Теоретическая механика

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
 
Томский государственный университет  
систем управления и радиоэлектроники 
 
 
 
 
 
 
 
 
Б. А. Люкшин  
Н. Ю. Гришаева 
Г. Е. Уцын 
 
 
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 
 
 
Учебно-методическое пособие 
для студентов технических направлений подготовки и специальностей 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
2020

УДК 531(075.8)  
ББК 22.21я73  
 
 
Рецензенты: 
Барашков В.Н., профессор кафедры строительной механики Томского 
государственного архитектурно-строительного университета, д-р физ.-мат. 
наук 
 
 
Авторы: 
Б.А. Люкшин, Н.Ю. Гришаева,  Г.Е. Уцын 
 
Люкшин, Борис Александрович 
Теоретическая механика: учеб. – метод. пособие / Б.А. Люкшин [и др.]. 
— Томск: Томск. гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 2020. — 184 с. 
 
 
В учебно-методическом пособии изложены основные сведения, необходимые для 
решения задач по статике, кинематике, динамике материальной точки и абсолютно 
твердого 
тела 
в 
объеме, 
соответствующем 
образовательным 
стандартам 
для 
специальностей радиотехнического профиля. Приведены примеры решения задач, 
сопровождающиеся методическими указаниями. В пособии нашли отражение основные 
способы и методы решения задач по перечисленным разделам курса теоретической 
механики.  
Для студентов, обучающихся по техническим специальностям для всех форм 
обучения. 
 
Одобрено на заседании каф. Механики и Графики, протокол №130 от 
10.02.2020 
 
 
 
УДК 531(075.8)  
ББК 22.21я73 
 
 
© 
Люкшин 
Б.А., 
Гришаева 
Н.Ю., Уцын Г.Е., 2020 
© Томск. гос. ун-т систем упр. и 
радиоэлектроники, 2020 
 
 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................................... 4 
1. СТАТИКА ...................................................................................................... 6 

1.1 Законы и аксиомы статики. Определения .............................................. 6 
1.2. Плоская система сил .............................................................................. 8 

1.3. Равновесие твердого тела с одной неподвижной точкой ................... 13 
1.4. Произвольная плоская система сил. Случай параллельных сил ........ 14 

1.5. Силы трения ......................................................................................... 22 
1.6. Расчет плоских ферм (дополнительный к основной программе 
раздел) .......................................................................................................... 29 
1.7. Центр тяжести ...................................................................................... 33 
2. КИНЕМАТИКА .............................................................................................. 40 

2.1. Движение точки .................................................................................... 40 
2.2. Скорость и ускорение точки ................................................................ 47 

2.3. Сложное движение точки .................................................................... 54 
2.4. Сложение скоростей и сложение ускорений ...................................... 59 

2.5. Плоское движение твердого тела ........................................................ 63 
3. ДИНАМИКА .................................................................................................. 77 

3.1. Динамика материальной точки ............................................................ 77 
3.2. Вторая (основная) задача динамики точки – определение движения 
точки по заданным силам ........................................................................... 83 
3.3. Колебания ............................................................................................. 97 

3.4. Относительное движение ................................................................... 105 
4. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ............................................................. 110 

4.1. Центр масс материальной системы ................................................... 110 
4.2. Моменты инерции твердых тел ......................................................... 112 

4.3. Движение центра масс системы ........................................................ 117 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................ 124 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................................ 125 
ПРИЛОЖЕНИЕ А ............................................................................................ 126 

ПРИЛОЖЕНИЕ Б ............................................................................................. 165 
 

ВВЕДЕНИЕ 

При изучении теоретической механики наибольшую трудность 
вызывает приложение теоретических положений к решению конкретных 
задач. Как правило, сами по себе теоретические вопросы большого 
затруднения не вызывают. Во многих случаях они либо базируются на 
достаточно привычных представлениях из вузовского или школьного курса 
физики, либо сопровождаются строгими доказательствами. Опыт показывает, 
что именно решение задач вызывает у студентов потребности в получении 
консультаций у преподавателя или в подробных практических руководствах, 
где приведены примеры решения так называемых типовых задач и изложена 
рекомендуемая последовательность действий при их решении. 
Для студентов очной формы обучения есть возможность получить 
навыки 
решения 
задач 
на 
практических 
занятиях 
в 
общении 
с 
преподавателем и получить соответствующие консультации. В этом 
отношении другие формы обучения являются более сложными. Потребность 
соответствующего рода руководств особенно остро ощущается студентами, 
изучающими теоретическую механику самостоятельно – при обучении по 
заочной или дистанционной формам. Разумеется, есть определенный 
перечень учебников и учебных пособий, приведенный в списке литературы к 
данному пособию, которые можно рекомендовать для использования. Но в 
настоящее время эти руководства малодоступны, т.к. последние переиздания 
их вышли десятилетия назад. Это относится как к учебникам по 
теоретическим разделам курса, так и к руководствам для решения задач. 
Кроме того, объем их таков, что совершенно нереально использовать их для 
самостоятельной работы, если ориентироваться на тот объем часов, что 
отведен государственными образовательными стандартами (ГОС) по 
специальностям Томского государственного университета систем управления 
и радиоэлектроники на изучение теоретической механики. Круг вопросов, 
которые студенты в соответствии с ФГОС должны усвоить, много уже 
традиционно освещаемых в таких руководствах.  
Поэтому настоящее пособие ориентировано, прежде всего, на 
изложение тех вопросов и в том объеме, которые предусмотрены 
образовательными стандартами по инженерным специальностям ТУСУР. 
Предполагается, что теоретическая часть курса теоретической механики 
студентами освоена в объеме, предусмотренном ГОС либо по стандартным 
учебникам, либо по учебнику «Теоретическая механика» [1]. В настоящем 
практикуме из теории приведены сведения лишь в самом кратком 
конспективном изложении – в том объеме, что позволяет понимать 
приводимые решения задач. 
Каждый из разделов теоретической механики в практикуме отражен 
некоторым набором задач, в той или иной мере иллюстрирующих основные 
идеи и приемы их решения. В начале раздела приводятся правила и 
рекомендации о последовательности решения рассматриваемых далее задач. 

В некоторых случаях приведены разные методы решения, позволяющие 
оценить их эффективность.  
Большинство задач, приведенных в этом пособии, взято из известного 
задачника И. В. Мещерского [2]. Некоторые примеры – из пособия 
«Теоретическая механика в примерах и задачах» [3] авторского коллектива в 
составе Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Здесь эти задачи 
приведены с некоторыми изменениями условий или обозначений, поэтому в 
тексте далее не делается ссылок на номера этих задач по оригинальным 
источникам. Тем самым, с одной стороны, определяется возможность 
использовать типовые задачи из [2] и [3] в качестве контрольных заданий, с 
другой – использовать данное пособие как вполне самостоятельное. 
Ввиду относительно небольшого объема пособия предполагается, что 
изложение строится «с накоплением» – когда изложение новых вопросов 
делается с учетом того, что было уже освоено ранее. Это не позволяет 
пользоваться пособием «с любого места», но значительно сокращает 
количество необходимой для решения задач вспомогательной информации. 
Решение конкретных задач является наиболее эффективным способом 
освоения методов и приемов теоретической механики. Автор надеется, что 
предлагаемое пособие будет полезным в этом отношении.  

Еще раз следует отметить, что объем и содержание настоящего пособия 
отвечают 
тому 
объему 
информации 
и 
такому 
времени 
изучения 
теоретической механики, что предусмотрено стандартами образования по 
специальностям радиотехнического профиля ТУСУР. В последующих 
изданиях автор попытается без существенного увеличения объема пособия 
отразить большее число разделов курса в виде методических рекомендация 
по решению задач. В то же время ясно, что такое увеличение нельзя сводить 
к переложению существующих пособий [3-5] или решению большого объема 
задач из [2]. В настоящем пособии в основном отражены способы решения 
типовых задач, выносимых на контрольные задания. 

В пособии приведены задания на две контрольные работы. Первая из 
них оформлена для проверки с помощью программных средств. В этой 
работе в основном задания по разделу статики, но часть задач относится к 
кинематике. Эти задания предназначены, прежде всего, для студентов, 
получающих образование с использованием дистанционных технологий, но 
их можно использовать и для самоконтроля – для оценки степени усвоения 
материала. Во второй работе, предназначенной для традиционной проверки 
ее преподавателем, представлены задания (20 вариантов) по кинематике и 
динамике. 
 

1. 
СТАТИКА 

1.1 Законы и аксиомы статики. Определения 

1. Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу (АТТ), 
уравновешиваются в случае, когда они равны по величине и 
противоположно направлены вдоль одной линии. Такие силы называются 
уравновешенными. 
Силы, с которыми два разных тела действуют друг на друга, тоже 
равны по величине и противоположны по направлению – это так называемый 
третий закон Ньютона, известный из школьного курса физики. Но эти силы 
не уравновешивают друг друга, т.к. приложены к разным телам. 
2. Уравновешенные силы можно добавлять к АТТ или отбрасывать, не 
нарушая равновесие тела. 
 
Два этих утверждения представляют собой аксиомы статики. 
 
Равнодействующая сил, приложенных в одной точке (система 
сходящихся сил) определяется правилом суммирования векторов. 
 
Определение:  
связью называется то, что ограничивает движение тела в определенных 
направлениях.  
 
Примеры связей: шнур, поддерживающий тело на весу; стол, по 

поверхности которого может перемещаться груз; цилиндрический шарнир, 
разрешающий вращаться двери вокруг него; канат, по которому движется 
вагонетка и т.д. 

Обычно связи как таковые в задачах не рассматриваются. Их действие 
заменяется соответствующими силами и/или моментами – реакциями связей. 
В соответствии с этим все нагрузки делятся на две группы: активные 
(задаваемые условием задачи) и реакции связей. 
Несвободное твердое тело (т.е. такое, на которое наложены связи) 
можно рассматривать как свободное, если ввести в рассмотрение вместо 
связей соответствующие силы – реакции связей. 
 
Определение реакций связей 
 
Как и любая сила, реакция связи характеризуется величиной, точкой 
приложения и направлением. Во многих случаях эти характеристики должны 
определяться в ходе решения задачи. Иногда направление можно определить 
заранее, а величину следует находить из решения.  

Если связью служит гладкая поверхность (не обязательно плоская), то 
по определению гладкой поверхности (по которой скольжение происходит 
без трения), она может воздействовать на любое тело только вдоль нормали 
к поверхности в точке касания. Поэтому, если в условии задачи речь идет о 
гладкой поверхности, то направление реакции со стороны поверхности на 
любое тело, движущееся по этой поверхности или находящееся на ней в 
покое, определяется сразу. 
Реакция цилиндрического шарнира может быть направлена в 
плоскости, перпендикулярной оси шарнира, в любом направлении. 
Реакция сферического шарнира может быть направлена в любом 
направлении в пространстве. 
Реакция нити, каната, троса, цепи и других связей, которые могут 
работать только на растяжение, всегда направлена к точке подвеса. 
Реакция шарнирно опертого по концам стержня может быть 
направлена по определению только вдоль стержня, то есть стержень 
сопротивляется только растяжению или сжатию. 
Когда направление реакции связи (силы) не определяется ее 
характером из физических (механических) представлений, обычно поступают 
следующим образом. Считают, что в месте ее приложения можно 
представить реакцию связи – как и любой другой вектор – в виде проекций 
на оси системы координат. Включая эти составляющие реакции в уравнения 
равновесия как неизвестные, определяем их, и после этого можно определить 
полную реакцию связи. При проектировании на оси системы координат 
нужно учитывать выбранные нами направления реакций связей на чертеже. 
Если после расчетов получились отрицательные значения каких-либо 
составляющих, это просто означает, что для этих составляющих мы взяли 
неудачные направления на схеме, и на самом деле реакция действует 
противоположно выбранному нами направлению.  
 
Последовательность решения задач 
 
1. Рисуется расчетная схема. При этом изображаются на схеме все 
заданные (активные) силы, и реакции связей в соответствии с указанными 
выше рекомендациями. Когда направления реакции неизвестны заранее, 
рисуются составляющие реакций вдоль осей.  
2. Рассматривается вся система сил, приложенных к телу, в том числе и 
реакции связей, и составляется для этой системы условия равновесия. 
Можно это делать в векторном виде, но, как правило, проще всего записать 
условие в аналитическом виде – через проекции всех сил на оси выбранной 
системы 
координат. 
Число 
уравнений 
должно 
равняться 
числу 
неизвестных. 
3. После определения всех неизвестных сил анализируется решение – 
при правильно выбранных направлениях неизвестных (до решения) реакций 
знаки полученных реакций положительны. В противном случае направления 

составляющих реакций противоположны направлениям, выбранным нами. 
Не нужно вносить изменения в чертеж или ответ: знаки в ответе 
получились в соответствии с выбранными и показанными на схеме 
направлениями, и при анализе полученных результатов это сразу понятно.  
4. Проверяется решение. В большинстве задачников ответ обычно 
приводится. Когда ответа нет, можно рекомендовать для проверки несколько 
вариантов. 
4.1 Проверяется размерность получаемых величин. Не всегда 
совпадение размерности означает правильность решения, но 
несовпадение означает точно наличие ошибки. 
4.2 Рассматриваются т.н. асимптотические случаи, когда в задаче 
можно предположить, что заданные величины могут приобретать 
некоторые «крайние» значения (углы в 0 или 90 градусов, силы 
стремятся к нулю или бесконечности и т.д.), причем для этих 
вариантов решение становится тривиальным (очевидным). Если для 
таких случаев полученное решение не пригодно, скорее всего, оно 
ошибочно. 

1.2. Плоская система сил 

Система сил называется плоской, если линии их действия лежат в 
одной плоскости. В этом случае все силы – активные и реакции связей – 
действуют в этой плоскости, и при составлении уравнений равновесия 
следует вводить и использовать двумерную систему координат. В общем 
случае равновесие тела требует выполнения шести уравнений в 
проекциях (три проекции главного вектора и три проекции главного момента 
на оси системы координат должны быть равны нулю). В плоском случае 
остается два уравнения в проекциях главного вектора и одно уравнение для 
главного момента, т.е. три уравнения (так называемая основная форма 
условий равновесия). 
Рассмотрим примеры решения задач. 
 
Пример 1.1 
На гладкой горизонтальной поверхности стоит цилиндр весом Р, 
вертикально вниз на него действует сила Q, линия действия которой 
направлена по оси. Найти давление N цилиндра на плоскость. 
 
Решение 
В этой задача цилиндр находится в равновесии потому, что сила 
тяжести Р и дополнительная сила Q уравновешиваются реакцией опоры N. 
Когда в условии говорится «гладкая» поверхность, это означает, что нет сил 
трения, а реакция опоры может быть направлена только по нормали к ней, в 
данном случае вверх. Выбирая для вертикальной оси направление вверх за 
положительное, получим 

N – P – Q = 0, или    N = P + Q. 

Пример 1.2. 
На 
гладкой 
наклонной 
поверхности, 
образующей 
угол 
α 
с 
горизонтальной поверхностью, груз Р удерживается нитью, параллельной 
наклонной поверхности. Найти давление груза на поверхность и натяжение 
нити. 
 
Решение 
В этом примере на груз действуют сила тяжести и две реакции – нити и 
реакция опоры. Направления этих реакций определяются сразу: для гладкой 
поверхности, как и в предыдущем примере, реакция опоры направлена по 
нормали к ней, а реакция нити может быть направлена только вдоль нити в 
сторону ее закрепления. 

Сила тяжести может быть разложена на две взаимно перпендикулярные 
составляющие, в данном случае по нормали к поверхности и вдоль нее. Тогда 
реакция плоскости равна нормальной составляющей, а натяжение нити – 
касательной, причем в силу ортогональности этих направлений проекции 
реакций не влияют друг на друга. Итак: 

T = P⋅sinα,     N = P⋅cosα. 

 
Разложение сил по заданным направлениям 
 
В рассмотренном примере 2 сила тяжести относительно просто 
представляется ее составляющими вдоль двух ортогональных направлений. 
Однако очень часто встречаются ситуации, когда разложение необходимо 
сделать вдоль двух произвольных направлений. По существу это означает, 
что по известной диагонали параллелограмма и заданным направлениям его 
сторон нужно построить сам параллелограмм. Такого рода разложения 
необходимо строить в задачах, когда, например, ищутся напряжения в двух 
стержнях или нитях, на которых подвешен груз. 

P

P
P

P

S1

1
S

S1
S1

S2

S2

S2

S2

 
На рисунке приведены примеры разложения вектора P вдоль двух 
произвольных (непараллельных) направлений на составляющие S1 и S2. 
 
Пример 1.3. 
Груз Р висит на двух тросах, образующих с горизонталью углы α и β. 
Найти натяжения тросов. 
 
Решение 
Разложим вектор силы тяжести Р на составляющие, направленные 
вдоль тросов – величины S1 и S2. 
Рассмотрим два способа решения такого типа задач. 

1 способ.  
 
Величины Р, S1, S2 образуют систему сходящихся сил – они все 
проходят через точку В. Для равновесия системы необходимо, чтобы силовой 
многоугольник был замкнут, т.е. из векторов Р, S1, S2 можно построить 
треугольник BDE. Но из теоремы синусов для этого треугольника следует 

.
sin(
)
cos
cos
BE
DE
BD
=
=
α +β
α
β  

Отсюда 

2
1
cos
cos
,
.
sin(
)
sin(
)
P
P
S
S
⋅
β
⋅
α
=
=
α + β
α + β  

2 способ.  
 
Проектируем силы на горизонтальную и вертикальную оси, и 
суммируем соответствующие проекции, причем при равновесии эти суммы 
равны нулю. Получаем 

2
1

2
1

cos
cos
0,
sin
sin
.
S
S
S
S
P
⋅
α −
⋅
β =
⋅
α +
⋅
β =
 

Решение этой системы дает тот же результат, что и ранее. 
 
Пример 1.4. 
Однородная балка весом Р наклонена к горизонту под углом 30о и 
опирается правым концом на шарнир, а левый конец балки лежит на выступе 
стены, причем трением можно пренебречь. Найти реакции шарнира и 
выступа стены. 
 
Решение 
В этом примере известны направления и линии действия двух сил: сила 
тяжести балки проходит через ее середину вертикально, а реакция выступа 
стены действует по нормали к балке, так как трением пренебрегаем. По 

теореме о трех силах линия действия третьей силы – реакции шарнира – 
должна проходить через ту же точку О, где пересекаются линии действия 
двух известных сил. В силу равновесия системы силовой треугольник 
должен быть замкнут. Направления же всех сил известны, поэтому силовой