Линейная алгебра. Курс лекций

            Глава I





                Линейная алгебра




При записи определений, теорем и различных формул мы будем использовать логические символы: V — для всех, для каждого, 3 — существует, 3! — существует единственный, V — или, Л — и, > влечет, О — тогда и только тогда.

§1. Матрицы. Действия с матрицами.

Матрицей размера m х n называется таблица чисел, содержащая m

строк и n столбцов. Эти числа называют элементами матрицы.     
                               a                              
 а11            a12 •          • a1n                          
 a21            a22 •          • a2n                          
 • • •          ••• •          • • • •                   (1.1)
          у am1 am2 •          . . amn                        

Обозначения матриц A = (aij-), A = (aj), A = [aij-], A = [aj].
   Матрицы играют важную роль в математике и ее приложениях. Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона¹ и Артура Кэли². Сам термин "матрица" ввел в 1850 г.


   Уильям Роуэн Гамильтон (William Rowan Hamilton) (1806-1865) — выдающийся ирландский математик XIX века. Гамильтону принадлежит введение в механику наглядного приема изображения изменений величин и направлений скорости точки, совершающей какое-либо движение (годограф). Гамильтон открыл кватернионы, некоммутативную числовую структуру с тремя мнимыми единицами. Следующие 20 лет он посвятил их подробному исследованию. В ходе исследований Гамильтон попутно ввел понятие векторного поля и создал основы векторного анализа. Он открыл векторное произведение, предложил оператор "набла".

   ²Артур Кэли (Arthur Cayley) (1821-1859) — английский математик. Большая часть его работ относится к линейной алгебре, дифференциальным уравнениям и эллиптическим функциям. Кэли ввел принятое ныне обозначение для определителя, сформулировал определение группы. Он развивил теорию алгебраических инвариантов, исследовал геометрии n-мерного пространства. Кэли принадлежит более 200 работ, посвященных самым разнообразным вопросам математики.

1

Джеймс Сильвестр³.
  Матричные обозначения получили распространение в современной математике и ее приложениях. Основным применением матриц было решение линейных уравнений. С помощью матриц записываются многие математические соотношения, в том числе, системы алгебраических и дифференциальных уравнений и их решения. В квантовой теории матрицы используются для нахождения значений физических величин. Матричный язык применяют при выполнении различных преобразований. Исчисление матриц развивается также в направлении построения эффективных алгоритмов для численного решения большого количества задач. В информатике матрицы с элементами того или иного типа занимают особое место как структуры для хранения и передачи основной и вспомогательной информации при решении многочисленных прикладных задач, шифрования сообщений в Интернете и т.д. Матрицы в информатике называют массивами. Различают одномерные массивы, содержащие элементы в одной строке и именуемые вектором, двумерные массивы, элементы которых располагаются по строкам и столбцам, которые и называются матрицами, и многомерные массивы сложной структуры. Массивы можно рассматривать как формальное объединение нескольких однотипных объектов (чисел, символов, строк и т.п.), рассматриваемое как единое целое. К необходимости применения массивов мы приходим всякий раз, когда требуется связать и использовать целый ряд родственных величин.
  Матрицу размера 1 х n называют матрицей-строкой, а матрицу размера m х 1 - матрицей-столбцом.
  Матрицу, все элементы которой равны нулю, называют нулевой матрицей. Матрицу размера nx n называют квадратной матрицей порядка n. Диагональ квадратной матрицы, идущая от элемента ац к элементу aₙₙ называется главной диагональю, вторая диагональ называется побочной. Квадратная матрица, все элементы которой, не стоящие на

  ³Джеймс Джозеф Сильвестр (James Joseph Sylvester) (1814-1897) — английский математик. Известен своими работами в теории матриц, теории чисел и комбинаторике. Сильвестр известен, прежде всего, как алгебраист. Две его работы в этой области стали классическими: это теория элементарных делителей и закон инерции квадратичных форм. Сильвестр был членом Лондонского королевского общества (1841), иностранным членом-корреспондентом Петербургской Академии наук (1872).

2

главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали a11, a₂₂,..., aₙₙ равны единице, называется единичной. Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) диагонали, равны нулю, называется треугольной. Квадратная матрица A называется симметричной, если aij = aji, то есть элементы матрицы симметричные относительно главной диагонали равны. Квадратная матрица A называется кососимметричной, если aji = —aij, то есть элементы матрицы симметричные относительно главной диагонали отличаются знаком. Для любой матрицы A размера m х n можно построить матрицу AT, заменив строки матрицы столбцами, а столбцы — строками. Матрица AT называется транспонированной для матрицы A. Транспонированная матрица имеет размер n х m.
  Над матрицами можно производить различные операции.
  Прежде всего введем понятие равенства матриц. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковый размер и их соответствующие элементы равны. Даны две матрицы A = (aij) и B = (bij) размера m х n. Тогда A = B, если aij = bij (Vi = 1, m, Vj = 1, n).
  Матрицы одного размера можно складывать. Суммой двух матриц называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых. Пусть A = (aij), B = (bij) - матрицьi размера m х n. Тогда C = A + B, если cij = aij + bij (Vi = 1, m, Vj = 1, n).
  Матрицу можно умножать на число. Произведением матрицы на число называется матрица, которая получается при умножении всех элементов исходной матрицы на это число. Если A = (aij), то kA = (kaij) (Vi = 1, m, Vj = 1, n).
  Однако главные применения матриц связаны с операцией их умножения. Эта операция лежит в основе целого раздела линейной алгебры — алгебры матриц.
  Пусть даны две матрицы A размера m х n и B размера n х k, то есть число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. В этом случае

3

можно определить произведение матриц A и B. Матрица C размера mxк

называется произ ведением матриц A и B, если любой элемент cij этой матрицы равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A

на соответствующий элемент j-того столбца матрицы B, то есть

n

cij — ail • blj ⁺ ai2 • b2j ⁺ ... ⁺ ain

• bnj — ^aisbsj.
s=1

(1.1)

  Отметим, что число строк матрицы C равно числу строк матрицы A,

и число столбцов матрицы C равно числу столбцов матрицы B.

Пример 1.1. Пусть A —

3 5
-2 3

-1

23
B —  -7 2 I . Тогда
к 3 -5)

4

AB —


BA —

/



3 3 • 2 + 5 • (-7) + (-1) • 3 3 • 3 + 5 • 2 + (-1) • (-5) \ _ / -32
у (-2) • 2 + 3 • (-7)+ 4 • 3 (-2) • 3 + 3 • 2 + 4 • (-5) J у    -13
/   2 • 3 + 3 • (-2)  2 • 5 + 3 • 3 2 • (-1) + 3 • 4 \
   (-7) • 3 + 2 • (-2) (-7) • 5 + 2 • 3 (-7) • (-1) + 2 • 4 —
у 3 • 3 + (-5) • (-2) 3 • 5 + (-5) • 3 3 • (-1) + (-5) • 4 J
0    19   10 \

-20

24

-25 -29

15

     19   0   -23


1 • (-2) - 2 • 4
3 • (-2) + 1 • 4

Пример 1.2. Пусть A

1 • 3 - 2 • 1
3 • 3 + 1 • 1

                           -²) ,B — - -¹⁹ * * * ²³
                           1 у \ 4 1
                           1 • 1 - 2 • 2 А - -10
                           3 • 1 + 1 • 2 / — I -2

¹
   . 1огда
²
¹⁻³!
10 5

  Произведение BA не существует, так как число строк матрицы A не равно числу столбцов матрицы B.

  Операции над матрицами обладают следующими свойствами:

  1) A + B — B + A — сложение матриц коммутативно. Но AB — BA — умножение матриц не коммутативно (пример 1.1). Более того, не всегда существуют оба произведения (пример 1.2).

  2) (A + B) + C — A + (B + C) и (AB)C — A(BC) — сложение и умножение матриц удовлетворяют закону ассоциативности.
  3) (A + B)C — AC + BC и C(A + B) — CA + CB, если эти произведения существуют. Это свойство называют законом дистрибутивности

4

умножения относительно сложения.
   4) Х(Л + Б) = ХЛ + ХБ.
   5) (а + в)Л = аЛ + ^Л.
   6) Х(ЛБ) = (ХЛ)Б = Л(ХБ).
   7)   Л • E = E • Л = Л, где Л — квадратная, E — единичная матрицы порядка п.
   8) (Л + Б)т = Лт + Бт
   9) (ЛБ)т = Бт • Лт
   В приложениях важную роль играет свойство квадратных матриц, называемое неразложимостью. Поясним его смысл.
   Логласованной Лерестановкой 'Лядов квадратной матрицы Л называется такая их перестановка, при которой одновременно с перестановкой i-ой и j-ой строки меняются местами i-ый и j-ый столбцы.
   Квадратная матрица Л называется разложимой, если согласованными перестановками строк и столбцов ее можно привести к виду
Л Л1 Б !
\ 0 Л2
где Л1 и Л₂ - квадратные матрицы не обязательно одного и того же порядка; 0 — нулевая матрица. В противном случае матрица называется неразложимой.
   Если Б = 0 и при дальнейшем разложении матриц Л1 и Л₂ и их частей, стоящих на диагонали, будет получена матрица вида
/  Л1  0 ...  0 \
0   Л₂  ...  0
, ... ... ... ...
\  0   0 ... Лк /
где Л1, Л₂, ..., Лк - квадратные неразложимые матрицы не обязательно одного и того же порядка, то матрица Л называется вполне разложимой.


§2. Перестановки.

Дано множество первых п натуральных чисел N = {1, 2,...,п}. Это множество можно упорядочить различными способами. Всякое расположение (ii,i₂,..., iₙ) чисел 1, 2,..., п в некотором определенном порядке называется перестановкой из п чисел.
  Например, (2; 7; 3; 1; 5; 4; 6) — перестановка из семи чисел.

5

Предложение 2.1. Число различных перестановок пз n чисел равно n! = 1 • 2 • 3 • ... • n.
Доказательство. Первый элемент i1 можно выбрать n способами, элемент для выбора элемента i₂ осталась n — 1 возможность и так далее, элемент iₙ₋₁ можно выбрать всего 2 способами, наконец берем последний элемент in. Всего получилось n • (n — 1) • ... • 2 • 1 = n! различных перестановок.               □

  Если в некоторой перестановке поменятв местами два числа, а остальные оставитв на месте, то получим новую перестановку. Такое преобразование перестановки называется транспозицией.
  Говорят, что в данной перестановке числа i и j образуют инверсию, если i > j, но i стоит в этой перестановке ранвше чем j. Перестановка назвхвается четной, если она имеет четное число инверсий, и нечетной в противном случае.
Теорема 2.2. Всякая транспозиция меняет четность перестановки.
Доказательство. Дана перестановка (i₁, i₂,..., iₙ). Поменяем местами два соседних элемента iₖ и iₖ₊₁. В этом случае число инверсий изменится на 1, и, значит, изменится и четность перестановки. Чтобы поменять местами элементы iₖ и iₖ₊m нужно 2m — 1 раз переставить соседние элементы. Поэтому число инверсий изменится на нечетное число, и, значит, перестановка сменит четность.                      □

Теорема 2.3. 1) Число четных перестановок равно числу нечетных перестановок;
2	) Любая перестановка может быть получена из любой другой перестановки с помощью нескольких транпозиций.

§ 3. Определители.

Понятие определителя (детерминанта) возникло в связи с необходимо-ствю решения системах n линейных уравнений с n неизвестными. Определитель матрицы A обозна чается |A|, detA ил и △. Открытие определителей приписывают немецкому математику Г. Лейбницу⁴. Современная

  ⁴Готфрид Вильгельм Лейбниц (Gottfried Wilhelm von Leibniz) (1646-1716) — немецкий математик, физик, философ.
Основной заслугой Лейбница в области математики является создание (вместе с И. Ньютоном) дифференциального и интегрального исчислений. Он вывел правила дифференцирования, поиска экстремумов. Лейбниц сделал немало открытий и в других областях математики: в комбинаторике, в алгебре (начала теории определителей), в геометрии.

6

теория определителей основывается на работах Ж. БинФ, О. Коши⁵ ⁶ и К. Якоби⁷.

  Если A = (ац) — матрица первого порядка, то определителем первого порядка называется число а₁₁: △₁ = ац.
  Пуств A — матрица второго порядка.

  Определителем второго порядка назвшается число, которое вы

числяется по формуле

△2 =

а11 а12
а21 а22

= ац • а22 - а12 • «21.

(3.1)

  Пуств A — матрица третвго порядка.
  Определителем третьего порядканазвшается число, которое вычисляется по формуле

      а11 а12 а13                                        
                  а11а22 а33 + а12а23 а31 + а13а21а32-   
|A| = а21 а22 а23 =                                      
                  - а13а22а31 --- а11а23а32 --- а12а21а33
      а31 а32 а33                                        

(3.2)

В логике, развивая учение об анализе и синтезе, Лейбниц выдвинул идею о применении в логике математической символики и построении логических исчислений, поставил задачу логического обоснования математики. Лейбниц сыграл важную роль в истории создания электронно-вычислительных машин: он предложил использовать для целей вычислительной математики бинарную систему счисления. По просьбе Петра I разработал проекты развития образования и государственного управления в России и проект учреждения Петербургской академии наук.

   ⁵Жак Филлип Мари Бине (Jacques Philippe Marie Binet) (1786-1856) — французский математик, механик и астроном. Один из создателей матричной алгебры, первым опубликовал правило умножения матриц, изучал линейные разностные уравнения с переменными коэффициентами. Бине принадлежит ряд работ по прикладной математике и механике вращающихся тел.

  ®Огюстен Луи Коши (Augustin Louis Cauchy) (1789-1857) — великий французский математик и механик. Разработал фундамент математического анализа, внес огромный вклад в анализ, алгебру, теорию чисел, арифметику, математическую физику и многие другие области математики; он один из основоположников механики сплошных сред. Коши впервые дал строгое определение основным понятиям математического анализа — пределу, непрерывности, производной, дифференциалу, интегралу, сходимости ряда; вел понятие радиуса сходимости степенного ряда, дал определение интеграла как предела сумм, доказал существование интегралов от непрерывных функций. В теории дифференциальных уравнений Коши впервые поставил задачу о нахождении решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями (называемую с тех пор задачей Коши), дал способ интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Коши занимался геометрией (теория многогранников, поверхности 2-го порядка), алгеброй (симметрические многочлены, свойства определителей), теорией чисел (теорема Ферма о многоугольных числах, закон взаимности). В области комплексного анализа Коши создал теорию интегральных вычетов, а также ее приложения к различным вопросам анализа. Ему принадлежат исследования по тригонометрии, механике, теории упругости, оптике, астрономии. Коши написал свыше 800 работ, полное собрание его сочинений содержит 27 томов. Коши был членом Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и ряда других академий Европы. Имя Коши носят многие математические объекты.

   ⁷Карл Густав Якоби (Carl Gustav Jacob Jacobi) (1804-1851) — немецкий математик, внесший большой вклад в комплексный анализ, линейную алгебру, динамику и другие разделы математики и механики.Якоби разработал методы интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, ввел в употребление функциональные определители — якобианы. Он открыл закон инерции квадратичных форм. Теория эллиптических функций, теория тета-функций, суммы Якоби и круговые поля, якобианы алгебраических кривых — это весьма неполный перечень созданного Якоби, спустя более 150 лет со времени их открытия составил математическую основу современных методов защиты информации.

7

Это выражение — алгебраическая сумма 6 слагаемых. В каждое слагаемое входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу (3.2), легко запомнитв, полвзуясв схемой, которая назвхвается правилом звездочки. Первая звездочка - это слагаемвхе, входящие в определителв со знаком "плюс". Вторая звездочка - это слагаемвхе, входящие в опре-делителвсо знаком "минус".

  Для ввхчисления определителя третвего порядка применяют также правило Саррюса⁸: справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов главной диагонали и диагоналей, ей параллельных, берут со знаком "плюс”; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус".

4 -1

3

Пример 3.1. Ввхчислите определители △ =

-5 3

-2

-6 1

3

          4  -1  3                                                 
Решение . -5  3  -2 = 4 • 3 • 3 + (-5) • 3 • 1 + (-2) • (-1) • (-6)
          -6   1 3                                                 

- 3 • 3 • (-6) - 3 • (-5) • (-1) - 4 • (-2) • 1 = 36 - 15 - 12 + 54 - 15 + 8 = 56.

  Пусть дана квадратная матрица A порядка n

    / all   ai2 • • • a1n  
A =   a21   a22 • • • a2n  
      • • • ••• • •• •••   
    ( ani   an2 • • • ann )

   ⁸Пьер Фредерик Саррюс (Pierre-Frederic Sarrus) (1798-1861) — французский математик. Его работы его относятся к различным областям анализа и геометрии. Исследования Саррюса в основном касаются вариационного исчисления, теории уравнений. Он является автором трактатов о решении числовых уравнений с несколькими неизвестными, о кратных интегралах и условиях их интегрируемости, об определении орбит комет.

8

  Рассмотрим всевозможные произведения п элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицах aᵢ₁j₁ ai₂j₂ ...aᵢₙjₙ (*). Обозначим число инверсий в перестановке (ii, i₂,..., iₙ) через s, а число инверсий в перестановке (j₁,j₂,... ,jn) через t. Если в перестановке (*) поменять местами два сомножителя и подсчитать число инверсий в новых перестановках, то сумма s₁ + t₁ будет иметь ту же четность, что и сумма s + t (теорема 2.2). Поэтому число (—1)s⁺t не зависит от порядка сомножителей. Не нарушая общности, можно произведение (*) записывать в виде a₁j₁ a₂ⱼ₂... anjₙ  Число различных произведений вида (*) равно п! (предложение 2.1).
Определение 3.1. Определителем порядкап квадратной матрицы А порядка п называется число, равное алгебраической фше п! всех возможных п^зличных произведений п элементов матрицы, взятых по одному г— каждой с—роки и каждого столбца, у—ноженных на^—О)⁸^, где s — число инверсий в перестановке первых, at — число инверсий в перестановке вторых индексов перемножаемых элементов матрицы.

detA = | А|

all ai2 ... ain
a21 a22 ... a2n

= E⁽—1)

s+t

ailji aij .

. ainjn .

(3.3)

                    anl an2 . . . ann


  Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель detA = 0.
     Свойства определителей.
  1.   Определитель транспонированной матрицы равен определителю самой матрицы, то есть |А| = |AT|.
  Иными словами, определитель при транспонировании не меняется. Из свойства 1 следует, что строки и столбцы матрицы равноправны. Все свойства и теоремы можно формулировать как для строк, так и для столбцов определителя.
  2.  Если осе олементы оекоторой строки определителя равны 0, то

9

определитель равен 0.
  Это свойство следует из определения, так как в каждом слагаемом есть нулевой сомножитель, и, значит, сумма равна 0.
  3.    При перестановке двух строк определитель меняет знак.
  При вычислении определителя по формуле (3.3) при перестановке двух строк каж

дое слагаемое изменит знак, а, значит, определитель сменит знак.
  4.   Определитель, имеющий 0ве одинаковых отроки, равенО.
  Пусть определитель равен d. Поменяем местами в этом определителе две одинаковых строки. По свойству 3 определитель сменит знак и станет равным — d. Но так как строки одинаковы, то определитель не изменится, то есть получим d = —d. Откуда и следует, что d = 0.
  5.   Если все элементы некоторой строки определителя умножить

на одно и то же число,       то определитель умножится на это число.                         
    Xaii    Xai2 .. . Xain                                                                   
Д = a21  a22    . . .   a2n  = /Л l)tXa1jia2j2 . . . a3jn = X • P(---l)ta1jia2j2 . . . anjn =
    a31  a32    . . .    a33                                                                 

= X • Д.

  Свойство 5 можно сформулироватв следующим образом: общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно выносить за знак определителя.
  6.   Если две строки определителя пропорциональны, то определитель равен 0.
  Для доказательства примените свойства 5 и 4.
  7.   Если все элементы i-той строки определителя представимы в виде суммы aij = bj + Cj, то определитель равен сумме определителей D = D₁ + D2, при чем в i-той строке определителя D₁ стоят элементы bi, в i-той строке определителя D2 стоят эсементы ci, все остальные элементы совпадают с элементами определителя!).
  Например,

bl + C1 b2 + C2 Ьз + C3   b1    b2    b3   Cl   C2   Сз
a21      a22      a23   =  a21 a22 a23   +  a21 a22 a23
a31       a32      a33     a31 a32 a33      a31 a32 a33

10