеет 

вид 

 

 

15

15

31
31
33

  0     0    0   0    
 0

  0     0    0    
 0   0

 
  
  
  0   0   0

d

d

d
d
d


d
.                                                                                 (15) 

 

3. Электромагнитная теория нелинейных эффектов второго порядка  

 

Рассмотрим нелинейную поляризацию, возникающую в нелинейной среде при 

воздействии на нее двух плоских монохроматических световых волн 

 

1
1
1
1
1
( , )
exp[ (
)]
к.с.
2
j
j
E
t
E
i
t



 

r
k


r
,                                                            (16) 

 

2
2
1
( , )
exp[ (
)]
к.с.
2
k
k
E
t
E
i
t



 

r
k


r
                                                            (17) 

 

Ограничиваясь 
здесь 
рассмотрением 
эффектов 
второго 
порядка, 
найдем 
из 

соотношения (6) нелинейную поляризацию на суммарной и разностной частотах  

 

0
1
2
1
2
( )
exp{ [(
)
(
)
]}
к.с.
i
ijk
j
k
P
t
d E E
i
t



 
  



k
k
r


+
,                           (18) 

0
1
2
1
2
( )
exp{ [(
)
(
)
]}
к.с.
i
ijk
j
k
P
t
d E E
i
t



 
  




k
k
r


                            (19) 

 

Наличие в среде нелинейной поляризации на суммарной и разностной частоте 

еще не означает, что на выходе данной среды мы получим световое поле с 

соответствующими характеристиками, имеющее заметную амплитуду. Рассмотрим 

уравнения Максвелла, которые справедливы и в этом случае, записывая их в виде 

 

0
rot
t
t


 



E
P
H
,                                                                                              (20) 

 
0
rot
t

 

H
E
,                                                                                                   (21) 

 

где вектор поляризации может быть представлен в виде суммы линейного и 

нелинейного членов: 

 

0
lin
nl
 


P
χ
E
P .                                                                                                 (22) 

 

Используя стандартный подход, найдем из (20)-(22) волновое уравнение в 

следующем виде: 

 

2
2

0
0
2
(
)
rotrot
nl
t
t



 
 


P
ε E
E
2 .                                                                       (23) 

 

Из последнего уравнения следует, что нелинейная поляризация играет роль 

вынуждающей силы. Слева записано обычное волновое уравнение (линейное), 

решением которого является, в частности, плоская монохроматическая волна. Если 

вынуждающая сила (нелинейная поляризация) находится в резонансе с полем этой 

волны, то ее амплитуда будет заметной на выходе среды (рис. 1). 

 

Рис. 1. Нелинейная поляризация среды на суммарной и разностной частотах 

и результирующее поле распространяющейся в ней световой волны с частотой ω3 и 

волновым вектором k3 

 

Очевидно, что если одновременно выполняются условия 

 

3
1
    2

2

2

2

,                                                                                                         (24) 

3
1


k
k
k ,                                                                                                          (25) 

 

то будет генерироваться волна с суммарной частотой. В случае выполнения условий 

 

3
1
     ,                                                                                                          (26) 

 
,                                                                                                          (27) 
3
1


k
k
k

 

в среде происходит эффективная генерация на разностной частоте. Отметим, что 

условия синхронизма такого же вида, как и (24)-(25) или (26)-(27), широко 

используются при описании многих явлений взаимодействия световых волн. Например, 

подобные условия синхронизма являются ключевыми при анализе дифракции света на 

акустических волнах и на объемных голограммах.  

Эти условия выражают законы сохранения энергии ((24) и (26)) и квазиимпульса 

((25) и (27)). То есть, взаимодействие двух фотонов с энергиями ħω1 и ħω2  и 

квазиимпульсом ħk1 и ħk2 порождает фотон с энергией ħω3 = ħω1 + ħω2 (или с энергией 

ħω3 = ħω1 – ħω2) и квазиимпульсом ħk3 = ħk1 + ħk2 (или ħk3 = ħk1 – ħk2). Закон 

 

Eвх 

ω1, k1 
? 
Pnl[(ω1+ ω2), (k1+ k2)] 
Pnl[(ω1- ω2), (k1- k2)] 
 

ω2, k2 
E[ω3, k3]