Математическое моделирование систем

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) 
 
 
Н.В. Зариковская 
 
 
 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2014 
 

 

 
 
 
 
 
Зариковская Н.В.  
Математическое моделирование систем. Учебное пособие. – 
Томск: Томский государственный университет систем 
управления и радиоэлектроники (ТУСУР), 2014.– 168с.  
 
Данное пособие является основой при изучении курса «Моделирование систем» для студентов по направлению 230100.62 
«Информатика и вычислительная техника» и 230400.62 «Информационные системы и технологии».  
Рассматрены вопросы определения и назначения моделирования, этапов построения математических моделей, использования методов структурного моделирования, позволяющих еще на 
стадии постановки упростить решаемую задачу путем исследования внутренней структуры рассматриваемого объекта, изучения 
свойств отдельных элементов объекта и связей между ними. Рассмотрены вопросы моделирования в условиях неопределенности. 
 
 
 
 
© Зариковская Н.В. 2014 
© ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР),  

 
 2 
 

 

 
СОДЕРЖАНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ ....................................................................................... 4 
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ 
МОДЕЛИРОВАНИЯ ........................................................................ 7 
1.1 
Понятие модели ...................................................................... 7 
1.2 
Классификация моделей ...................................................... 16 
1.3 
Классификация математических моделей .......................... 31 
ГЛАВА 2. ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 
МОДЕЛИ ......................................................................................... 48 
2.1 
Обследование объекта моделирования ............................... 50 
2.2 
Концептуальная постановка задачи моделирования ......... 54 
2.3 
Математическая постановка задачи моделирования ......... 60 
2.4 
Выбор и обоснование выбора метода решения задачи ..... 67 
2.5 
Реализация математической модели в виде программы для 
ЭВМ 73 
2.6 
Проверка адекватности модели ........................................... 78 
2.7 
Практическое использование построенной модели и анализ 
результатов моделирования ........................................................... 81 
ГЛАВА 3. СТРУКТУРНЫЕ МОДЕЛИ ........................................ 87 
3.1 
Что такое структурная модель? ........................................... 87 
3.2 
Способы построения структурных моделей ...................... 97 
ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ В УСЛОВИЯХ 
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ............................................................. 107 
4.1 
Причины появления неопределенностей и их виды ........ 108 
4.2 
Моделирование в условиях неопределенности, 
описываемой с позиций теории нечетких множеств ................ 116 
4.3 
Моделирование в условиях стохастической 
неопределенности ......................................................................... 132 
4.4 
Моделирование марковских случайных процессов ........ 157 
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ..................... 166 
 

 
 3 
 

 

 
ВВЕДЕНИЕ 
 
...Становится ясно, что в следующем веке 
понадобятся не только эксперты по некоторым аспектам отдельных стадий избранных 
процессов. Понадобятся специалисты по 
решению проблем... По-видимому, междисциплинарность будет в цене. А в институтах 
будут стараться учить не "предметам", а 
стилям мышления. 
Г.Г.Малинецкий 
 
Понятие “математическое моделирование” в последние два – 
три десятилетия является едва ли не самым распространенным в 
научной литературе, по крайней мере, – в естественно-научной и 
технической. Сегодня трудно представить себе проектную или 
конструкторскую организацию, не использующую в своей практике в той или иной мере математические модели. Все более распространенным и эффективным становится применение математического моделирования в научных исследованиях. Подавляющее большинство известных авторам диссертационных работ по 
специальностям естественно-научных и инженерно-технических 
направлений связано с разработкой и использованием соответствующих математических моделей. В последние 10–15 лет эта 
тенденция получает все более широкое распространение при подготовке дипломных работ выпускников вузов. Можно констатировать, что математическое моделирование в последние десятилетия оформилось в отдельную междисциплинарную область 
знаний, с присущими ей объектами, подходами и методами исследования. 
В связи с этим все более актуальной становится задача целенаправленной подготовки специалистов – “матмодельеров” в вузах различного профиля, в рамках различных направлений и специальностей. Кроме того, по мнению авторов, эту подготовку, 
формирование соответствующего “стиля мышления” можно (а 
возможно – и необходимо) начинать со старших классов общеоб
 
 4 
 

 

разовательной школы. Определенный положительный опыт подобной работы с учащимися специализированных физикоматематических школ и классов позволяет, по крайней мере, не 
отвергать данную гипотезу. 
Реализация образовательного процесса по подготовке специалистов “матмодельеров”, естественно, требует наличия соответствующего методического обеспечения. За последние годы издано немало прекрасных монографий, статей, научно-популярных 
брошюр, пособий, часть из которых цитируется в тексте. К их 
числу в первую очередь следует отнести работы отечественных 
ученых: 
А.А.Самарского, 
Н.Н.Моисеева, 
С.П.Курдюмова, 
Г.Г.Малинецкого и многих других, трудами которых математическое моделирование и превратилось в самостоятельную область 
знаний. В этих работах, большей частью написанных математиками, достаточно подробно и прозрачно освещены такие вопросы, как предмет, подходы, методы математического моделирования, приведено огромное количество ярких примеров математических моделей. Как правило, в работах этого направления основное внимание уделяется методам исследования собственно 
математических моделей, качественному анализу решений, новым эффектам в исследуемых процессах и явлениях.  
Следует отметить, что в настоящее время в значительной части учебников и учебных пособий по различным дисциплинам 
включаются некоторые понятия, методы и примеры применения 
математического моделирования. Здесь обычно используется некоторый набор “базовых” моделей данной дисциплины или 
смежных с ней, из этих “кубиков” в дальнейшем строится модель 
анализируемого процесса. При этом, как правило, базовые модели принимаются как данность, не обсуждается правомерность их 
применения, область применимости, степень адекватности описания. “За кадром” в большинстве случаев остается и собственно 
процесс создания математической модели, процесс перехода от 
“языка природы” к “языку” математики. 
Понятно, что указанные обстоятельства обусловлены сложившимися в различных областях традициями, спецификой дисциплин, личными склонностями авторов. В то же время нам 
представляется полезным наличие пособия, в котором более де
 
 5 
 

 

тально раскрывалась бы “кухня” разработчиков математических 
моделей. Несмотря на то, что создание любой новой модели – 
процесс творческий, близкий к искусству, - существуют достаточно общие подходы, методы, “инструменты”, пригодные для 
различных предметных областей. Именно этому кругу вопросов, 
“технологии” создания математических моделей будет уделено 
наибольшее внимание в предлагаемом пособии. Насколько это 
нам удалось – судить читателю. 
Пособие ориентировано в первую очередь на студентов 
старших курсов. Для работы с большинством разделов пособия 
достаточно знания вузовского курса математики (математический 
анализ, линейная алгебра и аналитическая геометрия, элементы 
теории вероятности, теории обыкновенных дифференциальных 
уравнений и уравнений математической физики), изучаемого 
обычно на младших курсах. При этом мы стремились сделать пособие “замкнутым”, то есть содержащим по возможности все необходимые понятия, определения и другие сведения. 

 
 6 
 

 

ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ 
 
1.1 Понятие модели 
 
Что значит знать? Вот, друг 
мой, в чем вопрос. На этот счет 
у нас не все в порядке. 
Гете 
 
Модели вокруг нас 
С процессом моделирования и различными моделями человек начинает сталкиваться с самого раннего детства. Так, еще не 
научившись уверенно ходить, малыш начинает играть с кубиками, сооружая из них (на первых порах – с помощью старших) 
различные конструкции. Его окружают различные игрушки: 
плюшевые, резиновые, металлические, различающиеся по размерам, форме, цвету, предназначению и т.д. При этом большинство 
игрушек повторяют (моделируют) отдельные свойства и форму 
реально существующих предметов и объектов. В этом смысле 
такие игрушки можно рассматривать в качестве моделей соответствующих объектов. 
В школе практически все обучение построено на использовании моделей в той или иной форме. Действительно, для знакомства с основными конструкциями и правилами родного языка 
используются различные структурные схемы и таблицы, которые 
можно считать моделями, отражающими те или иные свойства 
языка. Процесс написания сочинения следует рассматривать как 
моделирование некоторого события или явления средствами родного языка. На уроках биологии, физики, химии и анатомии к 
плакатам и схемам (т.е. моделям) добавляются макеты (тоже модели) изучаемых реальных объектов. На уроках рисования или 
черчения на листе бумаги или ватмана создаются модели тех или 
иных объектов, выраженные изобразительным языком или более 
формализованным языком чертежа. 
Даже такую трудно формализуемую область знания, как история, также можно рассматривать как непрерывно эволюциони 
 7 
 

 

рующую совокупность моделей прошлого того или иного народа, 
государства и т.д. Устанавливая закономерности в наступлении 
тех или иных исторических событий (революций, войн, ускорений или застоев исторического развития), можно не только выяснить причины, приведшие к данным событиям, но и прогнозировать и даже управлять их появлением и развитием в будущем. 
На протяжении всей своей жизни человек ежедневно сталкивается с моделями и сам создает новые. 
Так, картину, написанную художником, можно считать моделью реальных объектов, записанной языком живописи. Такими 
же моделями можно считать художественное произведение и 
скульптуру. Даже жизненный опыт человека, его представления о 
мире является примером модели. Причем поведение человека 
определяется сформировавшейся в его сознании моделью. Психолог или учитель, изменяя параметры такой внутренней модели, 
могут в отдельных случаях существенно изменять поведение человека. Без преувеличения можно утверждать, что в своей осознанной жизни человек имеет дело исключительно с моделями 
тех или иных реальных объектов, процессов, явлений. При этом 
один и тот же объект воспринимается различными людьми поразному, иногда – с точностью “до наоборот”. Как говорится в 
известной пословице – “на вкус и цвет...”. Это восприятие, мысленный образ объекта также является разновидностью модели 
последнего (так называемой когнитивной моделью), и существенным образом зависит от множества факторов: качества и 
объема знаний, особенностей мышления, эмоционального состояния конкретного человека “здесь и сейчас” и от множества других причин, зачастую не доступных рациональному осознанию. 
Особенно велика роль моделей и моделирования в современной 
науке и технике. 
Все существующие в настоящее время приемы моделирования можно (условно) разделить на материальные и идеальные. 
Материальное моделирование – это моделирование, при котором исследование объекта выполняется с использованием его 
материального аналога (от греч. analogia – соответствие, соразмерность), воспроизводящего основные физические, геометрические, динамические и функциональные характеристики данного 

 
 8 
 

 

объекта. К таким моделям, например, можно отнести использование макетов в архитектуре, моделей и экспериментальных образцов при создании различных транспортных средств. 
Идеальное моделирование отличается от материального тем, 
что оно основано не на материальной аналогии объекта и модели, 
а на аналогии идеальной, мыслимой и всегда носит теоретический характер. 
Можно ли обойтись в технике без применения тех или иных 
видов моделей? Очевидный ответ – нет! Конечно, можно построить новый самолет “из головы” (без предварительных расчетов, 
чертежей, экспериментальных образцов, т.е. используя только 
единственную “идеальную” модель, существующую в “голове” 
конструктора). Однако едва ли это будет достаточно эффективная 
и надежная конструкция. Единственным ее достоинством можно 
считать ее уникальность. Ведь даже автор не сможет повторно 
изготовить точно такой же самолет, т.к. в результате изготовления первого экземпляра будет получен некоторый опыт, который 
обязательно изменит “идеальную” модель в “голове” самого конструктора. 
Чем более сложным и надежным должно быть техническое 
изделие, тем большее число видов моделей необходимо применить на этапе его проектирования. 
Как правило, сложные изделия создаются целыми коллективами разработчиков. Вся совокупность применяемых ими разнообразных моделей позволяет сформировать общую для всего 
коллектива “идеальную” модель разрабатываемого изделия. Реальное техническое изделие можно рассматривать как “материальную” модель (аналог) созданной авторами “идеальной” 
модели. 
 
Определение модели 
Понятия модели и моделирования наиболее распространены 
в сфере обучения, научных исследованиях, при выполнении проектно-конструкторских работ, в серийном техническом производстве. В каждой из этих областей моделирование имеет свои 
особенности. Далее в этой книге моделирование будет рассмат
 
 9 
 

 

риваться главным образом применительно к научным исследованиям. Чаще всего термин “модель” используют для обозначения: 
• 
устройства, воспроизводящего строение или действие какого-либо другого устройства (уменьшенное, увеличенное 
или в натуральную величину); 
• 
аналога (чертежа, графика, плана, схемы, описания, ...) какого-либо явления, процесса или предмета. 
К недостаткам термина “модель” следует отнести его многозначность. В словарях можно найти до восьми различных значений данного термина, из которых в научной литературе наиболее 
распространены два: 
• 
модель как аналог реального объекта; 
• 
модель как образец будущего изделия. 
Научное познание сосредоточено на изучении предметов, 
явлений и процессов, существующих вне нашего сознания и 
называемых объектами исследования (от лат. objectum – предмет).  
Важную роль при проведении исследований играют гипотезы (от греч. hypothesis – основание, предположение), т.е. определенные предсказания, предположительные суждения о причинноследственных связях явлений, основанные на некотором количестве опытных данных, наблюдений, догадок. Формулирование и 
проверка правильности гипотез основывается, как правило, на 
аналогиях. 
Аналогия – это представление о каком-либо частном сходстве двух объектов, причем такое сходство может быть как существенным, так и несущественным. Существенность сходства или 
различия двух объектов условна и зависит от уровня абстрагирования (от лат. abstrahere – отвлекать), определяемого конечной 
целью исследования. В данном случае уровень абстрагирования 
определяется набором учитываемых параметров объекта исследования. Например, при изучении механических свойств в качестве объектов исследования могут быть выделены материалы из 
дерева, металла, пластмассы и т.д. В свою очередь материалы из 
дерева можно подразделить по видам древесины на лиственные и 
хвойные, лиственные – на “березу”, "тополь”, “ясень” и т.д. В 
данном примере степень абстрагирования снижается при добав
 
 10 
 

 

лении учитываемых параметров. Следует заметить, что уровень 
абстрагирования данного объекта всегда определяется по отношению к другим объектам. 
Гипотезы и аналогии, в определенной мере отражающие реальный, объективно существующий мир, должны обладать 
наглядностью или сводиться к удобным для исследования логическим схемам. В науке моделями называются логические схемы, 
упрощающие рассуждения и логические построения или позволяющие проводить эксперименты, уточняющие понимание природы явлений. Другими словами, модель – это объект-заменитель 
объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых интересующих исследователя свойств оригинала. 
Под моделью (от лат. modulus – мера, образец, норма) понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, 
который в процессе познания (изучения) замещает объекторигинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования 
типичные его черты. Процесс построения и использования модели называется моделированием. 
Представленное определение является достаточно общим и 
может трактоваться по-разному. В частности, любое знание можно рассматривать как некоторую идеальную модель природного 
объекта или явления. В свою очередь, любой искусственный (т.е. 
созданный человеком) объект или процесс есть материальная модель, построенная на основе соответствующих знаний (идеальных моделей). В этом смысле можно говорить о трех реальностях 
или 
трех 
сферах (что 
близко 
к 
мыслям, 
высказанным 
В.И.Вернадским еще в 1922 году), в которых живет человек. 
Первой реальностью является живая и неживая природа, законы развития которой не зависят от человека. Поэтому природные объекты и явления нельзя рассматривать по отношению к 
человеку как модели. Однако познание и использование человеком природных объектов возможно только через их модели, которые в результате изучения самих объектов также изменяются. 
Объекты природы находят свое отражение во второй реальности или ноосфере, включающей знания, накопленные всем человечеством и практически мало зависящие от конкретного человека. Данная реальность, состоящая из идеальных моделей, зави
 
 11