Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия: курс лекций

Глава I





                Линейная алгебра





При записи определений, теорем и различных формул мы будем использовать логические символы: V — для всех, для каждого, 3 — существует, 3! — существует единственный, V — или, Л — и, > влечет, О — тогда и только тогда, когда.

§1. Матрицы. Действия с матрицами.

Матрицей размера m х n называется таблица чисел, содержащая m

строк и n столбцов. Эти числа называют элементами матрицы.     
                               a                              
 а11            a12 •          • a1n                          
 a21            a22 •          • a2n                          
 • • •          ••• •          • • • •                   (1.1)
          у am1 am2 •          . . amn                        

Обозначения матриц A = (aij-), A = (aj), A = [aij-], A = [aj].
   Матрицы играют важную роль в математике и ее приложениях. Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона¹ и Артура Кэли². Сам термин "матрица" ввел в 1850 г.


   Уильям Роуэн Гамильтон (William Rowan Hamilton) (1806-1865) — выдающийся ирландский математик XIX века. Гамильтону принадлежит введение в механику наглядного приема изображения изменений величин и направлений скорости точки, совершающей какое-либо движение (годограф). Гамильтон открыл кватернионы, некоммутативную числовую структуру с тремя мнимыми единицами. Следующие 20 лет он посвятил их подробному исследованию. В ходе исследований Гамильтон попутно ввел понятие векторного поля и создал основы векторного анализа. Он открыл векторное произведение, предложил оператор "набла".

   ²Артур Кэли (Arthur Cayley) (1821-1859) — английский математик. Большая часть его работ относится к линейной алгебре, дифференциальным уравнениям и эллиптическим функциям. Кэли ввел принятое ныне обозначение для определителя, сформулировал определение группы. Он развивил теорию алгебраических инвариантов, исследовал геометрии n-мерного пространства. Кэли принадлежит более 200 работ, посвященных самым разнообразным вопросам математики.

1

Джеймс Сильвестр³.
  Матричные обозначения получили распространение в современной математике и ее приложениях. Основным применением матриц было решение линейных уравнений. С помощью матриц записываются многие математические соотношения, в том числе, системы алгебраических и дифференциальных уравнений и их решения. В квантовой теории матрицы используются для нахождения значений физических величин. Матричный язык применяют при выполнении различных преобразований. Исчисление матриц развивается также в направлении построения эффективных алгоритмов для численного решения большого количества задач. В информатике матрицы с элементами того или иного типа занимают особое место как структуры для хранения и передачи основной и вспомогательной информации при решении многочисленных прикладных задач, шифрования сообщений в Интернете и т.д. Матрицы в информатике называют массивами. Различают одномерные массивы, содержащие элементы в одной строке и именуемые вектором, двумерные массивы, элементы которых располагаются по строкам и столбцам, которые и называются матрицами, и многомерные массивы сложной структуры. Массивы можно рассматривать как формальное объединение нескольких однотипных объектов (чисел, символов, строк и т.п.), рассматриваемое как единое целое. К необходимости применения массивов мы приходим всякий раз, когда требуется связать и использовать целый ряд родственных величин.
  Матрицу размера 1 х n называют матрицей-строкой, а матрицу размера m х 1 - матрицей-столбцом.
  Матрицу, все элементы которой равны нулю, называют нулевой матрицей. Матрицу размера nx n называют квадратной матрицей порядка n. Диагональ квадратной матрицы, идущая от элемента ац к элементу aₙₙ называется главной диагональю, вторая диагональ называется побочной. Квадратная матрица, все элементы которой, не стоящие на

  ³Джеймс Джозеф Сильвестр (James Joseph Sylvester) (1814-1897) — английский математик. Известен своими работами в теории матриц, теории чисел и комбинаторике. Сильвестр известен, прежде всего, как алгебраист. Две его работы в этой области стали классическими: это теория элементарных делителей и закон инерции квадратичных форм. Сильвестр был членом Лондонского королевского общества (1841), иностранным членом-корреспондентом Петербургской Академии наук (1872).

2

главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали a11, a₂₂,..., aₙₙ равны единице, называется единичной. Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) диагонали, равны нулю, называется треугольной. Квадратная матрица A называется симметричной,

если aij = aji, то есть элементы матрицы симметричные относительно главной диагонали равны. Квадратная матрица A называется кососимметричной, если aji = —aij, то есть элементы матрицы симметричные относительно главной диагонали отличаются знаком. Для любой матрицы A размера m х n можно построить матрицу AT, заменив строки матрицы столбцами, а столбцы — строками. Матрица AT называется транспонированной для матрицы A. Транспонированная матрица

имеет размер n х m.

5 5 3    9 \

/5714
Пример 1.1. Если A = I 3 —9 0 6
\ 9 11 8 10

то AT =

7 —9

11
8
10

1

0

⁴

6

  Над матрицами можно производить различные операции.

  Прежде всего введем понятие равенства матриц. Две матрицы назы

ваются равными, если они имеют одинаковый размер и их соответствующие элементы равны. Даны две матрицы A = (aij) и B = (bij) размера m х n. Тогда A = B, если aij = bij (Vi = 1, m, Vj = 1, n).
  Матрицы одного размера можно складывать. Суммой двух матриц

называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых. Пусть A = (aij), B = (bij) - матрицы размера m х n. Тогда C = A + B, если cij = aij + bij (Vi = 1, m, Vj = 1,n).
  Матрицу можно умножать на число. Произведением матрицы на

число называется матрица, которая получается при умножении всех элементов исходной матрицы на это число. Если A = (aij), то kA = (kaij) (Vi = 1, m, Vj = 1, n).

з

/5 7
Пример 1.2. Пусть A = 3 9

\ 6 2
/ 4 10 8 \
A + B =     5 4    7 I, A - B
\ 7 1 -1 /

7
6
8
     6
=    1
     ⁵

-1 3     1
B =    2 -5 1 I. Тогда
     \ 1   -1 -9 /
4 6 \         / 25 35 35
14 5 1, 5A =    15 -45 30
3 17 /        \ 30 55 40

  Однако главные применения матриц связаны с операцией их умножения. Эта операция лежит в основе целого раздела линейной алгебры — алгебры матриц.
  Пусть даны две матрицы A размера т х пи B размера п х к. Причем число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. В этом случае можно определить произведение матриц A и B. Матрица C размера тхк называется произ ведением матриц A и B, если любой элемент cij этой матрицы равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующий элемент j-того столбца матрицы B, то есть

n

cij = ai1 • b1j ⁺ ai2 • b2j ⁺ ... ⁺ ain

• bnj = ^(Bsbsj.
s=1

(1.1)

  Отметим, что число строк матрицы C равно числу строк матрицы A, и число столбцов матрицы C равно числу столбцов матрицы B.

Пример 1.3. Пусть A =

35
-2 3

-1

23
B =  -7 2 I . Тогда
к 3 -5)

4

AB =


BA =

/


3 3 • 2 + 5 • (-7) + (-1) • 3 3 • 3 + 5 • 2 + (-1) •        (-5) \ _ I -32
У (-2) • 2 + 3 • (-7) + 4 • 3  (-2) • 3       + 3 • 2 + 4 • (-5) ) = у -13
/   2 • 3 + 3 • (-2)    2 • 5 + 3 • 3 2 • (-1) + 3 • 4 \
   (-7) • 3 + 2 • (-2) (-7) • 5 + 2 • 3 (-7) • (-1) + 2 • 4 =
у 3 • 3 + (-5) • (-2) 3 • 5 + (-5) • 3 3 • (-1) + (-5) • 4 J
0    19    10 \

-20

24

-25 -29

15

19   0   -23

Пример 1.4. Пусть A

¹ ² , b = - ² И . Тогда
3 1 у у 4 1 2 у

4

• 1 - 2 • 2
3 • 1 + 1 • 2

AB =

1 • (-2) - 2 • 4 1 • 3 - 2 • 1
3 • (-2) + 1 • 4 3 • 3 + 1 • 1

-10

-2

1
10

-3
5

  Произведение BA не существует, так как число строк матрицах A не равно числу столбцов матрицы B.
  Операции над матрицами обладают следующими свойствами:
  1)    A + B = B + A — сложение матриц коммутативно. Но AB = BA — умножение матриц не коммутативно (пример 1.4). Более того, не всегда существуют оба произведения (пример 1.5).
  2)    (A + B) + C = A + (B + C) и (AB)C = A(BC) — сложение и умножение матриц удовлетворяют закону ассоциативности.
  3)    (A + B)C = AC + BC и C(A + B) = CA + CB, если эти произведения существуют. Это свойство называют законом дистрибутивности умножения относительно сложения.
  4)   A(A + B) = AA + AB.
  5)   (а + в)A = aA + eA.
  6)   A(AB) = (AA)B = A(AB).
  7)    A • E = E • A = A, где A — квадратная, E — единичная матрицы порядка n.
  8)   (A + B)T = AT + BT
  9)   (AB)T = BT • AT.
  В приложениях важную роль играет свойство квадратных матриц, называемое неразложимостью. Поясним его смысл.
  Согласованной перестановкой рядов квадратной матрицы A называется такая их перестановка, при которой одновременно с перестановкой i-ой и j-ой строки меняются местами i-ый и j-ый столбцы.
  Квадратная матрица A называется разложимой, если согласованными перестановками строк и столбцов ее можно привести к виду
A A1 B !
                             \ 0 A2
где A1 и A₂ - квадратные матрицы не обязательно одного и того же порядка; 0 -нулевая матрица. В противном случае матрица называется неразложимой.
  Если B = 0 и при дальнейшем разложении матриц A1 и A₂ и их частей, стоящих

5

на диагонали, будет получена матрица вида
/ A1        0 ... 0 \
0      А₂ ...  0
, ...   ... ... ...
\ 0     0 ... А^
где А1, А₂, ..., Aₖ - квадратные неразложимые матрицы не обязательно одного и того же порядка, то матрица А называется вполне разложимой.


  Задания для самостоятельного решения


Задание 1.1. Найдите А + В, А — В
    / —2 4 —5 7 \         / 7
А =  —3 2 9 —6 I , В =       5
    \ 3 11 —4 5 /         \ —9

2А — 3B, 5А + 4B, если
—3 5 4 \
4 —2 8 I.
7   3  2 /

Задание 1.2. Найдите произведения матриц AB

а) А =


б) А =

—² И ,в =(³ 34        2
⁴ —⁵!,b=(—³
2 9 J у —4

и ВА, если

9
13
7

—7

Задание 1.3. Найдите произведения матриц АВ и В А, если / 3        8 —2 \      / 4   10  —3  \
А =   —4 5 —2 I , В =    —2 5     9 I.
     \ 1   8 3 /       \ 2   —8 3/

Задание 1.4. Найдите произведения матриц АВ и В А, если

                           43
! = (---37 5 ---1 \          
               , В =   ---5 7
           3 ---4 /          
                           29
           \        / 2 7    
      ---1 42                
б А =         , В = 1  ---3 4
5          4 --- 3 /        1
           5       \ --- 5 9 

Задание 1.5. При каком соотношении между кит будет верно равен
ство АВ = В А, если А =

т

1

6

—

Задание 1.6. Дана матрица A =
\ 2

1  3 \              .о
        . Вычислите A², A³, A⁴, ! -4 /

E - 2A + A².

Задание 1.7. Найдите матрицу B = (E + 2A + 3A²)(E — A),

если

A=

21
-1 2

Задание 1.8. При каком условии на матрицы A и B будут верны ра
венства   (A ±  B)² = A² ± 2AB +  B², (A + B)(A — B) = A² — B²?


Задание 1.9. Найдите все матрицы, перестановочнвхе с матрицей A,

если

a) A =

4 0

в) A =

12
34

—3

—2

§2. Перестановки.


Дано множество перввхх n натуралвнвхх чисел N = {1, 2, ...,n}. Это множество можно упорядочитв различнвхми способами. Всякое расположение (i₁, i₂,..., in) чисел 1, 2,..., n в некотором определенном порядке назвхвается перестановкой из n чисел .

Предложение 2.1. Число различных перестановок из n чисел равно n! = 1 • 2 • 3 • ... • n.
Доказательство. Первый элемент i1 можно выбрать n способами, элемент для выбора элемента i₂ осталась n — 1 возможность и так далее, элемент iₙ₋₁ можно выбрать всего 2 способами, наконец берем последний элемент in. Всего получилось n • (n — 1) • ... • 2 • 1 = n! различных перестановок.         □

  Если в некоторой перестановке поменятв местами два числа, а осталв-нвхе оставитв на месте, то получим новую перестановку. Такое преобразование перестановки назвхвается транспозицией. Говорят, что в данной перестановке числа i и j образуют инверсию, если i > j, но i стоит в этой перестановке ранвше чем j. Перестановка назвхвается четной, если она имеет четное число инверсий, и нечетной в противном случае.


7

Теорема 2.2. Всякая транспозиция меняет четность перестановки.
Доказательство. Дана перестановка (i₁, i₂,..., iₙ). Поменяем местами два соседних элемента iₖ и iₖ₊₁. В этом случае число инверсий изменится на 1, и, значит, изменится и четность перестановки. Чтобы поменять местами элементы iₖ и iₖ₊ₘ нужно 2m — 1 раз переставить соседние элементы. Поэтому число инверсий изменится на нечетное число, и, значит, перестановка сменит четность.                            □

Теорема 2.3. 1) Число четных перестановок равно числу нечетных перестановок;
2	) Любая перестановка может быть получена из любой другой перестановки с помощью нескольких транпозиций.

§ 3. Определители.

Понятие определителя (детерминанта) возникло в связи с необходимо-ствю решения системы n линейных уравнений с n неизвестнвхми. Определители матрицы A обозна чается |A|, detA ил и △. Открытие определителей приписывают немецкому математику Г. Лейбницу⁴ ⁵. Современная теория определителей основывается на работах Ж. Бин^, О. Коши⁶ и


  ⁴Готфрид Вильгельм Лейбниц (Gottfried Wilhelm von Leibniz) (1646-1716) — немецкий математик, физик, философ. Основной заслугой Лейбница в области математики является создание (вместе с И. Ньютоном) дифференциального и интегрального исчислений. Он вывел правила дифференцирования, поиска экстремумов. Лейбниц сделал немало открытий и в других областях математики: в комбинаторике, в алгебре (начала теории определителей), в геометрии. В логике, развивая учение об анализе и синтезе, Лейбниц выдвинул идею о применении в логике математической символики и построении логических исчислений, поставил задачу логического обоснования математики. Лейбниц сыграл важную роль в истории создания электронно-вычислительных машин: он предложил использовать для целей вычислительной математики бинарную систему счисления. По просьбе Петра I разработал проекты развития образования и государственного управления в России и проект учреждения Петербургской академии наук.

  ⁵Жак Филлип Мари Бине (Jacques Philippe Marie Binet) (1786-1856) — французский математик, механик и астроном. Один из создателей матричной алгебры, первым опубликовал правило умножения матриц, изучал линейные разностные уравнения с переменными коэффициентами. Бине принадлежит ряд работ по прикладной математике и механике вращающихся тел.

  ®Огюстен Луи Коши (Augustin Louis Cauchy) (1789-1857) — великий французский математик и механик. Разработал фундамент математического анализа, внес огромный вклад в анализ, алгебру, теорию чисел, арифметику, математическую физику и многие другие области математики; он один из основоположников механики сплошных сред. Коши впервые дал строгое определение основным понятиям математического анализа — пределу, непрерывности, производной, дифференциалу, интегралу, сходимости ряда; вел понятие радиуса сходимости степенного ряда, дал определение интеграла как предела сумм, доказал существование интегралов от непрерывных функций. В теории дифференциальных уравнений Коши впервые поставил задачу о нахождении решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями (называемую с тех пор задачей Коши), дал способ интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Коши занимался геометрией (теория многогранников, поверхности 2-го порядка), алгеброй (симметрические многочлены, свойства определителей), теорией чисел (теорема Ферма о многоугольных числах, закон взаимности). В области комплексного анализа Коши создал теорию интегральных вычетов, а также ее приложения к различным вопросам анализа. Ему принадлежат исследования по тригонометрии, механике, теории упругости, оптике, астрономии. Коши написал свыше 800 работ, полное собрание его сочинений содержит 27 томов. Коши был членом Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и ряда других академий Европы. Имя Коши носят многие математические объекты.

8

К. Якоби⁷.
  Если A = (ац) — матрица первого порядка, то определителем первого порядка называется число ац: А₁ = а₁₁.
  Пуств A — матрица второго порядка.
  Определителем второго порядка назвгеается число, которое вычисляется по формуле

A2 =

а11 а12

а21 а22

= ац • а22 - а12 • «21.

(3.1)

  Пуств A — матрица третвго порядка.
  Определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле

а11

а12 а13

|A| =

а21

а22 а23

а11а22 а33 + а12а23 а31 + а13а21а32

а31

а32 а33

а13а22а31 - а11а23а32 - а12а21а33.

(3.2)

Это выражение — алгебраическая сумма 6 слагаемых. В каждое слагаемое входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знаки, с которыми членв! определителя входят в формулу (3.2), легко запомнитв, полвзуясв схемой, которая называется правилом звездочки. Первая звездочка - это слагаемые, входящие в определителв со знаком "плюс". Вторая звездочка - это слагаемые, входящие в опре-делителвсо знаком "минус".







  Для ввхчисления определителя третвего порядка применяют также правило Саррюса⁸: справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов главной диагонали и диагоналей, ей


   ⁷Карл Густав Якоби (Carl Gustav Jacob Jacobi) (1804-1851) — немецкий математик, внесший большой вклад в комплексный анализ, линейную алгебру, динамику и другие разделы математики и механики.

   ⁸Пьер Фредерик Саррюс (Pierre-Frederic Sarrus) (1798-1861) — французский математик. Его работы его относятся к различным областям анализа и геометрии.

9

параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов по


бочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус".


4 -1

3

Пример 3.1. Вычислите определитель △ =

-5

3 -2

-6 1

3

Решение .

4
-5
-6

-1

-2

= 4 • 3 • 3 + (-5) • 3 • 1 + (-2) • (-1) • (-6) 
3

3

1

3

- 3 • 3 • (-6) - 3 • (-5) • (-1) - 4 • (-2) • 1 = 36 - 15 - 12 + 54 - 15 + 8 = 56.


  Пусть дана квадратная матрица A порядка n

    a a11 ai2 ... ain    
A = a21 a22 ... a2n      
       ... ... ... ...   
    у an1 an2 . . . ann J

  Рассмотрим всевозможные произведения n элементов матрицы,

взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы aijai₂j₂ ...aᵢₙjₙ (*). Обозначим число инверсий в перестановке (i₁, i₂,..., iₙ) через s, а число инверсий в перестановке (j₁,j₂,... ,jn) через t. Если в перестановке (*) поменять местами два сомножителя и подсчитать число инверсий в новых перестановках, то сумма s₁ + t1 будет иметь ту же четность, что и сумма s + t (теорема 2.2). Поэтому число (-1)s⁺t не зависит от порядка сомножителей. Не нарушая общности, можно произведение (*) записывать в виде a₁j₁ a₂ⱼ₂... aₙⱼₙ  Число различных произведений вида (*) равно n! (предложение 2.1).

Определение 3.1. Определителем порядка n квадратной Аатрицы A порядка n называется число, равное алгебраической сумме n! всех возможных ^различных нроизведений n элементов матрицы, взятых по одному ш кюсйой строки и каждого столбца, умноженных на(-1)s⁺t₇ гйе s — число инверсий в перестановке первых, at — число инверсий в перестановке вторых индексов перемножаемых элементов матрицы.

10