Современные проблемы прикладной математики. Часть 2. Практикум
Покупка
Тематика:
Прикладная математика
Год издания: 2016
Кол-во страниц: 52
Дополнительно
Доступ онлайн
100 ₽
В корзину
В учебном пособии в первой части приводится системное изложение одного из разделов прикладной математики, связанного с устойчивыми методами и алгоритмами решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при параметрической идентификации моделей. Основное внимание уделяется построению решений с минимальной ошибкой или с требуемыми точностными характеристиками, а также учету имеющейся априорной информации об искомом решении. Во второй части приводится описание практических занятий по созданию алгоритмов построения нормального псевдорешения и регуляризированных решений систем линейных алгебраических уравнений. Учебное пособие предназначено для магистрантов направления «Прикладная математика и информатика». Результаты будут полезны также широкому кругу студентов, магистрантов, аспирантов, исследователей, занимающихся решением задач параметрической идентификации и обработки экспериментальных данных.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Ю.Е. Воскобойников А.А. Мицель СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ Часть 2. Практикум Учебное пособие ТОМСК 2016
УДК 519.2 ББК 22.172 В 650 Воскобойников Ю. Е., Мицель А.А. Современные проблемы прикладной математики. Часть 2. Практикум: учебное пособие/ Ю. Е. Воскобойников, А.А. Мицель/ Томский гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР). – Томск, 2016. – 52с. В учебном пособии в первой части приводится системное изложение одного из разделов прикладной математики, связанного с устойчивыми методами и алгоритмами решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при параметрической идентификации моделей. Основное внимание уделяется построению решений с минимальной ошибкой или с требуемыми точностными характеристиками, а также учету имеющейся априорной информации об искомом решении. Во второй части приводится описание практических занятий по созданию алгоритмов построения нормального псевдорешения и регуляризированных решений систем линейных алгебраических уравнений. Учебное пособие предназначено для магистрантов направления «Прикладная математика и информатика». Результаты будут полезны также широкому кругу студентов, магистрантов, аспирантов, исследователей, занимающихся решением задач параметрической идентификации и обработки экспериментальных данных.
ОГЛАВЛЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №1 Построение нормального псевдорешения СЛАУ . 5 § 1.1. Постановка задачи ………………..……………..… 5 § 1.2. SVD-алгоритм построения нормального псевдорешения…………..….……………………………. 6 Задание 1.1………………………………………………… 8 Задание 1.2…………………………………………………. 12 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №2 Построение регуляризованного решения СЛАУ . 14 §2.1. Байесовский регуляризирующий алгоритм………... 14 Задание 2.1…………………………………………………. 16 §2.2. Оптимальный регуляризирующий SVD-алгоритм 17 Задание 2.2…………………………………………………. 20 §2.3. Построение регуляризованного решения при неполной информации…………………………………… 21 Задание 2.3………………………………………………… 26 §2.4. Регуляризирующий SVD-алгоритм………………… 27 Задание 2.4…………………………………………………. 30 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3 Алгоритмы выбора параметра регуляризации . 35 §3.1. Выбор параметра регуляризации на основе критерия оптимальности…………………………………. 35 Задание 3.1………………………………………………… 36 §3.2. Алгоритм выбора параметра регуляризации с использованием SVD-разложения на основе критерия оптимальности…………………………………………… 36 Задание 3.2……………………………………………….. 38 §3.3. Алгоритм выбора параметра регуляризации основе статистического принципа невязки……………………. 38
Задание 3.3………………………………………………... 40 §3.4. Алгоритм поиска V α с использованием SVD разложения……………………………………………….. 41 Задание 3.4………………………………………………. 42 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4 Локальная регуляризация ………………………….. 43 §4.1. Векторный параметр регуляризации……………. 43 Задание 4.1………………………………………………… 45 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №5 Дескриптивные алгоритмы решения СЛАУ …… 46 §5.1. Глобальный дескриптивный регуляризирующий алгоритм ……………. …………….……………………… 46 Задание 5.1………………………………………………… 49 § 5.2. Локальный дескриптивный регуляризирующий алгоритм ……………. …………….………………… 49 Задание 5.2…………………………………………………. 51 ЛИТЕРАТУРА……………………………………………….… 52
Практическое занятие №1 Построение нормального псевдорешения СЛАУ §1.1. Постановка задачи Дана система линейных алгебраических уравнений матричном виде K f = ϕ , (1.1) где K – матрица размером N M × (N строк и M столбцов), ϕ – вектор размерности M (содержит M проекций), f – вектор размерности N f f = + ɶ η Здесь f - вектор точной правой части, η - вектор ошибок. Предположим, что матрица K имеет размеры M N × . Вектор HK ϕ размерностью M называют псевдорешением (или решением МНК), если он доставляет минимум следующему функционалу 2 ( ) ( ) ( ) T HK f K f K f K Ψ = − = − − ϕ ϕ ϕ ϕ (1.2) среди всех векторов евклидова пространства M E . Решение, обеспечивающее минимум функционалу (2), является решением следующей СЛАУ T T HK K K K f = ϕ , (1.3) которая называется системой нормальных уравнений. В отличие от исходной системы K f = ϕ эта система всегда разрешима, т.е. для любой правой части f существует
псевдорешение HK ϕ . Если матрица K имеет ранг, равный M , то 1 ( ) T T HK K K K f ϕ − = . (1.4) Сингулярным разложением прямоугольной N M × матрицы K (коротко: SVD-разложением) называется представление: T K U V = Λ , (1.5) где U – ортогональная ( N N × )-матрица, V – ортогональная ( M M × )-матрица, Λ – ( N M × )-матрица вида 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M 3 2 1 ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ λ λ λ λ Λ = , (1.6) в которой последние N – M строки содержат только нулевые элементы. Величины 0, 1,..., j j M λ ≥ = , называются сингулярными числами матрицы K, и в дальнейшим полагаем, что j λ упорядочены по убыванию, т.е. 1 j j λ λ + ≥ . Напомним, что матрица B называется ортогональной, если имеет место тождество T T B B BB I = = §1.2. SVD-алгоритм построения нормального псевдорешения Введем векторы , T T y U f x V = = ϕ (1.7)
размерностью N и M соответственно. Тогда с учетом (1.5) систему K f = ϕ можно преобразовать к эквивалентной системе: , 1,..., ; 0 , 1,..., , j j j j x y j M y j M N λ = = = = + (1.8) которая хорошо характеризует «информативность» правой части: чем меньше сингулярное число j λ , тем с меньшим весом проекция jx входит в правую часть. Предельный случай 0 j λ = , 1 p j M + ≤ ≤ , говорит о вырожденности K. Очевидно, что невыполнение условия 1 0 N j j M y = + = ∑ говорит о несовместности исходной системы. С учетом ортогональности матриц U, V и соотношений (5) функционал (2) можно записать в виде 2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 0 ) p НК НК i j j j M N j j j j p j M x y x y x y ϕ λ = = + = + Ψ = Ψ = − + + − ⋅ + ∑ ∑ ∑ . Третье слагаемое обусловлено несовместностью исходной системы, и не зависит от x . Второе слагаемое отражает вырожденность системы, и, следуя определению нормального псевдорешения, проекции jx , входящие во второе слагаемое, следует принять равным 0. Тогда минимум функционала достигается на векторе x+ размерности p с элементами , 1,..., j j j y x j p λ + = = , (1.9) а нормальное псевдорешение ϕ + выражается как
1 p j j j x v ϕ + + = = ⋅ ∑ . (1.9) Напомним, что 0, 1,..., j j p λ > = , где p – ранг матрицы K . Задание 1.1. Построить нормальное псевдорешение с помощью пакета Mathcad Рассмотрим две функции Mathcad, которые потребуются для построения нормального псевдорешения ϕ +ɶ , определяемого выражением 1 , П p j j j j f u v ϕ λ + = = ⋅ ∑ ɶ ɶ , (1.10) где практический ранг П p матрицы K определяется количеством сингулярных чисел j λ , удовлетворяющих условию: 0 max j λ γ λ ≥ , (1.11) где 0 γ – достаточно малая величина ( 10 8 10 10 − − ÷ ). Функция svds. Обращение имеет вид svds(K). Вычисляет вектор размерности M , состоящий из сингулярных чисел j λ матрицы K, которые расположены в убывающем порядке. Функция svd. Обращение имеет вид svd(K). Вычисляет матрицу UV размером ( ) N M M + × . Первые N строк этой матрицы соответствуют матрице U размером N M × , которая определяет первые M столбцов матрицы U , т.е.
1 M N U U u u + = ⋮ ⋮⋯⋮ . (1.12) Последние M строк матрицы UV содержат матрицу V размером M M × . Заметим, что отсутствие в матрице U последних N M − столбцов матрицы U обусловлено тем, что эти столбцы не участвуют в вычислении нормального псевдорешения и поэтому во многих программных реализациях SVD-разложения эти столбцы не вычисляются. Функция submatrix. Обращение имеет вид submatrix (K, i1, i2, j1, j2). Формирует новую матрицу из элементов матрицы K, стоящих с i1 по i2 строках и с j1 по j2 столбцах матрицы K. Пример 1. Дана матрица K размером 6 3 × . Необходимо вычислить сингулярные числа и матрицы , U V . Решение. На рис. 1.1 показан фрагмент документа Mathcad, выполняющий требуемые вычисления. Здесь же приведены вычисление числа обусловленности по формуле max min ( ) / cond K λ λ = и проверка ортогональности столбцов матриц , U V .☻ Перейдем к подпрограмме-функции (П-Ф) Ps_Solve, осуществляющей построение нормального псевдорешения СЛАУ по формуле (1.1). Обращение к П-Ф имеет вид: Ps_Solve(K,f, 0 γ ). (1.13) Формальные параметры: K – матрица системы размером N M × , f – правая часть системы, 0 γ – переменная вещественного типа, входящая в условие (1.11). На рис. 1.2 приведен фрагмент документа Mathcad с текстом П-Ф Ps_Solve.
Замечание 1. При обработке матриц в пакете Mathcad часто
используется операция формирования вектора из определенного
столбца матрицы. Для этого надо ввести имя матрицы, затем
нажать клавиши [Ctrl+6] и в появившихся вверху угловых
скобках задать нужный номер столбца. Например, в П-Ф
Ps_Solve стоят операции
,
j
j
U
V
. ♦
Рис. 1.1. Сингулярное разложение матрицы K
Рис. 1.2. Текст подпрограммы-функции Ps_Solve Пример 2. Матрица K размером 5 3 × формируется с использованием П-Ф Form_K (фрагмент документа показан на рис. 1.3). Число обусловленности 6 1.426 10 ⋅ . Для заданного вектора ϕ вычислены два вектора: вектор «точной» правой части f и вектор «зашумленной» правой части fη с относительной погрешностью 3 3.232 10− ⋅ (см. рис. 1.3). По этим двум векторам необходимо построить нормальные псевдорешения с использованием П-Ф Ps_Solve. Здесь вычислены относительные ошибки двух псевдорешений: псевдорешение 1ps ϕ , построенное по точной правой части, и псевдорешение 2 ps ϕ , построенное по искаженной правой части fη . Несмотря на маленькую погрешность исходных данных, относительная ошибка решения 2 ps ϕ достигает большой величины 3 1.102 10 ⋅ , и эта ошибка удовлетворяет неравенству
( ) f f cond K f ϕ ϕ ϕ − − ≤ ɶ ɶ . Действительно 3 3 3 1.103 10 ( ) 3.232 10 4.609 10 cond K − ⋅ ≤ ⋅ ⋅ = ⋅ . Задание 1.2. Вычислить нормальное решение с помощью обратной матрицы по формуле (1.4) для точной и зашумленной правой части и сравнить с решением, полученным SVD – алгоритмом. Решение. Два обращения к Ps_Solve показаны на рис. 1.3.
Доступ онлайн
100 ₽
В корзину