Идентификация и диагностика систем

Министерство образования и науки Российской Федерации 
 

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) 
 

ФАКУЛЬТЕТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ (ФДО) 
 

 

 

О. И. Черепанов, Р. О. Черепанов, Р. А. Кректулева 

 
 
 

ИДЕНТИФИКАЦИЯ И ДИАГНОСТИКА СИСТЕМ 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Томск 
2016

УДК 
681.51.015 + 681.518.54 

ББК 
32.965-01я73 
 
Ч 467 
 
 

Рецензенты: 

А. В. Герасимов, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. отделом  

Начно-исследовательского института прикладной математики и механики ТГУ; 

В. В. Кибиткин, канд. техн. наук, старший научный сотрудник  

Института физики прочности и материаловедения СО РАН 

 

Черепанов О. И. 

Ч 467 
Идентификация и диагностика систем : учебное пособие / О. И. Че
репанов, Р. О. Черепанов, Р. А. Кректулева. − Томск : ФДО, ТУСУР, 

2016. − 138 с. 

 

В пособии представлены основы теории параметрической идентификации 

систем с уравнением состояния в виде функциональной зависимости между 
входным и выходным сигналами и стационарных динамических систем, для которых закон функционирования описывается системой линейных или нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. 

Рассматривается метод максимального правдоподобия, последовательной 

идентификации, а также метод квазилинеаризации. 

Для студентов, обучающихся с применением дистанционных образова
тельных технологий по направлению подготовки 220400.62 – «Управление в 
технических системах». 
 
 
 
 
 
 

 Черепанов О. И., 

Черепанов Р. О., 
Кректулева Р. А., 2016

© Оформление. 

ФДО, ТУСУР, 2016 

Оглавление 

Введение ............................................................................................................ 5 
1 Метод максимального правдоподобия и последовательная 

идентификация .......................................................................................... 10 
1.1 Несколько общих замечаний ................................................................. 10 
1.2 Измерение скалярной физической величины ...................................... 12 
1.3 Косвенные измерения нескольких величин ........................................ 14 
1.4 Теорема Гаусса – Маркова .................................................................... 20 
1.5 Оптимальные планы экспериментов .................................................... 24 
1.6 Полный факторный план типа 23 .......................................................... 27 
1.7 Метод последовательной идентификации ........................................... 35 

1.7.1 Последовательная идентификация одномерной системы ............ 35 
1.7.2 Последовательная идентификация многомерной системы .......... 38 

1.8 Линеаризация моделей, нелинейных относительно оцениваемых 

параметров ............................................................................................. 47 

2 Идентификация линейных многомерных динамических систем .... 51 

2.1 Общие сведения ...................................................................................... 51 

2.1.1 Линейные преобразования .............................................................. 52 
2.1.2 Каноническое преобразование – процедура диагонализации ..... 55 
2.1.3 Определение собственных векторов .............................................. 57 

2.2 Управляемость и наблюдаемость ......................................................... 62 

2.2.1 Управляемость .................................................................................. 62 
2.2.2 Наблюдаемость ................................................................................. 68 

2.3 Идентификация линейных стационарных динамических систем с 

применением конечно-разностной аппроксимации производных .. 71 

2.3.1 Постановка задачи ............................................................................ 71 
2.3.2 Дискретная модель системы............................................................ 72 
2.3.3 Идентификация систем методом максимального  

правдоподобия ................................................................................. 76 

2.3.4 Идентификация систем методом последовательной регрессии .. 79 

3 Идентификация параметров нелинейных стационарных 

динамических систем методом квазилинеаризации .......................... 88 
3.1 Постановка задачи идентификации параметров нелинейных 

стационарных динамических систем методом квазилинеаризации  
при известных начальных данных ...................................................... 88 

3.2 Описание метода квазилинеаризации в задачах с известными 

начальными условиями ........................................................................ 91 

3.3 Пример идентификации системы методом квазилинеаризации  

при известных начальных данных ...................................................... 98 

3.3.1 Уравнения модели ............................................................................ 98 
3.3.2 Применение метода идентификации параметров при известных 

начальных данных для решения тестовой задачи ..................... 101 

3.4 Идентификация начального состояния и параметров  

нелинейных стационарных динамических систем методом 
квазилинеаризации .............................................................................. 109 

3.4.1 Постановка задачи .......................................................................... 109 
3.4.2 Описание алгоритма идентификации параметров и начального 

состояния нелинейных систем методом квазилинеаризации... 111 

3.5 Пример применения метода квазилинеаризации для решения задачи 

идентификации переменных состояния и параметров нелинейной 
системы ................................................................................................ 119 

3.5.1 Система нелинейных уравнений с известным аналитическим 

решением для тестирования метода ........................................... 119 

3.5.2 Применение метода квазилинеаризации для идентификации 

параметров и начального состояния нелинейной системы: 
решение тестовой задачи ............................................................. 119 

Заключение ................................................................................................... 133 
Литература.................................................................................................... 135 
Глоссарий ...................................................................................................... 137 

 

Введение 

В широком смысле слова задача идентификации реальных физических 

систем заключается в том, чтобы по результатам измерения входного и выходного сигналов уставить закон, в соответствии с которым система осуществляет 
преобразование сигнала на входе в сигнал на выходе (рис. 1). 

 

Рис. 1 – Схема к общей задаче идентификации 

Таким образом, в общем случае изучаемый физический объект представ
ляется в виде некоего «черного ящика», на вход которого поступает входной 
сигнал u , принадлежащий некоторому множеству входных сигналов U , а на 
выходе вырабатывается выходной сигнал y , принадлежащий множеству вы
ходных сигналов Y . Задача идентификации состоит в том, чтобы восстановить 
по экспериментальным данным неизвестный оператор А системы, который преобразует множество U  входных сигналов в множество Y  выходных сигналов: 

( )
y
А u
=
. Принято говорить, что в такой постановке задача идентификации 

тождественна задаче познания вообще. 

Задача идентификации в узком смысле заключается в том, чтобы по ре
зультатам измерений входного и выходного сигналов оценить параметры (коэффициенты) оператора А системы, т. е. предполагается, что вид этого оператора выбран экспериментатором на этапе предварительного изучения объекта, 
суждений, основанных на аналогии, знании и умении применять основные законы физики к реальным задачам. 

Математическую модель изучаемого объекта обычно удается представить 

в виде системы из двух уравнений, первое из которых описывает изменение с 
течением времени t  вектора переменных состояния системы 
( )
x t
под воздей
ствием входного сигнала ( )
u t
(уравнение состояния, закон функционирования) 

и уравнения выходов, в соответствии с которым система вырабатывает выход

ной сигнал 
( )
y t
, соответствующий состоянию системы ( )
x t
в данный момент 

времени: 

 

( )
( )
( )
(
)

( )
( )
(
)

1

2

,
,
,θ ,

.

x t
A t x t u t

y t
A x t

=

=


(1) 

В этом случае по результатам измерений входного и выходного сигналов 

требуется оценить значения параметров (коэффициентов) θ

 оператора 
1А  в 

уравнении состояния, а оператор 
2
A  уравнения выходов обычно считается из
вестным и характеризует, например, работу измерительного устройства. 

Наиболее сложной задачей из тех, которые рассматриваются в данном 

пособии, является задача оценки параметров объекта, закон функционирования 
которого можно описать системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений вида: 

 

( )
( )
( )
(
)
[
]

( )
( )
0

,
,
,θ ,
0,
,

0
,

dx t
f t x t
u t
t
T
dt

x
x

=
∈

=


(2) 

где 
[0, ]
t
T
∈
 – независимая измеряемая переменная (время); [0, ]
T  – интервал 

моделирования; 
( )
( )
( )
( )
{
}
1
2
,
,...,
n
x t
x t
x
t
x
t
=
– вектор переменных состояния; 

( )
( )
( )
{
}
1
,...,
l
u t
u t
u t
=
– вектор входного сигнала (управление); 
{
}
1
θ
θ ,...,θm
=

 – 

вектор оцениваемых параметров; 

( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
{
}
1
,
,
,θ
,
,
,θ ,...,
,
,
,θ
n
f t x t
u t
f t x t
u t
f
t x t
u t
=

– известного вида 

функция всех своих аргументов, в общем случае нелинейная; ( )

( )
0
0
x
x
=
– век
тор, который определяет начальное состояние системы. 

Закон функционирования (2) дополняет алгебраическое уравнение выхо
дов, которое представлено системой линейных уравнений вида: 

 
( )
( )
y t
Сx t
=
, 
(3) 

где ( )
( )
( )
{
}
1
,...,
k
y t
y t
y
t
=
– вектор измеряемого выходного сигнала; С  – задан
ная прямоугольная матрица коэффициентов. 

Наиболее эффективным методом идентификации таких систем является, 

по-видимому, метод квазилинеаризации, который рассматривается в пособии 
при обсуждении такого рода задач. Рассмотрены варианты применения метода 
квазилинеаризации при известных начальных условиях, когда по результатам 
измерений выходного сигнала системы с известным алгебраическим уравнени

ем выходов оцениваются параметры θ

, а также общий алгоритм, с помощью 

которого оцениваются как начальные условия 
( )
0
x, так и параметры уравнений. 

Несколько более простой является задача идентификации линейных ди
намических систем, закон функционирования и уравнения выходов которых 
имеют вид: 

 

( )
( )
( )

( )
( )

,

.

dx t
Ax t
Bu t
dt
y t
Cx t

=
+

=


(4) 

Элементы матриц коэффициентов 
,
A B  образуют совокупность неизвест
ных параметров системы θ

, которые требуется найти по результатам измерений 

входного и выходного сигналов. В этом случае также наиболее эффективным 
методом идентификации является метод квазилинеаризации, но возможно и 
применение методов, основанных на замене дифференциальных уравнений их 
дискретными (конечно-разностными) аналогами. 

В ряде случаев связь входного и выходного сигналов системы удается 

описать функциональной зависимостью вида: 

 
(
)
,θ
y
f u
=

, 
(5) 

где вектор 
( )
( )
( )
{
}
1
,...,
l
u t
u t
u t
=
– входной сигнал системы, а вектор 

(
)
(
)
(
)
{
}
1
,θ
,θ ,...,
,θ
k
f u
f u
f
u
=

есть известного вида вектор – функция всех своих 

аргументов, вид которой также выбирается экспериментатором по результатам 
предварительного изучения системы. 

В общем случае функции (
)
(
)
1
,θ ,...,
,θ
k
f u
f
u

в уравнении вида (5) – нели
нейные функции своих аргументов, поэтому при оценке параметров таких систем требуется предварительная линеаризация нелинейных уравнений задачи. 

Простейшая 
линейная 
относительно 
неизвестных 
параметров 

{
}
1
θ
θ ,...,θm
=

 изучаемой системы модель имеет вид: 

 
( )
(
)
,θ
y
f u
=

, 
(6) 

где y  – скалярный измеряемый выходной сигнал, u– измеряемый вектор 

входного сигнала, 
( )
( )
( )
{
}
1
,...,
m
f u
f u
f
u
=

– вектор базисных функций модели, 

( )
(
)
,θ
f u
– скалярное произведение векторов. 

Для идентификации параметров 
{
}
1
θ
θ ,...,θm
=

 таких систем используют
ся, в частности, такие методы, как метод максимального правдоподобия, метод 
последовательной регрессии и др. 

С небольшими оговорками можно сказать, что ключом к пониманию про
блем, с которыми приходится сталкиваться при решении задач параметрической идентификации, является метод максимального правдоподобия, с которого и начинается изложение основного материала пособия, которое подготовлено на основе известных монографий Д. Гропа [2] и Э. Сэйджа, Д. Мелсы [10]. 
Для более полного понимания основных идей теории и методов идентификации 
в пособие включены краткие сведения по теории моделирования систем и методам планирования эксперимента [1–19]. 

Пособие содержит примеры решения задач по основным темам. Разбор 

каждого примера решения задач разными методами позволяет оценить достоинства и недостатки того или иного метода в сравнении с другими, что может 
послужить базой накопления личного опыта по идентификации систем. 

Соглашения, принятые в учебном пособии 

Для улучшения восприятия материала в данном учебном пособии исполь
зуются пиктограммы и специальное выделение важной информации. 

 ·············································  

Эта пиктограмма означает определение или новое понятие. 

 ·············································  

 ·····························································  

Эта пиктограмма означает «Внимание!». Здесь выделена важ
ная информация, требующая акцента на ней. Автор может поделиться с читателем опытом, чтобы помочь избежать некоторых 
ошибок. 
 ·····························································  
 ·····························································  

В блоке «На заметку» автор может указать дополнительные 

сведения или другой взгляд на изучаемый предмет, чтобы помочь 
читателю лучше понять основные идеи. 
 ·····························································  

·····························································  

Эта пиктограмма означает теорему. 

 ·····························································  

 ·························  
 Пример  ······················  

Эта пиктограмма означает пример. В данном блоке автор может привести 

практический пример для пояснения и разбора основных моментов, отраженных в теоретическом материале. 
 ·······································································  

 ························  
 Выводы  ························  

Эта пиктограмма означает выводы. Здесь автор подводит итоги, обобщает 
изложенный материал или проводит анализ. 
 ·····································································  

 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·   
Контрольные вопросы по главе  
 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·   

1 Метод максимального правдоподобия  

и последовательная идентификация 

1.1 Несколько общих замечаний 

Решение задачи идентификации любой реальной системы начинается с 

выполнения одного из самых ответственных этапов – выбора математической 
модели, которая должна описывать закон функционирования этой системы, т. е. 
выбора оператора, который описывает, каким образом реальный объект преобразует сигнал на входе в сигнал на выходе. По-видимому, нет стандартных и 
безотказных формальных подходов к решению этой задачи. На этом этапе широко используются суждения по аналогии, которые позволяют перенести опыт, 
приобретенный при изучении других объектов, на данный конкретный случай. 

 ·····························································  

На этом этапе необходимо: 
1) определить все входные сигналы системы, выделив из них те, 

которые относятся к управляющим и контролируемым пере
менным (вектор 
( )
( )
( )
{
}
1
,...,
l
u t
u t
u t
=
), т. е. таким входным 

сигналам, выбором которых можно распорядиться при проведении целенаправленных экспериментов; 

2) определить 
совокупность 
переменных 

( )
( )
( )
( )
{
}
1
2
,
,...,
n
x t
x t
x
t
x
t
=
, которые с достаточной полнотой 

характеризуют состояние системы (переменные состояния); 

3) записать 
закон 
функционирования 
системы 
вида 

( )
( )
( )
(
)
1 ,
,
,θ
x t
A t x t u t
=

(уравнение состояния), в соответствии 

с которым система изменяет свое состояние в зависимости от 
входного сигнала с течением времени, т. е. на основании знания основных законов природы, которым подчиняется изучае
мый процесс, система, выбрать вид оператора 
( )
( )
(
)
1 ,
,
,θ
A t x t u t

, 

выделив при этом совокупность неизвестных коэффициентов 

{
}
1
θ
θ ,...,θm
=

, которые требуется определить по результатам 

измерений входного и выходного сигналов; 

4) оценить 
количество 
выходных 
измеряемых 
переменных 

( )
( )
( )
{
}
1
,...,
k
y t
y t
y
t
=

и 
записать 
уравнение 
выходов 

( )
( )
(
)
2
y t
A x t
=
, т. е. закон, в соответствии с которым система, 

текущее состояние которой описывается вектором переменных 

состояния ( )
( )
( )
( )
{
}
1
2
,
,...,
n
x t
x t
x
t
x
t
=
, вырабатывает выходной 

сигнал. 

 ·····························································  

Результатом этого этапа является формулировка математической модели 

изучаемого объекта, процесса. 

Следующим этапом является этап постановки экспериментов и выполне
ния достаточно большой серии из N  измерений входного и выходного сигналов. 
На 
этом 
этапе 
осуществляется 
выбор 
значений 

( )
( )
(
)

( )
(
)

( )
(
)
{
}
1
,...,
,

i
i
i
i
l
u
u t
u t
u t
=
=

1,2,...,
i
N
=
 переменных, которые подаются на 

вход системы в каждом из опытов с номером ( )i , и измеряются значения вы
ходного сигнала 
( )
( )
(
)

( )
(
)

( )
(
)
{
}
1
,...,
i
i
i
i
k
y
y t
y t
y
t
=
=
. 

Имея уравнения модели системы и располагая результатами измерений 

входного 
( )
( )
(
)

( )
(
)

( )
(
)
{
}
1
,...,
,
1,2,...,

i
i
i
i
l
u
u t
u t
u t
i
N
=
=
=

и 
выходного 

( )
( )
(
)

( )
(
)

( )
(
)
{
}
1
,...,
i
i
i
i
k
y
y t
y t
y
t
=
=
сигналов системы, можно приступать к реше
нию задачи параметрической идентификации, т. е. оценке неизвестных пара
метров модели 
{
}
1
θ
θ ,...,θm
=

. Учитывая, что результаты измерений содержат по 

крайней мере случайные ошибки, эта задача не столь проста, как может показаться на первый взгляд. Основные особенности этой проблемы рассмотрим 
далее при обсуждении метода максимального правдоподобия. 

 ·····························································  

Крайне важным и необходимым этапом идентификации лю
бой системы является оценка адекватности модели и границ её 
применимости, которая выполняется после получения оценки параметров и может потребовать пересмотра модели в целом, если эти 
результаты окажутся неудовлетворительными. 
 ·····························································  

Ряд проблем, связанных с оценкой параметров моделей систем по резуль
татам измерений входного и выходного сигналов, рассмотрим на примере 
идентификации простейших систем методом максимального правдоподобия. 
Метод максимального правдоподобия является одним из основных методов 

идентификации параметров моделей систем. Кроме того, знание этого метода 
важно для понимания многих других методов идентификации и зачастую является их составной частью. 

Метод последовательной идентификации также рассматривается в этой 

главе, так как его можно рассматривать как модификацию метода максимального правдоподобия, позволяющую обойти проблему обращения информационной матрицы при оценке параметров модели, что несколько повышает скорость расчетов. Кроме того, при последовательной идентификации не требуется 
хранения всех результатов измерений входного и выходного сигналов, что дает 
экономию памяти при идентификации многомерных систем. 

1.2 Измерение скалярной физической величины 

Рассмотрим простейшую задачу – непосредственное измерение одной 

(скалярной) физической величины u  (например, высоты двери, силы тока, 
напряжения и т. п.). Выполнив N  измерений, каждое из которых связано по 
крайней мере со случайными погрешностями, получим набор значений 

( )
( )
(
)
1
2
,
,...,

N
u
u
u
 (верхний индекс в скобках – номер опыта) и будем вынуждены 

задаться вопросом, а что же считать истинным значением этой величины? В 
теории измерений принимается, что такое истинное значение существует. Обозначим его символом 
0u . Тогда ошибка измерений будет равна 
0
δ
u
u
=
−
. 

 ·····························································  

Далее примем основную гипотезу теории измерений, в соот
ветствии с которой случайные ошибки и результаты измерений 
искомой величины u  распределены по нормальному закону (распределение Гаусса). 
 ·····························································  

Тогда плотность вероятности распределения величины u  определяется 

формулой: 

 
( )

(
)
2

0
2
2σ
1
σ 2π

u u
p u
e

−
−
=
, 
(1.1) 

с математическим ожиданием, равным истинному значению 
0u , дисперсией 

( )

2
σ
D u =
, и измерения выполняются в одинаковых условиях со средней ошиб
кой σ, т. е. принимается гипотеза о равноточных измерениях. Среднее арифметическое совокупности измерений равно математическому ожиданию 
0u , то