Математика. Математический анализ: курс лекций

Глава I





                Введение в математический анализ




При записи определений, теорем и различных формул мы будем использовать логические символы: V — для всех, для каждого, 3 — существует, 3! — существует единственный, V — или, Л — и, > влечет, О — тогда и только тогда.


            §1 . Множества. Операции над множествами.


  Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность объектов (предметов), объединенных по какому-либо признаку. Один из создателей теории множеств немецкий математик Георг Кантор так определяет множество — "Множество есть многое, мыслимое как единое целое".
  Обозначают множества заглавными латинскими буквами: A, B, X, Y, Z, ... Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Условие, что объект а принадлежит множеству A записывают а A A. Если объект а не является элементом множества A, то записывают а / A. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают 0.
  Задать множество можно различными способами. Конечное множество можно задать перечислением элементов. Можно задать множество указанием характеристического свойства, которым обладают все элементы множества, и не обладают объекты, не принадлежащие множеству. Обозначают такое множество A = {x|P(x)}, где P(x) - характеристиче

i

ское свойство элементов множества.
  Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A (B с A). Если A с B и B с A, то множества A и B равны, то еств A = B. Самое болвшое множество, рассматриваемое в задаче, называют универсальным и обозначают U.
  Рассмотрим операции над множествами:
  Пуств данвх два множества A и B.
      1)      A6&eduHeHue множеств A и B — это множество элементов, каждвхй из которвхх принадлежит хотя бы одному из множеств A или B (Рис. 1):
                 A U B = {x | x Е A V x Е B};
   2)      Пересечение множеств A и B — это множество элементов, каждвхй из которвхх принадлежит и множеству A и множеству B (Рис. 2):
                 A П B = {x | x Е A Л x Е B};
   3)      Разность множеств A и B — это множество элементов, принадлежащих множеству A и не принадлежащих множеству B (Рис. 3):
                 A \ B = {x | x Е A Л x Е B};
   4)      Дополнение множества A — это множество элементов универсал вного множества, не принадлежащих множеству A:
                 A = {x | x Е U Л x / A};
   5)      Декартово произведение множеств A и B — это множество упо-рядоченнвхх пар, перввхе компонентах которых принадлежат множеству A, а вторые — множеству B:
                 A х B = {(x, y)| x Е A Л у Е B} ;
   Можно определить декартово произведение любого конечного числа множеств, а именно,
  Ai х A2 х ... х Aₙ = {(xi,x2,... ,xₙ)|xi Е Ai,x2 Е A2,... ,xₙ Е Aₙ}.
  Декартово произведение n одинаковых множеств A х Ax... х JA. =
n сомножителей
{(x1, x₂,..., xₙ) | x1, x₂,..., xₙ Е A} будем об означать A⁽ⁿ⁾.

2

Рис. 1               Рис. 2              Рис. 3

  Пусть даны два множества A и B. Если каждому элементу a Е A поставлен в соответствие единственный элемент b Е B и каждый элемент b Е B соответствует единственному элементу а Е A, то говорят, что между множествами A и B установлено взаимно однозначное соответствие. Если между элементами двух множеств можно каким-либо способом установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что эти множества имеют одинаковую мощность. (Понятие мощности есть обобщение понятия числа элементов множества, если множество бесконечно) .


            §2 . Числовые множества. Модуль числа.


  При изучении математического анализа мы будем рассматривать множество действительных чисел R, его подмножества и декартово произведение Rₙ = R х R х ... х R — множество упорядоченных наборов (xi, x₂,..., xₙ), где все xi элементы множества R. Это произведенение обозначают также R⁽ⁿ⁾.
  Геометрически множество действительных чисел R можно изобразить точками на прямой. Причем между множеством действительных чисел и множеством точек прямой можно установить взаимно однозначное соответствие: действительному числу х Е R поставим в соответствие точку на прямой с координатой х.
  Во множестве действительных чисел введены операции сложения и умножения чисел. Относительно этих операций множество действительных чисел образует линейное пространство размерности 1.
  Множество действительных чисел дополняют двумя элементами —ж и +ж, называемыми минус бесконечностью плюс бесконечность. Множество R, дополненное элементами ж и +ж, называют расширен

з

ным множеством действительных чисел и обозначают R. Иногда вместо -х и ■ х будем говорить просто х.
  С символами ±х нельзя обращаться как с обычными числами. Опе
рации с этим символами выполняются по следующим правилам:

1) a + (±х) = ±х;             10) (+^о) + (+^о) --- +^о
2) a --- (±х) = ^х;           11) (-х) + (-х) = ---х   
3) a • (±х) = ±х, если a > 0; 12) (+х) • (+х) = +х;    
4) a • (±х) = ^х, если a < 0; 13) (+х) • (-х) = -х;    
5) 0 = ±х, если a = 0 ;       14) (-х) • (-х) = +х;    
6) a^) = +х, если a > 1;      15) ±0х = ±х;            
Г  a^^ = 0, если a > 1;       16) ±х = 0               
8) a^) = 0, если 0 < a < 1;   17) (+х)(+х) = +х;       
9) a^^ = +х, если 0 < a < 1;  18) (+х)(-х) = 0.        

   Кроме того, на множестве действительных чисел R введено отношение порядка "больше или равно" (>), которое обладает свойствами:
  1) x > x для любого элемента x Е R (свойство рефлексивности);
  2) если x > у и y > z, то x > z (свойство транзитивности);
  3) если x > у у у > x, то x = у;
   4)    для любых элементов x,y Е R выполняется одно из отношений x > у или у > x;
  5) если x > у, то x + z > у + z для любого элемента z Е R;
  6) если x > 0 и у > 0, то xy > 0.
   Кроме этого отношения порядка будем использовать также отношения порядка "меньше или равно"(6), "меныпе"(<) и "больше"(>).
  В курсе анализа будем использовать следующие подмножества мно

жества действительных чисел R:
множество натуральных чисел N = {1; 2; 3; ...};
множество целых неотрицательных чисел No = {0; 1; 2; 3; ...};
множество целых чисел Z = {0; ±1; ±2;...};
множество рациональных чисел Q = { mm | m Е Z, n Е N};
отрезок [a; b] — множество точек x, удовлетворяющих условию a 6 x 6 b;

4

интервал (a; b) — множество точек x, удовлетворяющих условию a < x < b;
полуинтервалах [a; b) и (a; b] — множества точек x, удовлетворяющих условиям a 6 x < b и a < x 6 b соответственно;
лучи (a; +ж), (-ж; b), [a; +ж), (-ж; b] — множества точек x, удовлетворяющих условиям x > a, x < b, x > a, x 6 b соответственно.
  В дальнейшем все перечисленные множества (кроме N, No, Z, Q, R) будем объединять термином промежуток.
  В курсе анализа декартово произведение R х R = R⁽²⁾ будем расматривать как множество точек плоскости, а декартово произведение R х R х R = R⁽³⁾ — как множество точек пространства.
  Множество действительных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя действительными числами расположено еще хотя бы одно действительное число, а, значит, бесконечно много действительных чисел. Действительно, если a и b — различные числа, причем положим для определенности a < b, то a < a ++ b < b.
  Используя свойство плотности множества действительных чисел, можно доказать важное для изложения курса анализа утверждение (принцип Кантора¹), который называют также леммой о вложенных отрезках.
Лемма 2.1. (принцип Кантора) Для всякой последовательности вложенных друг в друга отрезков, длины которых, убывая, стремятся к нулю, существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.
  Если имеем последовательность [a₁; b₁] D [a₂; b₂] D [a₃; b₃] D ... D [an; bn] D ... вложенных друг в друга отрезков, причем bn — an ^ 0 ж
при n > ж. то пересечение всех отрезков Q [an; bn] не пусто, то есть n=1

  ¹Георг Кантор (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor) (1845-1918) — немецкий математик. Кантор заложил основы современной математики. Он наиболее известен, как создатель теории множеств. Кантор ввел понятие взаимнооднозначного соответствия между элементами множеств, дал определения бесконечного и вполне-упорядоченного множеств, доказал, что действительных чисел больше, чем натуральных. Он определил понятия кардинальных и порядковых чисел и их арифметику.

5

то
существует точка c Е Q [aₙ; b„].
n=1
  Во многих определениях и теоремах курса математического анализа

используется понятие модуля.
  Модулем числа а называется само число а, если оно неотрицатель

но, и число, противоположное а, если а отрицательно, то есть

     {а, если а > 0,
       -а, если а < 0.
  Сформулируем основные свойства модуля:

1) |а| > а, |а| > —а;

4) |а - b| > ||а| - |b||;

2) |а| = тах{а, —а};
3) |а + Ь\ 6 |а| + |b|;

5)   а • Ь\ = а\ • |b|;
6)   b = f <b = ⁰);

  Геометрический смысл модуля: модуль числа а (|а|) — это расстояние

на числовой прямой от точки 0 до точки а. Тогда при а > 0 неравенство |x| < а эквивалентно двойному неравенству —а < x < а и задает на прямой интервал (—а; а), а неравенство |x| > а задает объединение интервалов (то: —а) U (а; +то).
  Числовое множество A называется ограниченным сверху, если су

ществует число М такое, что а 6 М для всех а Е A. Если существует число т такое, что а > т для всех а Е A, то множество A называется

ограниченным снизу.
  Число М называют верхней, а число m - нижней границей множества. Ограниченное сверху и снизу множество называют ограниченным. В этом случае существуют такие числа Мит, что для всех а Е A выполняется неравенство т 6 а 6 М. Условие ограниченности множества часто записывают в виде неравенства с модулем |а| 6 М, эквивалентного предыдущему неравенству.
  Числа Мит определяются неоднозначно. Если множество ограничено, то оно имеет много верхних и нижних границ. Наименьшая из верхних границ называется точной верхней границей и обозначается sup A (читается "супремум"), а наибольшая из нижних границ называется точной нижней границей и обозначается inf A (читается "ин

6

фимум"). Итак, М = sup A, если для всех элементов a Е A выполняется неравенство a 6 Ми для любого сколв угодно малого положителвного числа г найдется такой элемент а' Е A, что а' > М — г. Аналогично, m = inf A, если для всех элементов а Е A выполняется неравенство а > m и для любого сколв угодно малого положителвного числа г найдется такой элемент а'' Е A, что а'' < m + г.
  Справедлива следующее утверждение
Теорема 2.2. Всякое непустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю границу. Всякое непустое ограниченное снизу множество имеет точную нижнюю границу.
  Если множество A неограничен© сверху, то для любого числа М найдется элемент а₀ Е A такой, что а₀ > М. В этом случае полагают, что sup A = +то. Аналогично, для неограниченного снизу множества полагают, что inf A = —то.


            §3 . Понятие окрестности точки.


  При определении многих понятий математического анализа используется понятие окрестности. Определим окрестности в пространствах различной размерности.
  Окрестностью точки а Е R⁽¹⁾ радиуса r называется множество точек аоординатнои арямои, расстояние ат аоторых to точки а не превосходит г. Обозначается окрестность Uᵣ(а). Таким образом,
Uᵣ(а) = {х Е R⁽¹⁾ | р(х, а) < r}.
Используя понятие расстояния и геометрический смысл модуля, окрестность можно определить как множество точек координатной прямой, удовлетворяющих неравенству |х — а| < г. Это множество точек задает на прямой интервал
Uᵣ(а) = (а — г; а + r).

7

Все точки окрастности Uᵣ (а) кроме точки а образуют проколотую окрестность Uᵣ(а):
Ur (а) = Ur (а) \ {а}.
Проколотая окрестность — это множество точек прямой, удовлетворяющих неравенству 0 < р(х, а) < г. Она задается объединением интервалов
                  Uᵣ(а) = (а — г; а) U (а; а + г).
На прямой можно рассматривать не всю окрестность точки а, а ее правую или левую половины.
  Прааая полаокрестность Uᵣ (а) то аки а Е R⁽¹⁾ рад иуса г — это множество точек прямой, удовлетворяющих условию
{х Е R⁽¹⁾ | а < х < а + г}, то есть
U+ (а) = {х Е R⁽¹⁾ | а < х < а + г} = (а; а + г).
Левая полаокрестность U- (а) точки а Е R⁽¹⁾ радиуса г — это множество точек прямой, удовлетворяющих условию
{х Е R⁽¹⁾ | а — г < х < а}, то есть
U—fa) = {х Е R⁽¹⁾ | а — г < х < а} = (а — г; а).
Окрестностью бесконечно удаленной uiohkuUe(ж) радиуса E называется множество точек прямой] л—EaEux вне отрезка [-E; E], то есть
UE(ж) = {х Е R⁽¹⁾ | |х| > E}.
  В пространстве R⁽ⁿ⁾, где n > 1 будем рассматривать два типа окрестностей: шар и параллелепипед.
  ШЕровой акрестностью точки а Е R⁽ⁿ⁾ радиуса г называется множество точек пространства^^, расстояние от которых до точки а не превосходит г.
  Если а = (а₁; а₂; ...; ап), х = (х₁; х₂; ...; хп) Е R⁽ⁿ⁾, то
Uᵣ(а) = {х Е R⁽ⁿ⁾ | р(х, а) < г}

8

или

           I            n
Uᵣ(a) = < x G R⁽ⁿ⁾ | P (xₖ — aₖ)² < r² ».

I       k=1            J
  Окрестностью-параллелепипедом точки a G R⁽ⁿ⁾ называется множество точек пространства R⁽ⁿ⁾, каждая координата xₖ кото-aou адалена am аоответствующеи аоординаты точки а на расстояние меньше, чем rₖ {к = 1, 2,..., и).
  Если а = (ai; a₂; ...; an), x = (x₁; x₂; ...; xₙ) G R⁽ⁿ⁾, to
П(а) = |x G R⁽ⁿ⁾ | p(xₖ, ak) < rk, Vk = 1, nj .
  На плоскости (пространство R⁽²⁾) окрестность первого типа — это круг, а окрестность второго типа — прямоугольник, в пространстве R⁽³⁾ окрестность первого типа — это шар, а окрестность второго типа — параллелепипед.
  Окрестностью бесконечно удаленной точки UE(ж) радиуса E называется множество точек пространств a R⁽ⁿ\ лежащих вне шара Eduyca E, то есть

Ue (ж) = {x G R⁽ⁿ⁾ | |x| > E}
или               Ur (a) = {x G R⁽ⁿ⁾ | P (xk — ak )² > E²}.
k=1
  Введем еще несколько понятий, необходимых для дальнейшего изложения материала.
  Точка a G X называется внутренней точкой множества X, если найдется окрестность этой точки, целиком лежащая в X, и точка a G X называется граничной точкой множества X, если в любой окрестности этой точки есть точки, принадлежащие X и не принадлежащие X.
  Множество, все точки которого внутренние, называется открытым, а содержащее все свои граничные точки — замкнутым. Отрезок является замкнутым множеством, а интервал — открытым.
  Точка x₀ называется точкой сгущения множества X, если в любой окрестности этой точки лежит жтя бы одна точка из X, отличная от точки x₀.

9

   Из определения точки сгущения вытекает, что в любой окрестности точки х₀ лежит бесконечно много точек из X. Заметим, что сама точка х₀ может не принадлежатв множеству X.


            §4 . Понятие функции. Основные элементарные функции.


   Понятие переменой величины (функции) является одним из централь-HBix понятий математического анализа. Оно является для математики и ее приложений, связанных с изучением переменнвхх величин, таким же фундаменталвнвхм, как понятие числа для арифметики. Как и осталвнвхе понятия математики, понятие функции сложилосв не сразу, а прошло долгий путв развития. Вперввхе понятие функции бвхло введено в знаменитом труде математика и философа Рене Декарта² под названием "переменная величина". В геометрическом и механическом понимании это понятие интерпретируется у Исаака Нвютона³ (1671 г.). Под функцией он понимал переменную величину, которая изменяется с течением времени. Эту величину Нвютон назвхвал "флюентой". Термин "функция"(от латинского functio — исполнение) вперввхе ввел в 1673 году немецкий математик Готфрид Лейбниц⁴ в писвме к Гюйгенсу. У Лейбница функция связвхваласв с геометрический образом (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудв определенному за

  ²Рене Декарт (де’Карт, Rene Descartes 1596-1650) — французский математик, философ, механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики. В 1637 году вышел в свет главный труд Декарта "Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках". В этой книге излагалась аналитическая геометрия, а в приложениях — результаты в алгебре, геометрии, оптике (закон преломления света) и многое другое. Декарт разработал математическую символику, с этого момента близкую к современной, исследовал алгебраические функции (многочлены), а также ряд "механических"(спирали, циклоида).

  ³Исаак Ньютон (Isaac Newton) (1642-1727) — английский физик, математик, механик и астроном, один из создателей классической физики. Одновременно с Лейбницем разработал дифференциальное и интегральное исчисления, теорию цвета и многие другие математические и физические теории. Ньютон определил базовые понятия механики, сформулировал три закона механики. Ньютон считал основным и общим методом анализа функций разложение в ряд. Он использовал ряды для решения уравнений (в том числе дифференциальных), исследования поведения функций. Большое внимание Ньютон уделял приближенному решению уравнений.

  ⁴Готфрид Вильгельм Лейбниц (Gottfried Wilhelm von Leibniz) (1646-1716) — немецкий математик, физик, философ. Основной заслугой Лейбница в области математики является создание (вместе с И. Ньютоном) дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц дал определение дифференциала и интеграла, вывел правила дифференцирования, поиска экстремумов и точек перегиба, сделал немало открытий в комбинаторике, в алгебре (начала теории определителей), в геометрии, предвосхитил некоторые моменты современной математической логики, поставил задачу логического обоснования математики. Лейбниц сыграл важную роль в истории создания электронно-вычислительных машин: он предложил использовать для целей вычислительной математики бинарную систему счисления. По просьбе Петра I Лейбниц разработал проекты развития образования в России и Петербургской академии наук.

10