Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Математические основы теории систем

Покупка
Артикул: 769561.01.99
Доступ онлайн
200 ₽
В корзину
В учебном пособии даны общие понятия, термины и определения теории систем и системного анализа. Рассмотрены математическое описание и методы исследования различных классов систем: дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных. Приведено описание систем как в виде уравнений высокого порядка, так и в форме уравнений состояния в матричной форме. Для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки дипломированных специалистов, бакалавров и магистров «Управление в технических системах» и «Информатика и вычислительная техника», а также может быть использовано студентами других направлений и специальностей, аспирантами и инженерами.
Карпов, А. Г. Математические основы теории систем : учебное пособие / А. Г. Карпов. - Томск : ФДО, ТУСУР, 2016. - 230 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1845833 (дата обращения: 19.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Министерство образования и науки Российской Федерации 
 
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ  
И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) 
 
ФАКУЛЬТЕТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ (ФДО) 
 
 
 
 

 
 
 
А. Г. Карпов 

 
 
 
 
 
 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ  

ТЕОРИИ СИСТЕМ 

 
 
 
 
 
 
Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 

 
Томск 
2016 
 

УДК 519.876(075.8) 

ББК 
32.817в641.я73 

 
К 265 

 
Рецензенты: 

В. М. Зюзьков, канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., профессор кафедры  
компьютерных систем в управлении и проектировании ТУСУР, почетный  
работник высшего профессионального образования Российской Федерации; 
Г. Н. Решетникова, канд. техн. наук, доцент кафедры прикладной  
математики Национального исследовательского Томского  
государственного университета. 
 
 
Карпов А. Г. 
К 265 
Математические основы теории систем : учебное пособие / 

А. Г. Карпов. – Томск : ФДО, ТУСУР, 2016. – 230 с. 

 
В учебном пособии даны общие понятия, термины и определения теории 
систем и системного анализа. Рассмотрены математическое описание и методы 
исследования различных классов систем: дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных. Приведено описание систем как в виде уравнений высокого 
порядка, так и в форме уравнений состояния в матричной форме. 
Для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки дипломированных специалистов, бакалавров и магистров «Управление в технических 
системах» и «Информатика и вычислительная техника», а также может быть 
использовано студентами других направлений и специальностей, аспирантами 
и инженерами. 

 
 
 
© Карпов А. Г., 2016 
© Оформление. 
ФДО, ТУСУР, 2016

Содержание 
Предисловие ......................................................................................................... 7 
Введение ................................................................................................................ 8 
1 Общие понятия о системах и их моделях .................................................. 10 
1.1 Предварительные замечания .................................................................... 10 
1.1.1 Системность человеческой практики,   
познавательных процессов и природы ......................................... 10 
1.1.2 Общие свойства систем ................................................................... 11 
1.2 Модели и моделирование ......................................................................... 13 
1.2.1 Понятие модели и его развитие ...................................................... 13 
1.2.2 Типы моделей ................................................................................... 14 
1.2.3 Свойства моделей............................................................................. 16 
1.3 Системы, их общее описание и классификация .................................... 19 
1.3.1 Первое определение системы. Модель «чёрный ящик» .............. 19 
1.3.2 Модель состава системы ................................................................. 22 
1.3.3 Модель структуры системы. Второе определение 
системы ............................................................................................ 22 
1.3.4 Динамические модели системы ...................................................... 23 
1.3.5 Общая математическая модель динамической системы ............. 24 
1.3.6 Классификация систем .................................................................... 30 
2 Автоматное описание систем. Теория конечных автоматов ................ 34 
2.1 Основные понятия. Способы задания автоматов .................................. 34 
2.1.1 Определение абстрактного автомата ............................................. 34 
2.1.2 Задание автоматов ............................................................................ 38 
2.2 Виды автоматов и их свойства ................................................................ 41 
2.2.1 Автономные автоматы ..................................................................... 41 
2.2.2 Автоматы синхронные и асинхронные .......................................... 42 
2.2.3 Автоматы Мили и автоматы Мура ................................................. 43 
2.2.4 Автоматы первого и второго рода.................................................. 47 
2.2.5 Гомоморфизм, изоморфизм и эквивалентность автоматов ......... 51 
2.2.6 Минимизация автоматов ................................................................. 52 
2.2.7 Частичные автоматы и их свойства ............................................... 54 
2.3 Распознавание множеств автоматами ..................................................... 60 
2.3.1 Понятие события и постановка задачи   
представления событий автоматами ............................................. 60 
2.3.2 Регулярные события и алгебра Клини ........................................... 63 

2.3.3 Синтез автоматов (абстрактный уровень) ..................................... 70 
2.3.4 Анализ автоматов (абстрактный уровень) .................................... 74 
2.4 Алгебра абстрактных автоматов ............................................................. 79 
2.4.1 Теоретико-множественные операции ............................................ 79 
2.4.2 Алгебраические операции ............................................................... 83 
2.5 Структурное исследование автоматов .................................................. 101 
2.5.1 Комбинационные логические автоматы ...................................... 101 
2.5.2 Постановка задач синтеза и анализа  
на структурном уровне ................................................................. 102 
2.5.3 Элементный базис .......................................................................... 103 
2.5.4 Автоматные сети ............................................................................ 105 
2.5.5 Анализ комбинационных автоматов ............................................ 110 
2.5.6 Синтез комбинационных автоматов ............................................ 111 
2.5.7 Кодирование состояний ................................................................ 116 
2.5.8 Программная реализация комбинационных автоматов ............. 118 
3 Системы с непрерывными во времени переменными ......................... 124 
3.1 Дифференциальные уравнения динамики систем ............................... 124 
3.1.1 Описание систем дифференциальными уравнениями ............... 124 
3.1.2 Линеаризация.................................................................................. 125 
3.1.3 Общие свойства линейных дифференциальных 
уравнений ....................................................................................... 127 
3.2 Классические методы решение дифференциальных уравнений 
с постоянными коэффициентами .......................................................... 128 
3.2.1 Однородные уравнения ................................................................. 129 
3.2.2 Неоднородные уравнения ............................................................. 131 
3.2.3 Вычисление постоянных интегрирования .................................. 137 
3.3 Методы преобразований ........................................................................ 138 
3.3.1 Интегральное преобразование Фурье .......................................... 138 
3.3.2 Интегральные преобразования Лапласа, Карсона, 
Хевисайда ...................................................................................... 140 
3.3.3 Преобразование Лапласа и дифференциальные уравнения ...... 149 
4 Операторное описание дискретных по времени систем ...................... 153 
4.1 Прямой и обратный разностные операторы ......................................... 153 
4.1.1 Оператор сдвига и разностный оператор .................................... 153 
4.1.2 Обратный разностный оператор ................................................... 155 
4.2 Разностные линейные уравнения динамики ........................................ 157 

4.2.1 Общие свойства разностных уравнений ...................................... 157 
4.2.2 Решение однородных разностных уравнений ............................. 158 
4.2.3 Решение неоднородных разностных уравнений ......................... 161 
4.3 Методы преобразований ........................................................................ 167 
4.3.1 Дискретное преобразование Лапласа .......................................... 167 
4.3.2 z-преобразование ............................................................................ 169 
4.3.3 Разностные уравнения и z-преобразование ................................. 176 
5 Матрицы и линейные пространства ........................................................ 180 
5.1 Основные типы матриц и операции над ними ..................................... 180 
5.1.1 Общие понятия ............................................................................... 180 
5.1.2 Простейшие операции ................................................................... 181 
5.1.3 Определители, миноры и алгебраические дополнения ............. 182 
5.1.4 Присоединенная и обратная матрицы ......................................... 184 
5.1.5 Векторы и их свойства .................................................................. 186 
5.2 Собственные значения и собственные векторы .................................. 188 
5.2.1 Характеристическое уравнение .................................................... 188 
5.2.2 Модальная матрица ........................................................................ 191 
5.2.3 Симметрическая матрица .............................................................. 194 
5.3 Линейные преобразования ..................................................................... 195 
5.3.1 Элементарные действия над матрицами ..................................... 195 
5.3.2 Эквивалентные преобразования ................................................... 196 
5.3.3 Диагонализация матриц ................................................................ 197 
5.3.4 Приведение к канонической форме Жордана ............................. 199 
5.4 Матричные функции ............................................................................... 202 
5.4.1 Матричные ряды ............................................................................ 202 
5.4.2 Функции от матриц ........................................................................ 203 
5.4.3 Теорема Кэли – Гамильтона ......................................................... 205 
5.4.4 Теорема Сильвестра ....................................................................... 208 
6 Векторно-матричные дифференциальные уравнения ......................... 212 
6.1 Уравнения состояния .............................................................................. 212 
6.1.1 Каноническая форма фазовой переменной ................................. 212 
6.1.2 Каноническая форма ...................................................................... 214 
6.2 Решение уравнений стационарных систем........................................... 216 
6.2.1 Переходная матрица и методы ее вычисления ........................... 216 
6.2.2 Общее решение неоднородных уравнений ................................. 219 
6.3 Решение уравнений нестационарных систем ....................................... 220 

6.3.1 Переходная нестационарная матрица .......................................... 220 
6.3.2 Общее решение нестационарных уравнений .............................. 224 
Заключение ....................................................................................................... 226 
Литература........................................................................................................ 227 
Глоссарий .......................................................................................................... 228 
 

 
 

Предисловие 

Данное учебное пособие составлено на основе существенно переработанных, дополненных и исправленных учебных пособий [1] и [2]. Также при написании пособия был учтен многолетний опыт автора по преподаванию одноименного курса в Томском государственном университете систем управления 
и радиоэлектроники. 
Курс «Математические основы теории систем» предваряет изучение таких дисциплин, как «Теория управления», «Цифровые системы автоматического управления», «Технические средства автоматизации и управления», «Моделирование систем управления», и некоторых других. В этом курсе продолжается углубленное изучение тех разделов математики, которые непосредственно 
связаны с описанием и исследованием динамических систем. 
Ввиду ограниченности объема учебного пособия неизбежно и сознательно были исключены некоторые чрезвычайно важные темы, такие как стохастика (этот недостаток частично ликвидирован в книге [3] при изучении теории автоматического управления) и описание цифровых систем дискретными уравнениями состояния (соответствующие разделы можно изучить по [4]). 

Введение 

В главе 1 даются общие определения, термины и понятия теории систем 
и системного анализа. Подробное исследование этой темы проведено в [5]. 
Также в главе 1 приведена классификация моделей и систем и дается общая математическая модель динамической системы. Важным моментом этой модели 
является описание входных, выходных и внутренних переменных системы. Если упомянутые переменные берутся из конечных множеств возможных значений, описание соответствующих систем осуществляется в рамках теории конечных автоматов. Описание систем в рамках этой теории приведено в главе 2. 
Если переменные в системе зависят от моментов времени, принадлежащих континуальному (непрерывному) множеству, система может быть описана 
дифференциальными уравнениями. Общие свойства, виды и методы решения 
обыкновенных дифференциальных уравнений изложены в главе 3. Здесь изложены как классические методы, так и методы интегральных преобразований. 
Если переменные в системе зависят от дискретных моментов времени, 
то получаем описание систем в виде разностных уравнений (импульсные или 
дискретные системы). В главе 4 приведены общие свойства и методы решения 
таких уравнений (как классические, так и методы преобразования). 
Альтернативной формой представления информации о системах является 
матричная форма. При такой форме представления информации исследование 
свойств систем сводится к выяснению свойств матриц. Основные виды, свойства и методы преобразования векторов и матриц приведены в главе 5. 
Описание систем в пространстве состояний векторно-матричными дифференциальными уравнениями изложено в главе 6. Здесь приведены методы 
и формы решения как стационарных, так и нестационарных обыкновенных 
дифференциальных векторно-матричных уравнений состояния. 

Соглашения, принятые в учебном пособии 
Для улучшения восприятия материала в данном пособии используются 
следующие пиктограммы и специальное выделение важной информации. 
 ·······························································  
Эта пиктограмма означает определение или новое понятие. 
 ·······························································  

·······························································  
Эта пиктограмма означает теорему. 
 ·······························································  
 ·····························································  
Этот блок означает задание. 
 ·····························································  
 ·······························································  
Этот блок означает «Внимание!». Здесь выделена важная 
информация, требующая акцента на ней. Автор здесь может 
поделиться с читателем опытом, чтобы помочь избежать некоторых 
ошибок. 
 ·······························································  
 ·······························································  
В блоке «На заметку» автор может указать дополнительные 
сведения или другой взгляд на изучаемый предмет, чтобы помочь 
читателю лучше понять основные идеи. 
 ·······························································  
 ·······························································  
Эта пиктограмма означает цитату. 
 ·······························································  
 ·······························································  
Контрольные вопросы по главе  
 ·······························································  
 

1 Общие понятия о системах и их моделях 

1.1 Предварительные замечания 
Прежде чем обсуждать непосредственно математические основы теории 
систем, следует определить понятия системы и системности. 
О системах, системности, системном подходе, системном анализе, теории 
систем и т. п. пишут и говорят часто. Многое из того, что вчера называли единым, комплексным, целостным и т. п., сегодня называют модным теперь словечком «системный». Но за этой модой, и это подчеркивают не только ученые, 
но и инженеры, педагоги, организаторы производства, деятели культуры 
и другие, стоит широкое осознание системности как одной из важных характеристик окружающего нас мира и осмысления ее как особого измерения этого 
мира. 
Понимание системности мира пришло не сразу и с трудом. Системные 
представления возникли по объективным причинам и развиваются под действием объективных факторов. 

1.1.1 Системность человеческой практики,  
познавательных процессов и природы 
Практическая деятельность человека, то есть его активное и целенаправленное воздействие на окружающую среду, является системным. Позже рассмотрим все признаки системности, а сейчас отметим только самое необходимое и очевидное: 

• структурированность системы; 

• взаимосвязанность составляющих ее частей; 

• подчиненность организации всей системы определенной цели. 
По отношению к человеческой деятельности эти признаки очевидны: 

• всякое осознанное действие преследует определенную цель; 

• во всяком действии можно выделить составные части; 

• эти составные части выполняются не произвольно, а в определенном 
порядке. 
Следует учитывать, что роль системных представлений в практике постоянно растет. 

Системным является также процесс познания. Природа бесконечна в своем многообразии. Неограниченно и желание человека в познании окружающего 
мира. Однако ресурсы человека, как временные, так и материальные, ограничены. Одна из особенностей познания, которая позволяет постепенно, шаг за шагом разрешать это противоречие, – это наличие аналитического и синтетического образа мышления. Суть анализа – разделение целого на части, представление сложного в виде совокупности простых компонент. Обратный процесс – 
синтез. 
С одной стороны, знания, добытые человечеством, тоже являются аналитическими, и это отражается в существовании различных узких наук, а с другой – имеется необходимость в синтетических пограничных науках, типа физикохимии, биохимии и т. п. Другая форма синтетических знаний – это существование наук, изучающих общие закономерности, таких как философия, метаматематика, а также системных наук – кибернетики, теории систем и других. 
В настоящее время системность понимается не только как свойство человеческой практики, но и как свойство всей материи. Системность мышления 
вытекает из системности окружающего нас мира. Можно говорить о мире как о 
бесконечной иерархической системе систем, находящихся на разных стадиях 
развития, на разных уровнях иерархии, взаимодействующих друг с другом. Таким образом, системность природы не только логически выводится в рамках 
теоретических построений, но и практически выявляется в реально наблюдаемых явлениях, как с участием человека, так и без него. 

1.1.2 Общие свойства систем 
Независимо от того, как понимается системность (системность мышления, познания либо как свойство природы), все исследователи признают, 
что имеются определенные признаки, свойства, черты, присущие любой системе независимо от ее происхождения. 
Приводимый ниже список таких свойств не является, конечно, полным, 
но наиболее важные моменты в этом списке отражены [5]. 
 ·····························································  
1. Всякая система обладает целостностью, обособленностью 
от окружающей среды, выступает как нечто отдельное, целое. 
2. Обособленность системы не означает ее изолированности: имеется связь с внешней средой, взаимодействие, обмен энергией, ма
терией, информацией. В этом смысле любая система является открытой, незамкнутой. 
3. Целостность системы не есть однородность и неделимость: 
в системе можно выделить определенные составные части. 
4. Наличие составных частей не означает, что эти части изолированы друг от друга. Части как раз и образуют систему благодаря 
связям между ними. Открытость системы (п. 2) означает, что ее 
части связаны и с внешней средой. Целостность же системы 
(п. 1) означает, что внутренние связи между частями, образующими систему, в каком-то смысле важнее, сильнее, чем внешние 
связи. 
5. Целостность системы обусловлена тем, что система обладает 
такими свойствами, которые отсутствуют у составляющих ее 
частей. То есть свойства системы не сводятся к свойствам ее частей, не являются простой суммой этих свойств. При объединении частей в систему возникают качественно новые свойства, 
которые и позволяют выделять и описывать объект именно как 
систему. 
6. Еще один аспект целостности системы: изъятие какой-либо части из системы приводит к потере некоторых существенных 
свойств системы – получается уже другая система. Изъятая 
часть также теряет определенные свойства, которые могли реализовываться лишь до тех пор, пока эта часть находилась в системе. 
7. Свойство под номером 2, то есть взаимосвязанность системы 
с окружающей средой, означает, что эта система входит как составная часть в некоторую большую систему. В результате мир 
можно представить как иерархическую систему вложенных друг 
в друга, перекрывающихся полностью или частично либо вообще разделенных, но взаимосвязанных и взаимодействующих систем. 
8. При характеристике систем важным моментом является понятие 
цели, которая, в общем, определяет и структуру, и функции системы. Функцию системы можно интерпретировать как проявление целеустремленности системы, т. е. функция – это способ 
достижения системой цели, а структура обеспечивает реализа
цию этого способа. Рассмотрение целей системы становится одной из важнейших проблем системологии. 
9. Важным свойством систем является их динамика, то есть изменение во времени в результате внутренних и внешних воздействий. Многие явления в системах невозможно понять без учета 
их динамики. 
 ·····························································  

1.2 Модели и моделирование 

1.2.1 Понятие модели и его развитие 
Понятия модели, моделирования, т. е. построения, использования 
и совершенствования моделей, чрезвычайно важны в теории систем. 
Сначала моделью называли некоторое вспомогательное средство, объект, 
который в определенный степени заменяет другой объект. Не сразу была понята и всеобщность моделирования: именно не просто возможность, но и необходимость представления наших знаний в виде моделей. Таким образом, довольно долго понятие «модель» относилось к материальным объектам специального вида: манекен, модели судов, самолетов, чучела. 
Осмысление особенностей таких моделей привело к разработке многочисленных определений понятия модели, например: моделью называется объект-заменитель, который в определенных условиях может заменить объекторигинал, воспроизводя интересующие нас свойства и характеристики оригинала, причем имеет существенные преимущества в виде наглядности, обозримости, доступности испытаний или другие. 
Очередной этап понимания модели – это признание того, что моделями 
могут быть не только реальные объекты, но и идеальные абстрактные построения. Классический и наиболее широко применяемый пример таких моделей – 
математические модели. В результате развития метаматематики была создана 
содержательная теория моделей. 
Можно сказать, что сначала в сфере научных дисциплин, таких как информатика, математика, кибернетика, а затем и в других областях понятие модели стало осознаваться как нечто универсальное, хотя и реализуемое различными способами. Можно также сказать, что модель есть способ существования 
знаний. 

Важно подчеркнуть целевой характер модели. Всякий процесс труда 
(и отдыха, кстати) есть деятельность, направленная на достижение определенной цели. Цель – это образ желаемого будущего, то есть модель состояния, 
на реализацию которого направлена деятельность. Более того, системность деятельности проявляется помимо прочего и в том, что осуществляется по определенному плану, шаг за шагом. Следовательно, этот план – образ будущей деятельности, ее модель. 
 ·····························································  
Модель, таким образом, не просто объект-заменитель, не вообще какое-то отображение оригинала, а отображение целевое.  
 ·····························································  
Модель отображает не сам по себе объект, а то, что в нем нас интересует 
в соответствии с поставленной целью. Например, лежит камень на дороге. Для 
проходящего или проезжающего путешественника могут представлять интерес 
разные модели этого камня, отражающие разные его свойства, в зависимости 
от целей, которые путешественник перед собой ставит: 

• камень как орудие для забивания гвоздя в подметку; 

• камень как носитель руды для геолога; 

• камень как место для отдыха; 

• камень как помеха автомобилю; 

• камень как орудие преступления для бандита с большой дороги; 

• и т. д. 

1.2.2 Типы моделей 
Поскольку модель является целевым отображением, то и различных моделей одного и того же объекта может быть множество. 
Целевая предназначенность моделей позволяет все множество моделей 
разделить на основные типы – по типам целей. 
Один из примеров такого деления целей – это цели теоретические и практические. В соответствии с этим можно говорить о моделях познавательных 
и прагматических соответственно. В известной степени это деление условно, 
но и различия достаточно очевидны. Основное отличие между этими типами 
моделей – в отношении к оригиналу. 
Познавательные модели являются формой организации и представления 
знаний, средством для соединения новых знаний с уже имеющимися. Поэтому 

Доступ онлайн
200 ₽
В корзину