Эконометрика

Министерство образования и науки Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

ФАКУЛЬТЕТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ (ФДО)

И. В. Потахова

ЭКОНОМЕТРИКА

Учебное пособие

Томск
2015

УДК
330.43(075.8)
ББК
65в631я73
П 640

Рецензенты:

Тарасенко В. Ф., докт. техн. наук, профессор кафедры теоретической
кибернетики Томского государственного университета;

Лепихина З. П., канд. техн. наук, доцент кафедры автоматизации обработки
информации ТУСУРа.

Потахова И. В.
П 640
Эконометрика : учебное пособие / И. В. Потахова. — Томск : факультет
дистанционного обучения ТУСУРа, 2015. — 110 с.

Эконометрика как учебная дисциплина включена в основную образовательную программу подготовки экономистов, определяемую Федеральным государственным образовательным стандартом. Это определено тем,
что современные экономические теории и исследования, требуют от экономистов свободного владения математическим аппаратом изучения статистических данных.

Целью изучения учебной дисциплины «Эконометрика» является овладение современными эконометрическими методами анализа конкретных
экономических данных.

Данное пособие рассчитано в первую очередь на студентов экономических специальностей, которые изучают эконометрику. В пособии рассмотрены вопросы по основным разделам эконометрики: парная и множественная регрессия, системы эконометрических уравнений и временные ряды.

Для изучения эконометрики необходимо знание статистики и математики. Особенно важно владение корреляционным, регрессионным и дисперсионным анализом, а также методами проверки статистических гипотез.

Пособие предназначено для самостоятельного изучения дисциплины
«Эконометрика» студентами заочной формы обучения, а также студентами, обучающихся с применением дистанционных образовательных технологий.

УДК
330.43(075.8)
ББК
65в631я73

Потахова И. В., 2015

Оформление.
ФДО, ТУСУР, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
5

1
Парная регрессия
8

1.1
Понятие парной регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

1.2
Линейная модель парной регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

1.2.1
Вычисление коэффициентов уравнения линейной регрессии .
11

1.2.2
Исследование уравнения линейной регрессии . . . . . . . . . .
12

1.2.3
Нелинейные модели регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

2
Множественная линейная регрессия
27

2.1
Понятие множественной регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

2.2
Спецификация модели. Отбор факторов при построении уравнения
множественной регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

2.3
Оценка параметров уравнения множественной линейной регрессии .
31

2.4
Регрессионная модель в стандартизованном масштабе . . . . . . . . .
34

2.5
Частные уравнения регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38

2.6
Анализ качества эмпирического уравнения регрессии
. . . . . . . . .
40

2.6.1
Оценка статистической значимости параметров модели
множественной регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

2.6.2
Оценка статистической значимости уравнения
множественной регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

3
Гетероскедастичность и автокорреляция остатков
46

3.1
Предпосылки МНК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46

3.2
Гетероскедастичность. Обнаружение гетероскедастичности . . . . . .
49

3.2.1
Графический анализ остатков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49

3.2.2
Тест ранговой корреляции Спирмена . . . . . . . . . . . . . . .
50

3.2.3
Тест Парка
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52

3.2.4
Тест Голдфелда—Квандта
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52

3.3
Методы устранения гетероскедастичности
. . . . . . . . . . . . . . . .
54

3.4
Автокорреляция в остатках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

4
Регрессионные модели с переменной структурой
60

4.1
Понятие фиктивных переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

4.2
Модели регрессии с фиктивными переменными сдвига
. . . . . . . .
61

4.3
Модели регрессии с фиктивными переменными наклона
. . . . . . .
64

4.4
Общий вид модели регрессии с фиктивными переменными . . . . . .
65

4.5
Исследование структурных изменений с помощью теста Чоу . . . . .
67

Оглавление

5
Системы эконометрических уравнений
70

5.1
Общие положения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70

5.2
Составляющие систем одновременных уравнений . . . . . . . . . . . .
72

5.3
Идентификация структурной модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74

5.4
Оценивание параметров системы одновременных уравнений . . . . .
78

5.4.1
Косвенный метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . .
78

5.4.2
Двухшаговый метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . .
80

6
Временные ряды
86

6.1
Составляющие временного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86

6.2
Автокорреляция уровней временного ряда
. . . . . . . . . . . . . . . .
89

6.3
Моделирование тенденции временного ряда . . . . . . . . . . . . . . .
94

6.4
Моделирование сезонных колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95

Заключение
102

Литература
103

Приложение А Математико-статистические таблицы
104

Глоссарий
108

ВВЕДЕНИЕ

Эконометрика — наука, изучающая количественные и качественные экономические взаимосвязи с помощью математических и статистических методов и моделей.

Эконометрика как научная дисциплина зародилась и получила развитие на основе слияния экономической теории, математической экономики, экономической
и математической статистики.

В настоящее время эконометрические методы широко применяются в количественном анализе фирм, фондового и товарного рынков, макроэкономических моделей. Применение эконометрики поднимает получаемые результаты на качественно
новый уровень, поскольку в этом случае каждый вывод подтверждается точными
количественными расчетами и конкретным значением критерия, который оценивает справедливость выдвинутой гипотезы.

Мощным инструментом эконометрических исследований является аппарат математической статистики. Как следствие, эконометрические методы — это, прежде
всего, методы статистического анализа конкретных экономических данных.

Центральной проблемой любого эконометрического исследования является построение эконометрической модели.

В общем случае процедуру построения эконометрической модели можно разделить на несколько взаимосвязанных между собой этапов. Основные среди них
имеют следующее содержание [3].

1. Анализ специфических свойств рассматриваемых явлений и процессов
и обоснование класса моделей, наиболее подходящих для их описания.
Целями этого этапа являются:

1.1 Выбор рационального состава включаемых в модель переменных
и определение количественных характеристик, отражающих их уровни в прошлые периоды времени (на однородных объектах некоторой
совокупности — территориях, предприятиях и т. п.).

1.2 Обоснование типа и формы модели, выражаемой математическим
уравнением (системой уравнений), связывающим включенные в модель переменные.

2. Оценка параметров выбранного варианта модели на основании исходных
данных, выражающих уровни показателей (переменных) в различные моменты времени или на совокупности однородных объектов.

Введение

3. Проверка качества построенной модели и обоснование вывода о целесообразности ее использования в ходе дальнейшего эконометрического исследования.

4. При выводе о нецелесообразности использования построенной эконометрической модели в дальнейших исследованиях следует вернуться к первому (или какому-либо другому этапу) и попытаться построить более качественную модификацию модели (другой вариант модели).

В данном пособии рассматриваются базовые эконометрические методы и модели. Пособие состоит из введения, основного учебного материала (гл. 1–6), приложений.

Во введении дается определение эконометрики, показано ее место в образовательной программе подготовки бакалавра.

В первой главе рассматриваются классические модели парной регрессии. На
примере парной линейной регрессии показывается фундаментальный метод оценки параметров регрессии — метод наименьших квадратов. Вводятся понятия точности оценок коэффициентов регрессии, качества уравнения регрессии.

Во второй главе рассматриваются модели линейной множественной регрессии.
Описывается применение метода наименьших квадратов для нахождения параметров уравнения множественной линейной регрессии. Рассматривается схема выполнения анализа уравнения множественной регрессии: оценка качества уравнения
регрессии, оценка значимости коэффициентов регрессии и уравнения в целом.

В третьей главе исследуются причины и последствия невыполнимости предпосылок применения метода наименьших остатков: постоянство дисперсии остатков,
отсутствие зависимости между случайными отклонениями (автокорреляция остатков). Приводятся способы обнаружения нарушений данных предпосылок. Рассматривается схема нахождения оценок регрессионной модели с помощью обобщенного метода наименьших квадратов.

В четвертой главе разбираются вопросы построения регрессионных моделей,
в которых используются неколичественные факторы.

В пятой главе анализируются системы эконометрических уравнений. Рассматриваются методы оценки параметров систем эконометрических уравнений. Приводится схема исследования систем уравнений на возможность идентификации.

В шестой главе вводится понятие эконометрических моделей, построенных на
основе временных рядов. Выделяются основные составляющие временного ряда.
Приводится пример построения модели временного ряда.

Для изучения и освоения материала, изложенного в пособии, студенту достаточно знаний курсов математики, теории вероятностей и математической статистики. При изложении материала приводятся задачи с решениями. В заключении
каждой главы имеются вопросы для самопроверки. В приложениях приводятся
таблицы, необходимые для выполнения практических расчетов.

Соглашения, принятые в книге

Для улучшения восприятия материала в данной книге используются пиктограммы и специальное выделение важной информации.

Соглашения, принятые в книге
7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает определение или новое понятие.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эта пиктограмма означает внимание. Здесь выделена важная информация, требующая акцента на ней. Автор здесь может поделиться с читателем опытом, чтобы помочь избежать некоторых
ошибок.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Эта пиктограмма означает пример. В данном блоке автор может привести практический пример для пояснения и разбора основных моментов, отраженных в теоретическом материале.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольные вопросы по главе
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава 1

ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ

1.1 Понятие парной регрессии

В эконометрике широко используется регрессионный анализ как метод выявления уравнения связи между зависимыми и независимыми переменными, наилучшим способом дающий оценку истинного соотношения между этими переменными.

Если переменные обозначить X и Y, то зависимость вида:

f (x) = M(Y

X )

называется функцией регрессии X на Y, где X — независимые (объясняющие) переменные (регрессоры, факторы); Y — зависимая (объясняемая) переменная.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Регрессия — зависимость между независимыми (объясняющими)
переменными и условным математическим ожиданием зависимой
(объясняемой) переменной.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

При рассмотрении двух случайных величин говорят о парной регрессии. Зависимость такого типа в общем случае выражается уравнением:

y = f (x) + ε.

В уравнении можно выделить две части:
систематическую ̂yx = f (x), где ̂yx характеризует некоторое среднее значение y для данного значения x;

случайную ε, характеризующую отклонение реального значения результативного признака y от теоретического ̂yx, найденного по уравнению регрессии для данного значения x.

1.1 Понятие парной регрессии
9

Среди причин обязательного присутствия в регрессионных моделях случайного фактора (отклонения) можно выделить следующие.

1. Невключение в модель всех объясняющих переменных. Любая регрессионная (в частности, эконометрическая) модель является упрощением реальной ситуации. Последняя всегда представляет собой сложнейшее переплетение различных
факторов, многие из которых в модели не учитываются, что порождает отклонение
реальных значений зависимой переменной от ее модельных значений. Например,
спрос (Q) на товар определяется его ценой (P), ценой на товары-заменители (Ps),
ценой на дополняющие товары (Pc), доходом (I) потребителей, их количеством (N),
вкусами (T), ожиданиями (W) и т. д. Безусловно, перечислить все объясняющие
переменные здесь практически невозможно. К примеру, не учтены такие факторы,
как традиции, национальные или религиозные особенности, географическое положение региона, погода и многие другие, влияние которых приведет к некоторым
отклонениям реальных наблюдений от модельных. Эти влияния выражаются через
случайный член ε. Тогда модель спроса можно записать в виде функции:

Q = f (P, Ps, Pc, I, N, T, W, ε).

Проблема еще и в том, что никогда заранее неизвестно, какие факторы при
создавшихся условиях действительно являются определяющими, а какими можно
пренебречь. Например, в ряде случаев учесть непосредственно какой-то фактор
нельзя в силу невозможности получения по нему статистических данных.

2. Неправильный выбор функциональной формы модели. Из-за слабой изученности исследуемого процесса либо из-за его переменчивости может быть неверно
подобрана функция, его моделирующая. Это, безусловно, скажется на отклонении
модели от реальности, что отразится на величине случайного члена. Кроме того,
неверным может быть подбор объясняющих переменных.

3. Агрегирование переменных. Во многих моделях рассматриваются зависимости между факторами, которые сами представляют сложную комбинацию других,
более простых переменных. Например, при рассмотрении в качестве зависимой
переменной совокупного спроса проводится анализ зависимости, в которой объясняемая переменная является сложной композицией индивидуальных спросов, оказывающих на нее определенное влияние помимо факторов, учитываемых в модели.
Это может оказаться причиной отклонения реальных значений от модельных.

4. Ошибки измерений. Какой бы качественной ни была модель, ошибки измерений переменных отразятся на несоответствии модельных значений эмпирическим данным, что также отразится на величине случайного члена.

5. Ограниченность статистических данных. Зачастую строятся модели, выражаемые непрерывными функциями. Но для этого используется набор данных, имеющих дискретную структуру. Это несоответствие находит свое выражение в случайном отклонении.

6. Непредсказуемость человеческого фактора. Эта причина может «испортить»
самую качественную модель. Действительно, при правильном выборе формы модели, скрупулезном подборе объясняющих переменных все равно невозможно
спрогнозировать поведение каждого индивидуума.

Решение задачи построения качественного уравнения регрессии, соответствующего эмпирическим данным и целям исследования, является сложным и многоступенчатым процессом. Его можно разбить на три этапа:

Глава 1. Парная регрессия

1) выбор формулы уравнения регрессии;

2) определение параметров выбранного уравнения;

3) анализ качества уравнения и проверка адекватности уравнения эмпирическим данным, совершенствование уравнения.

Выбор формулы связи переменных называется спецификацией уравнения регрессии. В парной регрессии выбор вида математической функции ̂yx = f (x) может
быть осуществлен тремя методами:

1) графическим;

2) аналитическим, т. е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи;

3) экспериментальным.

При изучении зависимости между двумя признаками графический метод подбора вида уравнения регрессии достаточно нагляден. Он основан на визуальном
анализе поля корреляции (рис. 1.1).

Рис. 1.1 – Поле корреляции

Значительный интерес представляет аналитический метод выбора типа уравнения регрессии. Он основан на изучении материальной природы связи исследуемых
признаков.

При обработке информации на компьютере выбор вида уравнения регрессии
обычно осуществляется экспериментальным методом, т. е. путем сравнения величины остаточной дисперсии σ2
ocт, рассчитанной при разных моделях.

Если уравнение регрессии проходит через все точки корреляционного поля,
что возможно только при функциональной связи, когда все точки лежат на линии
регрессии ̂yx = f (x), то фактические значения результативного признака совпадают
с теоретическими y = ̂yx, т. е. они полностью обусловлены влиянием фактора x.
В этом случае остаточная дисперсия σ2
ocт = 0.

В практических исследованиях, как правило, имеет место некоторое рассеяние
точек относительно линии регрессии. Оно обусловлено влиянием прочих, не учитываемых в уравнении регрессии факторов. Иными словами, наблюдаются отклонения фактических данных от теоретических (y −̂yx). Величина этих отклонений
лежит в основе расчета остаточной дисперсии:

σ2
ocт = 1

n ⋅

n
∑
i=1
(yi −̂yi)2.

1.2 Линейная модель парной регрессии
11

Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем меньше влияние не учитываемых в уравнении регрессии факторов и тем лучше уравнение регрессии подходит
к исходным данным.

Считается, что число наблюдений должно в 7–8 раз превышать число рассчитываемых параметров при переменной x. Это означает, что искать линейную регрессию, имея менее 7 наблюдений, вообще не имеет смысла. Если вид функции
усложняется, то требуется увеличение объема наблюдений, ибо каждый параметр
при x должен рассчитываться хотя бы по 7 наблюдениям. Следовательно, если мы
выбираем параболу второй степени ̂yx = a + b ⋅ x + c ⋅ x2, то требуется объем информации уже не менее 14 наблюдений.

1.2 Линейная модель парной регрессии

Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров. Кроме того, построенное линейное уравнение может служить начальной точкой эконометрического анализа.

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида:

y = a + b ⋅ x + ε.

На практике построение линейной регрессии сводится к оценке параметров
уравнения ̂yx = a + b ⋅ x.

1.2.1 Вычисление коэффициентов уравнения линейной
регрессии

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан
на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки
параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений
результативного признака y от теоретических ̂yx минимальна:

n
∑
i=1
(yi −̂yxi)2 =

n
∑
i=1
ε2
i → min.

То есть из всего множества линий на графике линия регрессии выбирается
так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками наблюдений
и линией регрессии была бы минимальной (рис. 1.2).

Как известно из курса математического анализа, чтобы найти минимум функции, необходимо вычислить частные производные по каждому из параметров (в нашем случае это a и b) и приравнять их к нулю. Если обозначить ∑
i
ε2
i через S(a, b),

то можно записать:

S(a, b) = ∑(y − a − b ⋅ x)2;
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

∂S
∂a = −2 ⋅ ∑(y − a − b ⋅ x) = 0,

∂S
∂b = −2 ⋅ ∑x ⋅ (y − a − b ⋅ x) = 0.

Глава 1. Парная регрессия

Рис. 1.2 – Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков

После несложных преобразований получается следующая система линейных
уравнений для оценки параметров a и b:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a ⋅ n + +b ⋅ ∑x = ∑y,
a ⋅ ∑x + +b ⋅ ∑x2 = ∑x ⋅ y.

Решение системы уравнений позволяет найти оценки параметров a и b:

b = x ⋅ y − x ⋅ y

x2 − (x)2 = cov(x, y)

σ2x
,

a = y − b ⋅ x,

где cov(x, y) — выборочное значение корреляционного момента (ковариация), определенного по формуле cov(x, y) = x ⋅ y − x ⋅ y; σ2
x — выборочное значение дисперсии
величины x, определяемой по формуле σ2
x = x2 − (x)2;

x = 1

n ⋅

n
∑
i=1
xi;
y = 1

n ⋅

n
∑
i=1
yi;
x ⋅ y = 1

n ⋅

n
∑
i=1
xi ⋅ yi;
x2
i = 1

n ⋅

n
∑
i=1
x2
i .

Параметр b называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает
среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.

Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии
сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.

Формально a — значение y при x = 0. Если признак-фактор x не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного члена a не имеет смысла,
т. е. параметр a может не иметь экономического содержания.

1.2.2 Исследование уравнения линейной регрессии

Оценка тесноты связи и качества модели линейной регрессии.
Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции rxy, который можно рассчитать по следующей формуле:

rxy = b ⋅ σx

σy
= cov(x, y)

σx ⋅ σy
.